Flächen / Konstruktion

Themengebiet: Flächen mit vielen Singularitäten

Seit den Anfängen der algebraischen Geometrie im 19. Jahrhundert stellt man sich die Frage: Wieviele Singularitäten (die Spitzen im Bild links) kann eine algebraische von gegebenem Grad besitzen? In letzter Zeit stellt sich heraus, dass solche Fragestellungen auch im Bereich der Visualisierung und C.A.D. Anwendungen haben. O. Labs hat in seiner Dissertation einige verwandte Frage beantwortet. Doch es gibt noch viele kleinere und größere interessante Probleme in diesem Bereich.

Ein Beispiel eines möglichen Mathematik-Masterarbeits-Themas ist:

Eine Sextik mit vielen Einsiedlerpunkten

Die bekannte Barth-Sextik ist eine Fläche vom Grad 6 und hat 65 Singularitäten, die lokal wie Kegel aussehen (x²+y²-z²=0). Barths Konstruktion soll in der Arbeit so abgewandelt werden, so dass eine Fläche entsteht, die viele Singularitäten besitzt, die lokal nur wie ein isolierter Punkt (sogenannte Einsiedlerpunkte) aussehen (x²+y²+z²=0 hat nur den Ursprung als Lösung). Dazu sind vermutlich sowohl Rohns klassische Methoden, als auch die in Labs Artikel verwendete Computeralgebra hilfreich.

Referenzen:

• W. Barth: Two Projective Surfaces with Many Nodes, Admitting the Symmetry of the Icosahedron (J. Alg. Geom, 1996)
• O. Labs: A Sextic with 35 Cusps (2005)
• K. Rohn: Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6. Ordnung und bei der Fläche 4. Ordnung (Math. Ann. 73, 1913)
• O. Labs: Hypersurfaces with Many Singularities (Dissertation, 2005)

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