Numerische Algebraische Geometrie / Konstruktion

Arbeitsgebiet: Test- and Challenging Problems

Die numerische algebraische Geometrie versucht, alle Berechnungen, die in der algberaischen Geometrie nötig sind (und die man prinzipiell exakt mit Gröbnerbasen erledigen kann), auch numerisch durchführen zu können.

Einerseits ist dies motiviert durch die erhofften Geschwindigkeitsvorteile, andererseits sind zu vielen praxisrelevanten Problemen schon die Ausgangsdaten nur näherungsweise verfügbar.

Leider ist es aber nicht einfach, gute Test-Probleme für solche Algorithmen aufzustellen. In vielen Fällen ist es sogar unbekannt, wie schwierig die härtesten Probleme überhaupt sind. Das Bild links zeigt eine algebraische Kurve mit einer mittels numerischer Algorithmen sehr schwierig zu visualisierenden Singularität (Die beiden Zweige der Kurve treffen sich nur in genau einem Punkt! Dies herauszufinden, ist numerisch nicht einfach.).

Daher gibt es viele interessante Arbeitsthemen rund um die Konstruktion von Test-Problemen für solche Algorithmen. Die meisten dieser Problemfälle haben mit Singularitäten zu tun, da im glatten Fall numerisch meist weniger Schwierigkeiten auftreten.

Einige mögliche Themen:

1. Konstruktion reeller Kurven mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten mit sehr kleinen Ovalen
2. Konstruktion reeller Kurven mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten mit sehr kleinen imaginären Ovalen

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