Mathematik für Informatiker I

Prof . Dr. F.-O. Schreyer, Janko Böhm

Übungsblatt 4

Abgabetermin Montag 25.11.2002 vor der Vorlesung

1. 1. Zeigen Sie: Es gibt keinen Körper mit genau 6 Elementen.

   2. Gibt es einen Körper mit genau 4 Elementen?

2. Läßt sich bei dem bekannten Schiebespiel folgende Konfiguration
   
   in die Ausgangsstellung
   

   überführen?

3. 1. Welche Ordnungen treten bei den Elementen von S₇ auf?

   2. Sei G $\subset$ S_n eine Untergruppe mit $\left(\vphantom{ 1,2}\right.$1, 2$\left.\vphantom{ 1,2}\right)$ $\in$ G und $\left(\vphantom{ 1,2,...,n}\right.$1, 2,..., n$\left.\vphantom{ 1,2,...,n}\right)$ $\in$ G. Zeigen Sie
      G = S_n

4. Beschreiben Sie die Menge
   $$\left\{\vphantom{ \left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}\mid\left\vert x+y\right\vert \leq1}\right.$$$$\left(\vphantom{ x,y}\right.$$x, y$$\left.\vphantom{ x,y}\right)$$ $$\in$$ $$\mathbb {R}$$² | $$\left\vert\vphantom{ x+y}\right.$$x + y$$\left.\vphantom{ x+y}\right\vert$$ $$\leq$$ 1$$\left.\vphantom{ \left( x,y\right) \in\mathbb{R}^{2}\mid\left\vert x+y\right\vert \leq1}\right\}$$
   (z.B. durch Zeichnung).

5. Zeigen Sie, daß für jedes n $\in$ $\mathbb {N}$, n $\geq$ 1 gilt:

   1. $$\binom{n}{k}$$$${\frac{{1}}{{n^{k}}}}$$ $$\leq$$ $${\frac{{1}}{{k!}}}$$ für allek $$\geq$$ 0

   2. $$\left(\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right.$$1 + $${\frac{{1}}{{n}}}$$$$\left.\vphantom{ 1+\frac{1}{n}}\right)^{{n}}_{}$$ $$\leq$$ $$\sum_{{k=0}}^{{n}}$$$${\frac{{1}}{{k!}}}$$ < 3

   3. $$\left(\vphantom{ \frac{n}{3}}\right.$$$${\frac{{n}}{{3}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{n}{3}}\right)^{{n}}_{}$$ $$\leq$$ $${\frac{{1}}{{3}}}$$n!