Parameterräume / Konstruktion

Themengebiet: Existenz- und Unirationalitätsfragen

Bild: obere Halbebene-Darstellung des Modulraums der Kurven von Geschlecht 1.

Ein Modulraum ist eine algebraische Varietät, dessen Punkte in Bijektion mit Isomorphieklassen von algebraischen Varietäten mit vorgegebenen numerischen Invarianten stehen. Ein Beweis, dass ein Modulraum nicht leer ist, besteht oft darin, explizit einen Punkt (d.h. eine Varietät) darin zu konstruieren und das Konstruktionsverfahren liefert oft einen Beweis, dass der Modulraum unirational ist. Für Kurven hat man für jedes Geschlecht g einen irreduziblen Modulraum Mg der Dimension 3g-3. Es ist bekannt, dass für kleine g die Modulräume unirational sind, während für großes g die Modulräume Mg vom allgemeinen Typ sind, was rationale Parametrisierbarkeit des Modulraums ausschließt. Die meißten bekannten Modulräume für Flächen sind unirational, was unserer Auffassung nach daran liegt, dass häufig das explizite Konstruktionsverfahren den Beweis der Unirationalität mitliefert. Man konstruiere Flächen, deren Modulraum nicht unirational ist.

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