Kryptographie - Algebraischer Hintergrund

Prof . Dr. F.-O. Schreyer

Übungsblatt 6: Der Hintergrund von Hasses Theorem

Abgabetermin 25.6.2002

Voraussetzungen: Vorlesungskapitel Endliche Körper, Hintergrund von Hasses Theorem.

1. Schreiben Sie ein Maple-Skript, das über einem endlichen Körper $\begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}$ die Anzahl Punkte
   N_r = $$\left\vert\vphantom{ E\left( \begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}\right) }\right.$$E$$\left(\vphantom{ \begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}}\right.$$$$\begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}$$$$\left.\vphantom{ \begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}}\right)$$$$\left.\vphantom{ E\left( \begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}\right) }\right\vert$$
   einer elliptischen Kurve E : x³ + a ^. x + b - y² = 0, a, b $\in$ $\begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}$ zählt. Zum Rechnen in $\begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}$ sind folgende Maple-Kommandos hilfreich (wenn Sie nicht Ihre Implementation vom letzten Übungsblatt verwenden wollen oder diese noch nicht fertig ist)
   $$\begin{array}[c]{l}%% G:=GF\left( p,r\right) \text{ ist }\mathbb{... ...berechnet }a^{j}\\ G[\lq inverse\lq ](a)\text{ berechnet }\frac{1}{a}%% \end{array}$$

2. Schreiben Sie ein Maple-Skript, das aus N₁ die reziproken Nullstellen $\alpha$,$\beta$ von
   1 - at + pt² bestimmt und
   N_r = 1 + p^r - $$\alpha^{{r}}_{}$$ - $$\beta^{{r}%% }_{}$$
   für festes N₁ berechnet.

3. Schreiben Sie ein Maple-Skript, das aus N₁ mit der Weilformel N_r berechnet, indem Sie für vorgegebenes r die Potenzreihenentwicklung der logarithmischen Ableitung von Z$\left(\vphantom{ E/\mathbb{F}_{p},t}\right.$E/$\mathbb {F}$_p, t$\left.\vphantom{ E/\mathbb{F}_{p},t}\right)$ in t bis zur Ordnung r ausrechnen.

4. Vergleichen Sie an Beispielen die Ergebnisse von Aufgabe 1, 2 und 3.

5. Sei f$\left(\vphantom{ x,y}\right.$x, y$\left.\vphantom{ x,y}\right)$ : = xy$\left(\vphantom{ x^{2}-y^{2}}\right.$x² - y²$\left.\vphantom{ x^{2}-y^{2}}\right)$ - 1 und C die durch f = 0 definierte Kurve und N_r : = $\left\vert\vphantom{ \left\{ \left( a,b\right) \in \begin{array}[c]{c}%% \left... ...F}_{p^{r}}\right) ^{2}%% \end{array}\mid f\left( a,b\right) =0\right\} }\right.$$\left\{\vphantom{ \left( a,b\right) \in \begin{array}[c]{c}%% \left( \mathbb{F}_{p^{r}}\right) ^{2}%% \end{array}\mid f\left( a,b\right) =0}\right.$$\left(\vphantom{ a,b}\right.$a, b$\left.\vphantom{ a,b}\right)$ $\in$ $\begin{array}[c]{c}%% \left( \mathbb{F}_{p^{r}}\right) ^{2}%% \end{array}$ | f$\left(\vphantom{ a,b}\right.$a, b$\left.\vphantom{ a,b}\right)$ = 0$\left.\vphantom{ \left( a,b\right) \in \begin{array}[c]{c}%% \left( \mathbb{F}_{p^{r}}\right) ^{2}%% \end{array}\mid f\left( a,b\right) =0}\right\}$$\left.\vphantom{ \left\{ \left( a,b\right) \in \begin{array}[c]{c}%% \left( \m... ...p^{r}}\right) ^{2}%% \end{array}\mid f\left( a,b\right) =0\right\} }\right\vert$ + 4 die Anzahl der Punkte von C über $\begin{array}[c]{c}%% \mathbb{F}_{p^{r}}%% \end{array}$ (Bemerkung: Es gibt 4 Punkte im Unendlichen, da es 4 Asymptoten gibt). Bestimmen Sie N₁,...,N₇ für p = 3 und stellen Sie eine Vermutung für die Gestalt der Zetafunktion
   Z$$\left(\vphantom{ C/\mathbb{F}_{p};t}\right.$$C/$$\mathbb {F}$$_p;t$$\left.\vphantom{ C/\mathbb{F}_{p};t}\right)$$ : = exp$$\left(\vphantom{ \sum_{r=1}^{\infty}%% N_{r}\frac{t^{r}}{r}}\right.$$$$\sum_{{r=1}}^{{\infty}%% }$$N_r$${\frac{{t^{r}}}{{r}}}$$$$\left.\vphantom{ \sum_{r=1}^{\infty}%% N_{r}\frac{t^{r}}{r}}\right)$$ $$\in$$ $$\mathbb {Q}$$$$\left[\vphantom{ \left[ t\right] }\right.$$$$\left[\vphantom{ t}\right.$$t$$\left.\vphantom{ t}\right]$$$$\left.\vphantom{ \left[ t\right] }\right]$$
   auf, indem Sie Z$\left(\vphantom{ C/\mathbb{F}_{p};t}\right.$C/$\mathbb {F}$_p;t$\left.\vphantom{ C/\mathbb{F}_{p};t}\right)$ ^. $\left(\vphantom{ 1-t}\right.$1 - t$\left.\vphantom{ 1-t}\right)$ ^. $\left(\vphantom{ 1-pt}\right.$1 - pt$\left.\vphantom{ 1-pt}\right)$ bis zur Ordnung 7 bestimmen.

   Welchen Betrag haben die reziproken Nullstellen (Maple-Kommandos solve und abs)?

Abgabe der Aufgaben bitte als email an

$$\begin{array}[c]{l}%% \text{boehm@btm8x5.mat.uni-bayreuth.de}\\ \text{oder}\\ \text{boehm@math.uni-sb.de}%% \end{array}$$