Let L = a0,..a(m-1), and let P = P(#L-1+ sum L). Just as the ordinary scroll S(L) is the union of planes joining rational normal curves Ci of degree ai according to some chosen isomorphism among them (a (1,1,..,1) correspondence), the generalized Scroll is the union of planes joining the points that correspond under an arbitrary correspondence, specified by I.
Thus if I is the ideal of the small diagonal of (P1)m, then generalized Scroll(I,L) is equal to S(L). If #L = 2, and I is the square of the ideal of the diagonal, we get a K3 carpet:
i1 : L = {3,4} o1 = {3, 4} o1 : List |
i2 : x = symbol x; |
i3 : S = productOfProjectiveSpaces(#L,x) --creates the multi-graded ring of (P^1)^(#L) o3 = S o3 : PolynomialRing |
i4 : Delta = smallDiagonal S -- the ideal of the small diagonal of (P^1)^(#L) o4 = ideal(- x x + x x ) 1,0 0,1 0,0 1,1 o4 : Ideal of S |
i5 : G = correspondenceScroll(Delta, L) 2 o5 = ideal (y - y y , y y - y y , y y - y y , 1,3 1,2 1,4 1,2 1,3 1,1 1,4 1,1 1,3 1,0 1,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 y y - y y , y y - y y , y y - y y , y - 0,3 1,3 0,2 1,4 0,2 1,3 0,1 1,4 0,1 1,3 0,0 1,4 1,2 ------------------------------------------------------------------------ y y , y y - y y , y y - y y , y y - y y , 1,0 1,4 1,1 1,2 1,0 1,3 0,3 1,2 0,1 1,4 0,2 1,2 0,0 1,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 y y - y y , y - y y , y y - y y , y y - 0,1 1,2 0,0 1,3 1,1 1,0 1,2 0,3 1,1 0,0 1,4 0,2 1,1 ------------------------------------------------------------------------ y y , y y - y y , y y - y y , y y - y y , 0,0 1,3 0,1 1,1 0,0 1,2 0,3 1,0 0,0 1,3 0,2 1,0 0,0 1,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 y y - y y , y - y y , y y - y y , y - 0,1 1,0 0,0 1,1 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 0,0 0,3 0,1 ------------------------------------------------------------------------ y y ) 0,0 0,2 ZZ o5 : Ideal of -----[y , y , y , y , y , y , y , y , y ] 32003 0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 |
i6 : minimalBetti G 0 1 2 3 4 5 6 o6 = total: 1 21 70 105 84 35 6 0: 1 . . . . . . 1: . 21 70 105 84 35 6 o6 : BettiTally |
i7 : G = correspondenceScroll(Delta^2, L) 2 2 o7 = ideal (y - y y , y y - y y , y y - y y , y - 1,3 1,2 1,4 1,2 1,3 1,1 1,4 1,1 1,3 1,0 1,4 1,2 ------------------------------------------------------------------------ y y , y y - y y , y y - 2y y + y y , y y 1,0 1,4 1,1 1,2 1,0 1,3 0,3 1,2 0,2 1,3 0,1 1,4 0,2 1,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 - 2y y + y y , y - y y , y y - 3y y + 0,1 1,3 0,0 1,4 1,1 1,0 1,2 0,3 1,1 0,1 1,3 ------------------------------------------------------------------------ 2y y , y y - 2y y + y y , y y - 3y y + 0,0 1,4 0,2 1,1 0,1 1,2 0,0 1,3 0,3 1,0 0,1 1,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2y y , y y - 2y y + y y , y - y y , y y - 0,0 1,3 0,2 1,0 0,1 1,1 0,0 1,2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 y y , y - y y ) 0,0 0,3 0,1 0,0 0,2 ZZ o7 : Ideal of -----[y , y , y , y , y , y , y , y , y ] 32003 0,0 0,1 0,2 0,3 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 |
i8 : minimalBetti G 0 1 2 3 4 5 6 o8 = total: 1 15 35 42 35 15 1 0: 1 . . . . . . 1: . 15 35 21 . . . 2: . . . 21 35 15 . 3: . . . . . . 1 o8 : BettiTally |
Here is how to make the generalized scroll corresponding to a general elliptic curve in (P1)3. First, the general elliptic curve, as a plane cubic through three given points:
i9 : T = ZZ/32003[y_0,y_1,y_2] o9 = T o9 : PolynomialRing |
i10 : threepoints = gens intersect(ideal(y_0,y_1),ideal(y_0,y_2),ideal(y_1,y_2)) o10 = | y_1y_2 y_0y_2 y_0y_1 | 1 3 o10 : Matrix T <--- T |
i11 : f = threepoints*random(source threepoints, T^{-3}); -- general cubic through the three points 1 1 o11 : Matrix T <--- T |
i12 : L = {2,2,2} o12 = {2, 2, 2} o12 : List |
i13 : x = symbol x; |
i14 : S = productOfProjectiveSpaces(#L,x) --creates the multi-graded ring of (P^1)^(#L) o14 = S o14 : PolynomialRing |
i15 : ST = (flattenRing(T**S))_0 o15 = ST o15 : PolynomialRing |
i16 : irrel = irrelevantIdeal ST; o16 : Ideal of ST |
Here the irrelevant ideal is the intersection of the 4 ideals of coordinats (P2 and the three copies of P1). Next, define the pairs of sections on the curve giving the three projections:
i17 : ff = entries sub(transpose matrix {{y_0,y_1},{y_0,y_2},{y_1,y_2}}, ST) -- projections from the three points o17 = {{y , y , y }, {y , y , y }} 0 0 1 1 2 2 o17 : List |
And create the equations of the incidence variety
i18 : D1 = det matrix{{x_(0,0),ff_1_0},{x_(1,0),ff_0_0}} o18 = y x - y x 0 0,0 1 1,0 o18 : ST |
i19 : D2 = det matrix{{x_(0,1),ff_1_1},{x_(1,1),ff_0_1}} o19 = y x - y x 0 0,1 2 1,1 o19 : ST |
i20 : D3 = det matrix{{x_(0,2),ff_1_2},{x_(1,2),ff_0_2}} o20 = y x - y x 1 0,2 2 1,2 o20 : ST |
i21 : J = sub(ideal f, ST)+ideal(D1,D2,D3) 2 2 2 2 o21 = ideal (8570y y - 15344y y + 3187y y + 12334y y y + 4376y y - 0 1 0 1 0 2 0 1 2 1 2 ----------------------------------------------------------------------- 2 2 5307y y - 5570y y , y x - y x , y x - y x , y x - y x ) 0 2 1 2 0 0,0 1 1,0 0 0,1 2 1,1 1 0,2 2 1,2 o21 : Ideal of ST |
This must be saturated with respect to the irrelevant ideal, and then the y variables are eliminated, to get the curve in (P1)3.
i22 : Js = saturate(J, irrel); o22 : Ideal of ST |
i23 : I = eliminate({y_0,y_1,y_2}, Js); o23 : Ideal of ST |
i24 : IS = (map(S,ST))I; o24 : Ideal of S |
i25 : codim I o25 = 2 |
Finally, we compute the ideal of the generalized Scroll:
i26 : g = correspondenceScroll(IS, L); ZZ o26 : Ideal of -----[y , y , y , y , y , y , y , y , y ] 32003 0,0 0,1 0,2 1,0 1,1 1,2 2,0 2,1 2,2 |
i27 : minimalBetti g 0 1 2 3 4 5 6 o27 = total: 1 30 120 196 160 66 11 0: 1 . . . . . . 1: . 3 . . . . . 2: . 9 27 24 7 . . 3: . 18 93 172 153 66 11 o27 : BettiTally |
The script currently uses an elimination method, but could be speeded up by replacing that with the easy direct description of the equations that come from the correspondence I.