Kurven / Theorie

Themengebiet: Green-Vermutung

Für X ⊂ Pⁿ eine projektive Varietät und

0 ← S_X ← S ← F₁ ← F₂ ← ⋅⋅⋅ ← F_e ← 0

die minimale freie Auflösung bilden die Betti-Zahlen β_ij, wobei F_i = ⊕ S(-j)^β_ij eine feinere Invariante als die Hilbertfunktion.

Welche zusätzliche geometrische Information ist in diesen kodiert?

Die Green-Vermutung behauptet eine partielle Antwort im Fall der Syzygien von kanonischen Kurven: Aus den Betti-Zahlen kann man auf die Existenz von Funktionen kleinen Grades auf der Kurve schließen. Eine genauere Formulierung involviert den Clifford-Index einer Kurve.

Die Green-Vermutung ist bekannt für allgemeine Kurven im Modulraum und vollständig auch für Kurven mit Extrasyzygien von homologischem Index 0,1,2. Das heißt hyperelliptische, trigonale und tetragonale Kurven sind durch Syzygien charakterisiert. Für den homologischen Index 3 gibt es vielversprechende Ansätze, die durchzuführen sind.

Einige ausgewählte Publikationen zu diesem Thema sind die folgenden:

• Mark L. Green, Koszul cohomology and the geometry of projective varieties
• Mark L. Green und Robert Lazarsfeld On the projective normality of complete linear series on an algebraic curve
• Frank-Olaf Schreyer, Syzygies of canonical curves and special linear series
• Frank-Olaf Schreyer, Green's conjecture for general p-gonal curves of large genus
• Frank-Olaf Schreyer, A standard basis approach to syzygies of canonical curves
• André Hirschowitz und Sundararaman Ramanan New evidence for Green's conjecture on syzygies of canonical curves
• Michael Sagraloff Special Linear Series and Syzygies of Canonical Curves of Genus 9
• Claire Voisin, Green's generic syzygy conjecture for curves of even genus lying on a K3 surface
• Claire Voisin, Green's canonical syzygy conjecture for generic curves of odd genus
• Marian Aprodu und and Gavril Farkas, Green's conjecture for general covers

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