Mathematik für Informatiker I

Prof . Dr. F.-O. Schreyer

Übungsblatt 3

Abgabetermin Montag 18.11.2002 vor der Vorlesung

1. Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen der S₄ mit Hilfe des Tetraeders (Typ der
   Untergruppe und die Anzahl der Untergruppen der gleichen Art)
   

2. Zeigen Sie:

   Ist G eine Gruppe der Ordnung p^{l .} m, wobei p eine Primzahl ist, die nicht m teilt, und l $\geq$ 1, dann hat G eine Untergruppe der Ordnung p^l.

3. Zeigen Sie:

   Sind a, b $\in$ $\mathbb {Z}$ mit a, b $\geq$ 1 und ggT$\left(\vphantom{ a,b}\right.$a, b$\left.\vphantom{ a,b}\right)$ = 1. Dann gilt

   $$\mathbb {Z}$$/$$\left(\vphantom{ a\cdot b}\right.$$a ^. b$$\left.\vphantom{ a\cdot b}\right)$$ $$\cong$$ $$\mathbb {Z}$$/a×$$\mathbb {Z}$$/b

4. Sei
   G : = $$\left\langle\vphantom{ s_{1},...,s_{n-1}\mid s_{i}^{2}=e,\text{ }... ...\vert \geq2,\text{ }s_{i}s_{i+1}%% s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\forall i,j}\right.$$s₁,..., s_n-1 | s_i² = e, s_is_j = s_js_i falls $$\left\vert\vphantom{ i-j}\right.$$i - j$$\left.\vphantom{ i-j}\right\vert$$ $$\geq$$ 2, s_is_i+1s_i = s_i+1s_is_i+1$$\forall$$i, j$$\left.\vphantom{ s_{1},...,s_{n-1}\mid s_{i}^{2}=e,\text{ }s_{i}s... ...\geq2,\text{ }s_{i}s_{i+1}%% s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\forall i,j}\right\rangle$$

   Zeigen Sie

   G $$\cong$$ S_n

5. Bestimmen die Symmetriegruppen W, O, D und I von Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder:

$$\begin{array}[c]{cc}%% {\includegraphics[ height=2.4267in, width=... ...n 0.000000in, height=1.8836in, width=1.7106in ]%% {octah.eps}%% }%% \end{array}$$

Hinweise:

- Ermitteln Sie zunächst die Gruppenordnung.

- Beachten Sie:

und so weiter.