Flächen / Anwendungen

Themengebiet: C.A.D.

Im der klassischen C.A.D. werden lediglich Ebenen, Kugeln, Zylinder und Tori verwendet. Eine vollständige Klassifikation der Schnittkurven und deren Singularitäten solcher Flächen ist ein offenes Problem. Am Interessantesten ist dort der Schnitt zweier Tori, was auf das Studium von kanonischen Kurven vom arithmetischen Geschlecht 5 herauslät.

Bild: zwei Tori (orange, grün), die sich in einer singulären Kurve (schwarz) schneiden.

In neueren Anwendungen werden auch Freiformflächen vom Bézier-Typ verwendet. Die Implizitisierung solcher Flächen ist über determinentielle Resultanten und Syzygien-Matrizen möglich. Zum Beispiel kann man für der Schnitt zweier solcher Flächen die Parametrisierung der einen und die Implizitisierung der anderen verwenden.

Die symbolische Auswertung der Determinante möchte man vermeiden für Algorithmen, die Auswertungen der Gleichung verwenden. Wie sich die Vertauschung von Auswerten und Determinanten-Berechnung auswirkt und eine konkrete Implementierung ist offen.

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