Verschwindungssätze für Hermitesche Modulformen sowie Siegelsche Modulformen zu den Kongruenzuntergruppen

Γ0^{(n)}(N) und Γ^{(n)}(N)

Dissertation zur Erlangung des Grades

des Doktors der Naturwissenschaften der Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät I

der Universität des Saarlandes von

Markus Klein

Saarbrücken

Tag des Kolloquiums : 22.12.2004
Dekan:  Herr Professor Dr. J. Eschmeier
Berichterstatter:  Herr Professor Dr. R. Schulze-Pillot

Herr Professor Dr. E. U. Gekeler Meinen Eltern

Vorbemerkungen

Im Jahre 1939 begründete C. F. Siegel in seiner Arbeit ’Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades’ (siehe [62]) die Theorie der Modulfunktionen und Modulformen zur symplektischen Gruppe

Sp(n, ℝ) = \{M ∈ GL(2n, ℝ) |M^{t} ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} ) M = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} )\} .

Die Theorie ist eine Verallgemeinerung der im 19-ten Jahrhundert entstandenen Theorie der elliptischen Modulfunktionen und Formen, die aus den Untersuchungen von elliptischen Funktionen entstand. Die Modulformen n-ten Grades werden heute als Siegelsche Modulformen bezeichnet. Es sind holomorphe Funktionen auf dem Siegelschen Halbraum

ℍ_{n} = {Z = X + 𝔦Y ∈ MAT^{sym}(n, ℂ) | Y ist positiv definit} ,

einer Verallgemeinerung der oberen Halbebene ℍ_{1} = {c ∈ ℂ| Im(c) > 0}, die bis auf den Fall der elliptischen Modulformen (n=1) bereits vollständig durch ein gewisses Transformationsverhalten beschrieben werden. Den Siegelsche Halbraum ℍ_{n} fassen wir hierbei als Teilmenge eines \frac{1}{2}n(n + 1)-dimensionalen komplexen Raumes auf, indem wir die Variablen z_{ij}, 1 ≤ i ≤ j ≤ n irgendwie anordnen. Ist

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℝ),

dann operiert Sp(n, ℝ) auf ℍ_{n} vermöge

Z ↦ M⟨Z⟩ = (AZ + B)(CZ + D)^{−1}.

Das Transformationsverhalten einer Modulform f lässt sich durch

(f|_{k}M)(Z) = f(Z), ∀ M ∈ Γ ⊂ Sp(n, ℤ)

mit

(f|_{k}M)(Z) = χ(M) det(CZ + D)^{−k}f(M⟨Z⟩)

angeben. Hierbei ist k ∈ ℤ eine (halb)ganze Zahl, die als das Gewicht von f bezeichnet wird, χ(M) : Γ → ℂ^{∗} ein Charakter und Γ eine gewisse arithmetisch definierte Untergruppe von Sp(n, ℤ). Zu einer systematischen Untersuchung dieser Modulformen wurde C. F. Siegel durch seinen Hauptsatz motiviert, in dem er Darstellungen

M^{t}SM = T,  M ∈ MAT(m, n, ℤ)

einer quadratischen Form mit Gram-Matrix T durch eine positiv definite quadratische Form mit Gram-Matrix S untersucht. Begründet wird dieses Interesse unter anderem dadurch, dass die Thetareihe zu einer geraden, unimodularen, positiv definiten quadratischen Form mit Gram-Matrix S,

θ_{S}^{n}(Z) = ∑_{M∈MAT(2m,n,ℤ)}e^{π𝔦tr(M^{t}SMZ)}, Z ∈ ℍ_{n},  (1)

eine Siegelsche Modulform vom Gewicht m zur Modulgruppe Sp(n, ℤ) ist. Ist S eine Gram-Matrix einer geraden, positiv definiten quadratischen Form und N die kleinste, ganze, positive Zahl, so dass NS^{−1} wieder gerade ist, dann ist die in 1 definierte Thetareihe θ_{S}^{n}(Z) eine Siegelsche Modulform zur Untergruppe

Γ_{0}^{(n)}(N) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℤ)| C ≡ 0_{n}(mod N)\}

mit Charakter. In [62] zeigt C. F. Siegel, dass es für die volle Modulgruppe Sp(n, ℤ) keine nichttriviale Siegelsche Modulform vom Gewicht k < 0 gibt, und dass der Raum M_{n}^{k}(Sp(n, ℤ)), den die Mengen der Siegelschen Modulformen zur vollen Modulgruppe Sp(n, ℤ) von vorgegebenem Gewicht k bilden, endlichdimensional ist. Er zeigt auch, dass jeweils

\frac{n(n + 1)}{2} + 2

Siegelsche Modulformen einer algebraischen Gleichung genügen. Die entsprechenden Endlichkeitsaussagen für die Räume M_{n}^{k}(Γ) der Siegelschen Modulformen vom Gewicht k für Untergruppen Γ ⊂ Sp(n, ℤ) von endlichem Index lassen sich leicht auf die Aussage für Sp(n, ℤ) zurückführen. Die Räume M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) werden, wie E. Freitag in [23] gezeigt hat, von Thetareihen aufgespannt, falls man Räume von Gewicht k betrachtet, die kleiner als \frac{1}{2}n sind. S. Böcherer zeigt dies in [4] für den Fall: k > 2n, mit 4|k. Der Fall 2k = n wurde von A. N. Andrianov [1] bearbeitet und S. Böcherer und R. Schulze-Pillot haben gezeigt, dass auch die Räume M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) für k ≤ n ≤ 2k unter einigen Zusatzbedingungen durch Thetareihen aufgespannt werden (siehe [6]).

Eine andere Art den Begriff der elliptischen Modulform zu verallgemeinern wurde von H. Braun in den Arbeiten [8], [9], [10] vorgestellt. Ist K ein imaginärquadratischer Zahlkörper mit Ganzheitsring 𝔒_{K}, so operiert die unitäre Gruppe

U(n, ℂ) = \{M ∈ GL(2n, ℂ) | \overline{M}^{t} ( \begin{matrix}0 & −E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{matrix} ) M = ( \begin{matrix}0 & −E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{matrix} )\}

auf dem Hermiteschen Halbraum

ℍ_{n}(ℂ) = \{Z ∈ MAT(n, ℂ) |\frac{1}{2i} (Z − \overline{Z}^{t}) ist positiv definit \}

vermöge

Z ↦ M · Z = (AZ + B)(CZ + D)^{−1} für M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, ℂ).

Hermitesche Modulformen sind nun holomorphe Funktionen auf ℍ_{n}(ℂ) für die

(f|_{k}M)(Z) = det(CZ + D)^{−k}f(M · Z), ∀M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, 𝔒_{K})

gilt. Hierbei ist k ∈ ℤ eine ganze Zahl, die wir das Gewicht der Hermiteschen Modulform f nennen. Die Menge aller Hermiteschen Modulformen mit fest vorgegebenem Gewicht k bildet wieder einen endlichdimensionalen Vektorraum.

Aufgrund des Transformationsverhaltens einer Siegelschen Modulform gilt für alle ganzen (halbganz mit ganzer Diagonale) Matrizen T die Beziehung

f(Z + T) = f(Z).

Somit läßt sich f(Z) in eine Fourierreihe

f(Z) = ∑_{T ganz} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)}

nicht. entwickeln, und es gilt

a_{U^{t}T U} = det(U)^{k}a_{T} ∀U ∈ GL(n, ℤ).

M. Koecher hat in [41] gezeigt, dass es aufgrund des nach ihm benannten Koecherprinzips genügt in der Fourierentwicklung einer Siegelschen Modulform über Klassen ganzer positiv semidefiniter Matrizen zu summieren. Man interessiert sich im Besonderen für Siegelsche Spitzenformen. Dies sind im Fall der vollen Modulgruppe Sp(n, ℤ) Siegelsche Modulformen, deren Träger nur positiv definite Matrizen enthält. Der Träger Supp(f) einer Siegelschen Modulforme f ist hierbei die Menge aller semipositiv definiten Matrizen T aus MAT^{sym}(n, ℤ), für die der Koeffizient a_{T} in der Fourierentwicklung von f ungleich null ist. Für eine Spitzenform f wollen wir das Symbol Supp(f) auch für die Teilmenge aller symmetrischen rationalen Matrizen T benutzen, von denen wir a priori nicht wissen, ob der Fourierkoeffizient a_{T} von f gleich null ist oder nicht. Eine Siegelsche Spitzenform zu einer Untergruppe Γ ⊂ Sp(n, ℤ) ist eine Siegelsche Modulform f zur Untergruppe Γ, für die die Träger aller Fourierentwicklungen von (f|_{k}M)(Z), M ∈ Γ\Sp(n, ℤ) nur positiv definite Matrizen enthalten. Für ein vorgegebenes Gewicht k bilden die Siegelschen Spitzenformen einen Unterraum S_{n}^{k}(Γ) von M_{n}^{k}(Γ).

Auch eine Hermitesche Modulform kann in eine Fourierreihe entwickelt werden. Sätze, die die Aussagen von M. Koecher verallgemeinern wurden in [10], Satz 1 und Satz 2 von H. Braun bewiesen.

Um die Räume S_{n}^{k}(Γ) explizit zu konstruieren, braucht man ein Kriterium, um zu entscheiden, ob zwei vorgelegte Spitzenformen f und g gleich sind, beziehungsweise ob f − g identisch null ist. Die vorgelegte Arbeit beschäftigt sich damit, möglichst effiziente Kriterien hierfür anzugeben, um eine algorithmische Berechnung dieser Räume zu erleichtern beziehungsweise erst zu ermöglichen. Eine Möglichkeit zur Konstruktion von Spitzenformen wird durch die Berechnung von Thetareihen gegeben, so dass wir besonderen Wert auf die Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(N) legen.

Als Verschwindungssätze wollen wir im Folgenden Sätze bezeichnen, die Teilmengen X des Trägers einer Fourierentwicklung einer Spitzenform beschreiben, für die aus der Forderung

a_{T} = 0 für alle Elemente T ∈ X

folgt, dass f identisch Null ist. C. F. Siegel hat bereits in [62] einen Verschwindungssatz angegeben. In Abhängigkeit vom Grad und Gewicht einer Spitzenform f gibt er dort eine Schranke für den größten gemeinsamen Teiler aller rdimensionalen Unterdeterminanten von Klassen von Matrizen T an (r bezeichne hierbei den Rang von T), für die nachzuweisen ist, dass die Fourierkoeffizienten a_{T} gleich Null sind (siehe [62], (63)). Von besonderem Interesse sind Verschwindungssätze, die für eine Fourierentwicklung einer Spitzenform f und für eine bestimmte diskrete Funktion

λ : Supp(f) ⟶ ℝ

eine Schranke c liefern, so dass das Verschwinden von f äquivalent mit dem Verschwinden aller Fourierkoeffizienten a_{T}, T ∈ Supp(f) ist, für die λ(T) < c gilt. Ein Satz, der eine solche Aussage für die Spur von Klassen von positiv definiten Matrizen macht und ebenfalls von C. F. Siegel stammt, wurde 1951 mit dem Einverständnis von C. F. Siegel in einer Arbeit von H. Maaß veröffentlicht (Siehe [43], Satz 7). Dieser Satz erlaubt es zu entscheiden, ob eine Spitzenform identisch Null ist, indem man nur endlich viele Fourierkoeffizienten berechnet. M. Eichler nutzte 1975 in [21], [22] die Hermitefunktion

m(T) = min_{x∈ℤ^{n}−{0}}x^{t}T x,

um hierfür einen Verschwindungssatz anzugeben. Die n-te Wurzel der Determinante einer positiv definiten quadratischen Form ist eine andere Funktion, die auch zur Angabe eines Verschwindungssatzes dient, bei dessen Anwendung es ebenfalls genügt nur endlich viele Fourierkoeffizienten einer Spitzenform zu berechnen, um zu entscheiden, ob diese identisch Null ist oder nicht. Da ganze, positiv definite quadratische Formen meist nach der Größe der Determinante aufgelistet werden, ist diese Funktion für explizite Rechnungen einfach zu nutzen. Jedoch sind die Schranken, die man für diesen Verschwindungssatz kennt, groß, so dass sehr viele Fourierkoeffizienten einer Spitzenform f berechnet werden müssen, um das Verschwinden von f nachzuweisen. Nutzt man die Hermitefunktion, so erhält man im entsprechenden Verschwindungssatz zwar eine endliche Schranke, muss aber unter Umständen unendlich viele Fourierkoeffizienten berechnen, um zu zeigen, dass eine vorgelegte Spitzenform identisch Null ist. Dies liegt daran, dass es zu einer genügend großen Schranke const unendlich viele ganze, positiv definite quadratischen Formen gibt, deren Minimum kleiner als const ist. Da die Spur keine GL(n, ℤ)-Klassenfunktion ist, also der Wert der Spur nicht nur an der GL(n, ℤ)-Klasse ({UT U^{t} | U ∈ GL(n, ℤ)} ist die GL(n, ℤ)-Klasse von T) ihres Argumentes hängt, das Verschwinden eines Fourierkoeffizienten aber nur von der GL(n, ℤ)-Klasse von T abhängt, müssen beim Siegelschen Verschwindungssatz auch unnötig viele Fourierkoeffizienten berechnet werden. C. Poor und D. S. Yuen haben im Jahr 2000 einen neuen Verschwindungssatz veröffentlicht, der auf dem Begriff der dyadischen Spur beruht. Die dyadische Spur ist eine GL(n, ℤ)-Klassenfunktion. Sie liefert für explizite Rechnungen einen Verschwindungssatz, bei dem im Vergleich zu den oben beschriebenen Verschwindungssätzen am wenigsten Fourierkoeffizienten berechnet werden müssen. Der Verschwindungssatz von C. Poor und D. S. Yuen soll in der vorliegenden Arbeit verallgemeinert werden. Kapitel 2 und 3 beschäftigen sich dabei mit Verallgemeinerungen auf Spitzenformen zu den Untergruppen Γ^{(n)}(N) und Γ_{0}^{(n)}(N) von Sp(n, ℤ). Im abschließenden Kapitel 4 wird ein Verschwindungssatz für Hermitesche Modulformen bewiesen, der auf einer Verallgemeinerung des Begriffs der dyadischen Spur auf imaginärquadratische Zahlkörper basiert. Verschwindungssätze, die mit der Spur arbeiten, wurden von H. Braun bereits in [10], Satz 4 und Satz 5 angegeben.

Im ersten Kapitel werden allgemeine Tatsachen über Hermitesche und Siegelsche Modulformen zusammengetragen, insofern sie für die folgenden Kapitel von Relevanz sind. Darüber hinaus werden hier im Abschnitt 1 wesentliche Eigenschaften der dyadischen Spur angesprochen. Im Abschnitt 4 wird auf die Frickeinvolution und die sich daraus ergebenden Folgerungen für Fourierentwicklungen von Modulformen zu Γ_{0}^{(n)}(N) eingegangen. Insbesondere wird hierbei besonderer Wert auf eine explizite Darstellung der Träger dieser Fourierentwicklungen und explizite Zusammenhänge von Fourierkoeffizienten in einigen speziellen Spitzen gelegt. Die Darstellung der Ergebnisse ist hier so gewählt, wie sie in einem späteren Abschnitt zur Verbesserung von Schranken für diese Spitzen benötigt wird.

In Kapitel 2 wird ein Verschwindungssatz für die Kongruenzuntergruppen Γ_{0}^{(n)}(N), 4 ∤ N vorgestellt. Um den Satz herzuleiten muss zunächst die Struktur von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) und Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) untersucht werden. Hierbei bezeichnet Δ(n, ℤ) den Durchschnitt der Siegelschen maximalen parabolischen Untergruppe von Sp(n, ℚ) mit Sp(n, ℤ), also die Menge der Matrizen aus Sp(n, ℤ), deren Einträge im unteren linken n×n–Block alle gleich Null und sonst beliebige Elemente aus ℤ sind. Da für eine Kongruenzuntergruppe Γ die Doppelnebenklassen aus Γ\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) eine wesentliche Rolle für das Behandeln von Verschwindungssätzen für Spitzenformen zu Γ spielen und da diese Doppelnebenklassen in Bijektion zu den nicht äquivalenten 0–dimensionalen Spitzen von Γ stehen, bezeichnen wir sie als Spitzenklassen von Γ. Für den Begriff der Spitze sei der Leser noch auf die 1956 erschienene Arbeit ’On the Compactification of the Siegel space’ ([55]) verwiesen, in der I. Satake den Quotientenraum Γ\ℍ_{n} so kompaktifiziert, dass ein Hausdorffraum entsteht. Wir werden vollständige Repräsentanten der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) angeben und erhalten somit an dieser Stelle auch explizite Formeln für die Anzahl der 0–dimensionalen Spitzen von Γ_{0}^{(n)}(N). Ist 𝔒_{K} der Ganzheitsring eines Zahlkörpers K und 𝔑 ein Ideal in 𝔒_{k}, dann lässt sich durch die hier vorgestellten Mittel auch die Struktur von Γ_{0}^{(n)}(𝔑)\Sp(n, 𝔒_{k}) aufklären. Im rationalen Fall werden für die Untersuchung der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) die Klassifikation von quadratischen Formen über dem Körper der p-adischen Zahlen ℚ_{p}, p ≠ 2 unter ℤ_{p}-äquivalenz, also Äquivalenz bezüglich padischen ganzen Zahlen, sowie der Elementarteilersatz benötigt. Man kann also für eine Untersuchung von Γ_{0}^{(n)}(𝔑)\Sp(n, 𝔒_{k})/Δ(n, 𝔒_{K}) mit den in dieser Arbeit formulierten Beweisen nur ein Ergebnis für Zahlkörper mit Klassenzahl 1 erhoffen. Ob eine Verallgemeinerung auf Zahlkörper mit Klassenzahl ≥ 1 möglich ist, ist hierbei noch offen. Die notwendigen Modifikationen durchzuführen wird aber mühsam sein. In Abschnitt 3 des Kapitels wird dann ein Verschwindungssatz für Spitzenformen zu den Kongruenzgruppen Γ_{0}^{(n)}(N) formuliert. Die hier angegebenen Schranken hängen von den Weiten der Spitzen ab, in denen man eine Fourierentwicklung betrachtet. Für explizite Rechnungen ergeben sich hierdurch erhebliche Unterschiede für die Anzahl der benötigten Fourierkoeffizienten, um das Verschwinden einer Spitzenform nachzuweisen. Im Abschnitt 5 des Kapitels wird dieses Problem aufgegriffen, und mit Hilfe der Frickeinvolution gelingt es für einige spezielle Spitzen verbesserte Schranken herzuleiten. Hierbei wird die in Abschnitt 1.4 dargestellte Theorie benutzt. Schließlich wird noch auf die Dimensionen von Räumen von Spitzenformen eingegangen, wobei wir besonderen Wert auf kleine Gewichte legen. Zunächst stellen wir hierbei für Formen vom Gewicht 2 und Grad 2 untere Abschätzungen vor, wie sie 1991 von S. Böcherer und R. Schulze-Pillot in [6] angegeben wurden.

In Kapitel 3 wird ein Verschwindungssatz zu den Kongruenzuntergruppen Γ^{(n)}(N), den Kernen der natürlichen Homomorphismen

Sp(n, ℤ) → Sp(n, ℤ/Nℤ), N ∈ ℕ

vorgestellt. Dieser Fall ist im Vergleich zum Fall der Spitzenformen zur Γ_{0}^{(n)}(N) viel leichter zu handhaben. Dies beruht ursächlich darauf, dass Γ^{(n)}(N) eine normale Untergruppe von Sp(n, ℤ) ist, Γ_{0}^{(n)}(N) aber nicht. Die erhaltenen Schranken im Fall Γ^{(n)}(N) sind unabhängig von der Spitze, in der eine vorgegebene Spitzenform entwickelt wird. Zum Abschluss werden einige Beispiele dieser Schranken aufgelistet und daraus obere Abschätzungen von Dimensionen für Räume von Spitzenformen mit kleinem Gewicht angegeben. Für einige kleine Stufen kann damit nachgewiesen werden, dass es für kleines Gewicht keine Spitzenformen gibt.

Im letzten Kapitel wird ein Verschwindungssatz für Hermitesche Formen hergeleitet. In den ersten beiden Abschnitten werden dazu zunächst einige Tatsachen aus der Reduktionstheorie für Hermitesche Formen und Grundlegendes zur Hermite-Humbert Konstante zusammengestellt. Diese werden benötigt, um den Begriff der dyadischen Spur auch für Hermitesche Formen zu definieren und wesentliche Eigenschaften dieser herzuleiten. Nachdem dies im dritten Abschnitt des Kapitels durchgeführt ist, werden anschliessend die zum Formulieren des Verschwindungssatzes notwendigen Ergebnisse für den Hermiteschen Fall bewiesen. Der Verschwindungssatz wird im letzten Abschnitt vorgestellt. Da eine explizite Abschätzung für die Hermite-Humbert Konstante für imaginärquadratische Zahlkörper nicht bekannt ist, wird die Spur durch die Determinante abgeschätzt und abschließend wird in einem Beispiel die Schranke des Verschwindungssatzes explizit ausgerechnet. Diese Abschätzung führt jedoch zu einer Schranke, die bei expliziten Rechnungen für den Nachweis des Verschwindens von Spitzenformen bereits zu groß ist.

Danksagung An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. R. Schulze-Pillot danken, der mich zur Beschäftigung mit diesem Thema angeregt hat, und das Entstehen dieser Arbeit stets mit fachlichem Rat und vielen hilfreiche Kommentaren unterstützt hat. Mein Dank gilt auch den Herren Prof. Dr. C. Poor und Prof. Dr. D. S. Yuen für das Versorgen mit Preprints und Hinweisen, insbesondere für die Konstante π/6 aus (2.54) beziehungsweise Proposition 2.61. Herrn Prof. Dr. R. Schmidt danke ich für wertvolle Diskussionen und viele Verbesserungs- und Korrekturvorschläge. Desweiteren möchte ich all denen meinen Dank aussprechen, die direkt oder indirekt an der Fertigstellung der Arbeit beteiligt waren. Insbesondere auch all denen, die das Entstehen dieser Arbeit durch die Vergabe eines Stipendiums nach dem Landesgraduiertenförderungsgesetz unterstützt haben.

Allgemeine Notationen

Nun wollen wir noch einige Notationen bereitstellen. Mit ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, und ℂ seien die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, beziehungsweise komplexen Zahlen bezeichnet. Für die Menge der positiven reellen Zahlen benutzen wir das Zeichen ℝ_{>0}, sowie das Zeichen ℝ_{≥0} für ℝ_{>0} ∪ {0}. Das Vorzeichen einer reellen Zahl r wird durch sgn(r) symbolisiert. Die komplexe Einheit \sqrt{−1} bezeichnen wir mit 𝔦. Mit ℤ/nℤ kürzen wir den Restklassenring von ℤ modulo nℤ und mit ℤ_{[n]} die Teilmenge {0, …, n−1} von ℤ ab. Für einen Ring R sei R^{∗} die Menge der Einheiten von R. Im Allgemeinen bezeichnen wir Matrizenringe oder Teilmengen solcher mit Großbuchstaben. Eine Ausnahme hiervon bildet

- Sp(n, R) die Gruppe der symplektischen Matrizen über R.

Für einen Ring R sind somit zum Beispiel:

- MAT(m, n, R) die Menge der m × n Matrizen,

- MAT(n, R) die Menge der n × n Matrizen über R,

- GL(n, R) die Menge der über R invertierbaren Matrizen aus MAT(n, R),

- SL(n, R) die Menge der Matrizen aus GL(n, R), deren Determinante Eins ist,

- MAT^{sym}(n, R) die Menge der symmetrischen Matrizen,

- MAT^{△}(n, R) die Menge der oberen Dreiecksmatrizen,

- MAT_{△}(n, R) die Menge der unteren Dreiecksmatrizen,

- Δ(n, R) die Menge \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, R) | C = 0_{n}\}, die Siegel maximal

parabolische Untergruppe von Sp(n, R),

- HER(n, R) die Menge der Hermiteschen Matrizen über R.

Ist S eine Teilmenge von R, so bezeichnet MENGE(n, S) die Menge von Matrizen MENGE(n, R) ∩ MAT(n, S), wobei MAT(n, S) die Menge von Matrizen mit Einträgen aus S ist. Hierbei betrachten wir ’MENGE’ lediglich als Platzhalter für eine der oben aufgelisteten Matrixgruppen. Wir benutzen die Symbole E_{n} beziehungsweise E für die n × n–Einheitsmatrix sowie 0_{n} beziehungsweise 0 für die n × n Matrix deren Einträge alle Null sind. Des weiteren wird für M_{i} ∈ MAT(n_{i}, R) mit Diag(M_{1}, …, M_{j}) eine verallgemeinerte Diagonalmatrix beschrieben, deren Diagonalelemente aus den Matrizen M_{i} bestehen. Für eine Matrix A ∈ MAT(n, R) bezeichne a_{ij} den ij-ten Eintrag von A. Einträge einer Matrix, die im Kontext in dem sie benutzt werden unwichtig sind, werden wir gelegentlich mit ⋆ bezeichnen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden Matrixeinträge, die aus Nullen bestehen, häufig einfach weggelassen. Weiterhin sei A^{t} die Transponierte und A^{−1} die Inverse von A. Falls R ⊂ ℂ und \overline{·} die komplexe Konjugation bezeichnet, so bezeichne \overline{A} die komplex-konjugierte von A, also die Matrix (\overline{a_{ij}})_{i,j∈\{1,...,n\}}. Das Zeichen □ wird unter anderem dazu benutzt, das Ende von Sätzen, Propositionen, Lemmata und Korollaren, seien sie mit oder ohne Beweise aufgeführt, anzuzeigen. Das Zeichen wir aber auch verwendet, um das Ende von Beispielen und Bemerkungen zu kennzeichnen.

Weitere Notationen sind im Text erklärt. Im Symbolverzeichnis auf Seite xiii, ff. finden sich für die wichtigsten Symbole Hinweise auf die entsprechenden Textstellen.

Symbolverzeichnis

ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ  xi
𝔦  xi
ℤ_{[n]}  xi
Δ(n, R)  xi
MAT(m, n, R)  xi
MAT(n, R)  xi
GL(n, R)  xi
SL(n, R)  xi
MAT^{sym}(n, R)  xi
MAT^{△}(n, R)  xi
MAT_{△}(n, R)  xi
Δ(n, R)  xi
E, E_{n}  xi
0, 0_{n}  xi
Diag(M_{1}, …, M_{j})  xi
ℍ_{n}  1
Sp(n, ℝ)  1
M⟨Z⟩  1
F(n, Sp(n, ℤ))  2
Γ^{(n)}(N)  2
Γ_{0}^{(n)}(N)  2
Γ_{0}^{(n)}(𝔑)  3
F(n, Γ)  3
(f|_{k}M)  4
M_{n}^{k}(Γ, χ)  5
Supp(f)  6
Φ  6
S_{n}^{k}(Γ, χ)  7
κ_{n}  7
m(T)  8
C_{n}^{∗}  8
rad(T)  8
ω_{n}  9
𝔴_{n}  9
P_{n}(R)  11
P_{n}^{semi}(R)  11
\overline{ℍ_{n}/Sp(n, ℤ)}  12
≃  13

𝔒_{K}  13
HP_{n}(K)  13
HP_{n}^{semi}(K)  14
HP_{n}(ℂ)  14
HP_{n}^{semi}(ℂ)  14
| · |  14
U(n, R)  14
SU(n, 𝔒_{K})  14
M⟨Z⟩  14
ℍ_{n}(ℂ)  14
F(n, 𝔒_{K})  14
Δ_{n}(R)  15
SΔ_{n}(R)  15
Δ_{n}(𝔒_{K})[𝔞]  15
SΔ_{n}(𝔒_{K})[𝔞]  15
M_{n}^{k}(Γ, χ)  16
(HER(n, 𝔒_{K}))^{#}  17
Φ  17
S_{n}^{k}(Γ, χ)  17
θ_{Λ}^{n}  18
θ_{S}^{n}(Z)  18
(\frac{·}{·})  18
θ_{S,P}^{n} (Z)  19
w_{N}^{Fr}  20
w_{N}^{fr}  20
w_{n,N}^{fr}  21
w_{n,N}^{Fr}  21
W_{Sp}  27
B  27
N_{p}  27
W_{GL}  28
W  28
N_{p}^{w}  28
N^{w}  28
N  28
D^{(n)}  29
W^{(n)}  29
w(I)  29
G(I)  32
Ũ(I)  32

e_{I}  32
rg(I)  32
t_{I}  32
R_{p}^{(n)}(i)  33
r_{p}^{(n)}(i)  33
\binom{n}{k}_{q}  34
U(I)  35
G(I)  39
U(I)  39
H(I)  39
O(I)  39
N(I)  39
R_{p^{ν}}^{(n)}(i)  42
r_{p^{ν}}^{(n)}(i)  42
s_{I}  42
N_{p^{ν}}(I)  47
R_{N}^{(n)}(\underline{i})  47
r_{N}^{(n)}(\underline{i})  48
P  51
φ  52
M_{p^{ν}}  53
∼_{1}  53
S_{p^{ν}}^{(1)}(1; (v))  54
S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v}))  54
t_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v}))  56
\overline{Γ}  56
AUT(ℍ)  56
\overline{Γ}_{q}  57
Γ_{q}  57
s_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v}))  57
S_{p^{ν}}^{(n)}(n; (∞))  58
Q_{i}  59
ˆ∗  60
ρ  60
M_{p^{ν}}^{(n)}  60
∼_{n}  60
˜∗  60
∗^{}˜  60

≈_{n}  65
MR_{p^{ν}}^{(n)}  65
E_{l}^{(n)}(ν)  66
q(v_{1}, …, v_{n−l})  66
s_{p^{ν}}^{(n)} (l; (v_{1}, …, v_{n−l}))  66
ℤ_{[p^{min{vn,ν−v_{1}}}]}^{∗}  70
S_{N}^{(n)}(n, (∞))  72
s_{N}^{(n)}(l, (0))  72
s_{N}^{(n)}(n, (∞))  72
s_{N}^{(n)}(l, (0))  72
S_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v})  72
s_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v})  72
ggt(a, c)  77
t_{N}^{(n)}(l; (a_{1}p^{j_{1}}, …, a_{n−l}p^{j_{n−l}}))  78
F  78
F_{1}  79
F_{2}  79
\overline{t}_{p^{ν}}^{(0)}(2; (a, b))  82
H^{(ν)}  82
(\frac{·}{·})  82
t_{p^{ν}}^{(2)}(2, (0))  84
H^{(ν,i)}  86
ω_{n}  88
𝔴_{n}  88
𝔴_{n}  89
t_{N}^{(n)}(j)  89
Ñ_{i}  91
𝔡_{n}  91
m(Z)  91
μ_{n}  91
t_{N}^{(1)}(M)  95
Λ^{#}  99
Norm(v)  99
γ_{T} (w)  99
θ_{w}(Z)  99
RG_{ω_{n}}^{(n)}(const)  104
RG_{tr}^{(n)}(const)  104
c_{1}  114

c_{2}  114
S_{1}^{2,∗}(Γ_{0}^{(1)}(p))  116
S_{1}^{2,+}(Γ_{0}^{(1)}(p))  116
S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p))  117
d_{p}^{+}  117
d_{p}^{−}  117
g(X_{0}^{+}(p))  118
X_{0}^{+}(p)  118
δ_{N}  118
h(−4N)  118
g(X_{0}(N))  118
c̃_{n}^{k}(N, j)  119
c_{n}^{k}(N, j)  119
d_{n}^{k}(N, j)  120
RG_{SL}  121
RG_{GL}  122
s(Γ_{0}^{(n)}(N))  125
t (Γ^{(n)}(N))  126
d_{2}^{k}(N)  129
d̃_{2}^{k}(N)  129
D_{2}^{k}(2)  130
d_{3}^{k}(N)  130
d̃_{3}^{k}(N)  130
d_{4}^{k}(N)  131
d̃_{4}^{k}(N)  131
M(K, α, n)  134
m′_{n,K}(S)  134
γ_{n,K}(S)  135
γ_{n,K}  135
S_{ℝ}  135
V(n)  136
QF_{ℝ}(K, 2n)  137
γ_{2n}^{(K)}  137
γ_{2n}(S_{ℝ})  137
rad(S)  138
C_{n}^{∗}(𝔒_{K})  138
ω_{K}  141
ϕ̂(S)  142
m̂_{n,K}(S)  143

\begin{matrix}MinVec(Y) & 144 \\ L^{⊔} & 147 \\ L_{K} & 147 \\ C^{∨} & 147 \\ ν(f) & 147 \\ ϕ_{f}(Z) & 150 \\ 𝔴_{K,n} & 155 \end{matrix}

xviii

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkungen i

Allgemeine Notationen xi

Symbolverzeichnis xiii

1 Einführung 1 1.1 Allgemeine Tatsachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Hermitesche Modulformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Thetareihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Frickeinvolutionen und Fourierentwicklungen . . . . . . . . . . . . 19

2 Der Fall der Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(N) 27 2.1 Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) im eindimensionalen Fall … 52 2.2.2 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) im höherdimensionalen Fall . . 58 2.2.3 Starke Approximation von Spitzenklassen . . . . . . . . . 74 2.2.4 Die Weiten von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) . . . . . . . . . 78

2.3 Schranken im Fall der Modulgruppen Γ_{0}^{(n)}(N) . . . . . . . . . . . 88 2.4 Vergleich der Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.5 Verbesserungen einiger Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.6 Die Dimension von S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.6.1 Untere Abschätzungen der Dimensionen . . . . . . . . . . 116 2.6.2 Obere Abschätzungen der Dimensionen . . . . . . . . . . . 119

3 Der Fall der Untergruppen Γ^{(n)}(N) 125

4 Der Hermitesche Fall 133 4.1 Reduktionstheorie für Hermitesche Formen . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Die Hermite-Humbert Konstante für Hermitesche Zahlkörper … 134 4.3 Die dyadische Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.4 Der Halbhüllensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.5 Anwendungen des Halbhüllensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Anhang 159

Literaturverzeichnis 164

Index 169

Kapitel 1

Einführung

1.1 Allgemeine Tatsachen

Zerlegen wir eine komplexwertige Matrix Z ∈ MAT^{sym}(n, ℂ) in ihren Real- und Imaginärteil X und Y, also Z = X + 𝔦Y mit X, Y ∈ MAT(n, ℝ), so lässt sich in MAT^{sym}(n, ℂ) der Siegelsche Halbraum durch

ℍ_{n} = {Z ∈ MAT^{sym}(n, ℂ) | Y > 0_{n}}

definieren. Dabei schreiben wir kurz Y > 0_{n}, um auszudrücken, dass Y positiv definit ist. Der Siegelsche Halbraum ist eine Verallgemeinerung der oberen Halbebene

ℍ_{1} = {c ∈ ℂ | Im(c) > 0}.

Auf ℍ_{n} operiert die reelle symplektische Gruppe

Sp(n, ℝ) = \{M ∈ GL(2n, ℝ) |M^{t} ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} ) M = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} )\}

durch

Z ↦ M⟨Z⟩ = (AZ + B)(CZ + D)^{−1} für M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) .

Die Untergruppe Sp(n, ℤ), die wir Siegelsche Modulgruppe nennen, operiert dabei eigentlich diskontinuierlich. Das heißt dass für zwei Kompakta K_{1}, K_{2} von ℍ_{n} die Menge

{M ∈ Sp(n, ℤ)| M⟨K_{1}⟩ ∩ K_{2} ≠ ∅}

endlich ist. Die Siegelsche Modulgruppe wird von den Matrizen

( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} ) und \binom{E_{n} S}{E_{n}} mit S ∈ MAT^{sym}(n, ℤ)

KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

erzeugt. Im Fall n = 1 ist die Siegelsche Modulgruppe gerade die spezielle lineare Gruppe SL(2, ℤ). Auch ist die Operation der reellen symplektischen Gruppe auf dem Siegelschen Halbraum im Fall n = 1 gerade die Operation von SL(2, ℝ) auf der oberen Halbebene ℍ_{1}. Eine Matrix

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ GL(2n, ℝ)

ist genau dann symplektisch, falls

A^{t}C = C^{t}A, B^{t}D = D^{t}B und A^{t}D − C^{t}B = E

gilt. Das Inverse einer symplektischen Matrix M ist

M^{−1} = ( \begin{matrix}D^{t} & −B^{t} \\ −C^{t} & A^{t} \end{matrix} ) .

Ein Fundamentalbereich F(n, Sp(n, ℤ)) für die Operation von Sp(n, ℤ) auf ℍ_{n} wurde von C. F. Siegel in [62] wie folgt angegeben:

F(n, Sp(n, ℤ)) = \{Z = X + 𝔦Y ∈ ℍ_{n} | Y ist Minkowski-reduziert, |x_{jk}| ≤ \frac{1}{2} und ∀M ∈ Sp(n, ℤ) ist | det(CZ + D)| ≥ 1 \} .

Für den Fall n = 2 hat E. Gottschling in [25] gezeigt, dass der Fundamentalbereich F(2, Sp(2, ℤ)) durch 28 reell 5-dimensionale Randflächen begrenzt wird. Definierende Relationen wurden danach für n > 2 von H. Klingen in [36] angegeben. Wir sind an Untergruppen der Siegelschen Modulgruppe interessiert. Für eine natürliche Zahl N ∈ ℕ wird der Kern des natürlichen Homomorphismus

Sp(n, ℤ) ⟶ Sp(n, ℤ/Nℤ)

Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N genannt. Er ist ein Normalteiler von endlichem Index in Sp(n, ℤ) und wird mit Γ^{(n)}(N) bezeichnet. Es gilt

Γ^{(n)}(N) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℤ) |( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ≡ E_{2n} (mod N)\} .

Allgemeiner bezeichnen wir jede Untergruppe, die eine Hauptkongruenzuntergruppe enthält als Kongruenzuntergruppe. J. Mennicke hat in [45] gezeigt, dass für n ≥ 2 jede Gruppe von endlichem Index eine Hauptkongruenzuntergruppe enthält. Im Fall n = 1 kennt man Gruppen von endlichem Index, die keine Kongruenzuntergruppen sind. Wir interessieren uns hier insbesondere für die Untergruppen

Γ_{0}^{(n)}(N) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℤ)| C ≡ 0_{n}(mod N)\} .

1.1. ALLGEMEINE TATSACHEN

Diese haben endlichen Index, genauer gilt, wie H. Klingen in [35] zeigt:

[Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)] = N^{\frac{n(n+1)}{2}} ∏_{{p|N \atop pPrim}} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) .  (1.1)

Bemerkung 1.1 Sei 𝔒_{K} der Ganzheitsring von K und 𝔑 ein ganzes Ideal in 𝔒_{K}. Betrachten wir die symplektische Gruppe Sp(n, K) über einem Zahlkörper K, also die multiplikative Gruppe aller 2n×2n-Matrizen M, die die Gleichung

M^{t}J_{n}M = J_{n}, mit J_{n} = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} )

erfüllen, so haben die Kongruenzuntergruppen

Γ_{0}^{(n)}(𝔑) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, 𝔒_{K})| C ≡ 0_{n}(mod 𝔑)\}

auch endlichen Index in Sp(n, 𝔒_{K}). Formel (1.1) gilt, wie ebenfalls in [35] gezeigt wird, auch in diesem Fall. Dabei setzt man in (1.1) anstelle von ℤ den Ganzheitsring 𝔒_{K} von K, und anstatt N das ganze Ideal 𝔑 ein. Auf der rechten Seite der Formel stehen anstelle ganzer Zahlen die Normen von Idealen. Das erste Produkt läuft dabei über alle Primideale, die 𝔑 teilen.

□

Ist N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} die Primfaktorzerlegung von N, so beweist M. Kneser in [39], Satz

2 einen starken Approximationssatz für die symplektische Gruppe. Hieraus folgt:

Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) ≅ ∏_{i=1}^{t} Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}})\Sp(n, ℤ).  (1.2)

Diese erlaubt es uns, dass wir uns in vielen Situationen auf die Annahme beschränken können, dass N eine Primzahlpotenz ist. Ist Γ ⊂ Sp(n, ℤ) eine Untergruppe von endlichem Index I und M_{1}, …, M_{I} ein Repräsentantensystem von Γ\Sp(n, ℤ), so ist

F(n, Γ) = ⋃_{i=1}^{I} M_{i}⟨F(n, Sp(n, ℤ))⟩

ein Fundamentalbereich für die Operation von Γ auf ℍ_{n}. Dabei soll das Vertretersystem von Γ\Sp(n, ℤ) nicht notwendig so gewählt sein, dass F(n, Γ) zusammenhängend ist. Wir nennen einen Homomorphismus χ von Γ in die Gruppe der Einheitswurzeln Kongruenzcharakter von Γ oder einfach nur Charakter von Γ, wenn er trivial auf einer Hauptkongruenzuntergruppe Γ^{(n)}(N) mit Γ^{(n)}(N) ⊂ Γ ist.

Definition 1.2 Eine Siegelsche Modulform n-ten Grades vom Gewicht k ∈ ℤ mit Charakter χ : Γ → ℂ^{∗} zur Kongruenzuntergruppe Γ ist eine Funktion f : ℍ_{n} → ℂ, für die gilt:

i) f ist holomorph,

ii) das Transformationsverhalten von f wird für alle M ∈ Γ durch

det(CZ + D)^{−k}f(M⟨Z⟩) = χ(M)f(Z), M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )

beschrieben,

iii) ist n = 1, so ist (CZ+D)^{−k}f(M⟨Z⟩) für alle M ∈ SL(2, ℤ) in ’Umgebungen von i∞’ beschränkt.

□

Mit dem Begriff der ’Umgebungen von i∞’ bezeichnen wir jede offene Teilmenge U von ℍ_{1}, für die bei festem ϵ ∈ ℝ_{>0} für alle u ∈ U gilt: Im(u) > ϵ > 0. Eine für n > 1 zu iii) analoge Bedingung, nämlich

f(M⟨Z⟩) det(CZ +D)^{−k} ist für alle M ∈ Sp(n, ℤ) in jedem Bereich der Art

{Z ∈ ℍ_{n} | Im(Z) − Y ist für eine positiv definite Matrix Y positiv definit}

beschränkt,

ist für die Definition einer Modulform nicht nötig, da sie mit Hilfe des Koecherprinzips ([24], 3.5), bereits aus i) und ii) gefolgert werden kann. Wir führen nun noch folgende Notation ein: Ist f : ℍ_{n} → ℂ eine Funktion auf dem Siegelschen Halbraum und k ∈ ℤ eine ganze Zahl, so sei für M ∈ Sp(n, ℝ)

(f|_{k}M)(Z) = det(CZ + D)^{−k}f(M⟨Z⟩).

Ist f holomorph auf ℍ_{n}, so auch (f|_{k}M)(Z), und für M_{1}, M_{2} ∈ Sp(n, ℝ) gilt:

((f|_{k}M_{1})|_{k}M_{2})(Z) = (f|_{k}M_{1}M_{2})(Z).

Bemerkung 1.3 Im Allgemeinen benutzt man bei der Definition einer Modulform das etwas allgemeinere Transformationsverhalten

∀M ∈ Γ gilt: det(CZ + D)^{−k}f(M⟨Z⟩) = ν(M)f(Z).

Hierbei ist k ∈ ℂ, {ν(M) ∈ ℂ^{∗}|M ∈ Γ} ein komplexes Multiplikatorsystem vom Gewicht k. Dabei ist ein Multiplikatorensysteme vom Gewicht k eine Funktion ν : Γ → ℂ^{∗}, für die gilt:

ν(MN) = ν(M)ν(N) für alle N, M ∈ Γ,
ν(−E) = 1, falls − E ∈ Γ.

Für

det(CZ + D)^{−k} = e^{−kLog(det(CZ+D))}

hat man hier für k ∉ ℤ mehrere Zweige, von denen einer passend gewählt sei. Ist n = 1, so gibt es Formen zur vollen Gruppe, die nichtganzes Gewicht und nichttriviale Multiplikatorsysteme haben. Ist dahingegen aber n > 1 so hat U. Christian in [14] gezeigt, dass es zur vollen Modulgruppe nur Multiplikatorsysteme mit ganzem Gewicht gibt. Es folgt daraus, dass dies Charaktere sind. Der einzige nichttriviale Charakter tritt hierbei im Fall n = 2 auf (siehe [37], [44]). Betrachten wir hingegen Untergruppen, so sieht die Situation anders aus: Hier gibt es nichttriviale Multiplikatorsysteme. U. Christian hat in [13], [14] gezeigt, dass diese immer rationales Gewicht haben.

□

Die Menge M_{n}^{k}(Γ, χ) aller Modulformen n-ten Grades vom Gewicht k mit Charakter χ zur Kongruenzuntergruppe Γ bildet einen endlichdimensionalen Vektorraum. Für jede Modulform f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) und für jede Matrix M ∈ Sp(n, ℤ) existiert eine Fourierentwicklung,

(f|_{k}M)(Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n,ℚ), \atop T ≥0}} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)},

von der wir aufgrund des Koecherprinzips wissen, dass der Fourierkoeffizient a_{T} nur dann nicht Null ist, falls T positiv semidefinit ist. Bezeichnen wir mit S die Menge aller Matrizen, unter denen eine gegebene Modulform f|_{k}M translationsinvariant ist,

S = {ζ ∈ MAT(n, ℝ)|f(Z + ζ) = f(Z)},

dann wird in der Fourierentwicklung von f|_{k}M über die Menge

S^{∧} = {T ∈ MAT^{sym}(n, ℚ)| T ≥ 0, tr(T ζ) ∈ ℤ ∀ζ ∈ S}  (1.3)

summiert. Ist speziell Γ = Γ_{0}^{(n)}(N), so genügt es für f|_{k}E_{n} über alle positiv semidefiniten Matrizen aus MAT^{sym}(n, \frac{1}{2}ℤ) mit ganzzahligen Diagonaleinträgen zu summieren. Für den Träger Supp(f) von f

Supp(f|_{k}M) = {T ∈ MAT^{sym}(n, ℚ)| T ≥ 0, a_{T} ≠ 0}

gilt:

Supp(f) ⊂ \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2}Z) |T ≥ 0, T hat ganze Diagonaleinträge \} . (1.4)

Beachte zum Begriff des Trägers auch noch die Ausführungen nach Formel(1.5). Ein Fourierkoeffizient a_{T} von f hängt für eine Modulform zu Γ_{0}^{(n)}(N) mit trivialem Charakter nur von der GL(n, ℤ)–Klasse von T ab. Es gilt also für alle U ∈ GL(n, ℤ):

a_{T} = a_{U^{t}T U}.

Betrachten wir die Fourierentwicklung von (f|_{k}M)(Z) mit M ∈ Sp(n, ℤ), f ∈ M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ), dann ist für alle M

Supp(f|_{k}M) ⊂ \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ) |T ≥ 0, NT hat ganze Diagonaleinträge \} . (1.5)

In Abschnitt 1.4 wird noch genauer auf die Fourierentwicklung einer Modulform eingegangen. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird der Begriff des Trägers Supp(f|_{k}M) einer Modulform f nicht immer als die Teilmenge aller Elemente T aus MAT^{sym}(n, ℚ) aufgefasst, für die der Koeffizient a_{T} in der Fourierentwicklung von f|_{k}M ungleich Null ist. Da meist eine beliebige Modulformen f zu einer Untergruppe Γ betrachtet wird, und der Träger dieser Modulform nicht explizit angegeben werden kann, werden die beiden Mengen aus (1.4) und (1.5), beziehungsweise die im Verlauf der Arbeit in Abschnitt 1.4 vorgestellte Teilmenge hiervon, in denen Supp(f|_{k}M) enthalten ist, auch selbst als Träger Supp(f|_{k}M) von f bezeichnt. Um Verwechselungen vorzubeugen, verwenden wir hierfür auch den Begriff potenzieller Träger. Sei f : ℍ_{n} → ℂ eine Funktion, so dass

lim_{t→∞} f ( \begin{matrix}Z \\ & 𝔦t \end{matrix} ) , Z ∈ ℍ_{n−1}

existiert. Dann ist

(f|Φ)(Z) = lim_{t→∞} f ( \begin{matrix}Z \\ & 𝔦t \end{matrix} )

eine Funktion auf ℍ_{n−1}. Wir bezeichnen Φ als den Siegelschen Φ–Operator . Er liefert eine Abbildung M_{n}^{k}(Γ, χ) → M_{n−1}^{k}(Γ^{(n−1)}, χ^{(n−1)}) mit

Γ^{(n−1)} = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) |( \begin{matrix}A & & B \\ & 1 & & 0 \\ C & & D \\ & 0 & & 1 \end{matrix} ) ∈ Γ\}

und

χ^{(n−1)} ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = χ ( \begin{matrix}A & & B \\ & 1 & & 0 \\ C & & D \\ & 0 & & 1 \end{matrix} ) .

Eine Form f heißt Spitzenform n-ten Grades vom Gewicht k mit Charakter χ zur Kongruenzuntergruppe Γ falls gilt:

((f|_{k}M)|Φ)(Z) = 0 ∀M ∈ Γ.

Den Unterraum aller Spitzenformen von M_{n}^{k}(Γ, χ) bezeichnen wir mit S_{n}^{k}(Γ, χ). In der Fourierentwicklung einer Spitzenform genügt es über positiv definite Matrizen zu summieren, da die Fourierkoeffizienten a_{T} für nicht positiv definite T alle Null sind. Um zu entscheiden, ob zwei vorgelegte Spitzenformen f_{1}, f_{2} gleich sind, beziehungsweise um die dazu äquivalente Frage zu beantworten, ob f_{1} −f_{2} identisch Null ist, ist es ausreichend, genügend Fourierkoeffizienten einer Entwicklung von f zu betrachten. C. F. Siegel hat für die volle Modulgruppe eine effektive Version dieser Aussage geliefert. Der entsprechende Satz findet sich in einer Arbeit von H. Maaß [43], der ihn dort mit dem Einverständnis von C. F. Siegel veröffentlicht hat.

Satz 1.4 (C. F. Siegel) Ist f ∈ S_{n}^{k} eine Spitzenform (zur vollen Modulgruppe) mit Fourierentwicklung

f(Z) = ∑_{T >0} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)},

dann sind äquivalent:

i) f ≡ 0,

ii) ∀T mit tr(T) ≤ κ_{n} \frac{k}{4π} gilt a_{T} = 0,

iii) ∀T mit tr(T) ≤ nμ_{n}^{n} \frac{k}{2\sqrt{3}π} gilt a_{T} = 0,

iv) ∀T mit ^{n} \sqrt{det(T)} ≤ μ_{n}^{n} \frac{k}{2\sqrt{3}π} gilt a_{T} = 0.

□

Dabei ist

κ_{n} = sup_{Z∈F(n,Sp(n,ℤ))}tr((Im Z)^{−1})

eine endliche Konstante und μ_{n} die Hermitesche Konstante, also die kleinste Konstante, so dass für alle positiv definiten T aus MAT^{sym}(n, ℝ) gilt:

m(T) = min_{x∈ℤ^{n}−\{0\}}x^{t}T x ≤ μ_{n} ^{n} \sqrt{det(T)}.

Die Aussagen i), ii) und iii) des Verschwindungssatzes von Siegel erlauben es einem nun jeweils nur endliche viele Elemente T des Trägers einer Spitzenform f|_{k}E_{n} zu untersuchen, um zu entscheiden, ob f verschwindet oder nich. Für die praktische Anwendung hat dieser Satz jedoch zwei Nachteile:

i) Die Schranken, die man für κ_{n}, n > 1 kennt, sind wahrscheinlich schlecht.

ii) Das Verschwinden von Fourierkoeffizienten von Modulformen zur Γ_{0}^{(n)}(N) mit Charakter hängt nur von der SL(n, ℤ)–Klasse ab, T ∼ UT U^{t}, U ∈ SL(n, ℤ) (SL(n, ℤ)–Äquivalenz). Die Spur ist aber weder SL(n, ℤ)–Klassenfunktion noch eine GL(n, ℤ)–Klassenfunktion (T ∼ UT U^{t}, U ∈ GL(n, ℤ), GL(n, ℤ)–Äquivalenz)

Beide führen dazu, dass bei der Entscheidung, ob eine Spitzenform identisch Null ist, beziehungsweise ob zwei Spitzenformen gleich sind, unnötig viele Fourierkoeffizienten berechnet werden müssen. C. Poor und D. S. Yuen liefern in [52] einen Satz, der beide Nachteile behebt und für praktische Rechnungen bessere Ergebnisse liefert. Um diesen zu formulieren benötigen wir den Begriff der dyadischen Spur.

Definition 1.5 Wir sagen, eine Matrix T ∈ MAT^{sym}(n, ℝ) hat eine dyadische Darstellung, falls es α_{i} ∈ ℝ_{≥0} und v_{i} ∈ ℤ^{n} − {0} gibt, so dass

T = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{t}

ist.

□

Die Menge der positiv semidefiniten Elemente aus MAT^{sym}(n, ℝ), die eine dyadische Darstellung besitzen bezeichnen wir mit C_{n}^{∗}. Es gilt:

C_{n}^{∗} = ℝ_{≥0}⟨vv^{t}⟩_{v∈ℤ^{n}−{0}}.

Die Menge C_{n}^{∗} lässt sich auch durch den Begriff des Radikals

rad(T) = {v ∈ ℝ^{n}| v^{t}T v = 0}

mittels

C_{n}^{∗} = {T ∈ MAT^{sym}(n, ℝ)| T ≥ 0, rad(T) ist über ℚ definiert}

charakterisieren (siehe [52], Proposition3.2).

Definition 1.6 Die Abbildung

ω_{n} : C_{n}^{∗} → ℝ_{≥_{0}}
T ↦ ω_{n}(T) = sup_{T =∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{t}} ∑_{i} α_{i}

heißt dyadische Spur.

□

Die dyadische Spur lässt sich auch als Infimum charakterisieren.

Satz 1.7 Für alle T > 0, T ∈ C_{n}^{∗} gibt es Y_{0} ∈ MAT^{sym}(n, ℝ), Y_{0} > 0, so dass

ω_{n}(T) = \frac{tr(T Y_{0})}{m(Y_{0})} = inf_{{Y >0 \atop Y ∈MAT^{sym}(n,ℝ)}} \frac{tr(T Y)}{m(Y)}

gilt. Darüber hinaus gibt es eine dyadische Darstellung von T in den Minimalvektoren von Y_{0},

T = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{t}, v_{i} ∈ MinVec(Y_{0}) = {x ∈ ℤ^{n}| x^{t}Y_{0}x = m(Y_{0})}.

Beweis: Siehe [52], Theorem 3.9

□

Proposition 1.8 Die dyadische Spur ist eine GL(n, ℤ)-Klassenfunktion. Beweis: Mit T = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{t} ist auch UT U^{t} = ∑_{i} α_{i}(Uv_{i})(Uv_{i})^{t} für alle U ∈ GL(n, ℤ) eine

dyadische Darstellung von UT U^{t}.

□

Mit Hilfe der Konstanten

𝔴_{n} = sup_{Z∈ℍ_{n}} inf_{σ∈Sp(n,ℤ)}ω_{n}(Im(σZ)^{−1}),

die sich durch

𝔴_{n} ≤ \frac{2}{\sqrt{3}}n  (1.6)

abschätzen lässt (siehe [52], p 218), können wir nun den Satz von C. Poor und D. S. Yuen formulieren.

Satz 1.9 (C. Poor, D. S. Yuen) Ist f ∈ S_{n}^{k} eine Spitzenform (zur vollen Modulgruppe) mit Fourierentwicklung

f(Z) = ∑_{T >0} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)},

dann sind äquivalent:

i) f ≡ 0,

ii) ∀T mit ω_{n}(T) ≤ 𝔴_{n} \frac{k}{4π} gilt a_{T} = 0,

iii) ∀T mit ω_{n}(T) ≤ n\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{k}{4π} gilt a_{T} = 0,

iv) ∀T mit ^{n} \sqrt{det(T)} ≤ μ_{n} \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{k}{4π} gilt a_{T} = 0.

Beweis: Siehe [52], Theorem 2.9

□

Bemerkung 1.10

i) Teil iv) des Satzes folgt aus Teil iii) und der Ungleichung

ω_{n}(T) ≥ \frac{n}{μ_{n}} ^{n} \sqrt{det(T)}  (1.7)

(siehe [52], p. 224). Diese Abschätzung kann auch dazu genutzt werden, um aus einer Liste von Formen, die nach der Diskriminante aufgelistet sind, alle Formen zu berechnen, deren dyadische Spur kleiner als eine fest vorgegebene Konstante const ist. Diese sind dann in der Menge

\{T | det(T) ≤ (\frac{constμ_{n}}{n} )^{n} \}

enthalten. Für den Fall n = 2 und n = 3 lassen sich diese Formen leichter berechnen. Siehe hierzu Lemma 2.63, sowie Gleichung (2.58) und die anschließenden Ausführungen.

ii) Insbesondere wird durch (1.7) auch deutlich, dass im Verschwindungssatz von Poor und Yuen immer nur endlich viele T ∈ Supp(f) einer Spitzenform f betrachtet werden müssen um zu entscheiden, ob f verschwindet. Im Fall einer Grad 1 Spitzenform (n=1) stimmt die Aussage des Satzes mit der des Verschwindungssatzes von Siegel überein. Für n = 2 und n = 3 liefert die dyadische Spur für die zu betrachtende Anzahl der Elemente T ∈ Supp(f) immer bessere Abschätzungen als die Spur. Für höhere Grade deuten einige Beispiele auf eine deutliche Reduzierung der Anzahl der Fourierkoeffizienten, die man berechnen muss, um das Verschwinden einer Spitzenform nachzuweisen. Obwohl der Zusammenhang zwischen Spur und dyadischer Spur nicht ganz geklärt ist, scheinen die Konstanten in Teil ii) der Verschwindungssätze von Siegel sowie von Poor und Yuen dies zu bestätigen.

□

Die Sätze von C. F. Siegel beziehungsweise von C. Poor und D. S. Yuen gehören zu einer ganzen Reihe von Sätzen, die effektive Versionen für die Entscheidung liefern, ob zwei Spitzenformen identisch sind. Seien für R ∈ {ℝ, ℤ}

P_{n}(R) = {T ∈ MAT^{sym}(n, R)| T > 0}

und

P_{n}^{semi}(R) = {T ∈ MAT^{sym}(n, R)| T ≥ 0}.

Definition 1.11 Sei P_{n}(ℝ) ⊂ D ⊂ P_{n}^{semi}(ℝ). Eine Funktion ϕ : D → ℝ_{≥0} heißt Typ-I-Funktion, falls

i) ϕ(T) > 0 für alle T ∈ P_{n}(ℝ),

ii) ϕ(λT) = λϕ(T) für alle λ ∈ ℝ_{>0}, T ∈ D und

iii) ϕ(T_{1} + T_{2}) ≥ ϕ(T_{1}) + ϕ(T_{2}) für alle T_{1}, T_{2} ∈ D.

Des weiteren nennen wir eine Typ-I-Funktion ϕ Typ-II-Funktion, falls ϕ(P_{n}(ℤ)) diskret in ℝ ist.

□

Beispiele für Typ-II-Funktionen sind tr(·), ω_{n}(·), ^{n} \sqrt{det(·)} und m(·). Für jede Typ-II-Funktion erhält man einen Verschwindungssatz, also eine entsprechende Aussage der Sätze 1.4 und 1.9. Dabei liefert die dyadische Spur unter den aufgeführten Typ-II-Funktionen die rechnerisch besten Ergebnisse. Diese Sätze beruhen auf folgender auch für unser weiteres Vorgehen zentralen Aussage:

Satz 1.12 Sei f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ), Γ von endlichem Index in Sp(n, ℤ) und ϕ eine Typ-II-Funktion. Falls ∀M ∈ Γ\Sp(n, ℤ) gilt:

min ϕ(Supp(f|_{k}M)) > \frac{k}{4π} sup_{Z∈ℍ_{n}} inf_{σ∈Sp(n,ℤ)}ϕ(Im(σZ)^{−1}),

dann ist f ≡ 0. Beweis: Siehe [52], Theorem 2.5

□

Betrachten wir nun speziell die Gruppe Γ = Γ_{0}^{(n)}(N). Da für alle g ∈ Γ_{0}^{(n)}(N) und für alle u ∈ Γ_{0}^{(n)}(N) der Form

u = ( \begin{matrix}A^{t} & S \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} )

der Träger Supp(f|_{k}gMu) = ASupp(f|_{k}M)A^{t} ist, gilt:

min(ω_{n}(Supp(f|_{k}gMu))) = min(ω_{n}(ASupp(f|_{k}M)A^{t}))
= min(ω_{n}(Supp(f|_{k}M))).  (1.8)

Wir interessieren uns deshalb für Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) mit

Δ(n, ℤ) = \{( \begin{matrix}A^{t} & S \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℤ)\} .

Wir führen nun den Begriff der Spitzenklasse ein. Dieser wird ein wesentliches Hilfsmittel für eine Verallgemeinerung des Satzes von C. Poor und D. S. Yuen (Satz 1.9) auf die Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(N) sein.

Definition 1.13 Die Elemente von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) nennen wir die 0-dimensionalen Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N), oder einfach nur die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N).

□

Der Quotientenraum ℍ_{n}/Sp(n, ℤ) trägt die Struktur einer quasiprojektiven Varietät. Die Satakekompaktifizierung (siehe [24], II).

\overline{ℍ_{n}/Sp(n, ℤ)} = ℍ_{n}/Sp(n, ℤ) ˙∪ … ˙∪ ℍ_{0}/Sp(0, ℤ)

1.2. HERMITESCHE MODULFORMEN

enthält ℍ_{n}/Sp(n, ℤ) als offenen, dichten Teil. ℍ_{0}/Sp(0, ℤ) steht hierbei für einen einzigen Punkt, die 0-dimensionale Standardrandkomponente. Zu jeder projektiv rationalen Matrix aus Sp(n, ℝ) gibt es weitere rationale Randkomponenten (Spitzen). Die Elemente aus Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) stehen in eindeutiger Korrespondenz zu den 0-dimensionalen Randkomponenten modulo Γ_{0}^{(n)}(N). Betrachten wir zum Beispiel den Fall der Dimension n = 1, so lässt sich die obere Halbebene in die Riemannsche Zahlenkugel ℂ ∪ {∞} einbetten. Die Standardrandkomponente entspricht hierbei dem Punkt {∞} und die rationalen Randkomponenten sind einelementigen Teilmengen von ℚ ∪ {∞}. Diese werden auch als Spitzen von SL(2, ℤ) bezeichnet. Jede Untergruppe Γ von SL(2, ℤ) mit endlichem Index hat als Spitzen ebenfalls die einelementigen Teilmengen von ℚ ∪ {∞} (Siehe [48], Corollary 1.5.5.). Die Elemente aus Γ_{0}^{(1)}(N)\SL(2, ℤ)/Δ(1, ℤ) stehen in eindeutiger Korrespondenz zu den nicht äquivalenten Spitzen von Γ_{0}^{(1)}(N)\ℍ_{1}, also den Elementen aus (ℚ ∪ {∞})/ ≃ mit

q ≃ q′ ⇔ ∃ ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}^{(1)}(N), so dass \frac{aq + b}{cq + d} = q′.

(Mit dem Symbol ∞ rechnen wir hier in üblicher Weise.) Die Elemente von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) können zur Beschreibung des ‘Übergangs’ von der 0dimensionalen Standardrandkomponente zu einer anderen 0-dimensionalen Randkomponente benutzt werden. Jede der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) beschreibt dabei genau einen Übergang zwischen ’nicht-äquivalenten’ 0-dimensionalen Randkomponenten. Auf den Begriff der Äquivalenz von 0-dimensionalen Randkomponenten wollen wir hier nicht weiter eingehen. Der interessierte Leser sei hiermit auf [11], Abschnitt 12 verwiesen. Abschließend behandeln wir noch als Beispiel Γ_{0}^{(1)}(4)\ℍ_{1}. Hier haben wir drei nicht äquivalente Spitzen

∞, 0 = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ⟨∞⟩ und \frac{1}{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) ⟨∞⟩.

Entsprechend ist

Γ_{0}^{(1)}(4)\SL(2, ℤ)/Δ(1, ℤ) = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} )\} .

Die auf Seite 4 beschriebenen Umgebungen von ∞, die bei der Satakekompaktifizierung Umgebungen von ∞ entsprechen, werden von den Elementen aus Γ_{0}^{(1)}(4)\SL(2, ℤ)/Δ(1, ℤ), interpretiert als Modulsubstitutionen, auf Umgebungen von 0, \frac{1}{2} beziehungsweise ∞ abgebildet.

1.2 Hermitesche Modulformen

In diesem Abschnitt sei K ein imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Ganzheitsring 𝔒_{K}. Sei weiter

HP_{n}(K) = {s ∈ HER(n, K) | s > 0}

die Menge der positiv definiten und

HP_{n}^{semi}(K) = {s ∈ HER(n, K) | s ≥ 0}

die Menge der positiv semidefiniten Hermiteschen Matrizen mit Einträgen aus K. Entsprechend seien

HP_{n}(ℂ) = {s ∈ HER(n, ℂ) | s > 0}

und

HP_{n}^{semi}(ℂ) = {s ∈ HER(n, ℂ) | s ≥ 0}

definiert. Für einen Vektor v ∈ ℂ^{n} sei |v|^{2} = vv^{∗}. Ist R ⊂ ℂ ein Teilring von ℂ, so sei

U(n, R) = \{M ∈ GL(2n, R) | \overline{M}^{t} ( \begin{matrix}0 & −E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{matrix} ) M = ( \begin{matrix}0 & −E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{matrix} )\}

die unitäre Gruppe. Ist R = 𝔒_{K}, so bezeichnen wir diese auch als Hermitesche Modulgruppe vom Grad n. Die Untergruppe

SU(n, 𝔒_{K}) = U(n, 𝔒_{K}) ∩ SL(2n, 𝔒_{K})

nennen wir die spezielle Hermitesche Modulgruppe vom Grad n. Die Hermitesche Modulgruppe operiert eigentlich diskontinuierlich durch

Z ↦ M⟨Z⟩ = (AZ + B)(CZ + D)^{−1} für M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, 𝔒_{K})

auf dem Hermiteschen Halbraum

ℍ_{n}(ℂ) = \{Z ∈ MAT(n, ℂ) |\frac{1}{2i} (Z − \overline{Z}^{t}) > 0\} .

Beschränken wir uns auf den Fall, in dem K keine Ausnahmeeinheiten hat, also

K ∉ \{ℚ(\sqrt{−1}), ℚ(\sqrt{−3})\},

so wird in [9], p. 151 ein Fundamentalbereich F(n, 𝔒_{K}) für die Operation von U(n, 𝔒_{K}) auf ℍ_{n}(ℂ) beschrieben. Für den Zahlkörper K = ℚ(\sqrt{−1}) findet sich eine explizite Beschreibung eines Fundamentalbereiches in [42], p. 58. Eine allgemeinere Definition findet sich ebenfalls in [42], p. 6. Erzeugendensysteme sind für SU(n, 𝔒_{K}) durch

\{( \begin{matrix}0_{n} & E_{n} \\ −E_{n} & 0_{n} \end{matrix} )\} ∪ \{( \begin{matrix}E_{n} & H \\ 0_{n} & E_{n} \end{matrix} )| H ∈ HER(n, 𝔒_{k})\}

und für U(n, 𝔒_{K}) durch

\{( \begin{matrix}0_{n} & E_{n} \\ −E_{n} & 0_{n} \end{matrix} )\}
∪ \{( \begin{matrix}E_{n} & H \\ 0_{n} & E_{n} \end{matrix} )| H ∈ HER(n, 𝔒_{k}), \}
∪ \{( \begin{matrix}\overline{U}^{t} & 0_{n} \\ 0_{n} & U^{−1} \end{matrix} )| U = Diag(ϵ, 1, …, 1), ϵ ∈ 𝔒_{k}^{∗}/\{±1\}\}

gegeben (siehe [18], Lemma 1.4). Sei 𝔞 ⊂ 𝔒_{K} ein Ideal. Wir definieren

U(n, 𝔒_{K})[𝔞] = {M ∈ U(n, 𝔒_{K}) |M ≡ E_{2n}(mod 𝔞)}

und bezeichnen diese Gruppe als Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe [𝔞]. Sie ist eine normale Untergruppe von U(n, 𝔒_{K}) von endlichem Index. Eine Untergruppe Γ von U(n, 𝔒_{K}) heißt Kongruenzuntergruppe modulo 𝔞, falls

U(n, 𝔒_{K})[𝔞] ⊂ Γ

gilt. Kongruenzuntergruppen sind diskret und operieren eigentlich diskontinuierlich auf ℍ_{n}(ℂ). Seien weiter

Δ_{n}(R) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, R)| C = 0\} ,

SΔ_{n}(R) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, R)| C = 0, det(A) = 1\} ,
Δ_{n}(𝔒_{K})[𝔞] = Δ_{n}(𝔒_{K}) ∩ U(n, 𝔒_{K})[𝔞] und
SΔ_{n}(𝔒_{K})[𝔞] = SΔ_{n}(𝔒_{K}) ∩ U(n, 𝔒_{K})[𝔞].

Definition 1.14 Sei Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K}) eine Kongruenzuntergruppe, k ∈ ℤ und χ ein Charakter zu Γ. Eine Funktion f : ℍ_{n} → ℂ heißt eine Hermitesche Modulform mit Charakter χ vom Gewicht k zur Gruppe Γ, falls gilt:

1) f ist holomorph auf ℍ_{n} und im Fall n = 1 zusätzlich holomorph in allen Spitzen.

2) f(M⟨Z⟩) = χ(M) det(CZ + D)^{k}f(Z) für alle M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Γ.

□ Bemerkung 1.15

i) Schließt man im Fall n = 1 die beiden Körper Q(\sqrt{−1}) und Q(\sqrt{−3}) aus, so lässt sich die Theorie, die sich aus der Hermiteschen Modulgruppe und ihren Untergruppen ergibt, auf den Fall der gewöhnlichen Modulgruppe SL(2, ℤ) und deren Untergruppen zurückführen (siehe hierzu [10]). Dies rührt daher, dass in diesen Fällen die Hermiteschen Modulgruppen mit der Siegelschen Modulgruppe übereinstimmen. Auch stimmen die Kongruenzuntergruppen dieser Gruppen überein.

ii) Wie auch schon für Siegelsche Modulformen ist im Fall n > 1 aufgrund des Koecherprinzips die Forderung der Holomorphie in jeder Spitze nicht mehr notwendig.

iii) Man kann hier ebenfalls anstatt mit Charakteren allgemeiner mit Multiplikatorsystemen arbeiten. Genau wie im Siegelschen Fall (siehe Bemerkung 1.3), haben die Multiplikatorsysteme, wie in [17] gezeigt wird, für U(n, 𝔒_{K}) und SU(n, 𝔒_{K}) ganzes Gewicht. Sie sind also Charaktere. Es gibt bis auf die Fälle, in denen K Ausnahmeeinheiten hat, nur für n = 2 und Disk(K) ≡ 0(mod 4) nichttriviale Charaktere. Diese sind Fortsetzungen des nichttrivialen Charakters auf der Siegelschen Modulgruppe Sp(2, ℤ). Sie werden in [17] konstruiert. In den Fällen mit Ausnahmeeinheiten kommen die Charaktere von den Ausnahmeeinheiten. Dies sind:

𝔒_{K}^{∗} = \{ζ_{4}| ζ_{4} ist 4-te Einheitswurzel\}, falls K = ℚ(\sqrt{−1}),
𝔒_{K}^{∗} = \{ζ_{6}| ζ_{6} ist 6-te Einheitswurzel\}, falls K = ℚ(\sqrt{−3}).
□

Die Menge der Hermiteschen Modulformen mit Charakter χ vom Gewicht k zur Gruppe Γ bildt einen Vektorraum, den wir mit M_{n}^{k}(Γ, χ) bezeichnen. Er ist endlichdimensional. Insbesondere gilt nach [10] für eine Kongruenzuntergruppe Γ mit Charakter χ:

dim_{ℂ}(M_{n}^{k}(Γ, χ)) = \{ \begin{matrix}0 & falls & k < 0, \\ 0 & falls & k = 0 und χ ≠ 1, \\ 1 & falls & k = 0 und χ = 0. \end{matrix}

Für eine Funktion f : ℍ_{n}(ℂ) → ℂ, M ∈ U(n, ℂ) und k ∈ ℤ notieren wir wie im Siegelschen Fall

(f|_{k}M)(Z) = det(CZ + D)^{−k}f(M⟨Z⟩).

Für jede Modulform f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) lässt sich für jedes M ∈ U(n, K) die Funktion (f|_{k}M)(Z) in eine Fourierreihe entwickeln (siehe hierzu [10]). Nach dem Koecherprinzip kommen dabei im Träger nur positiv semidefinite Elemente vor. Es

1.3. THETAREIHEN

ist:

(f|_{k}M)(Z) = ∑_{0≤T ∈(HER(n,𝔒_{K}))^{#}} a_{T} (M)e^{2π𝔦 \frac{tr(T Z)}{b}}  (1.9)

wobei b ∈ ℕ nur von M und f abhängt und (HER(n, 𝔒_{K}))^{#} das Dual von HER(n, 𝔒_{K}) bezüglich der Spur ist. Also ist

(HER(n, 𝔒_{K}))^{#} = {M ∈ HER(n, ℂ)| tr(T M) ∈ ℤ ∀M ∈ HER(n, 𝔒_{K})} .

Ist Γ eine Kongruenzgruppe modulo (N), dem von N ∈ ℕ in 𝔒_{K} erzeugten Ideal, also

U(n, 𝔒_{K})[(N)] ⊂ Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K})

mit endlichem Index [U(n, 𝔒_{K}) : U(n, 𝔒_{K})[(N)]], so ist b = Nl^{2}, wobei l ∈ ℕ so gewählt ist, dass lM und lM^{−1} ganz sind. Diese Reihenentwicklung konvergiert absolut gleichmäßig auf jeder in MAT(n, ℂ) abgeschlossenen Teilmenge von ℍ_{n}(ℂ). Ist U eine unimodulare Matrix mit Einträgen aus 𝔒_{K}, die die Kongruenz U ≡ E_{n}(mod b) erfüllt, so ist

a_{U^{∗}T U}(M) = a_{T} (M).

Definition 1.16 Eine Modulform f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) heißt Spitzenform, falls für alle M ∈ U(n, K) gilt:

((f|_{k}M) |Φ)(Z) = 0.
□

Hierbei bezeichnet Φ wie im Siegelschen Fall den Siegelschen Φ-Operator

(f|Φ)(Z_{n−1}) = lim_{y→∞} f ( \begin{matrix}Z_{n−1} & 0 \\ 0 & 𝔦y \end{matrix} ) mit Z_{n−1} ∈ ℍ_{n−1}(ℂ)

und bildet f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) auf eine Modulform f|Φ ∈ M_{n−1}^{k}(Γ_{n−1}, χ′) für eine gewisse Untergruppe Γ_{n−1} vom Grad n − 1 und einen gewissen Charakter χ′ von Γ_{n−1} ab. Die Spitzenformen bilden einen Untervektorraum von M_{n}^{k}(Γ, χ), den wir mit S_{n}^{k}(Γ, χ) bezeichnen.

1.3 Thetareihen

Um Aussagen zur Existenz von Modulformen zu machen, hat man mehrere Möglichkeiten. Ein wichtiges Konstruktionsmittel für Modulformen sind Poincarésche Reihen (siehe [43], [24] p. 53 ff oder [13] p. 374 ff). Man nutzt aber auch Eisensteinreihen oder Liftungen von Formen zu anderen Gruppen, meist orthogonale Gruppen. Eine andere wichtige Möglichkeit zur expliziten Konstruktion sind Thetareihen. Diese führen zu Liftungen von orthogonalen beziehungswesie unitären Gruppen. Auf Thetareihen wollen wir hier im Folgenden etwas genauer eingehen. Sei Λ ein Gitter mit Gram-Matrix S = MM^{t} ∈ MAT^{sym}(m, ℚ). Sei weiter T ∈ MAT^{sym}(n, ℚ). Mit a(S, T) bezeichnen wir die Anzahl der Lösungen der Matrixgleichung X^{t}SX = T über ℤ, also

a(S, T) = ♯{X ∈ MAT(m, n, ℤ)|X^{t}SX = T }.

Sie hängt nur von der GL(m, ℤ) beziehungsweise GL(n, ℤ)-Klasse von S und T ab.

Definition 1.17 Sei Z ∈ ℍ_{n} und S ∈ MAT^{sym}(m, ℤ) eine ganzzahlige, symmetrische Matrix mit geraden Diagonaleinträgen. Wir definieren die Reihe

θ_{Λ}^{n}(Z) = θ_{S}^{n}(Z) = ∑_{T ∈P_{n}(ℤ)}a(S, T)e^{2π𝔦tr(T Z)}
= ∑_{M∈MAT(m,n,ℤ)}e^{π𝔦tr(M^{t}SMZ)}.

Sie heißt Siegelsche Thetareihe vom Geschlecht n zum Gitter Λ beziehungsweise zur quadratischen Form oder zur Matrix S.

□

Die Siegelsche Thetareihe konvergiert absolut und gleichmäßig in Kompakta. Sei N die Stufe von S beziehungsweise von Λ, also die kleinste ganze Zahl N ∈ ℕ, so dass NS^{−1} ∈ MAT(n, ℤ) auch eine ganzzahlige Matrix mit geraden Diagonaleinträgen ist. Sei weiter m = 2k ∈ 2ℤ gerade. Dann ist

θ_{S}^{n}(Z) ∈ M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ_{S}^{n}).

Hier ist χ_{S}^{n} ein Charakter, genauer

χ_{S}^{n} (( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )) = (\frac{(−1)^{\frac{m}{2}} det(S)}{det(D)}) ,

wobei (\frac{·}{·}) das Jacobi-Symbol bezeichnet. Diese Aussage findet man zum Beispiel in [2], Theorem 2.2.2 und Theorem 1.4.10. Für eine allgemeinere Definition von Thetareihe betrachten wir die homogenen Polynome P : MAT(m, n, ℂ) → ℂ in nm Unbekannten. Ein solches Polynom nennen wir pluriharmonisch, wenn für alle A ∈ MAT(n, ℂ) die Polynome P_{A} : X ↦ P (XA) harmonisch sind, also

∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} \frac{∂^{2}P_{A}(X)}{(∂x_{ij})^{2}} = 0

gilt. Sei nun noch \sqrt{S} die eindeutig bestimmte, positiv definite, symmetrische Matrix, so dass \sqrt{S}\sqrt{S} = S ist.

1.4. FRICKEINVOLUTIONEN UND FOURIERENTWICKLUNGEN

Definition 1.18 Die Reihe

θ_{S,P}^{n} (Z) = ∑_{M∈MAT(m,n,ℤ)}P (\sqrt{S}M)e^{π𝔦tr(M^{t}SMZ)}

nennen wir verallgemeinerte Thetareihe zu S vom Geschlecht n mit pluriharmonischem Polynom P.

□

Auch die verallgemeinerten Thetareihen sind Modulformen für Γ_{0}^{(n)}(N). Sie haben Gewicht \frac{m}{2} + deg(P). Bezeichnen wir mit Q_{S}(\underline{x}) die Matrix mit Einträgen

Q_{S}(\underline{x})_{ij} = \frac{1}{2}B(x_{i}, x_{j}) = \frac{1}{2}x_{i}^{t}Sx_{i}

für \underline{x} = (x_{i}, …, x_{n}) ∈ Λ^{n}, und interpretieren P durch Wahl einer Orthonormalbasis von Λ ⊗ ℝ als Funktion auf (Λ ⊗ ℝ)^{n}, dann kann man θ_{S,P}^{n} (Z) auch als

θ_{S,P}^{n} (Z) = ∑_{\underline{x}=(x_{1},...,x_{n})∈Λ^{n}} P (\underline{x})e^{π𝔦tr(Q_{s}(\underline{x})Z)}  (1.10)

schreiben. Da man an den Räumen M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ) interessiert ist, stellt sich über die Frage nach der Existenz von Modulformen hinaus die Frage, ob alle Thetareihen zu Gittern aus einem Geschlecht die Räume M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ) bereits aufspannen. Ist m = 2k < n so hat E. Freitag in [23] gezeigt, dass diese Räume von Siegelschen Thetareihen aufgespannt werden. S. Böcherer zeigt dies in [4] für den Fall: k > 2n, mit 4|k. Der Fall m = n wurde von A. N. Andrianov in [1] bearbeitet und für \frac{m}{2} ≤ n ≤ m haben S. Böcherer und R. Schulze-Pillot [6] gezeigt, dass die Hecke-Eigenformen der Stufe N mit trivialem Charakter unter einigen Zusatzbedingungen durch Thetareihen ausgedrückt werden können. Weitere Aussagen zur Charakterisierung von Räumen von Modulformen durch Thetareihen findet man in [59]. Spitzenformen lassen sich aus Konvergenzgründen für k < 2n nicht mit Hilfe von Poincaréreihen konstruieren. Hierzu nutzt man verallgemeinerte Thetareihen (siehe [24], III, Paragraph 3).

1.4 Frickeinvolutionen und Fourierentwicklungen

Wir stellen in diesem Abschnitt einige Aussagen über die Frickeinvolution zusammen, die wir in einem späteren Kapitel brauchen werden. Wir beginnen zunächst KAPITEL 1. EINFÜHRUNG mit der Theorie für SL(2, ℤ). Die Frickeinvolution

w_{N}^{Fr} : ℍ_{1} → ℍ_{1}
τ ↦ \frac{−1}{Nτ}

ist ein Automorphismus der oberen Halbebene. Sie kann durch die Operation der Matrix ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −N & 0 \end{matrix} ) auf ℍ_{1} repräsentiert werden. Ist f eine Modulform geraden Gewichts zur Modulgruppe Γ_{0}^{(1)}(N), so operiert w_{N}^{Fr}, genau wie

w_{N}^{fr} = \frac{1}{\sqrt{N}} w_{N}^{Fr},

auf f durch:

(f|_{k}w_{N}^{Fr}) (τ) = (−N)^{− \frac{k}{2}} τ^{−k}f (\frac{−1}{Nτ} ) .

Da

w_{N}^{Fr} Γ_{0}^{(1)}(N) (w_{N}^{Fr})^{−1} = Γ_{0}^{(1)}(N)

ist, liefern die Abbildung

w_{N}^{Fr} : M_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N)) → M_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N)),
f ↦ f|_{k}w_{N}^{Fr}

und deren Einschränkung

w_{N}^{Fr} : S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N)) → S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N))

jeweils Vektorraumautomorphismen (siehe hierzu [61], Proposition 2.4). Sei die Fourierentwicklung von f ∈ M_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N)) um die Spitze ′0′ vorgegeben, also

(f|_{k} ( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )) (τ) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{2π𝔦nτ/N}.

Es ist

(f|_{k} ( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )) (τ) = τ^{−k}f (\frac{−1}{τ}) ,

also

(f|_{k}w_{N}^{Fr}) (τ) = (−N)^{\frac{k}{2}} (Nτ)^{−k}f (\frac{−1}{Nτ} )
= (−N)^{\frac{k}{2}} (f|_{k} ( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )) (Nτ).

Die Fourierentwicklung von (f|_{k}w_{N}^{Fr}) (τ) ist somit

(f|_{k}w_{N}^{Fr}) (τ) = (−N)^{\frac{k}{2}} ∑_{n=0}^{∞} a_{n}e^{2π𝔦nτ}.

Betrachten wir nun die Theorie für höhere Dimensionen. Wir führen die beiden Bezeichnungen

w_{n,N}^{fr} = ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} E_{n} \\ −\sqrt{N}E_{n} \end{matrix} ) ∈ MAT(2n, ℝ)

und

w_{n,N}^{Fr} = \sqrt{N}w_{n,N}^{fr} = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −NE_{n} \end{matrix} ) .

ein. Durch die Operation von w_{n,N}^{fr} auf ℍ_{n} wird ein Automorphismus des Siegelschen Halbraums

w_{n,N}^{fr} : ℍ_{n} → ℍ_{n}
Z ↦ w_{n,N}^{fr}⟨Z⟩ = −(NZ)^{−1}

definiert, den wir hier ebenfalls mit w_{n,N}^{fr} bezeichnen wollen. Sei A ∈ Sp(n, ℝ) eine projektiv rationale Matrix, also eine Matrix für die es eine reelle Zahl t so gibt, dass tA eine rationale Matrix ist. Durch die Abbildung

A : M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) → M_{n}^{k}(A^{−1}Γ_{0}^{(n)}(N)A)
f ↦ f|_{k}A

und deren Einschränkung

A : S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) → S_{n}^{k}(A^{−1}Γ_{0}^{(n)}(N)A)

werden dann Isomorphismen von ℂ-Vektorräumen gegeben. Einen Beweis hiervon findet man in [24], Bemerkung 6.8, p. 127 f. Wegen

(w_{n,N}^{fr})^{−1} ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) w_{n,N}^{fr} = ( \begin{matrix}D & −\frac{C}{N} \\ −NB & A \end{matrix} )

ist

(w_{n,N}^{fr})^{−1}Γ_{0}^{(n)}(N)w_{n,N}^{fr} = Γ_{0}^{(n)}(N),

und somit definiert

f ↦ f|_{k}w_{n,N}^{fr} = det(−\sqrt{N}Z)^{−k}f(−(NZ)^{−1})  (1.11)

Vektorraumautomorphismen von M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) und S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)). Ist die Fourierentwicklung von (f|_{k}J_{n}) (Z) ∈ M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) mit

J_{n} = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} ) ,

vorgegeben,

(f|_{k}J_{n}) (Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{ℤ}{2}) \atop T ≥0, t_{jj} ∈ℤ}} a_{T} e^{\frac{2π𝔦}{N} tr(T Z)},

so ergibt sich daraus auch die Fourierentwicklung von

(f|_{k}w_{n,N}^{fr})(Z) = det(−\sqrt{N}E_{n})^{−k}f(−(NZ)^{−1})
= (−\sqrt{N})^{nk} det(NZ)^{−k}f(−(NZ)^{−1})
= (−\sqrt{N})^{nk} ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{ℤ}{2}), \atop T ≥0, t_{jj} ∈ℤ}}a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)}.  (1.12)

Sei nun mit S_{i}, 1 ≤ i ≤ n die Matrix

S_{i} = ( \begin{matrix}E_{n−i} \\ & & & E_{i} \\ & & E_{n−i} \\ & −E_{i} \end{matrix} )

bezeichnet. Sei weiter g = f|_{k}w_{n,N}^{fr} das Bild einer Modulform zur Untergruppe Γ_{0}^{(n)}(N) unter der Frickeinvolution, also selbst auch wieder eine Modulform zu Γ_{0}^{(n)}(N), und die Fourierentwicklungen von (g|_{k}S_{i})(Z), 0 ≤ i ≤ n vorgegeben,

(g|_{k}S_{i}) (Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ), \atop T ≥0, Nt_{jj} ∈Z}} a_{T}^{(i)}e^{2π𝔦tr(T Z)}, falls i > 0,

g(Z) = (g|_{k}S_{0}) (Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2} ℤ), \atop T ≥0, t_{jj} ∈ℤ}} a_{T}^{(0)}e^{2π𝔦tr(T Z)}.

Bezeichnen wir weiter:

K_{i} = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & · \\ & · \\ & · \\ 1 \end{matrix} ) ∈ MAT(i, ℤ),

T_{n} = ( \begin{matrix}K_{n} \\ & K_{n} \end{matrix} ) ,

T′_{n,i} = ( \begin{matrix}& −K_{i} \\ K_{n−i} \\ & & & −K_{i} \\ & & K_{n−i} \end{matrix} ) ,

X = ( \begin{matrix}\sqrt{N}E_{i} \\ & \frac{1}{\sqrt{N}} E_{n−i} \\ & & \frac{1}{\sqrt{N}} E_{i} \\ & & & \sqrt{N}E_{n−i} \end{matrix} ) .

Dann gilt

S_{n−i} = T′_{n,i}w_{n,N}^{fr}S_{i}T_{n}X,

und da T′_{n,i} ∈ Γ_{0}^{(n)}(N) ist, auch

f|_{k}S_{n−i} = f|_{k}T′_{n,i}w_{n,N}^{fr}S_{i}T_{n}X
= f|_{k}w_{n,N}^{fr}S_{i}T_{n}X
= (g|_{k}S_{i})|_{k}T_{n}X

mit

T_{n}X = ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \\ \sqrt{N}K_{i} \\ & & & \sqrt{N}K_{n−i} \\ & & \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix} ) .

Im Fall i ≠ 0 folgt dann für die Fourierentwicklung von (f|_{k}S_{n−i})(Z):

(f|_{k}S_{n−i})(Z)
= ((g|_{k}S_{i})|_{k}T_{n}X)(Z)
= det ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{n−i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix})^{−k} (g|_{k}S_{i})((\begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \\ \sqrt{N}K_{i} \end{matrix} )Z( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \end{matrix}))

= ((−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N^{\frac{n}{2} −i})^{−k} ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ), \atop T ≥0, Nt_{jj} ∈ℤ}} a_{T}^{(i)}e^{2π𝔦tr(T̃Z)}  (1.13)

mit

T̃ = ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \end{matrix} ) T ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \\ \sqrt{N}K_{i} \end{matrix} ) .

Schreiben wir diejenigen T, über die die Summe in (1.13) läuft als

T = ( \begin{matrix}T_{11} & T_{12} \\ T_{21} & T_{22} \end{matrix} ) mit \{T_{11} ∈ MAT^{sym}(n − i, ℤ), T_{12} = T_{21}^{t}, T_{22} ∈ MAT^{sym}(i, \frac{ℤ}{N})

dann ist

T̃ = ( \begin{matrix}NK_{I}T_{22}K_{i} & K_{i}T_{21}K_{n−i} \\ K_{n−i}T_{12}K_{i} & \frac{1}{N} K_{n−i}T_{11}K_{n−i} \end{matrix} ) .

Da bei Summation über ganze Matrizen (f|_{k}S_{n−i})(Z) eine Fourierentwicklung in Termen von e^{π𝔦/N} und nicht in Termen von e^{π𝔦/N^{2}} besitzt (siehe (1.5)), folgt dass T_{11} Einträge aus Nℤ besitzt. Für die potenziellen Träger Supp(g|_{k}S_{i}) und Supp(f|_{k}S_{n−i}) folgt:

Supp(g|_{k}S_{i}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ) | T ≥ 0; der obere, linke i × i-Block von T ist aus ℤ; Nt_{jj} ∈ ℤ falls 1 ≤ j ≤ i und t_{jj} ∈ ℤ falls i < j ≤ n\} ,

Supp(f|_{k}S_{n−i}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ) | T ≥ 0; der obere, linke n − i × n − i-Block von T ist aus ℤ; Nt_{jj} ∈ ℤ falls 1 ≤ j ≤ n − i und t_{jj} ∈ ℤ falls n − i < j ≤ n\} .

Ist nun i = 0, so gilt für die Fourierentwicklung von (f|_{k}S_{n})(Z):

(f|_{k}S_{n})(Z) = ((g|_{k}S_{0})|_{k}T_{n}X)(Z)
= det(\sqrt{N}K_{n})^{−k} (g|_{k}S_{0}) (\frac{1}{\sqrt{N}} K_{n}Z \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n})
= (−1)^{\frac{n(n−1)}{2} k}N^{− \frac{nk}{2}} ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ), \atop T ≥0, t_{jj} ∈ℤ}} a_{NT}^{(0)} e^{2π𝔦tr(K_{n}T K_{n}Z)}. (1.14)

Bemerkung 1.19

i) Mit Hilfe der Formel (1.12) können wir aus der Fourierentwicklung von (f|_{k}J_{n})(Z) die Fourierentwicklung von (f|_{k}w_{n,N}^{fr})(Z) angeben. Mit Hilfe von (1.14) lässt sich umgekehrt aus der Fourierentwicklung von (g|_{k}S_{0})(Z) = (f|_{k}w_{n,N}^{fr})(Z) die Fourierentwicklung von (f|_{k}J_{n})(Z) = (f|_{k}S_{n})(Z) angeben. Nutzt man beide Formeln und bestimmt für (f|_{k}J_{n})(Z) eine Fourierentwicklung in Abhängigkeit der Fourierentwicklung von (f|_{k}J_{n})(Z), also von sich selbst, dann folgt durch einen Koeffizientenvergleich

(−1)^{\frac{n(n−1)}{2} k}N^{− \frac{nk}{2}} (−\sqrt{N})^{nk}a_{T} = a_{K_{n}T K_{n}}
⇔ (−1)^{\frac{nk}{2} (n+1)}a_{T} = a_{K_{n}T K_{n}}.

Weiter ist (siehe hierzu auch [24] Hilfssatz 3.4)

a_{K_{n}T K_{n}} = det(K_{n})^{k}a_{T} .

Falls nk ungerade ist gibt es keine Modulformen mit trivialem Charakter Ist k gerade oder n ≡ 0(mod 4), so ist (−1)^{\frac{nk}{2} (n+1)} = 1 und a_{T} = a_{K_{n}T K_{n}}. Ist k ungerade und n ≡ 2 (mod 4), dann ist a_{K_{n}T K_{n}} = −a_{T}. Die beiden Fourierentwicklungen für (f|_{k}J_{n})(Z) stimmen also wie erwartet überein.

ii) Stimmen die SL(n, ℤ)–Äquivalenzklassen von T und K_{n}T K_{n} überein, wie dies zum Beispiel für Diagonalmatrizen der Fall ist, dann müssen die beiden Fourierkoeffizienten a_{T} und a_{K_{n}T K_{n}} gleich sein. Da im Fall k ungerade und n ≡ 2 (mod 4) aber auch a_{K_{n}T K_{n}} = −a_{T} gilt folgt für diesen Fall a_{T} = a_{K_{n}T K_{n}} = 0.

iii) Der Träger einer Modulform lässt sich auch mittels (1.3) einfacher darstellen als dies hier getan wurde. In einem späteren Kapitel werden wir aber noch sowohl die Form, in der die Elemente des Trägers angegeben sind, als auch die explizite Darstellung der Fourierkoeffizienten ausnutzen.

□

Zusammenfassend gilt:

Lemma 1.20 Ist g das Bild einer Modulform f ∈ M_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) unter der Frickeinvolution, dann hat die Fourierentwicklung von (g|_{k}S_{i})(Z) die Form

(g|_{k}S_{0}) (Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2ℤ}), \atop T ≥0, t_{jj} ∈ℤ}} a_{T}^{(0)}e^{2π𝔦tr(T Z)},

(g|_{k}S_{i}) (Z) = ∑_{T ∈Supp(g|_{k}S_{i})} a_{T}^{(i)}e^{2π𝔦tr(T Z)}, falls i > 0.

mit potenziellem Träger

Supp(g|_{k}S_{i}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ) | T ≥ 0, Der obere, linke n−i×n−i-Block von 2T ist aus ℤ. Nt_{jj} ∈ ℤ falls 1 ≤ j ≤ n − i, t_{jj} ∈ ℤ falls n − i < j ≤ n\} .

Mit obigen Bezeichnungen gilt für i ≠ 0:

(f|_{k}S_{n−i})(Z)

= ((−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N^{\frac{n}{2} −i})^{−k} ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ) \atop T ≥0, Nt_{jj} ∈ℤ}} a_{T}^{(i)}e^{2π𝔦tr(( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \end{matrix} )T (\begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{n−i} \\ \sqrt{N}K_{i} \end{matrix} )Z)}

= ((−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N^{\frac{n}{2} −i})^{−k} ∑_{T ∈Supp(f|S_{n−i})} a(i) ; T̃e^{2π𝔦tr(T Z)}

mit

T̃ = ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{n−i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix} ) T ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \\ \sqrt{N}K_{n−i} \end{matrix} )

und potenziellem Träger

Supp(f|_{k}S_{n−i}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ) | T ≥ 0, der obere, linke i × i-Block von 2T ist aus ℤ. Nt_{jj} ∈ ℤ falls 1 ≤ j ≤ i, t_{jj} ∈ ℤ falls i < j ≤ n\} .

Im Falle i = 0 ist:

(f|_{k}S_{n})(Z) = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2} k}N^{− \frac{nk}{2}} ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ), \atop T ≥0, Nt_{jj} ∈ℤ}} a_{T}^{(0)}e^{2π𝔦tr(K_{n}T K_{n}Z)}

= (−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N^{− \frac{nk}{2}} ∑_{T ∈Supp(f|_{k}S_{n})} a(0) ; T̃e^{2π𝔦tr(T Z)}

mit T̃ = NK_{n}T K_{n} und potenziellem Träger

Supp(f|_{k}S_{n}) = \{MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ)| T ≥ 0, Nt_{jj} ∈ ℤ\} .
□

Bemerkung 1.21 Im obigen Lemma ist

Supp(f|_{k}S_{0}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2}ℤ)| T > 0, t_{jj} ∈ ℤ\} .
□

Der Fall der Untergruppen Γ(n)_{0}(N)

2.1 Γ(n)_{0}(N)\Sp(n,ℤ)

In diesem Abschnitt sollen explizit Repräsentantensysteme für die Klassen von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) bestimmt werden (Satz 2.7). Dabei soll insbesondere nicht angenommen werden, dass N quadratfrei ist. Die Aussage von Satz 2.7 kann auch mit gleichem Beweis auf Zahlkörper verallgemeinert werden. Siehe hierzu Bemerkung 2.13. Wir wollen uns hier dennoch auf ℤ beschränken, da die Verallgemeinerung offensichtlich ist und wir uns die zusätzlichen Notationen sparen wollen. Als Motivation für den nicht quadratfreien Fall betrachten wir zunächst nur den quadratfreien Fall. Hierbei genügt es, sich auf den Fall zu beschränken, in dem N = p eine Primzahl ist.

Mit Hilfe der Bruhat-Zerlegung, siehe zum Beispiel [33] Theorem I.8, p. 228ff, [67], §1.2 oder [30] X, 28, kann man die symplektische Gruppe Sp(n, 𝔽_{p}) als disjunkte Vereinigung von Doppelnebenklassen wie folgt darstellen:

Sp(n, 𝔽_{p}) = ˙ ⋃_{w∈W_{Sp}}BwB.  (2.1)

Hierbei bezeichne W_{Sp} eine Menge von Weylelementen von Sp(n, 𝔽_{p}) und B die Standardboreluntergruppe (minimal parabolische Untergruppe) von Sp(n, 𝔽_{p}). Da Sp(n, 𝔽_{p}) eine Liesche Gruppe vom Typ C_{n} ist, gilt für die Mächtigkeit der Weylgruppe

|W_{Sp}| = n!2^{n},

siehe zum Beispiel [38], Appendix C, p. 510. Bezeichne N_{p} das unipotente Radikal von B, so ist

N_{p} = \{( \begin{matrix}A & B \\ 0_{n} & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, 𝔽_{p}) | A ∈ MAT_{△}(n, 𝔽_{p}), B ∈ MAT(n, 𝔽_{p}), D ∈ MAT^{△}(n, 𝔽_{p}), Die Diagonal- einträge von A und D sind 1 \}

KAPITEL 2. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N)

und

Sp(n, 𝔽_{p}) = ˙ ⋃_{w∈W_{Sp}}BwN_{p}.

Die Gruppe GL(n, 𝔽_{p}) ist durch

A ↦ ( \begin{matrix}A \\ & (A^{t})^{−1} \end{matrix} )  (2.2)

in Sp(n, 𝔽_{p}) eingebettet. Als Repräsentanten für die Weylelemente der Weylgruppe W_{GL} von GL(n, 𝔽_{p}) können die Permutationsmatrizen gewählt werden. Die Mächtigkeit von W_{GL} ist somit n!. Aufgrund von (2.2) kann W_{GL} als Untergruppe von W_{Sp} aufgefasst werden. Bezeichnen wir mit W die Faktorgruppe von W_{Sp} modulo W_{GL},

W = W_{GL}\W_{Sp},  (2.3)

dann ist |W | = 2^{n}, und wir erhalten eine Zerlegung

Sp(n, 𝔽_{p}) = ˙ ⋃_{w∈W}Δ(n, 𝔽_{p})wN_{p}.  (2.4)

Weiter ist

Γ_{0}^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ) = (Γ^{(n)}(p)\Γ_{0}^{(n)}(p))\ (Γ^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ))
= Δ(n, 𝔽_{p})\Sp(n, 𝔽_{p}).  (2.5)

Das zweite Gleichheitszeichen in (2.5) beschreibt hierbei, um etwas genauer zu sein, lediglich eine natürliche Bijektion zwischen den beiden Restklassenmengen. Wir erhalten mit Hilfe von (2.4)

Δ(n, 𝔽_{p})\Sp(n, 𝔽_{p}) = ˙ ⋃_{w∈W}wN_{p}^{w},

als disjunkte Vereinigung. Dabei ist

N_{p}^{w} = (N_{p} ∩ w^{−1}Δ(n, 𝔽_{p})w)\N_{p}.

Hiermit sei noch einmal an die Notation ℤ_{[p]} = {0, …, p − 1} ⊂ ℤ, die auf Seite xi eingeführt wurde, erinnert. Wir bezeichnen nun mit N^{w} eine Teilmenge aus

N = \{( \begin{matrix}A & B \\ 0_{n} & D \end{matrix} ) ∈ Sp(n, ℤ) | A ∈ MAT_{△}(n, ℤ_{[p]}), B ∈ MAT(n, ℤ_{[p]}), D ∈ MAT^{△}(n, ℤ_{[p]}), Die Diagonal- einträge von A und D sind 1 \} ,

\underline{2.1. Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)}

die unter der natürlichen Abbildung

N ⟶ N_{p}

als Repräsentantensystem von N_{p}^{w} aufgefasst werden kann. Es gilt dann

Γ_{0}^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ) = ˙ ⋃_{w∈W}wN^{w}.

Weiter bezeichnen bezeichnen wir mit D^{(n)} die Menge

D^{(n)} = {Diag(x) | x ∈ {0, 1}^{n}} .

Es gelten für alle I ∈ D^{(n)} die Rechenregeln

I^{2} = I
(E_{n} − I)^{2} = E_{n} − I und
(I − E_{n})^{2} = −(I − E_{n}),

so dass (1.1) und eine kleine Rechnung sofort zeigen, dass die Menge

W^{(n)} = \{w(I) = ( \begin{matrix}I & E_{n} − I \\ I − E_{n} & I \end{matrix} )| I ∈ D^{(n)}\}

aus symplektischen Matrizen besteht. In der folgenden Proposition werden wir ein Repräsentantensystem für Γ_{0}^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ) angeben, indem wir zeigen dass W^{(n)} ein Vertretersystem für W_{GL}\W_{Sp} ist.

Proposition 2.1 Ist p eine Primzahl, so ist mit den obigen Notationen ein vollständiges Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ) durch die Menge

˙⋃_{w(I)∈W^{(n)}}w(I)N^{w(I)}

gegeben.

Beweis: Es muss hierfür nur gezeigt werden, dass W^{(n)} ein Repräsentantensystem von W_{GL}\W_{Sp} ist. Zunächst zeigen wir, dass die Elemente aus W^{(n)} Repräsentanten von Elementen aus W_{Sp} sind. Bezeichnen wir mit T den maximalen Torus von Sp(n, 𝔽_{p}) also die Menge aller Elemente aus Sp(n, 𝔽_{p}) die Diagonalgestalt haben und mit N_{Sp}(T) den Normalisator, sowie mit C_{Sp}(T) den Zentralisator von T in Sp(n, 𝔽_{p}), dann ist

W_{Sp} = N_{Sp}(T)/C_{Sp}(T).

Sind

D = ( \begin{matrix}D_{1} \\ & D_{2} \end{matrix} ) ∈ T

und w(I) ∈ W^{(n)}, dann ist

w(I)Dw(I)^{−1}
= ( \begin{matrix}ID_{1}I + (E − I)D_{2}(E − I) & ID_{1}(I − E) + (E − I)D_{2}I \\ (I − E)D_{1}I + ID_{2}(E − I) & ID_{2}I + (I − E)D_{1}(I − E) \end{matrix} ) .

Sowohl die beiden Matrizen D_{1} und D_{2} als auch die Matrizen I, E − I und I − E sind Diagonalmatrizen. Also sind die vier n × n-Blockmatrizen die in den Ecken von w(I)Dw(I)^{−1} stehen auch Diagonalmatrizen. Die n × n-Blockmatrizen im oberen rechten und im unteren linken Eck sind Null, da jeder Diagonaleintrag aus ID_{1}(I −E), (E −I)D_{2}I, (I −E)D_{1}I und ID_{2}(E −I) entweder von links oder aber von rechts mit Null multipliziert wird. Also ist w(I)Dw(I)^{−1} eine Diagonalmatrix und somit ein Element des maximalen Torus T von Sp(n, 𝔽_{p}). Damit ist w(I) ein Repräsentant eines Elementes aus W_{Sp}. Insbesondere sieht man dass zwei Elemente w(I_{1}) und w(I_{2}) nicht dasselbe Element aus W_{Sp} repräsentieren können, da die Gleichung

I_{1}D_{1}I_{1} + (E − I_{1})D_{2}(E − I_{1}) = I_{2}D_{1}I_{2} + (E − I_{2})D_{2}(E − I_{2})

nur dann für alle Diagonalmatrizen D_{1}, D_{2} ∈ MAT^{sym}(n, 𝔽_{p}) erfüllt sein kann, wenn I_{1} = I_{2} ist. Um zu zeigen dass w(I_{1}) und w(I_{2}) auch unterschiedliche Elemente von W_{GL}\W_{Sp} repräsentieren sei w ∈ W_{GL}, w ≠ E_{2n}. Es gibt dann eine Permutationsmatrix P ≠ E_{n} so dass

w = ( \begin{matrix}P \\ & P^{t} \end{matrix} )

ist. Aus

w(I_{1}) = ww(I_{2}) = ( \begin{matrix}P I_{2} & P (E − I_{2}) \\ P^{t}(I_{2} − E) & P^{t}I_{2} \end{matrix} )

folgt nun I_{1} = P I_{2}. Da P nicht die Einheitsmatrix ist, ist dies nur möglich, wenn I_{1} = I_{2} und somit auch w(I_{1}) = w(I_{2}) gilt. Also enthält die Menge W^{(n)} nur unterschiedliche Repräsentanten von W_{GL}\W_{Sp}. Die Menge W^{(n)} enthält 2^{n} Elemente. Die symplektische Gruppe Sp(n, 𝔽_{p}) ist eine Liegruppe vom Typ C_{n}. Ihre Weylgruppe W_{Sp} hat also n!2^{n} Elemente. Die Mächtigkeit von W_{GL} ist n!. Also ist |W_{GL}\W_{Sp}| = 2^{n} und somit ist W^{(n)} ein Repräsentantensystem von W_{GL}\W_{Sp}.

□

Da Proposition 2.1, die später durch Satz 2.7 verallgemeinert wird, unser weiteres Vorgehen motiviert, wollen wir nun die angegebenen Repräsentantensysteme genauer untersuchen und berechnen zunächst

|N^{w(I)}| = \frac{|N |}{|N ∩ w(I)^{−1}Δ(n, ℤ)w(I)|}.

Da N ⊂ Sp(n, ℤ) ist, ist für jedes Element aus N der obere rechte n × n Block symmetrisch und der untere rechte n×n Block eindeutig durch den oberen linken n × n Block bestimmt. Also ist

|N | = p^{\frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n−1)n}{2}} = p^{n^{2}}.

Da weiter

|N ∩ w(I)^{−1}Δ(n, ℤ)w(I)| = |w(I)N w(I)^{−1} ∩ Δ(n, ℤ)|

ist, bestimmen wir zunächst den linken unteren n × n Block von w(I)N w(I)^{−1}. Sei dazu

w(I) ∈ W^{(n)} und m = ( \begin{matrix}u & g \\ 0 & o \end{matrix} ) ∈ N .

Für geeignete Einträge ⋆ gilt dann:

w(I)mw(I)^{−1} = ( \begin{matrix}⋆ & ⋆ \\ (I − E_{n})uI + (I − E_{n})g(E_{n} − I) + Io(E_{n} − I) & ⋆ \end{matrix} ) .

Untersuchen wir nun einzeln die drei Summanden im unteren linken n × n Block von w(I)mw(I)^{−1}. Da m ∈ N ist, ist die Matrix u eine untere linke Dreiecksmatrix. Multipliziert man u von rechts mit I, haben alle Spalten s_{i} von uI Einträge gleich Null, bei denen in I am i-ten Diagonalelement eine Null steht. Alle anderen Einträge sind die gleichen wie in u. Durch Multiplikation von links mit (I − E_{n}) werden nun alle Zeilen z_{i} von uI zu Null, für die am i-ten Diagonalelement von I eine Eins steht. Alle anderen Einträge werden mit −1 multipliziert. Insbesondere sind alle Diagonaleinträge von (I − E_{n})uI gleich Null. Analog können wir für Io(E_{n} − I) vorgehen. Hier erhält man, da o obere rechte Dreiecksmatrix ist, nur Einträge ungleich Null, die oberhalb der Diagonale stehen. Deshalb haben Io(E_{n} − I) und (I − E_{n})uI keinen Eintrag ungleich Null an derselben Stelle. (I − E_{n})g(E_{n} − I) erhält man aus g, indem man alle Einträge von Zeilen z_{i} und Spalten s_{i} von g mit Nullen auffüllt, für die am i-ten Diagonalelement von I eine Eins steht. Man sieht ebenfalls, dass es für sowohl Io(E_{n} − I) und (I − E_{n})g(E_{n} − I), als auch für (I − E_{n})uI und (I − E_{n})g(E_{n} − I) keine gemeinsame Stelle gibt, an der ein Element steht, das ungleich Null ist. Dies wird deutlich, da in Io(E_{n} − I) alle Zeilen Null sind, für die am i-ten Diagonalelement von I eine Null steht und für (I − E_{n})g(E_{n} − I) sind alle Zeilen Null, für die am i-ten Diagonalelement von I eine Eins steht. Bei (I − E_{n})uI und (I − E_{n})g(E_{n} − I) betrachte man analog die Spalten. Es gilt also: Ist ein Eintrag im unteren linken n × n Block von w(I)mw(I)^{−1} ungleich Null, so ist an dieser Stelle auch genau ein Eintrag der drei Summanden (I − E_{n})uI, (I − E_{n})g(E_{n} − I) oder Io(E_{n} − I) ungleich Null. Da m symplektisch ist, also uo^{t} = E_{n} gilt, ist o durch u eindeutig bestimmt und es gilt:

Io(E_{n} − I) = 0 ⇔ (I − E_{n})uI = 0.

Es folgt:

|N ∩ w(I)^{−1}Δ(n, ℤ)w(I)| = \frac{p^{n^{2}}}{|G(I)||Ũ(I)|}

mit

G(I) = {(I − E_{n})g(E_{n} − I)| g ∈ MAT^{sym}(n, ℤ_{[p]})}

und

Ũ(I) = {(I − E_{n})uI | u ∈ MAT^{△}(n, ℤ_{[p]}) mit Diagonaleinträgen 1} .

Da G(I) aus symmetrischen Matrizen besteht, ist:

|G(I)| = p^{\frac{(n−e_{I})(n−e_{I} +1)}{2}}

mit

e_{I} = rg(I).  (2.6)

Hierbei bezeichnet rg(I) den Rang von I. Des weiteren ist

|Ũ(I)| = p^{t_{I}}

mit

t_{I} = ∑_{{i=1 \atop I_{ii}=1}}^{n−1} ♯\{I_{jj} = 0| i < j ≤ n\},  (2.7)
t_{0_{n}} = 0.

(2.8)

Im Gegensatz zur Übereinkunft Matrixeinträge mit Kleinbuchstaben zu bezeichnen, seien hierbei und im Folgenden I_{ii}, i ∈ {1, …, n} die Diagonalelemente von I. Einige spezielle Werte für t_{I} finden sich in Tabelle 2.1 auf Seite 43. Insgesamt erhalten wir nun also:

|N^{w}(I)| = \frac{|N |}{|N ∩ w(I)^{−1}Δ(n, ℤ)w(I)|}
= |G(I)||Ũ(I)| = p^{t_{I}+ \frac{(n−e_{I})(n−e_{I} +1)}{2}} .

Wir teilen die Repräsentanten nun in die Mengen R_{p}^{(n)}(0), …, R_{p}^{(n)}(n) ein. Hierbei enthalte R_{p}^{(n)}(i) alle diejenigen Repräsentanten aus

⋃_{w(I)∈W^{(n)}} w(I)N^{w(I)},

für die der untere linke n × n-Block den Rang i hat. Dies sind genau die Klassen w(I)N^{w(I)}, für die I Rang n − i hat, also

R_{p}^{(n)}(i) = ⋃_{{w(I)∈W^{(n)} \atop e_{I} =n−i}} w(I)N^{w(I)}.

Setzen wir nun noch r_{p}^{(n)}(i) = |R_{p}^{(n)}(i)|, so liefert eine kleine Rechnung zum Beispiel:

r_{p}^{(1)}(0) = 1, r_{p}^{(1)}(1) = p,

und

r_{p}^{(2)}(0) = 1, r_{p}^{(2)}(1) = p + p^{2}, r_{p}^{(2)}(2) = p^{3}.

Lemma 2.2 (Pascalsches Dreieck) Es gilt:

i) r_{p}^{(n)}(n) = p^{\frac{n(n+1)}{2}} ,

ii) r_{p}^{(n)}(0) = 1,

iii) r_{p}^{(n)}(i) = p^{i}r_{p}^{(n−1)}(i − 1) + p^{i}r_{p}^{(n−1)}(i), falls 0 < i < n.

Beweis: Teil i) und ii) der Aussage erhält man sofort, da

r_{p}^{(n)}(n) = |R_{p}^{(n)}(n)| = |w(0_{n})N^{w(0_{n})}| = p^{\frac{n(n+1)}{2}}

und

r_{p}^{(n)}(0) = |R_{p}^{(n)}(0)| = |w(E_{n})N^{w(E_{n})}| = \frac{|N |}{|N |} = 1

ist. Für Teil iii) der Aussage sei n > 2, w(I)N^{w(I)} ⊂ R_{p}^{(n)}(i) und I = Diag(x_{1}, …, x_{n}). Wir unterscheiden nun die beiden Fälle x_{1} = 0 und x_{1} = 1. Ist x_{1} = 0, dann hat I′ = Diag(x_{2}, …, x_{n}) genau n − i = (n − 1) − (i − 1) Einsen als Einträge. Das zu I′ gehörige w(I′) ∈ W^{(n−1)} liefert uns also eine Klasse w(I′)N^{w(I′)} aus R_{p}^{(n−1)}(i − 1). Da die erste Stelle in w eine Null ist, ist t_{I} = t_{I′}. Da die Anzahl der Einsen in I und I′ übereinstimmen, folgt für e_{I} und e_{I′} dass e_{I} = e_{I′} ist. Also ist |w(I)N^{w}(I)| = p^{i}|w(I′)N^{w(I′)}|, denn

\frac{(n − e_{I})(n − e_{I} + 1)}{2} = \frac{i(i + 1)}{2}
= \frac{(i − 1)i}{2} + i
= \frac{(n − 1 − e_{I′})(n − e_{I′})}{2} + i.

Ist nun x_{1} = 1, so geht mit denselben Notationen wie im obigen Fall I′ aus I hervor, indem man bei I die erste Stelle, eine Eins, streicht. Diesmal ist w(I′)N^{w(I′)} eine Klasse aus R_{p}^{(n−1)}(i). Für t_{I} und t_{I′} ergibt sich nun t_{I′} + i = t_{I}. Wegen Streichens einer Eins ist e_{I} = e_{I′} + 1 und deshalb

\frac{(n − e_{I})(n − e_{I} + 1)}{2} = \frac{(n − 1 − e_{I′})(n − 1 − e_{I′} + 1)}{2}.

Es gilt also auch hier

p^{i}|w(I′)N^{w(I′)}| = |w(I)N^{w}(I)|.

Insgesamt ist also

|R_{p}^{(n)}(i)| = p^{i}|R_{p}^{(n−1)}(i)| + p^{i}|R_{p}^{(n−1)}(i − 1)|.
□

Bemerkung 2.3 Ist q = p^{ν} eine Primzahlpotenz und bezeichnet 𝔽_{q} den Körper mit q Elementen, so lassen sich die Gaußschen Koeffizienten durch

\binom{n}{k}_{q} = \frac{(q^{n} − 1)(q^{n} − q) … (q^{n} − q^{k−1})}{(q^{k} − 1)(q^{k} − q) … (q^{k} − q^{k−1})}
= \frac{(q^{n} − 1)(q^{n−1} − 1) … (q^{n−k+1} − 1)}{(q^{k} − 1)(q^{k−1} − 1) … (q − 1)}

definieren. Dabei kann \binom{n}{k}_{q} auch als Anzahl der k-dimensionalen Unterräume des n-dimensionalen Vektorraumes 𝔽_{q}^{n} interpretiert werden. Die Gaußschen Koeffizienten bilden ein q-Analogon zu den Binomialkoeffizienten. Unter anderem lässt sich ein Analogon zum Pascalschen Dreieck herleiten

\binom{n}{k}_{q} = \binom{n − 1}{k − 1}_{q} + q^{k}\binom{n − 1}{k}_{q}.

Diese und andere Tatsachen über Gaußsche Koeffizienten findet man in [3]. Mit Hilfe des obigen Lemmas 2.2 und Induktion nach n lässt sich nun leicht zeigen, dass

r_{p}^{(n)}(i) = p^{\frac{i(i−1)}{2}} \binom{n}{i}_{p}  (2.9)

gilt. Siehe Bemerkung 2.11 für den Beweis einer allgemeineren Formel.

□

Bemerkung 2.4 Für I ∈ D^{(n)} seien

G(I) = {(I − E_{n})g(E_{n} − I) | g ∈ MAT^{sym}(n, ℤ_{[p]})} und
U(I) = {(I − E_{n})uI | u ∈ MAT_{△}(n, ℤ_{[p]}) mit Diagonaleinträgen gleich Null }.

Da

w(I)N w(I)^{−1} ∩ Δ(n, ℤ) ≅ w(I)(N ∩ w(I)^{−1}Δ(n, ℤ)w(I))w(I)^{−1}

und

(I − E_{n})uI = −(Io(E_{n} − I))^{t}

sind, erhalten wir für Γ_{0}^{(n)}(p)\Sp(n, ℤ) das folgende Repräsentantensystem:

˙⋃_{I∈D^{(n)}} \{w(I) ( \begin{matrix}u + E_{n} & g \\ 0 & −u^{t} + E_{n} \end{matrix} )| u ∈ U(I), g ∈ G(I)\} .

Zu beachten ist hierbei, dass

(u^{t} + E_{n})^{−1} = E_{n} − u^{t}

gilt, denn

(u^{t} + E_{n})^{−1}(u^{t} + E_{n}) = E_{n} + (u^{t})^{2}.

Da weiter u ∈ U(I) ist, hat u eine Darstellung (I − E_{n})u′I und somit ist

(u^{t})^{2} = I(u′)^{t}(I − E_{n})I(u′)^{t}(I − E_{n})
= I(u′)^{t}0(u′)^{t}(I − E_{n}) = 0.
□

Beispiel 2.5 Bezeichnen wir mit [w(I), G, U] die Menge

w(I) ( \begin{matrix}U + E_{n} & G \\ 0 & −U^{t} + E_{n} \end{matrix} ) ,

so erhält man zum Beispiel als Repräsentantensystem für Γ_{0}^{(3)}(p)\Sp(n, ℤ):

[w ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )]

⋃_{z,b,c∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ b & c & 0 \end{matrix} )]

⋃_{y,a∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}1 \\ & 0 \\ & & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )]

⋃_{x∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )]

⋃_{y,z,w,a,b∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}1 \\ & 0 \\ & & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & y & w \\ 0 & w & z \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ b & 0 & 0 \end{matrix} )]

⋃_{x,z,v,c∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \\ & & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 \\ v & 0 & z \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix} )]

⋃_{x,y,u∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}0 \\ & 0 \\ & & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x & u & 0 \\ u & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )]

⋃_{x,y,z,u,v,w∈ℤ_{[p]}}  [w ( \begin{matrix}0 \\ & 0 \\ & & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x & u & v \\ u & y & w \\ v & w & z \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )] .
□

Als nächstes wollen wir den Fall betrachten, in dem die Stufe N nicht mehr quadratfrei ist. Für den nicht quadratfreien Fall genügt es wegen (1.2) Primzahlpotenzen zu betrachten. Wir nehmen deshalb im Folgenden an, dass N = p^{ν} eine Primzahlpotenz ist. Wir bestimmen im nächsten Beispiel Repräsentantensysteme für n = 1 und n = 2 und werden uns dann erst mit höheren Dimensionen beschäftigen.

Beispiel 2.6

i) Im Fall n = 1 kann man für

Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})\SL(2, ℤ)

durch

R_{p^{ν}}^{(1)}(0) ∪ R_{p^{ν}}^{(1)}(1)

mit

R_{p^{ν}}^{(1)}(0) = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ h & 1 \end{matrix} )| h ∈ pℤ_{[p^{ν−1}]}\}

und

R_{p^{ν}}^{(1)}(1) = \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & d \end{matrix} )| d ∈ ℤ_{[p^{ν}]}\}

ein Repräsentantensystem angeben. Denn wie die folgenden Äquivalenzen zeigen

Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ h & 1 \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ h′ & 1 \end{matrix} )
⟺ Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ h − h′ & 1 \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & d \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & d′ \end{matrix} )
⟺ Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ d − d′ & 1 \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}),

Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ h & 1 \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & d \end{matrix} )
⟺ Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}) ( \begin{matrix}d & −1 \\ hd + 1 & −h \end{matrix} ) = Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})

sind alle angegebenen Repräsentanten unabhängig. Beachte hierbei, dass h von p geteilt wird, und deshalb hd + 1 ≢ 0(mod p^{ν}) ist. Folglich ist

♯(R_{p^{ν}}^{(1)}(0)) = p^{ν−1}, ♯(R_{p^{ν}}^{(1)}(1)) = p^{ν}

und somit ist mit (1.1)

♯(R_{p^{ν}}^{(1)}(0)) + ♯(R_{p^{ν}}^{(1)}(1)) = p^{ν} (1 + \frac{1}{p}) = [Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})].

Demnach ist R_{p^{ν}}^{(1)}(0) ∪ R_{p^{ν}}^{(1)}(1) ein vollständiges Repräsentantensystem.

ii) Für n = 2 kann ein Repräsentantensystem für

Γ_{0}^{(2)}(p^{ν})\Sp(2, ℤ) = R_{p^{ν}}^{(2)}(0) ∪ R_{p^{ν}}^{(2)}(1) ∪ R_{p^{ν}}^{(2)}(2)

angegeben werden, indem man

R_{p^{ν}}^{(2)}(0) = w ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \end{matrix} ) \{\binom{E_{2}}{h E_{2}}| h ∈ MAT^{sym}(2, pℤ_{[p^{ν−1}]})\} ,

R_{p^{ν}}^{(2)}(1) = w ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 & o & g \\ & 1 \\ & & 1 \\ & h & −o & 1 \end{matrix} )| g ∈ ℤ_{[p^{ν}]}; h, o ∈ pℤ_{[p^{ν−1}]}\}

∪ w ( \begin{matrix}1 \\ & 0 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 \\ u & 1 & & g \\ h & & 1 & −u \\ & & & 1 \end{matrix} )| g, u ∈ ℤ_{[p^{ν}]}; h ∈ pℤ_{[p^{ν−1}]}\} ,

R_{p^{ν}}^{(2)}(2) = w ( \begin{matrix}0 \\ & 0 \end{matrix} ) \{\binom{E_{2} g}{E_{2}}| g ∈ MAT^{sym}(2, ℤ_{[p^{ν}]})\}

setzt. Eine ähnliche Rechnung wie im Fall n = 1 zeigt, dass je zwei Repräsentanten nicht zur selben Klasse gehören. Weiter ist

♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(0)) = (p^{ν−1})^{3},
♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(1)) = p^{ν}(p^{ν−1})^{2} + (p^{ν})^{2}p^{ν−1} und
♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(2)) = (p^{ν})^{3},

also gilt mit (1.1):

♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(0)) + ♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(1)) + ♯(R_{p^{ν}}^{(2)}(2)) = (p^{ν})^{3} (1 + \frac{1}{p}) (1 + \frac{1}{p^{2}} )
= [Sp(2, ℤ) : Γ_{0}^{(2)}(p^{ν})]

und somit ist R_{p^{ν}}^{(2)}(0) ∪ R_{p^{ν}}^{(2)}(1) ∪ R_{p^{ν}}^{(2)}(2) auch ein vollständiges Repräsentantensystem.

□

Bevor wir im nächsten Satz für eine beliebige Dimension n ein Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ) angeben, führen wir noch einige Bezeichnungen ein. Repräsentantensysteme für ein allgemeines N ∈ ℕ erhält man dann durch Liftung mit Hilfe des starken Approximationssatzes, und (1.2). Für I ∈ D^{(n)} seien, allgemeiner als in Bemerkung 2.4:

G(I) = {(I − E_{n})g(E_{n} − I)| g ∈ MAT^{sym}(n, ℤ_{[p^{ν}]})} und
U(I) = {(I − E_{n})uI | u ∈ MAT_{△}(n, ℤ_{[p^{ν}]}) mit Diagonaleinträgen gleich Null.} .

Seien weiter:

H(I) = {IhI| h ∈ MAT^{sym}(n, pℤ_{[p^{ν−1}]})},
O(I) = {(I − E_{n})oI | o ∈ MAT^{△}(n, pℤ_{[p^{ν−1}]}) mit Diagonaleinträgen gleich Null.} ,

und

N(I) = \{( \begin{matrix}u + o + E_{n} & g \\ h & −u^{t} − o^{t} + E_{n} \end{matrix} )| {u ∈ U(I), g ∈ G(I) \atop h ∈ H(I), o ∈ O(I)} \} .

Beachte, dass sich hier die Bedeutung von o in Bezug auf die Ausführungen nach Proposition 2.1 geändert hat. Analog zu Bemerkung 2.4 sieht man, dass

(u^{t} + o^{t} + E_{n})^{−1} = E_{n} + ∑_{i=1}^{n−1}(−1)^{i}(u^{t} + o^{t})^{i} = −u^{t} − o^{t} + E_{n}

ist.

Satz 2.7 Mit den obigen Bezeichnungen ist ein vollständiges Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ) durch die Menge

˙⋃_{I∈D^{(n)}}w(I)N(I)

gegeben. Beweis: Unter Ausnutzung von gh = 0 für g ∈ G(I), h ∈ H(I), ist es leicht nachzuprüfen, dass die Elemente von N(I) symplektische Matrizen sind. Wir werden wie in den obigen Beispielen vorgehen und zeigen, dass die angegebenen Repräsentanten alle zu unterschiedlichen Klassen gehören. Anschließend werden wir sie zählen und mit Hilfe von Formel (1.1) sehen, dass die Repräsentantensysteme vollständig sind. Seien I ∈ D^{(n)} und das dazugehörige

w(I) = ( \begin{matrix}I & E_{n} − I \\ I − E_{n} & I \end{matrix} ) ∈ W^{(n)}

vorgegeben. Sei weiter

m = ( \begin{matrix}u + o + E_{n} & g \\ h & −u^{t} − o^{t} + E_{n} \end{matrix} ) ∈ N(I).

Dann ist

w(I)m
= ( \begin{matrix}I(u + o) + I + (E_{n} − I)h & Ig + (E_{n} − I)(−u^{t} − o^{t} + E_{n}) \\ (I − E_{n})(u + o) + (I − E_{n}) + Ih & (I − E_{n})g + I(−u^{t} − o^{t} + E_{n}) \end{matrix} ) .

Da u ∈ U(I), o ∈ O(I), h ∈ H(I) und g ∈ G(I) sind, können wir u als (I−E_{n})u′I, o als (I − E_{n})o′I, h als Ih′I und g als (I − E_{n})g′(E_{n} − I) schreiben. Deshalb und aufgrund der Beziehungen I(E_{n} − I) = 0 und (E_{n} − I)I = 0 sieht man, dass zum Beispiel der obere linke Eintrag von w(I)m = I ist. Ähnlich zu dieser Argumentation lässt sich nun w(I)m zu

( \begin{matrix}I & E_{n} − I \\ X & Y \end{matrix} )

mit

X = −(I − E_{n})(u′ + o′)I + (I − E_{n}) + Ih′I
Y = −(I − E_{n})g′(E_{n} − I) + I − I((u′)^{t} + (o′)^{t})(I − E_{n})

umformen. Damit ist

(w(I)m)^{−1}
= ( \begin{matrix}−(E_{n} − I)g′^{t}(I − E_{n}) + I − (I − E_{n})(u′ + o′)I & −(E_{n} − I) \\ I(u′^{t} + o′^{t})(I − E_{n}) − (I − E_{n}) − Ih′^{t}I & I \end{matrix} ) .

Seien nun w(I_{1})m_{1} und w(I_{2})m_{2} zwei Repräsentanten. Dann ist der linke untere Eintrag von w(I_{1})m_{1}(w(I_{2})m_{2})^{−1}, wenn wir die Einträge von w(I_{i}) und m_{i}, i ∈ {1, 2} entsprechend indizieren, gegeben als:

(−(I_{1} − E_{n})(u′_{1} + o′_{1})I_{1} + (I_{1} − E_{n}) + I_{1}h′_{1}I_{1})
· (−(E_{n} − I_{2})g′_{2}^{t}(I_{2} − E_{n}) + I_{2} − (I_{2} − E_{n})(u′_{2} + o′_{2})I_{2})
+ (−(I_{1} − E_{n})g′_{1}(E_{n} − I_{1}) + I_{1} − I_{1}((u′_{1})^{t} + o′_{1}^{t})(I_{1} − E_{n}))
· (I_{2}(u′_{2}^{t} + o′_{2}^{t})(I_{2} − E_{n}) − (I_{2} − E_{n}) − I_{2}h′_{2}^{t}I_{2}).

Beschränken wir uns zunächst auf den Fall, in dem I_{1} = I_{2} = I ist. Dann vereinfacht sich der obige Ausdruck zu:

(E_{n} − I)(g′_{2}^{t} − g′_{1})(I − E_{n}) + I(h′_{1} − h′_{2}^{t})I
+ (I − E_{n})((u′_{2} + o′_{2}) − (u′_{1} + o′_{1}))I + I((u′_{2}^{t} + o′_{2}^{t}) − (u′_{1}^{t} + o′_{1}^{t}))(I − E_{n}).

Durch Betrachtung der jeweils linken beziehungsweise rechten Faktoren von je zwei dieser vier Summanden wird klar: Hat einer der Summanden an der ij-ten Stelle einen Eintrag, der von Null verschieden ist, so muss der andere Summand an der ij-ten Stelle als Eintrag eine Null haben. Der untere linke Block von w(I_{1})m_{1}(w(I_{2})m_{2})^{−1} ist also für I_{1} = I_{2} genau dann gleich Null, wenn g_{2}^{t} = g_{1}, h_{1} = h_{2}^{t} und u_{2} + o_{2} = u_{1} + o_{1} sind. Da für i ∈ {0, 1} die Matrizen g_{i} und h_{i} symmetrisch und u_{i} untere, o_{i} obere Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Diagonalen sind, sind für I ∈ D^{(n)} die beiden Repräsentanten w(I)m_{1} und w(I)m_{2} genau dann gleich, wenn m_{1} = m_{2} ist. Die angegebenen Repräsentanten in der Menge w(I)N(I) gehören also zu unterschiedlichen Klassen. Nehmen wir nun an, dass I_{1} und I_{2} unterschiedlich sind. Sie unterscheiden sich also an mindestens einer Stelle, die auf der Diagonalen liegen muss, zum Beispiel an der Stelle ii. Wir unterscheiden die beiden Fälle

i) I_{1}_{ii} = 1 und I_{2}_{ii} = 0,

ii) I_{1}_{ii} = 0 und I_{2}_{ii} = 1,

von denen es aufgrund der Symmetrie des Problems genügt den ersten zu betrachten. In diesem können wir dann in der oben angegebenen Darstellung für den linken unteren Block von w(I_{1})m_{1}(w(I_{2})m_{2})^{−1} alle Summanden streichen, die an der ii-ten Stelle keinen Beitrag zur Summe liefern. Dies sind wenigstens diejenigen Summanden, die zum einen von rechts mit I_{2}, oder zum anderen von links mit I_{1} − E_{n} multipliziert werden, denn im ersten Fall ist die i-te Zeile im Produkt Null und im zweiten die i-te Spalte. Für die n + i, i-te Stelle von w(I_{1})m_{1}(w(I_{2})m_{2})^{−1} erhalten wir also aus obigem Ausdruck:

( \begin{matrix}− & I_{1}h′_{1}I_{1}(E_{n} − I_{2})g′_{2}^{t}(I_{2} − E_{n}) \\ + & I_{1}I_{2}(u′_{2}^{t} + o′_{2}^{t})(I_{2} − E_{n}) \\ − & I_{1}(I_{2} − E_{n}) \\ − & I_{1}(u′_{1}^{t} + o′_{1}^{t})(I_{1} − E_{n})I_{2}(u′_{2}^{t} + o′_{2}^{t})(I_{2} − E_{n}) \\ + & I_{1}(u′_{1}^{t} + o′_{1}^{t})(I_{1} − E_{n})(I_{2} − E_{n}) \end{matrix} )_{ii} .

Im zweiten und fünften Summanden wird hier von links beziehungsweise von rechts mit einer Matrix I_{1}I_{2} beziehungsweise (I_{1} − E_{n})(E_{n} − I_{2}) multipliziert, die an der ii-te Stelle eine Null hat. Im letzten Summanden multipliziert man von rechts mit der Matrix (E_{n} − I_{1})(I_{2} − E_{n}), die an der ii-ten Stelle eine Null hat. Unser Ausdruck vereinfacht sich also weiter zu:

( \begin{matrix}− & I_{1}h′_{1}I_{1}(E_{n} − I_{2})g′_{2}^{t}(I_{2} − E_{n}) \\ − & I_{1}(I_{2} − E_{n}) \\ − & I_{1}(−u′_{1}^{t} − o′_{1}^{t})(I_{1} − E_{n})I_{2}(u′_{2}^{t} + o′_{2}^{t})(I_{2} − E_{n}) \end{matrix} )_{ii} .

Der zweite Summand liefert nun an der ii-ten Stelle eine Eins. Die anderen liefern, bis auf den Summanden I_{1}(u′_{1})^{t}(I_{1} − E_{n})I_{2}u′_{2}^{t}(I_{2} − E_{n}), zur Summe nur Beiträge, die Null oder aber ein Vielfaches von p sind, da in jedem ein Faktor h′_{1} beziehungsweise o′_{1}^{t} oder o′_{2}^{t} vorkommt, der nur Einträge hat, die entweder Null sind oder aber durch p teilbar sind. Der Summand I_{1}(u′_{1})^{t}(I_{1} − E_{n})I_{2}u′_{2}^{t}(I_{2} − E_{n}) ist ein Produkt aus strikten oberen Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen, hat also auf der ganzen Diagonalen Einträge, die Null sind. Somit ist auch der Eintrag an der ii-ten Stelle gleich Null. Insgesamt folgt deshalb dass der ii-te Eintrag im linken unteren Block von w(I_{1})m_{1}(w(I_{2})m_{2})^{−1} aus 1+pℤ ist, also insbesondere ist dieser Eintrag ungleich Null. In den Mengen w(I_{1})N(I_{1}) und w(I_{2})N(I_{2}) können also im gerade betrachteten Fall nur Repräsentanten unterschiedlicher Klassen sein. Damit liefern w(I_{1})m_{1} und w(I_{2})m_{2} auch hier Repräsentanten unterschiedlicher Klassen von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ). Wir verallgemeinern nun die Bezeichnung für R_{N}^{(n)}(i), N = p auf den Fall, in dem N = p^{ν} eine Primzahlpotenz ist, indem wir

R_{p^{ν}}^{(n)}(i) = ⋃_{{I∈D^{(n)} \atop e_{I} =n−i}} w(I)N(I), i ∈ \{0, …, n\}

setzen. Sei wieder r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = |R_{p^{ν}}^{(n)}(i)|. Wir werden in Lemma 2.10 zeigen, dass

∑_{i=0}^{n} r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = p^{ν \frac{n(n+1)}{2}} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} )

ist. Damit ist dann mit (1.1)

| ⋃_{I∈D^{(n)}} w(I)N(I)| = [Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)].

Somit ist das angegebene Repräsentantensystem vollständig und der Satz bis auf Lemma 2.10 bewiesen.

□

Bevor wir zum fehlenden Lemma aus dem Beweis von Satz 2.7 kommen, setzen wir

s_{I} = ∑_{{i=1 \atop I_{ii}=0}}^{n−1} ♯\{I_{jj} = 1 | i < j ≤ n\},  (2.10)
s_{0_{n}} = 0

und zeigen eine Rekursionsformel (Pascalsches Dreieck) für r_{p^{ν}}^{(n)}(i). Des weiteren geben wir im folgenden Beispiel noch einige spezielle Werte für die in (2.7), (2.6) und (2.10) eingeführten Bezeichnungen an.

\begin{matrix}i_{1} & i_{2} & e_{I} & s_{I} & t_{I} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 \end{matrix}  \begin{matrix}i_{1} & i_{2} & i_{3} & e_{I} & s_{I} & t_{I} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 0 & 0 \end{matrix}

Tabelle 2.1: Einige spezielle Werte für e_{I}, t_{I} und s_{I}

Beispiel 2.8 Ist I = Diag(i_{1}, …, i_{n}), i_{j} ∈ {0, 1}, so ergeben sich für n = 2 und n = 3 die in Tabelle 2.1 aufgeführten Werte.

□

Für die Mächtigkeit der Mengen G(I), H(I), U(I), O(I) gilt:

|G(I)| = p^{ν \frac{(n−e_{I})(n−e_{I} +1)}{2}} ,
|H(I)| = p^{(ν−1) \frac{e_{I} (e_{I} +1)}{2}} ,
|U(I)| = p^{νt_{I}},
|O(I)| = p^{(ν−1)s_{I}}.

Deshalb ist:

|w(I)N(I)| = p^{(ν−1) \frac{e_{I} (e_{I} +1)}{2} +ν \frac{(n−e_{I})(n−e_{I} +1)}{2} +νt_{I}+(ν−1)s_{I}}.

Lemma 2.9 (Pascalsches Dreieck) Es gilt:

i) r_{p^{ν}}^{(n)}(0) = p^{(ν−1) \frac{n(n+1)}{2}} ,

ii) r_{p^{ν}}^{(n)}(n) = p^{ν \frac{n(n+1)}{2}} .

Und für 0 < i < n ist

iii) r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = p^{(ν−1)(n−i)+iν}r_{p^{ν}}^{(n−1)}(i − 1) + p^{(ν−1)(n−i)+iν}r_{p^{ν}}^{(n−1)}(i).

Beweis: Teil i) und ii) des Lemmas sind klar, da r_{p^{ν}}^{(n)}(0) = |H(E_{n})| und r_{p^{ν}}^{(n)}(n) = |G(0_{n})| ist. Um Teil iii) der Aussage zu zeigen sei

I = Diag(x_{1}, …, x_{n}) und I′ = Diag(x_{2}, …, x_{n}) mit x_{j} ∈ {0, 1}.

Wir betrachten zuerst den Fall x_{1} = 0. Hier ist

|G(I)| = p^{(n−e_{I})ν}|G(I′)| = p^{iν}|G(I′)| und
|H(I)| = |H(I′)|.

Da s_{I} = s_{I′} + e_{I′} = s_{I′} + (n − i) ist, ist

|O(I)| = p^{(n−i)(ν−1)}|O(I′)|,

und wegen t_{I} = t_{I′} erhalten wir:

|U(I)| = |U(I′)|.

Im Fall x_{1} = 1 gilt:

|G(I)| = |G(I′)|

und

|H(I)| = p^{e_{I}(ν−1)}|H(I′)| = p^{(n−i)(ν−1)}|H(I′)|.

Da t_{I} = t_{I′} + (n − e_{I′}) = t_{I′} + i ist, folgt

|U(I)| = p^{iν}|U(I′)|.

Wegen s_{I} = s_{I′} ist

|O(I)| = |O(I′)|.

Wir erhalten also:

r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = |R_{p^{ν}}^{(n)}(i)| = | ⋃_{{I∈D^{(n)} \atop e_{I} =n−i}} w(I)N(I)|

= | ⋃_{I∈D^{(n)} ; {e_{I} =n−i \atop I_{11}=0}} w(I)N(I)| + | ⋃_{I∈D^{(n)} ; {e_{I} =n−i \atop I_{11}=1}} w(I)N(I)|

= ∑_{{I∈D^{(n)} \atop e_{I} =n−i} ; I_{11}=0} |G(I)||H(I)||U(I)||O(I)|

+ ∑_{{I∈D^{(n)} \atop e_{I} =n−i} ; I_{11}=1} |G(I)||H(I)||U(I)||O(I)|.

Den ersten Summanden können wir nun mit Hilfe der obigen Betrachtungen als Summe über I′ ∈ D^{(n−1)} mit e_{I′} = n−i, und den zweiten Summanden als Summe über I′ ∈ D^{(n−1)} mit e_{I′} = n − i − 1 ausdrücken. Also ist

r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = ∑_{{I′∈D^{(n−1)} \atop e_{I′} =n−i}} p^{iν}|G(I′)||H(I′)||U(I′)|p^{(ν−1)(n−i)}|O(I′)|

+ ∑_{{I′∈D^{(n−1)} \atop e_{I′} =n−i−1}} |G(I′)|p^{(ν−1)(n−i)}|H(I′)|p^{iν}|U(I′)||O(I′)|

= p^{iν}p^{(ν−1)(n−i)} ∑_{{I′∈D^{(n−1)} \atop e_{I′} =n−i}} |G(I′)||H(I′)||U(I′)||O(I′)|

+p^{iν}p^{(ν−1)(n−i)} ∑_{{I′∈D^{(n−1)} \atop e_{I′} =n−i−1}} |G(I′)||H(I′)||U(I′)||O(I′)|

= p^{iν+(ν−1)(n−i)}r_{p^{ν}}^{(n−1)}(i − 1) + p^{iν+(ν−1)(n−i)}r_{p^{ν}}^{(n−1)}(i).
□

Lemma 2.10

∑_{I∈D^{(n)}} |w(I)N(I)| = ∑_{i=1}^{n} r_{p^{ν}}^{(n)}(i) = p^{ν \frac{n(n+1)}{2}} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) .

Beweis: Die erste Gleichung ist offensichtlich. Um die zweite zu zeigen werden wir eine Induktion nach n durchführen. Wir haben in Beispiel 2.6 die Behauptung bereits für n = 1 und n = 2 nachgerechnet. Setzen wir q = p^{ν}, so gilt nach Lemma 2.9 die Rekursionsformel

r_{q}^{(n)}(i) = (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i}r_{q}^{(n−1)}(i − 1) + (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i}r_{q}^{(n−1)}(i),

und somit erhalten wir unter Ausnutzung von Lemma 2.9 i), ii) und iii) für ein α ∈ ℕ, 1 ≤ α ≤ n

∑_{i=0}^{n−α} (\frac{q}{p})^{α(n−α−i)} q^{αi}r_{q}^{(n−α)}(i)

= (\frac{q}{p})^{α(n−α)} r_{q}^{(n−α)}(0) + q^{α(n−α)}r_{q}^{(n−α)}(n − α)

+ ∑_{i=1}^{n−α−1} (\frac{q}{p})^{α(n−α−i)} q^{αi} ((\frac{q}{p})^{n−α−i} q^{i}r_{q}^{(n−α−1)}(i − 1)

+ (\frac{q}{p})^{n−α−i} q^{i}r_{q}^{(n−α−1)}(i))

= ∑_{i=1}^{n−α} (\frac{q}{p})^{(α+1)(n−α−i)} q^{(α+1)i}r_{q}^{(n−α−1)}(i − 1)

+ ∑_{i=0}^{n−α−1} (\frac{q}{p})^{(α+1)(n−α−i)} q^{(α+1)i}r_{q}^{(n−α−1)}(i)

= ∑_{i=0}^{n−α−1} ((\frac{q}{p})^{(α+1)(n−α−(i+1))} q^{(α+1)(i+1)}r_{q}^{(n−α−1)}(i)

+ (\frac{q}{p})^{(α+1)(n−α−i)} q^{(α+1)i}r_{q}^{(n−α−1)}(i))

= ((\frac{q}{p})^{α+1} + q^{α+1}) ∑_{i=0}^{n−α−1} (\frac{q}{p})^{(α+1)(n−α−1−i)} q^{(α+1)i}r_{q}^{(n−α−1)}(i).

Damit erhält man dann durch wiederholte Anwendung dieser Formel:

∑_{i=0}^{n} r_{q}^{(n)}(i) = (p^{ν−1} + p^{ν}) ∑_{i=0}^{n−1} p^{(ν−1)(n−1−i)}p^{iν}r_{q}^{(n−1)}(i)
= (p^{ν−1} + p^{ν}) (p^{2(ν−1)} + p^{2ν}) ∑_{i=0}^{n−2} p^{2(ν−1)(n−2−i)}p^{2iν}r_{q}^{(n−2)}(i)
⋮
= ∏_{i=1}^{n−1} (p^{i(ν−1)} + p^{iν}) \underbrace{∑_{i=0}^{1} p^{(n−1)(ν−1)(1−i)}p^{(n−1)iν}r_{q}^{(1)}(i)}

= p^{n−1}r_{q}^{(1)}(0) + p^{n−1}r_{q}^{(1)}(1) = p^{(ν−1) \frac{(n−1)n}{2}} + p^{ν \frac{(n−1)n}{2}}

= ∏_{i=1}^{n} (p^{i(ν−1)} + p^{iν}) = p^{ν \frac{n(n+1)}{2}} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) .
□

Damit ist nun auch Satz 2.7 bewiesen.

Bemerkung 2.11 Um eine zu Bemerkung 2.3 analoge Interpretation von r_{q}^{(n)}(i) zu erhalten, lässt sich hier leicht mit Hilfe von Lemma 2.9 und Induktion nach n zeigen, dass

r_{q}^{(n)}(i) = (\frac{q}{p})^{\frac{n(n+1)}{2}} p^{\frac{i(i+1)}{2}} \binom{n}{i}_{p}

ist. Beispiel 2.6 liefert hierbei den Induktionsanfang. Wir können also annehmen, dass n ≥ 3 ist, und wegen Lemma 2.9 i) auch i > 0. Aufgrund von Teil iii) von Lemma 2.9 und der Induktionsannahme folgt nun

r_{q}^{(n)}(i) = (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i} r_{q}^{(n−1)}(i − 1) + (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i} r_{q}^{(n−1)}(i)

= (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i} (\frac{q}{p})^{\frac{(n−1)n}{2}} p^{\frac{(i−1)i}{2}} \binom{n − 1}{i − 1}_{p}

+ (\frac{q}{p})^{n−i} q^{i} (\frac{q}{p})^{\frac{(n−1)n}{2}} p^{\frac{i(i+1)}{2}} \binom{n − 1}{i}_{p} .

Benutzen wir nun noch das Analogon des Pascalschen Dreiecks aus Bemerkung 2.3 und fassen die restlichen p-Potenzen in Termen von \frac{q}{p} und p zusammen, dann folgt die Behauptung.

□

Im Folgenden fügen wir der Notation von N(I) noch einen Index zu und schreiben N_{p^{ν}}(I) anstatt N(I). Es ist also:

Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ) = ⋃_{I∈D^{(n)}} w(I)N_{p^{ν}}(I).

Des weiteren benutzen wir die Multiindexschreibweise. Dabei bezeichne zum Beispiel \underline{i} das Tupel (i_{1}, …, i_{t}). Sei N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} die Primfaktorzerlegung von N. Mit

R_{N}^{(n)}(\underline{i}) bezeichnen wir eine Menge von Elementen aus Sp(n, ℤ), die wir durch Liftung mittels (1.2) aus den Mengen R_{(p_{j}^{ν_{j}})}^{(n)}(i_{j}) (j ∈ {0, …, n}) erhalten. Wir

benutzen hierfür auch die kurze Schreibweise

R_{N}^{(n)}(\underline{i}) ≡ R_{(p_{j}^{ν_{j}})}^{(n)}(i_{j}) (mod Γ_{0}^{(n)}(p_{j}^{ν_{j}})) ∀j ∈ \{1, …, t\}.

Das folgende Korollar ist nun offensichtlich.

Korollar 2.12

i) Die Menge

⋃_{\underline{i}=(0,...,0)}^{\underline{n}} R_{N}^{(n)}(\underline{i})

bildet ein vollständiges Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ).

ii) Setzen wir r_{N}^{(n)}(\underline{i}) = |R_{N}^{(n)}(\underline{i})|, dann gilt:

r_{N}^{(n)}(\underline{i}) = ∏_{j=1}^{t} r_{p_{j}^{ν_{j}}}^{(n)}(i_{j}).

□

Bemerkung 2.13 Sei K ein Zahlkörper mit Ganzheitsring 𝔒_{K} und 𝔑 ein Ideal in 𝔒_{K} mit Primidealzerlegung 𝔑 = ∏_{j=1}^{t} 𝔭_{j}^{ν_{j}}. Sei weiter (𝔒_{K})_{[𝔭_{j}^{ν_{j}}]} ein fest vorgegebenes Repräsen-

tantensystem von 𝔒_{K}/𝔭_{j}^{ν_{j}}𝔒_{K}. Wir setzen in die Definitionen von G(I), H(I), U(I), O(I) von Seite 39 anstatt ℤ_{[p^{ν}]} die Menge (𝔒_{K})_{[𝔭_{j}^{ν_{j}}]} ein und übernehmen die Definition von N(I) (Seite 39), wobei wir auch hier die Mengen ℤ_{[p^{ν}]} durch (𝔒_{K})_{[𝔭_{j}^{ν_{j}}]} ersetzen. Ersetzen wir weiter in den Definitionen von R_{N}^{(n)}(i) und r_{N}^{(n)}(i) (Seite 48) formal N durch 𝔑, so bleiben die Aussagen von Satz 2.7 und Korollar 2.12 gültig:

i) Die Menge

˙⋃_{I∈D^{(n)}}w(I)N(I).

ist ein vollständiges Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(𝔭_{j}^{ν_{j}})\Sp(n, 𝔒_{K})

ii) Die Menge

⋃_{\underline{i}=(0,...,0)}^{\underline{n}} R_{𝔑}^{(n)}(\underline{i})

bildet ein vollständiges Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(𝔑)\Sp(n, 𝔒_{K}) und es gilt:

r_{𝔑}^{(n)}(\underline{i}) = ∏_{j=1}^{t} r_{𝔭_{j}^{ν_{j}}}^{(n)}(i_{j}).

Die hier angegebenen Beweise verlieren bei entsprechender Anpassung der Notationen nicht ihre Gültigkeit. Beim Zählen der Elemente müssen hierbei Normen genommen werden. Man beachte hierbei auch Bemerkung 1.1.

□

Zur Erläuterung der Begriffe geben wir noch ein einfaches Beispiel an, auf das wir später wieder eingehen werden.

Beispiel 2.14 Sei n = 2. Wir betrachten die Gruppe der Stufe N = 675 = 3^{3} · 5^{2}. Ein Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(2)}(5^{2})\Sp(2, ℤ) ist:

R_{25}^{(2)}(0) = ( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ a & b & 1 \\ b & c & & 1 \end{matrix} )| a, b, c ∈ \{0, 5, 10, 15, 20\}\} ,

R_{25}^{(2)}(1) = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & 1 \\ −1 \\ & & & 1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 & a & x \\ & 1 \\ & & 1 \\ & b & −a & 1 \end{matrix} )| {x ∈ \{0, 1, …, 24\}, \atop a, b ∈ \{0, 5, 10, 15, 20\}} \}

∪ ( \begin{matrix}1 \\ & & & 1 \\ & & 1 \\ & −1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 \\ x & 1 & & y \\ a & & 1 & −x \\ & & & 1 \end{matrix} )| {x, y ∈ \{0, 1, …, 24\}, \atop a ∈ \{0, 5, 10, 15, 20\}} \} ,

R_{25}^{(2)}(2) = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & & & 1 \\ −1 \\ & −1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 & & x & z \\ & 1 & z & y \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )| x, y, z ∈ \{0, 1, …, 24\}\} .

Für R_{27}^{(2)}(2) erhält man das Repräsentantensystem:

R_{27}^{(2)}(2) = ( \begin{matrix}& & 1 \\ & & & 1 \\ −1 \\ & −1 \end{matrix} ) \{( \begin{matrix}1 & & x & z \\ & 1 & z & y \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )| x, y, z ∈ \{0, 1, …, 26\}\} .

Nun ist zum Beispiel die Menge R_{675}^{(2)}(2, 0) von Repräsentanten durch das System:

R_{675}^{(2)}(2, 0) ≡ R_{25}^{(2)}(0) (mod Γ_{0}^{(2)}(25)),
R_{675}^{(2)}(2, 0) ≡ R_{27}^{(2)}(2) (mod Γ_{0}^{(2)}(27))

KAPITEL 2. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N) bestimmt. Also:

R_{675}^{(2)}(2, 0) = \{( \begin{matrix}351 & & g \\ & 351 & & h \\ a & b & d & f \\ b & c & f & e \end{matrix} )| (( \begin{matrix}g \\ h \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}d & f \\ f & e \end{matrix} )) ∈ X\}

mit

X = \{(( \begin{matrix}−9125 \\ −9125 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}350 & 0 \\ 0 & 350 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−9099 & 0 \\ 0 & −9099 \end{matrix} )) ,

(( \begin{matrix}−9125 \\ −13218875 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}350 & 0 \\ 0 & 80 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−9099 & 0 \\ 0 & −3012849 \end{matrix} )) ,

(( \begin{matrix}−9125 \\ 4266325 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}350 & 0 \\ 0 & 215 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−9099 & 0 \\ 0 & 2613276 \end{matrix} )) ,

(( \begin{matrix}−9125 \\ 1893700 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}350 & 0 \\ 0 & 485 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−9099 & 0 \\ 0 & 2616651 \end{matrix} )) , …\} .

Beachte hierbei auch Bemerkung 2.32. Insbesondere ist

|X| = r_{675}^{(2)}(2, 0) = 2460375 = 3^{9} · 5^{3} = r_{27}^{(2)}(2) · r_{25}^{(2)}(0).

Genauso sind

\begin{aligned}r_{675}^{(2)}(2, 2) & = & 5^{3} & · & 3^{6} & = & 91125, \\ r_{675}^{(2)}(2, 1) & = & 5^{3} & · & 4 · 3^{7} & = & 1093500, \\ r_{675}^{(2)}(2, 0) & = & 5^{3} & · & 3^{9} & = & 2460375, \\ r_{675}^{(2)}(1, 2) & = & 6 · 5^{4} & · & 3^{6} & = & 2733750, \\ r_{675}^{(2)}(1, 1) & = & 6 · 5^{4} & · & 4 · 3^{7} & = & 32805000, \\ r_{675}^{(2)}(1, 0) & = & 6 · 5^{4} & · & 3^{9} & = & 73811250, \\ r_{675}^{(2)}(0, 2) & = & 5^{6} & · & 3^{6} & = & 11390625, \\ r_{675}^{(2)}(0, 1) & = & 5^{6} & · & 4 · 3^{7} & = & 136687500, \\ r_{675}^{(2)}(0, 0) & = & 5^{6} & · & 3^{9} & = & 307546875, \end{aligned}

und somit

∑_{l_{1}, l_{2}=0}^{2} r_{675}^{(2)}(l_{1}, l_{2}) = 568620000 = [Γ_{0}^{(2)}(675) : Sp(2, ℤ)].
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2.2. SPITZENKLASSEN VON Γ_{0}^{(N)}(N)

2.2 Spitzenklassen von Γ(n)_{0}(N)

In diesem Abschnitt werden wir vollständige Repräsentantensysteme von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N), also ein Repräsentantensystem von

Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ)

angeben. Wir geben also eine Menge ganzer symplektischer Matrizen aus Sp(n, ℤ) an, die die rationalen, 0-dimensionalen Randkomponenten von Γ_{0}^{(n)}(N) unter der Operation von Sp(n, ℤ) auf dem Siegelschen Halbraum auf die 0-dimensionale Standardrandkomponente abbilden. Eine Darstellung der Theorie zur Satakekompaktifizierung findet sich zum Beispiel bei H. Cartan [11] oder E. Freitag [24]. Ist N quadratfrei, so genügt es, wenn wir uns auf Primzahlstufen N = p beschränken und diese Repräsentantensysteme auf Stufen zu quadratfreiem N liften. Siehe hierzu auch Abschnitt 2.2.3. Für Primzahlstufen erhält man mittels einer Bruhat-Zerlegung, [6], Lemma 8.1 Repräsentantensysteme.

Sei im Weiteren N = p^{ν} eine Primzahlpotenz und sei m ∈ R_{p^{ν}}^{(n)}(i), genauer m ∈ w(I)N_{p^{ν}}(I) für ein I ∈ D^{(n)} mit rg(I) = n − i. Der linke untere n × n Block von m sei (I − E_{n})(u + o) + (I − E_{n}) + Ih mit u ∈ U(I), o ∈ O(I) und h ∈ H(I). Modulo p ist dieser kongruent zu (I − E_{n})u + (I − E_{n}). Der Rang des linken unteren n × n Blocks von m modulo p ist also n − rg(I) = i. Sei nun umgekehrt für ein i ∈ {1, …, n} ein m ∈ Sp(n, ℤ) vorgegeben, dessen unterer linker n × n-Block modulo p den Rang i hat. Da für

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) und m = ( \begin{matrix}Y & ⋆ \\ X & ⋆ \end{matrix} )

gilt:

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}Y & ⋆ \\ X & ⋆ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}⋆ & ⋆ \\ CY + DX & ⋆ \end{matrix} ) ,

ist auch der Rang von CY +DX modulo p gleich i. Also liegt m für ein geeignetes I mit rg(I) = n − i in w(I)N_{p^{ν}}(I) und somit auch in

R_{p^{ν}}^{(n)}(i) = ⋃_{{I∈D^{(n)} \atop rg(I)=n−i}} w(I)N(I).

Da für alle

( \begin{matrix}⋆ & ⋆ \\ X & ⋆ \end{matrix} ) ∈ R_{p^{ν}}^{(n)}(i) und ( \begin{matrix}A^{−1} & B \\ 0 & A^{t} \end{matrix} ) ∈ Δ(n, ℤ)

der Rang von X modulo p gleich dem Rang von XA^{−1} modulo p ist, werden bei der Projektion

P : Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ) → Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ)

Repräsentanten aus R_{p^{ν}}^{(n)}(i) auf Spitzenklassen abgebildet, deren untere n × n Blöcke Rang i haben. Insbesondere werden zwei Repräsentanten m_{1} ∈ R_{p^{ν}}^{(n)}(i_{1}) und m_{2} ∈ R_{p^{ν}}^{(n)}(i_{2}) mit i_{1} ≠ i_{2} auch auf unterschiedliche Spitzenklassen abgebildet. Wir erhalten also folgendes Lemma:

Lemma 2.15 Sei N = ∏_{j=1}^{t} p_{j}^{ν_{j}} eine natürliche Zahl. Unter der Projektion P werden Repräsentanten aus R_{N}^{(n)}(\underline{i}) auf Spitzenklassen abgebildet, deren unterer n × n Block Rang i_{j} modulo p_{j}, j ∈ {1, …, t} hat. Insbesondere werden zwei Repräsentanten m_{1} ∈ R_{N}^{(n)}(i_{11}, …, i_{1t}) und m_{2} ∈ R_{N}^{(n)}(i_{21}, …, i_{2t}) auf unterschiedliche Spitzenklassen abgebildet, falls i_{1j} ≠ i_{2j} für ein j ∈ {1, …, t} ist.

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2.2.1 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) im eindimensionalen Fall

Bevor wir den allgemeinen Fall behandeln, beschränken wir uns auf den Fall der Dimension 1. Hier sind Vertretersysteme für Spitzenklassen bekannt (siehe zum Beispiel [48], Paragraph 4.2). Um Notationen anzupassen und für spätere Untersuchungen beschreiben wir hier diesen Fall dennoch etwas genauer. In [48], Theorem 4.2.7, p.108 wird gezeigt, dass

♯ (Γ_{0}^{(1)}(N)\Sp(1, ℤ)/Δ(1, ℤ)) = ∏_{j=1}^{t} ∑_{v=0}^{ν_{j}} φ (p_{j}^{min{v,ν_{j}−v}})  (2.11)

ist. Hierbei ist φ die Eulersche Phi-Funktion. Wir haben bereits in Beispiel 2.6,

i) gesehen, dass sich Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})\Sp(1, ℤ) in die beiden Mengen R_{p^{ν}}^{(1)}(0) und R_{p^{ν}}^{(1)}(1) zerlegen lässt. Sind

m_{i} = \binom{1}{−1 d_{i}} , i ∈ \{0, 1\}

zwei Elemente aus R_{p^{ν}}^{(1)}(1), so liefern diese unter P wegen der Beziehung

E_{2} \binom{1}{−1 d_{1}} \binom{1 d_{1} − d_{2}}{1} = E_{2} \binom{1}{−1 d_{2}} E_{2}

dieselbe Spitzenklasse von Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}). Zusammen mit Lemma 2.15 folgt, dass R_{p^{ν}}^{(1)} genau einen Repräsentanten enthält. Hierfür können wir

( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )

wählen. Um die Spitzenklassen zu bestimmen, auf die sich die Elemente aus R_{p^{ν}}^{(1)}(0) verteilen, folgen wir [48], p. 110, Mitte. Sei M_{p^{ν}} die Menge der Elemente der Ordnung p^{ν} in ℤ/p^{ν}ℤ × ℤ/p^{ν}ℤ. Die Abbildung von

Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})\Sp(1, ℤ) → M_{p^{ν}}
( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ (a, c)(mod p^{ν})

induziert eine Bijektion

Γ_{0}^{(1)}(p^{ν})\Sp(1, ℤ)/Δ(n, ℤ) → M_{p^{ν}}/ ∼_{1},

wobei ∼_{1} durch

(a, c) ∼_{1} (a′, c′) ⇔ (a′, c′) = ±(xa + yc, x^{−1}c)  (2.12)

mit x ∈ (ℤ/p^{ν}ℤ)^{⋆} und y ∈ ℤ/p^{ν}ℤ definiert wird. Dabei ist ∼_{1} eine Äquivalenzrelation. Jede Äquivalenzklasse enthält hierbei für ein eindeutig bestimmtes v ∈ {0, …, ν} einen Repräsentanten der Form (a, p^{i}). Ist v = 0 dann sind alle Klassen zu (0, 1) äquivalent. Ist v > 0 dann muss a in ℤ/p^{ν}ℤ invertierbar sein und es gilt:

(a, p^{v}) ∼_{1} (a′, p^{v}) ⇔ a ≡ a′ (mod p^{min{v,ν−v}}) .

Setzen wir nun in (2.12) x = a und y = 0, dann folgt:

(a, p^{v}) ∼_{1} (1, a^{−1}p^{v}).

Die Repräsentanten der Spitzenklassen, die man aus R_{p^{ν}}^{(1)}(0) mittels der Projektion P erhält, werden durch die Matrizen der Menge

⋃_{i=0}^{ν−1} S_{p^{ν}}^{(1)}(0; (v))

mit

S_{p^{ν}}^{(1)}(0; (v)) = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ αp^{v} & 1 \end{matrix} )| α ∈ \{1, …, p^{min\{v,ν−v\}} − 1\}, p ∤ α\}

für 1 ≤ v ≤ ν − 1 und

S_{p^{ν}}^{(1)}(0; (0)) = \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \end{matrix} )\}

beschrieben. Setzen wir nun noch für den Repräsentanten, den man mittels P aus R_{p^{ν}}^{(1)}(1) erhält,

S_{p^{ν}}^{(1)}(1; (0)) = \{( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )\} ,

so liefert uns

S_{p^{ν}}^{(1)}(1; (0)) ∪ (⋃_{i=0}^{ν} S_{p^{ν}}^{(1)}(0; (i)))

ein Repräsentantensystem der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}). Bezeichnen wir für die

natürliche Zahl N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} mit

S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = S_{N}^{(1)}(j_{1}, …, j_{t}; (v_{1}), …, (v_{t})),
v_{i} ∈ \{ \begin{matrix}\{0\} & falls & j_{i} = 1, \\ \{0, …, ν_{i} − 1\} & falls & j_{i} = 0 \end{matrix}

eine Menge von Matrizen aus SL(2, ℤ), die man durch Liftung mit Hilfe des starken Approximationssatzes aus den Mengen

S_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(1)}(j_{i}; (v_{i})), i ∈ {1, …, t}

erhält, in Kurzschreibweise:

S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) ≡ S_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(1)}(j_{i}; (v_{i})) (mod Γ_{0}^{(1)}(p_{i}^{ν_{i}})), i ∈ \{1, …, t\},

so gilt die folgende Proposition:

Proposition 2.16 Mit obigen Bezeichnungen ist die Menge:

⋃_{\underline{l}∈\{0,1\}^{t}} ⋃_{\underline{v}} S_{N}^{(1)}(\underline{l}; (\underline{v}))  (2.13)

ein Repräsentantensystem von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(1)}(p^{ν}).

□

Beispiel 2.17 Für N = 675 = 3^{3} · 5^{2} ist:

S_{675}^{(1)}(1, 1; (0), (0)) = \{( \begin{matrix}& 1 \\ −1 \end{matrix} )\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 0; (0), (0)) = \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \end{matrix} )\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 0; (0), (1)) = \{\binom{1}{h 1}| h ∈ \{135, 270, 405, 540\}\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 0; (1), (0)) = \{\binom{1}{h 1}| h ∈ \{300, 600\}\} ,

S_{675}^{(1)}(0, 0; (2), (0)) = \{\binom{1}{h 1}| h ∈ \{225, 450\}\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 0; (1), (1)) = \{\binom{1}{h 1}| h ∈ {\{30, 60, 165, 195, \atop 330, 435, 465, 570\}}\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 0; (2), (1)) = \{\binom{1}{h 1}| h ∈ {\{630, 360, 90, 495, \atop 180, 585, 315, 45\}}\} ,
S_{675}^{(1)}(1, 0; (0), (0)) = \{( \begin{matrix}351 & −9125 \\ 350 & −9099 \end{matrix} )\} ,
S_{675}^{(1)}(1, 0; (0), (1)) = \{( \begin{matrix}351 & −13218875 \\ 80 & −3012849 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}351 & 4266325 \\ 215 & 2613276 \end{matrix} ) ,

( \begin{matrix}351 & 1893700 \\ 485 & 2616651 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}351 & −8377775 \\ 620 & −14798349 \end{matrix} )\}

S_{675}^{(1)}(0, 1; (0), (0)) = \{( \begin{matrix}325 & 8451 \\ 324 & 8425 \end{matrix} )\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 1; (1), (0)) = \{( \begin{matrix}325 & 2260251 \\ 249 & 1731700 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}325 & 350676 \\ 624 & 1401625 \end{matrix} )\} ,
S_{675}^{(1)}(0, 1; (2), (0)) = \{( \begin{matrix}325 & −6443199 \\ 549 & −10884050 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}325 & −10701774 \\ 99 & −3259925 \end{matrix} )\} .

In Abschnitt 2.2.3 auf Seite 74 wird ein Algorithmus zur starken Approximation von Spitzenklassen vorgestellt, mit dessen Hilfe die Elemente aus den Mengen S_{675}^{(1)}(1, 0; (0), (0)), S_{675}^{(1)}(1, 0; (0), (1)) S_{675}^{(1)}(0, 1; (0), (0)), S_{675}^{(1)}(0, 1; (1), (0)) und S_{675}^{(1)}(0, 1; (2), (0)) berechnet wurden. Die Anzahl der Elemente von

Γ_{0}^{(1)}(3^{3} · 5^{2})\Sp(1, ℤ) = ⋃_{\underline{j}∈\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}} R_{675}^{(1)}(\underline{j})

ist

3^{3} · 5^{2} (1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{5}) = 1080.

In der folgenden Tabelle werden die Anzahl der Urbilder der Spitzenklassen aus S_{675}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) in Abhängigkeit von j und (\underline{v}) unter der Projektion

P : Γ_{0}^{(1)}(675)\Sp(1, ℤ) ↦ Γ_{0}^{(1)}(675)\Sp(1, ℤ)/Δ(1, ℤ)

aufgelistet und die Verteilung der 36 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(1)}(675) auf die Menge S_{675}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) dargestellt.

\begin{matrix}(j_{1}, j_{2}; (v_{1}), (v_{2})) & ♯ (S_{675}^{(1)}(j_{1}, j_{2}; (v_{1}), (v_{2}))) & ♯ (P^{−1} (S_{675}^{(1)}(j_{1}, j_{2}; (v_{1}), (v_{2})))) \\ (1, 1; (0), (0)) & 1 & 675 \\ (0, 0; (0), (0)) & 1 & 1 \\ (0, 0; (0), (1)) & 4 & 1 \\ (0, 0; (1), (0)) & 2 & 3 \\ (0, 0; (2), (0)) & 2 & 1 \\ (0, 0; (1), (1)) & 8 & 3 \\ (0, 0; (2), (1)) & 8 & 1 \\ (1, 0; (0), (0)) & 1 & 27 \\ (1, 0; (0), (1)) & 4 & 27 \\ (0, 1; (0), (0)) & 1 & 25 \\ (0, 1; (1), (0)) & 2 & 75 \\ (0, 1; (2), (0)) & 2 & 25 \end{matrix}

□

Für N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} bezeichne

t_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = t_{N}^{(1)}(j_{1}, …, j_{t}; (v_{1}), …, (v_{t}))

die Anzahl der Elemente aus Γ_{0}^{(1)}(N)\Sp(1, ℤ), beziehungsweise aus R_{N}^{(1)}(\underline{j}), die eine fest vorgegebene Spitzenklasse von S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) repräsentieren. Dieser Wert hängt nur von \underline{j} und (\underline{v}) ab.

Definition 2.18 Wir nennen

t_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = |P^{−1} (S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})))|

die Weite einer Spitzenklasse.

□

Eine Verallgemeinerung dieser Definition auf höhere Grade (n > 1) findet man auf Seite 78.

Bemerkung 2.19 Für eine Untergruppe Γ von SL(2, ℤ) findet man den Begriff der Weite einer Spitze zum Beispiel in [54], Abschnitt 2.2 definiert. Im Folgenden bezeichnen wir für eine Untergruppe Γ ⊂ SL(2, ℤ) mit

\overline{Γ} = \{ι_{σ} : z ↦ σ⟨z⟩ ∈ AUT(ℍ)| σ ∈ Γ\}

die Menge der Automorphismen von ℍ, die durch die Operation eines Elementes σ ∈ Γ gegeben sind. Es gilt

AUT(ℍ) ≅ SL(2, ℝ)/{±E_{2}}.

Sind weiter \overline{Γ}_{q} beziehungsweise Γ_{q} die Stabilisatoren von q in \overline{Γ} beziehungsweise Γ und q ∈ ℚ ∪ {∞} eine Spitze zur Untergruppe Γ, so ist die Weite von q modulo Γ als [\overline{SL(2, ℤ)}_{q} : \overline{Γ}_{q}] gegeben. Da die Untergruppen Γ_{0}^{(1)}(N) für alle N ∈ ℕ das Element −E_{2} enthalten, ist

[\overline{SL(2, ℤ)_{q}} : \overline{Γ_{0}^{(1)}(N)_{q}}] = [SL(2, ℤ)_{q} : Γ_{0}^{(1)}(N)_{q}] .

Nutzen wir nun [54], Theorem 1.1.2 mit

S = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )

und Formel (2.2.25) aus [54], so folgt, dass die Weiten einer Spitze z ∈ ℚ ∪ {∞} mit der Weite derjenigen Spitzenklasse L von Γ_{0}^{(1)}(N) übereinstimmt, für die

L⟨∞⟩ ≃ z

gilt (≃ bezeichnet die auf Seite 13 in Bemerkung 3.1 definierte Relation). Betrachten wir Untergruppen Γ ∈ SL(n, ℤ) für die −E_{2} ∉ Γ gilt, dann ist

[\overline{SL(2, ℤ)_{q}} : \overline{Γ_{q}}] = \frac{1}{2} [SL(2, ℤ)_{q} : Γ_{q}] .

In diesem Fall ist die Weite einer Spitzenklasse L also doppelt so groß wie die Weite der Spitze z = L⟨∞⟩. Siehe hierzu auch Bemerkung 3.1.

□

Zusammen mit der Bezeichnung

s_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = |S_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v}))| .

erhalten wir nun die folgenden Lemmata, die explizite Werte für s_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) und t_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) liefern, also Aussagen über die Anzahlen und die Weiten von Spitzenklassen machen.

KAPITEL 2. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N) Lemma 2.20

i) s_{p^{ν}}^{(1)}(1; (0)) = 1, ii) s_{p^{ν}}^{(1)}(0; (v)) = φ (p^{min{v,ν−v}}), 0 ≤ v < ν,

iii) s_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = ∏_{i=1}^{t} s_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(1)}(j_{i}; (v_{i})).

□

Lemma 2.21 i) t_{p^{ν}}^{(1)}(1; (0)) = p^{ν},

ii) t_{p^{ν}}^{(1)}(0; (v)) = \{ \begin{matrix}p^{ν−2v}, & falls & 0 < v ≤ \frac{ν}{2}, \\ 1, & sonst, \end{matrix}

iii) t_{N}^{(1)}(\underline{j}; (\underline{v})) = ∏_{i=1}^{t} t_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(1)}(j_{i}; (v_{i})).

□

2.2.2 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) im höherdimensionalen Fall Betrachten wir nun den Fall der Dimension n ≥ 2. Eine analoge Rechnung wie in Dimension 1,

E_{2n} \binom{E_{n}}{−E_{n} g_{1}} \binom{E_{n} g_{1} − g_{2}}{E_{n}}

= E_{2n} \binom{E_{n}}{−E_{n} g_{2}} E_{2n},

zeigt uns, dass alle Elemente aus R_{p^{ν}}^{(n)}(n) unter P auf die Spitzenklasse aus

S_{p^{ν}}^{(n)}(n; (0)) = \{( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} )\}  (2.14)

abgebildet werden. Ist nun

m = ( \begin{matrix}u + o + E_{n} & g \\ h & −u^{t} − o^{t} + E_{n} \end{matrix} ) ∈ N(I)

so gewählt, dass w(I)m ∈ R_{p^{ν}}^{(n)}(n − i) ist, dann zeigt eine kleine Rechnung unter Ausnutzung von

(u + o + E_{n})(−u − o + E_{n}) = E_{n},
(u + o)g = 0_{n},
g(u^{t} + o^{t}) = 0_{n},
h(u + o) = 0_{n},
hg = 0_{n},

dass

E_{2n}w(I) ( \begin{matrix}u + o + E_{n} & g \\ h & −u^{t} − o^{t} + E_{n} \end{matrix} ) \binom{−u − o + E_{n} −g}{u^{t} + o^{t} + E_{n}}

= E_{2n}w(I) \binom{E_{n}}{h E_{n}} E_{2n}
= E_{2n} ( \begin{matrix}I & E_{n} − I \\ I − E_{n} + h & I \end{matrix} ) E_{2n}  (2.15)

ist. In welcher der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) der angegebene Repräsentant m liegt, hängt also nur vom Eintrag h von m ab. Sei P eine Permutationsmatrix, so dass P IP = Diag(E_{n−rg(I)}, 0_{rg(I)}) ist und überdies P = P^{t} gilt. Dies ist möglich, da I eine Diagonalmatrix ist. Dann ist P (E − I)P = Diag(0_{n−rg(I)}, E_{rg(I)}) und es gilt:

( \begin{matrix}P \\ & P \end{matrix} ) w(I) \binom{E_{n}}{h E_{n}} ( \begin{matrix}P \\ & P \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}P IP & P (E_{n} − I)P \\ P (I − E_{n})P + P hP & P IP \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}E_{n−rg(I)} \\ & & & E_{rg(I)} \\ h′ & & E_{n−rg(I)} \\ & −E_{rg(I)} \end{matrix} ) .

Dabei ist h′ eine geeignete Matrix mit

h′ ∈ \{ \begin{matrix}MAT^{sym}(n − rg(I), pℤ_{[p^{ν−1}]}), & falls & ν ≥ 2, \\ \{0_{n−rg(I)}\}, & falls & ν = 1. \end{matrix}

Bezeichnen wir mit Q_{rg(I)} die Menge der Matrizen der Form

( \begin{matrix}E_{n−rg(I)} \\ & & & E_{rg(I)} \\ h′ & & E_{n−rg(I)} \\ & −E_{rg(I)} \end{matrix} ) ,

so erhalten wir folgendes Lemma:

Lemma 2.22 In der Menge

⋃_{i=0}^{n} Q_{i}

ist ein Repräsentantensystem der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) enthalten.

□

Für eine Matrix A ∈ MAT(n, ℤ) wollen wir mit Â die Matrix aus MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) bezeichnen, die aus A durch Reduktion der Einträge modulo p^{ν} entsteht. Genauso bezeichnet â die Restklasse von a modulo p^{ν}. Wir betrachten nun die Abbildung

ρ : Sp(n, ℤ) → M_{p^{ν}}^{(n)} ⊂ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) × MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ)
( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ↦ (Â, Ĉ)

wobei M_{p^{ν}}^{(n)} das Bild von ρ bezeichne. Da (siehe [51], Theorem 1) die Projektion Sp(n, ℤ) → Sp(n, ℤ/p^{ν}ℤ) surjektiv ist, ist

M_{p^{ν}}^{(n)} = {(Â, Ĉ) ∈ (MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ))^{2} | (A, C) ist ein teilerfremdes, symmetrisches Paar } .

Zum Begriff des teilerfremden symmetrischen Paares siehe [24], p. 287. Aufgrund der Definition der Menge M_{p^{ν}}^{(n)} ist die Abbildung ρ surjektiv. Da wir an Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) interessiert sind, und

( \begin{matrix}X & Y \\ V & T \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) \binom{Z W}{(Z^{−1})^{t}} = ( \begin{matrix}XAZ + Y CZ & ⋆ \\ V AZ + T CZ & ⋆ \end{matrix} ) (2.16)

ist, definieren wir auf M_{p^{ν}}^{(n)} die folgende Relation:

(Â, Ĉ) ∼_{n} (Â′, Ĉ′) ⇔

Es existieren X ∈ GL(n, ℤ/p^{ν}ℤ), Z die Reduktion einer Matrix aus GL(n, ℤ) modulo p^{ν}, und Y ∈ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) mit (X^{−1}Y)^{t} = X^{−1}Y, so dass (Â′, Ĉ′) = (XÂZ + Y ĈZ, (X^{−1})^{t}ĈZ) ist.

Es ist leicht nachprüfbar, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist. Wir erhalten eine Bijektion

Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) ⟶ M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} .

Wir bezeichnen mit Ã beziehungsweise A^{}˜ die Matrix aus MAT(n, ℤ_{[p^{ν}]}), die aus A ∈ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) entsteht, indem man die Einträge von A als Elemente der Menge ℤ_{[p]} = {0, …, p^{ν} − 1} auffasst. Genauso bezeichnen wir für a ∈ ℤ/p^{ν}ℤ mit ã dasjenige Element aus ℤ_{[p^{ν}]}, für das ˆ ã = a ist. Wir beschränken uns nun bis einschließlich Satz 2.29 darauf, dass p eine ungerade Primzahl ist.

Bemerkung 2.23 Die Einschränkung auf ungerade Primzahlen liegt darin begründet, dass wir im Folgenden die Klassifikation von quadratischen Formen über dem Körper ℚ_{p} der q-adischen Zahlen unter ℤ_{p}-Äquivalenz, also Äquivalenz bezüglich p-adischen ganzen Zahlen, ausnützen werden. Hierbei heißen zwei quadratische Formen über ℚ_{p} zueinander ℤ_{p}-äquivalent, falls es ein U ∈ GL(n, ℤ_{p}) gibt, so dass für die Gram-Matrizen G_{1}, G_{2} der beiden Formen

G_{1} = U^{t}G_{2}U

gilt. Für den Fall p = 2 findet man die Klassifikation in [32], Chapter 15, Abschnitt 7 ausgearbeitet. Die Klassifikation ist hierbei im Vergleich zum Fall einer ungeraden Primzahl aber schwieriger und die Angabe eines Repräsentantensystem für Formen aufwendig. Im Rahmen dieser Arbeit wird deshalb auf die Herleitung von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(2^{ν}), ν > 1, n ≠ 1 verzichtet. Da, wie wir noch sehen werden, Repräsentantensysteme für Spitzenklassen zur Γ_{0}^{(n)}(2) bekannt sind, werden wir durch die Einschränkung auf ungerade Primzahlen nur für Level N, die durch 4 teilbar sind keine Repräsentantensysteme für die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) angeben können. Siehe auch Bemerkung 2.31.

□

Um M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} zu untersuchen, brauchen wir nun noch das folgende Lemma.

Lemma 2.24 Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl und p eine ungerade Primzahl. Ein Repräsentantensystem für die Operation

H ↦ { \atop T ĤZ}

mit T ∈ GL(n, ℤ/p^{ν}ℤ) und Z ∈ SL(n, ℤ/p^{ν}ℤ) auf der Menge MAT^{sym}(n, pℤ_{[p^{ν−1}]}) wird durch die Menge

\{D ∈ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) | {D = Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0, …, 0), \atop ν > v_{1} ≥ … ≥ v_{t} ≥ 1} \} ∪ \{0_{n}\}

beschrieben.

Beweis: Sei H ∈ MAT^{sym}(n, pℤ_{[p^{ν−1}]}) gegeben. Hat H Rang null, so ist ˆ0_{n} ein Repräsentant und ˆ0_{n} ist das einzige Element diese Bahn. Habe H also einen Eintrag ungleich null. Jeder Eintrag von H wird von einer p-Potenz geteilt, also auch jeder Eintrag

von { \atop T ĤZ} und damit wird auch jeder Eintrag eines Repräsentanten von einer p-Potenz geteilt. Da H eine symmetrische Matrix mit ganzen Einträgen ist, können wir Ĥ, wie Minkowski in [47], Band I, Kapitel I gezeigt hat, mittels einer Matrix U ∈ GL(n, ℤ) durch die Transformation Û^{t}ĤÛ = D auf Diagonalgestalt modulo p^{ν} bringen, also D = Diag(ϵ_{1}p^{v_{1}}, …, ϵ_{t}p^{v_{t}}, 0, …, 0) für geeignete Einheiten ϵ_{i} ∈ (ℤ/p^{ν}ℤ)^{∗} i ∈ {1, …, t}. Dabei können wir annehmen, dass die Einträge von D nach p-Potenzen geordnet sind (p^{v_{i}} ≥ p^{v_{i+1}}). Setzen wir nun

Z = Û falls det(U) = 1

ist beziehungsweise

Z = Diag(−1, E_{n−1})Û falls det(U) = −1

ist und

T = Diag(ϵ_{1}^{−1}, …, ϵ_{t}^{−1}, E_{n−t})Z^{t},  (2.17)

so ist Z ∈ SL(n, ℤ/p^{ν}ℤ) , T ∈ GL(n, ℤ/p^{ν}ℤ) und

{ \atop T ĤZ} = Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0_{n−t})

von der geforderten Form. Dass die angegebenen Repäsentanten nicht zur selben Bahn gehören, folgt aus dem Elementarteilersatz.

□

Wir wollen nun Lemma 2.22 und Lemma 2.24 dazu benutzen, um in jeder Bahn von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} einen einfachen Repräsentanten anzugeben. Aufgrund von Lemma 2.22 können wir annehmen, dass jede Bahn einen Repäsentanten hat, dessen

Urbild unter ρ die Form ( \begin{matrix}E_{n} & 0 \\ H & E_{n} \end{matrix} ) hat. Wir wollen ohne Beschränkung der All-

gemeinheit annehmen, dass der Repräsentant, den wir im Folgenden betrachten wollen aus Q_{0} ist. Wir erhalten mit Hilfe von Lemma 2.24 indem wir X = (T^{−1})^{t} setzen:

(E_{n}, ˜ Ĥ) ∼_{n} ((XZ + Y ĤZ)^{}˜ ), ({ \atop X^{−1})^{t}ĤZ})
∼_{n} (A, Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0_{n−t})),

wobei

A = ((T^{−1})^{t}Z + Y ĤZ)^{}˜ = Diag(ϵ_{1}, …, ϵ_{t}, E_{n−t}) + { \atop Y ĤZ}

ist. Die zweite Gleichheit ergibt sich aus (2.17). Sei nun Y = Y′T, dann gilt

(T^{t}Y)^{t} = T^{t}Y ⇔ (T^{t}Y′T)^{t} = T^{t}Y′T ⇔ Y^{′t} = Y′.

Also ist die Forderung

Y ∈ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) mit (T^{t}Y)^{t} = T^{t}Y

äquivalent zu der Forderung

Y′ ∈ MAT^{sym}(n, ℤ/p^{ν}ℤ).

Folglich hat jede Bahn von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} einen Repräsentanten der Form

((Diag(ϵ_{1}, …, ϵ_{t}, E_{n−t}) + Y′Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0_{n−t}))^{}˜ ,
Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0_{n−t})). (2.18)

Den rechten Eintrag, also Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{t}}, 0_{n−t}), von 2.18 wollen wir nicht weiter vereinfachen. Es stellt sich nun noch das Problem für den linken Eintrag die richtigen Repräsentanten auszuwählen. Dabei bleibt uns nicht nur die Wahl eines Y′ ∈ MAT^{sym}(n, ℤ/p^{ν}ℤ), sondern auch die geschickte Wahl der Matrix T beziehungsweise Z, also die geschickte Wahl der Einheiten ϵ_{i}, i ∈ {1, …, t}, insoweit dies von Lemma 2.24 zugelassen wird. Beachte hierbei, dass die Wahl von T beziehungsweise Z in Lemma 2.24 nicht eindeutig war. Wir werden dazu das folgende Lemma benutzen.

Lemma 2.25 Sei n ≥ 2 eine natürliche Zahl, p eine ungerade Primzahl und μ ∈ ℤ/p^{ν}ℤ, p ∤ μ ein Nichtquadrat modulo p^{ν}. Ein Repräsentantensystem für die Operation

Ĥ ↦ U^{t}ĤU

von SL(n, ℤ/p^{ν}ℤ) auf

{Ĥ ∈ MAT^{sym}(n, ℤ/p^{ν}ℤ)| H ∈ MAT^{sym}(n, pℤ_{[p^{ν−1}]})}

wird durch die Menge

\{0_{n}\} ∪ \{D ∈ MAT(n, ℤ/p^{ν}ℤ) | D ist Diagonalmatrix der Form Diag(ϵ_{1}p^{v_{1}}, ϵ_{2}p^{v_{2}}, …, ϵ_{t}p^{v_{t}}, 0_{n−t}), 1 ≤ v_{t} ≤ … ≤ v_{1} ≤ ν, ϵ_{1} ∈ \{ \begin{matrix}(ℤ/p^{ν−v_{1}}ℤ)^{∗} , & falls & t = n, \\ \{1, μ\}, & falls & t < n, \end{matrix} ϵ_{i} ∈ \{ \begin{matrix}\{1, μ\}, & falls & i > 1, v_{i−1} < v_{i}, \\ \{1\}, & falls & i > 1, v_{i−1} = v_{i}. \end{matrix} \}

beschrieben.

Beweis: In Lemma 2.24 wurde bereits gezeigt, dass wir uns im Fall rg(Ĥ) > 0 anstelle von Ĥ eine Diagonalmatrix der Form D = Diag(ϵ_{1}p^{v_{1}}, …, ϵ_{t}p^{v_{t}}, 0, …, 0) vorgeben können. Da n > 1 ist, können wir Quadrate von Einheiten aus ℤ/p^{ν}ℤ auf den Einträgen von D verschieben. Hierzu wählen wir als Transformationsmatrix

U = Diag(∏_{i=2}^{n} α_{i}^{−1}, α_{2}, …, α_{n}),

falls rg(Ĥ) = n ist, und im Fall rg(Ĥ) ≠ n wählen wir

U = Diag(α_{1}, …, α_{n−1}, ∏_{i=1}^{n−1} α_{i}^{−1}).

Dabei sind α_{i}, i ∈ {2, …, n} Einheiten von ℤ/p^{ν}ℤ. Transformieren wir nun D mit U, so erhalten wir bei richtiger Wahl der α_{i} als Repräsentanten nur noch Diagonalmatrizen, die, bis auf den Fall in dem rg(Ĥ) = n ist, nur noch p-Potenzen oder ein Produkt aus einem fest vorgegebenen Nichtquadrat μ modulo p^{ν} und p-Potenzen als Einträge haben. Im Fall rg(Ĥ) = n steht im oberen linken Eintrag von D ein Produkt aus einem invertierbaren Elementen aus ℤ/p^{ν}ℤ und p^{ν_{1}}. Somit können wir für ϵ_{1} die invertierbaren Elemente aus ℤ/p^{ν−ν_{1}}ℤ nehmen. Haben wir in D zwei Einträge μp^{v_{i}} und μp^{v_{j}}, beziehungsweise α_{1}p^{v_{1}} und μp^{v_{2}}, wobei α̃_{1} ein Nichtquadrat modulo p^{ν} ist, so können wir diese genau dann auf p^{v_{i}} und p^{v_{j}} beziehungsweise α′_{1}p^{v_{1}} und p^{v_{2}} für ein geeinetes Quadrat α′_{1} aus ℤ/p^{ν−v_{1}}ℤ transformieren, falls v_{i} = v_{j}, beziehungsweise v_{1} = v_{2} ist. Hieraus erhält man die im Lemma angegebene Menge von Repräsentanten. Die Eindeutigkeit der Repäsentanten ergibt sich aus [12], Chapter 8, Theorem 3.1.

□

Um nun in (2.18) die Wahlmöglichkeiten für die Einheiten ϵ_{i}, i ∈ {1, …, t} weiter einzuschränken setzen wir wie in (2.17)

T = T′Z^{t} mit T′ = Diag(ϵ_{1}^{−1}, …, ϵ_{t}^{−1}, E_{n−t}) ∈ SL(n, ℤ/p^{ν}ℤ).

Wir haben bereits gesehen, dass bei geeigneter Wahl von T beziehungsweise Z

(E, Ĥ) ∼_{n} (T^{′−1} + Y′T′Z^{t}ĤZ, T′Z^{t}ĤZ)  (2.19)

mit Y′ ∈ MAT^{sym}(n, ℤ/p^{ν}ℤ) ist. Die Wahlfreiheit von Z, die uns hierbei Lemma 2.24 lässt, können wir nun ausnutzen und Z nach Lemma 2.25 so wählen, dass T′ZĤZ einer der Repräsentanten aus Lemma 2.25 ist. Damit werden die Wahlmöglichkeiten der Einheiten, die auf der Diagonalen von T′ stehen eingeschränkt. Im Folgenden wollen wir nun noch den linken Eintrag im rechten Repräsentanten von (2.19)

T^{′−1} + Y′T′Z^{t}ĤZ = Diag(ϵ_{1}, …, ϵ_{t}, E_{n−t}) + Y′Diag(p^{ν_{1}}, …, p^{ν_{t}}, 0_{n−t})

vereinfachen. Wir betrachten hierfür die durch ∼_{n} implizierte Relation

A ≈_{n} A′ ⇔ A = A′ + Y′P

mit

A′ = Diag(ϵ_{1}, …, ϵ_{rg(H)}, 0_{n−rg(H)})
P = Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{rg(H)}}, 0_{n−rg(H)}),

und A′P ist einer der Repräsentanten aus Lemma 2.25 . Da A′ und P Diagonalmatrizen sind, und wir auch annehmen können, dass A Diagonalgestalt hat, genügt es für Y′ Diagonalform anzunehmen und die einzelnen Einträge von A′ + Y′P zu betrachten. Sie haben die Gestalt ϵ_{i} + y_{i}p^{v_{i}}, i ∈ {1, …, t} mit y_{i} ∈ ℤ/p^{ν}ℤ. Nun ist ϵ_{i} genau dann ein Quadrat beziehungsweise ein Nichtquadrat einer Einheit modulo p^{v_{i}}, falls ϵ_{i} + y_{i}p^{v_{i}} ein Quadrat beziehungsweise ein Nichtquadrat einer Einheit modulo p^{v_{i}} ist. Siehe hierzu zum Beispiel [57], Satz IV. C 2. Es gelten dann für zwei Elemente

Diag(ϵ_{i1}, …, ϵ_{irg(H)}, 0_{n−rg(H)}), i ∈ {1, 2}

die Aussagen:

i) Falls rg(H) < n ist, ist

Diag(ϵ_{11}, …, ϵ_{1rg(H)}, 0_{n−rg(H)}) ≈_{n} Diag(ϵ_{21}, …, ϵ_{2rg(H)}, 0_{n−rg(H)})
⇔ {ϵ_{1j} und ϵ_{2j} liegen für j ∈ {1, …, n} in derselben Quadratklasse modulo p.  (2.20)

ii) Falls rg(H) = n ist, dann gilt:

Diag(ϵ_{11}, …, ϵ_{1rg(H)}, 0_{n−rg(H)}) ≈_{n} Diag(ϵ_{21}, …, ϵ_{2rg(H)}, 0_{n−rg(H)})
⇔ {ϵ_{1j} ≡ ϵ_{2j}mod p^{min{ν−v_{1},v_{n}}}, ϵ_{1j} und ϵ_{2j} liegen für j ∈ {2, …, n} in derselben Quadratklasse modulo p.  (2.21)

Damit erhalten wir eine Menge MR_{p^{ν}}^{(n)} von Repräsentanten, die ein Repräsentantensystem von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} enthält. Dass diese Menge bereits ein Repräsemtamtensystem ist, werden wir später in Satz 2.29 zeigen. Genauer werden wir dort eine Menge von Matrizen angeben, die paarweise unterschiedliche Spitzenklassen repräsentieren. Die Anzahl dieser Matrizen bildet eine untere Abschätzung für die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) beziehungsweise für die Klassen von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n}. Die obere Abschätzung für die Anzahl von Spitzenklassen liefert die gerade hergeleitete Menge MR_{p^{ν}}^{(n)}, die ein Repräsentantensystem von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} enthält. Beide Abschätzungen stimmen überein. Bevor wir Satz 2.29 formulieren und beweisen werden wir zunächst noch einige Notationen bereitstellen und explizite Formeln für Anzahlen von Spitzenklassen angeben. Genauer gesagt werden wir die Elemente von MR_{p^{ν}}^{(n)} zählen. Nun bezeichne

E_{n}^{(n)}(ν) = {(0)},
E_{l}^{(n)}(ν) = {(v_{1}, …, v_{n−l}) ∈ ℕ^{n−l}| ν > v_{1} ≥ … ≥ v_{n−l} ≥ 0} ,
für l ∈ {0, …, n − 1},

und für

(v_{1}, …, v_{n−l}) ∈ E_{l}^{(n)}, l ≠ n

sei

q(v_{1}, …, v_{n−l}) = { 0, falls v_{1} = 0, 1, falls v_{2} = 0, v_{1} ≠ 0, 1, falls n − l = 1, v_{1} ≠ 0 1 + ♯ ({v_{i}| v_{i} ≠ v_{i+1}, i ∈ {1, …, n − l − 1}}), sonst.

Im Falle v_{n−l} = 0 sei

s_{p^{ν}}^{(n)} (l; (v_{1}, …, v_{n−l})) = 2^{q(v_{1},...,v_{n−l})},  (2.22)

und falls v_{n−l} ≠ 0 ist, sei

s_{p^{ν}}^{(n)} (0; (v_{1}, …, v_{n−l})) = 2^{q(v_{1},...,v_{n−l})−1}φ (p^{min{ν−v_{1},v_{n−l}}}) .  (2.23)

Des weiteren sei

s_{p^{ν}}^{(n)} (n; (0)) = 1.  (2.24)

Wir erhalten damit die folgende Proposition, die eine explizite Formel für die Anzahl von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) angibt:

Proposition 2.26 Ist p eine ungerade Primzahl, so ist die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) durch die Formel

∑_{l=0}^{n} ∑_{(v_{1},...,v_{n−l})∈E_{l}^{(n)}(ν)} s_{p^{ν}}^{(n)} (l; (v_{1}, …, v_{n−l}))

gegeben.

Beweis: Die Zahl s_{p^{ν}}^{(n)} (l; (v_{1}, …, v_{n−l})) gibt die Anzahl der Repräsentanten aus Lemma 2.25 an, die Rang l haben und dessen i-ter Diagonaleintrag den Exponenten v_{i} hat, falls v_{i} ≠ 0 ist und sonst 0. Die Menge aller möglichen Exponenten ist gerade

⋃_{l=0}^{n} E_{l}^{(n)}(ν).

□

Im Fall n = 1 stimmt die Aussage der Proposition mit der von Lemma 2.20 überein.

Beispiel 2.27 Für n = 3 und N = 5^{6} sind die Anzahlen der Elemente von S_{5^{6}}^{(3)}(l; (\underline{v})) in Tabelle 2.2 aufgelistet. Für n = 2 und N = 5^{6} können die Anzahlen der Elemente von S_{5^{6}}^{(2)}(l − 1; (\underline{v})) in den Zeilen für l ∈ \{3, 2, 1\} abgelesen werden und für n = 1 und N = 5^{6} findet man die Anzahlen der Elemente von S_{5^{6}}^{(2)}(l − 2; (\underline{v})) in den Zeilen für l ∈ {3, 2}.

□

Indem wir die Summe ∑_{k=a}^{b} = 0 setzen, falls b < a ist, erhalten wir aus Proposition

2.26 speziell für n = 2 und n = 3:

Korollar 2.28 Ist p eine ungerade Primzahl, so ist die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(2)}(p^{ν}) gleich

2ν + 1 + 2 (∑_{j=1}^{ν−1} φ(p^{min{ν−j,j}}) + ∑_{j=1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ(p^{min{ν−i,j}})) .

Also

3, falls ν = 1,
2p + 3, falls ν = 2,
−2ν − 1 + 2p^{\frac{ν}{2}} + 8\frac{p^{\frac{ν}{2}} − 1}{p − 1}, falls 2|ν, ν ≥ 4,
−2ν − 1 + 6p^{\frac{ν−1}{2}} + 8\frac{p^{\frac{ν−1}{2}} − 1}{p − 1}, falls 2|̸ν, ν ≥ 3.

Die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(3)}(p^{ν}) für ungerade Primzahlen p beträgt

2ν^{2} + 2 + 3 ∑_{i=1}^{ν−1} φ (p^{min{i,ν−i}}) + 6 ∑_{j=1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ (p^{min{i,ν−j}})

+4 ∑_{k=1}^{ν−3} ∑_{j=k+1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ (p^{min{i,ν−k}}) .

KAPITEL 2. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N)

l  \underline{v}  s_{5^{6}}^{(3)}(l; (\underline{v}))  Summe
3 (0)  1  1
2 (0)  1
(1) (2) (3) (4) (5) 4 20 100 20 4 149
1 (00)  1
(11) (22) (33) (44) (55) 4 20 100 20 4  149
(10)  2
(20) (21)  2 8
(30) (31) (32)  2 8 40
(40) (41) (42) (43)  2 8 40 40
(50) (51) (52) (53) (54) 2 8 8 8 8  186
0 (000)  1
(111) (222) (333) (444) (555) 4 20 100 20 4  149
(100)  2
(200) (211)  2 8
(300) (311) (322)  2 8 40
(400) (411) (422) (433)  2 8 40 40
(500) (511) (522) (533) (544) 2 8 8 8 8  186
(110)  2
(220) (221)  2 8
(330) (331) (332)  2 8 40
(440) (441) (442) (443)  2 8 40 40
(550) (551) (552) (553) (554) 2 8 8 8 8  186
(210)  4
(310) (320)  4 4
(410) (420) (430)  4 4 4
(510) (520) (530) (540) 4 4 4 4 40
(321)  16
(421) (431)  16 16
(521) (531) (541) 16 16 16 96
(432)  80
(532) (542)  16 16  112
(543)  16  16

∑ = 1270

Tabelle 2.2: Verteilung der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(3)}(5^{6})

Beweis: Wir betrachten zunächst den Fall n = 3. Die folgende Tabelle listet für l ∈ \{0, …, ν\} und eine bestimmte Auswahl für \underline{i} die Anzahlen der Spitzenklassen von ⋃_{\underline{i}} S_{p^{ν}}^{(3)}(l; (\underline{i})) auf. Die Summe der Einträge der rechten Spalte ergibt dem-

nach die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(3)}(p^{ν}), was mit dem in der Aussage angegebenen Wert übereinstimmt. Im Fall n = 2, genügt es die Einträge der rechten Spalte für l ∈ {1, 2, 3} aufzusummieren.

l \underline{i}  ∑_{\underline{i}} s_{p^{ν}}^{(3)}(l, (\underline{i}))
3 (0)  1
2 (0)  1
{(i_{1})|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  ∑_{i=1}^{ν−1} φ(p^{min{i,ν−i}})
1 (0, 0)  1
{(i_{1}, 0)|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  2(ν − 1)
{(i_{1}, i_{1})|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  ∑_{i=1}^{ν−1} φ(p^{min{i,ν−i}})
{(i_{1}, i_{2})|i_{1}, i_{2} ∈ {1, …, ν − 1}, i_{1} > i_{2}}  2∑_{j=1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ(p^{min{j,ν−i}})
0 (0, 0, 0)  1
{(i_{1}, 0, 0)|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  2(ν − 1)
{(i_{1}, i_{1}, 0)|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  2(ν − 1)
{(i_{1}, i_{2}, 0)|i_{1}, i_{2} ∈ {1, …, ν − 1}, i_{1} > i_{2}} 2(ν − 2)(ν − 1)
{(i_{1}, i_{1}, i_{1})|i_{1} ∈ {1, …, ν − 1}}  ∑_{i=1}^{ν−1} φ(p^{min{i,ν−i}})
{(i_{1}, i_{2}, i_{2})|i_{1}, i_{2} ∈ {1, …, ν − 1}, i_{1} > i_{2}} 2∑_{j=1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ(p^{min{j,ν−i}})
{(i_{1}, i_{1}, i_{2})|i_{1}, i_{2} ∈ {1, …, ν − 1}, i_{1} > i_{2}} 2∑_{j=1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ(p^{min{j,ν−i}})
{(i_{1}, i_{2}, i_{3})|i_{1}, i_{2}, i_{3} ∈ {1, …, ν − 1},  4∑_{k=1}^{ν−3} ∑_{j=k+1}^{ν−2} ∑_{i=j+1}^{ν−1} φ(p^{min{k,ν−i}})
i_{1} > i_{2} > i_{3}}

□

Im folgenden Satz wollen wir nun Repräsentantensysteme der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) angeben.

Satz 2.29 Sei p eine ungerade Primzahl, und μ ∈ ℤ, p ∤ μ ein Nichtquadrat modulo p^{ν} sowie

ℤ_{[p^{min{vn,ν−v_{1}}}]}^{∗}
= {a ∈ ℤ_{[p^{min{vn,ν−v_{1}}}]}| a (mod p^{min{v_{n},ν−v_{1})}) ∈ (ℤ/p^{min{v_{n},ν−v_{1}}}ℤ)^{∗}} .

Dann beschreibt die Menge

S_{p^{ν}}^{(n)}(n; (0)) ∪ ⋃_{l=0}^{n−1} ⋃_{(v_{1},...,v_{n−l})∈E_{l}^{(n)}(ν)} S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (v_{1}, …, v_{n−l}))  (2.25)

ein vollständiges Repräsentantensystem der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}). Dabei ist

S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (v_{1}, …, v_{n−l}))

= \{( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ D & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix})| D = Diag(ϵ_{1}p^{v_{1}}, …, ϵ_{n−l}p^{v_{n−l}})\} ,

mit

ϵ_{1} ∈ \{ \begin{matrix}\{ℤ_{[p^{min\{v_{n−l},ν−v_{1}\}}]}^{∗}\} , & falls v_{n−l} ≠ 0, \\ \{1, μ\}, & falls v_{n−l} = 0, v_{1} ≠ 0, \\ \{0\}, & falls v_{1} = 0, \end{matrix}

und für i ∈ {2, …, n − l}

ϵ_{i} ∈ \{ \begin{matrix}\{0\}, & falls v_{i} = 0, \\ \{1, μ\}, & falls v_{i−1} > v_{i} ≠ 0, \\ \{1\}, & falls v_{i−1} = v_{i} ≠ 0. \end{matrix}

Beweis: Seien zwei Elemente aus der in (2.25) definierten Menge vorgegeben. Sie können aufgrund von Lemma 2.15, nur dann dieselbe Spitzenklasse repräsentieren, wenn für beide der untere linke n × n-Block den gleichen Rang modulo p hat. Des weiteren lässt sich in (2.16) erreichen, dass durch geeignete Wahl von unimodularen Matrizen T und Z die Matrix T CZ Elementarteilerform hat. Da nun aber in (2.16) V der untere linke Block einer Matrix aus Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) ist, also nur Einträge hat, die durch p^{ν} teilbar sind, und die Einträge der Repräsentanten von Spitzenklassen nur durch positive p-Potenzen kleiner als p^{ν}) teilbar sind, sehen wir, dass zwei Repräsentanten nur dann dieselbe Spitzenklasse repräsentieren können, wenn der ij-te Eintrag einer Spitzenklasse von derselben p-Potenz geteilt wird.

In anderen Worten: Zwei Elemente aus (2.25) können nur dann dieselbe Spitzenklasse repräsentieren, wenn sie für vorgegebenes l und v_{i}, i ∈ {1, …, n − l} aus S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (v_{1}, …, v_{n−l})) sind. Nehmen wir nun an, es gäbe zwei Repräsentanten

M_{i} = ( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ D_{i} & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix})

mit D_{i} = Diag(ϵ_{i1}p^{v_{1}}, …, ϵ_{i n−l}p^{v_{n−l}}), i ∈ {1, 2} aus S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (v_{1}, …, v_{n−l})), die dieselbe Spitzenklasse repräsentieren, sich aber in mindestens einem Eintrag durch ein ϵ_{ij} unterscheiden. Seien

X_{i} = (ϵ_{i 1}, …, ϵ_{i n−l}, E_{l}), i ∈ {1, 2}

und V_{i} ∈ MAT(n, p^{ν}ℤ), i ∈ {1, 2}, so dass (X_{i}, p^{ν}V_{i}) jeweils ein teilerfremdes symmetrisches Paar bildet. Es existieren dann (siehe [24], Hilfssatz 7.1) symplektische Matrizen G′_{i}, i ∈ {1, 2} der Form

G′_{i} = ( \begin{matrix}X_{i} & Y_{i} \\ p^{ν}V_{i} & T_{i} \end{matrix} ) .

Auch die Matrizen

G_{i} = ( \begin{matrix}X_{i} & p^{ν}Y_{i} \\ V_{i} & T_{i} \end{matrix} )

sind dann symplektisch. Es gilt

T̂_{i} = X̂_{i}^{−1}, i ∈ {1, 2}

und da V_{i} für i ∈ {1, 2} aus MAT(n, p^{ν}ℤ) sind, folgt dass G_{i} ∈ Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}), i ∈ {1, 2} gilt. Die Matrizen

G_{i}M_{i}E_{2n} = ( \begin{matrix}X_{i} + p^{ν}Y_{i}D_{i} & p^{ν}Y \\ V_{i} + T_{i}D_{i} & T \end{matrix} )

repräsentiert dieselbe Spitzenklasse wie M_{i}, so dass

(X_{i} + p^{ν}Y_{i}D_{i}, V_{i} + T_{i}D_{i}) ∼_{n} (X_{i}, P)

mit

P = Diag(p^{v_{1}}, …, p^{v_{n−l}}, 0_{n−rg(H)})

ist. Weil M_{1} und M_{2} dieselbe Spitzenklassen repräsentieren, ist

(X_{1}, P) ∼_{n} (X_{2}, P),

beziehungsweise

X_{1} ≈_{n} X_{2}.

Da nun aber für i ∈ {1, 2} die Zahlen ϵ_{i1} im Intervall [0, p^{min{ν_{n−l},ν−ν_{1}}}) und die Zahlen ϵ_{ij}, j ≥ 2 im Intervall [0, p^{ν}) liegen und wegen den Gleichungen (2.20) und (2.21) folgt, dass

ϵ_{1j} = ϵ_{2j} j ∈ {1, …, l}

gelten muss: ein Widerspruch zur Wahl der beide Repräsentanten. Da die Anzahl der Elemente aus (2.25) mit der in Proposition 2.26 angegebenen Anzahl der Elemente von M_{p^{ν}}^{(n)}/ ∼_{n} übereinstimmt, ist der Satz bewiesen.

□

Da Spitzenklassen für die Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(2) bekannt sind, und wir den Fall 2|N bisher ausgeschlossen haben, übernehmen wir die Spizenklassen von Γ_{0}^{(n)}(2) aus [6]. Sei

S_{2}^{(n)}(n, (0)) = \{J_{2n} = ( \begin{matrix}0_{n} & E_{n} \\ −E_{n} & 0_{n} \end{matrix} )\} ,

S_{2}^{(n)}(l, (0)) = \{( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix} )\} für 0 ≤ l < n,

sowie

s_{N}^{(n)}(n, (0)) = s_{N}^{(n)}(l, (0)) = 1 für 0 ≤ l < n.

Nun können wir mit Hilfe der starken Approximation, siehe Abschnitt 2.2.3 auch die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N), 4 ∤ N berechnen. Bezeichnen wir für eine natürli-

che Zahl N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}}, 4 ∤ N, mit S_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v}) die aus den Mengen S_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(n)}(j_{i}; (\underline{v_{i}})) durch

Liftung erhaltene Menge, also

S_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v}) ≡ S_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(n)}(j_{i}; (\underline{v_{i}})) (mod Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}})), i ∈ \{1, …, t\}.

Dann ist die Anzahl der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) durch

|S_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v})| = s_{N}^{(n)}(\underline{j}; \underline{v}) = ∏_{i=1}^{t} s_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(n)}(j_{i}; (\underline{v_{i}}))  (2.26)

gegeben. Dies verallgemeinert zusammen mit den Formeln (2.22), (2.23) und (2.24) die Aussage von Lemma 2.20.

Beispiel 2.30 Wir wollen nun untersuchen, wie sich die in Beispiel 2.14 angegebenen 2460375 Repräsentanten von R_{3^{3}5^{2}}^{(2)}(2, 0) unter P auf Spitzenklassen von Γ_{0}^{(2)}(3^{3}5^{2}) verteilen. Es ist

| Γ_{0}^{(2)}(3^{3})\Sp(2, ℤ)/Δ(2, ℤ) | = 19,
| Γ_{0}^{(2)}(5^{2})\Sp(2, ℤ)/Δ(2, ℤ) | = 13,

also,

| Γ_{0}^{(2)}(3^{3}5^{2})\Sp(2, ℤ)/Δ(2, ℤ) | = 19 · 13 = 247.

Betrachten wir R_{3^{3}}^{(2)}(2) und R_{5^{2}}^{(2)}(0). Aus Aussage (2.14) folgt, dass es zu R_{3^{3}}^{(2)}(2) genau eine Spitzenklasse in S_{3^{3}}^{(2)}(2; (0)) gibt:

S_{3^{3}}^{(2)}(2; (0)) = \{( \begin{matrix}& & 1 \\ & & & 1 \\ −1 \\ & −1 \end{matrix} )\} .

R_{5^{2}}^{(2)}(0) liefert die 7 Spitzenklassen

S_{5^{2}}^{(2)}(0; (0, 0)) = \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )\} ,

S_{5^{2}}^{(2)}(0; (1, 0)) = \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ 5a & & 1 \\ & & & 1 \end{matrix} )| a ∈ \{1, 2\}\} und

S_{5^{2}}^{(2)}(0; (1, 1)) = \{( \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ 5a & & 1 \\ & 5b & & 1 \end{matrix} )| (a, b) ∈ \left\{{(1, 1), (2, 1), \atop (3, 1), (4, 1)}\right\}\} .

Die Elemente aus R_{675}^{(2)}(2, 0) werden von P auf 7 Spitzenklassen abgebildet. Diese Spitzenklassen können mit dem in Abschnitt 2.2.3 beschriebenen Algorithmus berechnt werden. Es sind die Elemente der drei folgenden Mengen:

S_{3^{3}5^{2}}^{(2)}(2, 0; (0), (0, 0)) = \{( \begin{matrix}351 & & 8451 \\ & 351 & & 8451 \\ 350 & & 8425 \\ & 350 & & 8425 \end{matrix} )\} ,

S_{3^{3}5^{2}}^{(2)}(2, 0; (0), (1, 0)) = \{( \begin{matrix}351 & & b \\ & 351 & & 8451 \\ c & & d \\ & 350 & & 8425 \end{matrix} )| (b, c, d) ∈ X\}

mit X = \left\{{(−13218875, 80, −3012849), \atop (1893700, 485, 2616651)}\right\}

S_{3^{3}5^{2}}^{(2)}(2, 0; (0), (1, 1)) = \{( \begin{matrix}351 & & b \\ & 351 & & −13218875 \\ c & & d \\ & 80 & & −3012849 \end{matrix} )| (b, c, d) ∈ Y \}

mit Y = \{ {(−13218875, 80, −3012849), \atop (1893700, 485, 2616651),} ; {(4266325, 215, 2613276), \atop (−8377775, 620, −14798349)} \} .

□

Bemerkung 2.31

i) Zum Beweis von Satz 2.29 und Lemma 2.24 wurde der Elementarteilersatz verwendet. Wollen wir also die angegebenen Repräsentantensysteme für Spitzenklassen auch auf den Zahlkörperfall übertragen, so kann dies mit den hier formulierten Beweisen nur im Fall der Klassenzahl 1 gelingen. Betrachten wir spezieller imaginärquadratische Erweiterungen, so sind dies gerade die Zahlkörper

ℚ(\sqrt{−d}) mit d ∈ \{1, 2, 3, 7, 11, 13, 43, 67, 163\}.

Ob eine Verallgemeinerung auf Zahlkörper mit Klassenzahl größer als 1 möglich ist, ist hierbei noch offen.

ii) Für die Primzahlpotenzen 2^{ν}, ν > 1 wurden keine Repräsentantensysteme für Spitzenklassen angegeben. Die Stellen, an denen hier bei den Ausführungen Diagonalmatrizen auftreten, müssen diese durch verallgemeinerte Diagonalmatrizen mit 2 × 2 Blockmatrizen auf der Diagonale ersetzt werden. Dies zu tun wird Aufgabe für die Zukunft bleiben.

□

2.2.3 Starke Approximation von Spitzenklassen

In Satz 2.29 werden die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) für eine ungerade Primzahl p angegeben. Zusammen mit den n+1 Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(2), die zum Beispiel im Anschluss an Satz 2.29 beschrieben werden, kann man hieraus mit Hilfe der starken Approximation (1.2) auch Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N), 4 ∤ N berechnen. In diesem Abschnitt wollen wir einen Algorithmus zur expliziten Berechnung dieser Spitzenklassen beschreiben. Da weder die formalen Mittel zum Beschreiben eines Algorithmus bereitgestellt wurden, noch an dieser Stelle auf technische Details eingegangen werden soll, beschränken wir uns dabei auf eine nicht formale Beschreibung. Seien

M_{i} = ( \begin{matrix}A^{(i)} & B^{(i)} \\ C^{(i)} & D^{(i)} \end{matrix} )

Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}}), i ∈ {1, …, m}. Gesucht ist eine Spitzenklasse M von Γ_{0}^{(n)}(N),

N = ∏_{i=1}^{m} p_{i}^{ν_{i}},

so dass

M ≡ M_{i} (mod Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}})) i ∈ {1, …, m}

ist. Zunächst liften wir mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes die Spitzenklassen M_{i}, i ∈ {1, …, m} zu einer Matrix

M′ = ( \begin{matrix}A′ & B′ \\ C′ & D′ \end{matrix} ) .

Dabei soll die Matrix M′ an der jk-ten Stelle einen Eintrag Null haben, wenn die Einträge der jk-ten Stellen von allen Spitzenklassen von M_{i} Null sind. Da alle Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p^{ν}) für eine geeignetes i die Form

( \begin{matrix}E_{i} \\ & & & E_{n−i} \\ H & & E_{i} \\ & −E_{n−i} \end{matrix} ) , H ist Diagonalmatrix

haben, sind die vier Blöcke A′, B′, C′ und D′ von M′ jeweils Diagonalmatrizen. Des weiteren wollen wir an die Matrix M′ die Forderung stellen, dass für alle i ∈ {1, …, n} jeweils ggt(a′_{ii}, c′_{ii}) = 1 gilt. Da für alle Primteiler p von N jeweils

(a′_{ii}, c′_{ii}) ≡ (0, −1) (mod p) oder
(a′_{ii}, c′_{ii}) ≡ (1, 0) (mod p)

gilt, kann dies immer erreicht werden indem man ein geeignetes Vielfaches von N zu einem der Einträge a′_{ii} oder c′_{ii} addiert. Als nächstes berechnen wir für jedes i ∈ {1, …, m} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus ganze Zahlen β_{i}, und δ_{i}, so dass

δ_{i}a′_{ii} − β_{i}c′_{ii} = 1

ist. Setzen wir nun

a_{ii} = a′_{ii},
b_{ii} = b′_{ii} + β_{i}(1 + a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}),
c_{ii} = c′_{ii},
d_{ii} = d′_{ii} + δ_{i}(1 + a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}),

dann ist

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}Diag(a_{11}, …, a_{nn}) & Diag(b_{11}, …, b_{nn}) \\ Diag(c_{11}, …, c_{nn}) & Diag(d_{11}, …, d_{nn}) \end{matrix} )

die gesuchte starke Approximation. Es bleibt zu zeigen, dass M symplektisch ist. Die Relationen

A^{t}C = C^{t}A
B^{t}D = D^{t}B  (2.27)

sind erfüllt da A, B, C und D Diagonalmatrizen sind. Um zu zeigen, dass M symplektisch ist genügt es somit nachzuprüfen, dass auch

A^{t}D − C^{t}B = E_{n}  (2.28)

gilt. Wiederum folgt aus der Diagonalgestalt von A, B, C und D, dass es genügt für i ∈ {1, …, n} die Gleichung

a_{ii}d_{ii} − c_{ii}b_{ii} = 1

nachzuprüfen. Diese ist aber erfüllt da

a_{ii}d_{ii} − c_{ii}b_{ii}
= a′_{ii}(d′_{ii} + δ_{i}(1 + a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii})) − c′_{ii}(b′_{ii} + β_{i}(1 + a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}))
= a′_{ii}d′_{ii} + δ_{i}a′_{ii} + δ_{i}a′_{ii}(a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}) − c′_{ii}b′_{ii} − β_{i}c′_{ii} − β_{i}c′_{ii}(a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii})
= δ_{i}a′_{ii} − β_{i}c′_{ii} + a′_{ii}d′_{ii} − c′_{ii}b′_{ii} + (δ_{i}a′_{ii} − β_{i}c′_{ii})(a′_{ii}d′_{ii} − b′_{ii}c′_{ii})
= 1

ist.

Bemerkung 2.32

i) Es wäre wünschenswert auch einen Algorithmus für die starke Approximation von Elementen von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) anzugeben. Nehmen wir an, dass

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )

eine Liftung von Elementen M_{i} aus Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}})\Sp(n, ℤ), N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} nach

dem Chinesischen Restsatz ist, bei der wie im obigen Algorithmus möglichst viele Nullen erzeugt wurden. Die beiden Blockmatrizen A und B vom M sind dann Diagonalmatrizen. C und D müssen aber keine Diagonalmatrizen mehr sein und die beiden Relationen aus (2.27) sind somit nicht automatisch erfüllt. Auch in (2.28) müssen für eine starke Approximation im Allgemeinen mehr Bedingungen erfüllt werden als im Fall von Spitzenklassen. Es bleibt zu vermuten, dass man hier aber auch mit Hilfe des euklidischen Algorithmus und des chinesischen Restsatzes jeweils eine starke Approximation konstruieren kann. In diesem Zusammenhang sei auch noch auf [24], Hilfssatz 7.1 verwiesen, der eine Konstruktion liefert um ein teilerfremdes symmetrisches Paar zu einer symplektischen Matrix zu ergänzen. Nutzen wir zum Beispiel das Paar (C, D) um diese Konstruktion durchzuführen, ist aber a priori nicht klar, ob die so erhaltene symplektische Matrix auch die gesuchte starke Approximation ist.

ii) Wir wollen hier noch eine etwas formalere Beschreibung als in den obigen Ausführungen angeben: Sei für i ∈ {1, …, m} mit M_{i} jeweils eine Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}}) bezeichnet. Gesucht ist eine Matrix M, so dass

M ≡ M_{i} (mod Γ_{0}^{(n)}(p_{i}^{ν_{i}})) i ∈ {1, …, m}

gilt.

1) Berechne mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes eine Matrix M mit

M ≡ M_{i} (mod p_{i}^{ν_{i}}) i ∈ {1, …, m}

so, dass möglichst viele Einträge von M gleich null sind.

2) Führe für alle i ∈ {1, …, m} das folgende aus:

Falls a_{ii} ≡ 0 ist, dann setze a_{ii} = a_{ii} + N bis ggt(a_{ii}, c_{ii}) = 1 ist. Falls a_{ii} ≢ 0 ist, dann setze c_{ii} = c_{ii} + N bis ggt(a_{ii}, c_{ii}) = 1 ist. (ggt(a, c) bezeichne hierbei den größten gemeinsamen Teiler von a und c.)

3) Berechne für alle i ∈ {1, …, m} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus Zahlen δ_{i}, β_{i} mit δ_{i}a_{ii} − β_{i}c_{ii} = 1.

4) Setze b′_{ii} = b_{ii} + β_{i}(1 + a_{ii}d_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}), d′_{ii} = d_{ii} + δ_{i}(1 + a_{ii}d_{ii} − b′_{ii}c′_{ii}) sowie,

M = ( \begin{matrix}Diag(a_{11}, …, a_{nn}) & Diag(b′_{11}, …, b′_{nn}) \\ Diag(c_{11}, …, c_{nn}) & Diag(d′_{11}, …, d′_{nn}) \end{matrix} ) .

□

2.2.4 Die Weiten von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N)

Formeln für Werte s_{N}^{(n)}(\underline{j}; (\underline{v})) haben wir bereits in (2.22), (2.23), (2.24) und (2.26) gesehen. Als nächstes wollen wir uns mit der Frage beschäftigen, wieviele Elemente aus Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ), (4 ∤ N) unter der Projektion P auf die einzelnen Spitzenklassen abgebildet werden. Wir interessieren uns also für eine Verallgemeinerung von Lemma 2.21, in dem wir bereits die Weiten von Spitzenklassen von Γ_{0}^{(1)}(N) angegeben haben. Dabei werden wir uns später für explizite Formeln auf den Fall n = 2 beschränken.

Definition 2.33 Wir bezeichnen mit

t_{N}^{(n)}(l; (a_{1}p^{j_{1}}, …, a_{n−l}p^{j_{n−l}}))

die Anzahl der Elemente aus Γ_{0}^{(n)}(p^{ν})\Sp(n, ℤ), die die Spitzenklasse

M = ( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ Diag(a_{1}p^{j_{1}}, …, a_{n−l}p^{j_{n−l}}) & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix} ) ∈ S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (j_{1} …, j_{n−l}))

repräsentieren. Diese Anzahl nennen wir die Weite der Spitzenklasse M.

□

Sei R_{p^{ν}}^{(n)}(l) gegeben. Wir betrachten die Einschränkung F von P auf R_{p^{ν}}^{(n)}(l)

F : R_{p^{ν}}^{(n)}(l) → ⋃_{(j_{1},...,j_{n−l})∈P_{l}^{(n)}(p^{ν})} S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (j_{1}, …, j_{n−l})),

die als die Hintereinanderausführung der folgenden beiden Abbildungen F_{1} und F_{2} aufgefasst werden kann: i)

F_{1} : R_{p^{ν}}^{(n)}(l) → ⋃_{i=0}^{n} Q_{i}

ω(I) ( \begin{matrix}u + o + E_{n} & g \\ h & −u^{t} − o^{t} + E_{n} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ h̃ & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix} )

Dabei erhält man h̃ aus h durch Streichung jeder i-ten Zeile und Spalte für die h_{ii} = 1 ist.

ii)

F_{2} : ⋃_{i=0}^{n} Q_{i} → ⋃_{(j_{1},...,j_{n−l})∈P_{l}^{(n)}(p^{ν})} S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (j_{1}, …, j_{n−l}))

( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ h & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}E_{n−l} \\ & & & E_{l} \\ D & & E_{n−l} \\ & −E_{l} \end{matrix} ) ,

wobei D so gewählt wird, dass Bild und Urbild von F_{2} dieselbe Spitzenklasse repräsentieren.

Man sieht sofort, dass jedes Bild unter der Abbildung F_{1}

p^{ν \frac{l(l+1)}{2}} ∑_{{I∈D^{(n)} \atop r_{I} =l}} (p^{νt_{I}+(ν−1)s_{I}})  (2.29)

Urbilder hat. Um uns die Situation für F_{2} zu verdeutlichen, betrachten wir noch ein einfaches Beispiel.

Beispiel 2.34 Sei n = 2 und N = 3^{3}. Betrachten wir zunächst Q_{0}. Es ist ♯(Q_{0}) = 3^{6} = 729. Für die Operation h ↦ U^{t}hU von SL(2, ℤ/3^{3}ℤ) auf MAT^{sym}(2, 3ℤ/3^{3}ℤ) erhalten wir als Repräsentanten der 17 Bahnen.

Diag(d_{1}, d_{2}) mit (d_{1}, d_{2}) ∈ {(0, 0), (3, 0), (6, 0), (9, 0), (18, 0), ; (3, 3), (6, 3), (12, 3), (15, 3), (21, 3), ; (24, 3), (9, 3), (9, 6), (18, 3), (18, 6), ; (9, 9), (18, 9) } .

Als nächstes berechnen wir den Index der Stabilisatoren dieser Repräsentanten. Dies ergibt:

(d_{1}, d_{2}) Index (d_{1}, d_{2}) Index (d_{1}, d_{2}) Index (d_{1}, d_{2}) Index
(0, 0)  1
(3, 0)  36 (6, 0)  36 (9, 0)  4 (18, 0)  4
(3, 3)  54 (6, 3) 108 (12, 3)  54 (15, 3) 108
(21, 3)  54 (24, 3) 108
(9, 3)  36 (9, 6)  36 (18, 3)  36 (18, 6)  36
(9, 9)  6 (18, 9)  12

Die Menge

⋃_{v_{1},v_{2}∈{0,1,2}} S_{3^{3}}^{(2)}(0; (v_{1}, v_{2}))

hat 13 Elemente der Form

\binom{E_{2}}{D E_{2}} , D = Diag(a, b),

die mittels Angabe der Diagonaleinträge von D durch die Paare

(a, b) ∈ R_{0} = {(0, 0), (3, 0), (6, 0), (9, 0), (18, 0), ; (3, 3) = (12, 3) = (21, 3), (6, 3) = (15, 3) = (24, 3), ; (9, 9), (18, 9), (9, 3), (9, 6), (18, 3), (18, 6)}

repräsentiert werden können. Die Abbildung F_{1} eingeschränkt auf R_{p^{ν}}^{(n)}(0) hat Grad 3^{3}. Damit ergeben sich die Werte t_{3^{3}}^{(2)}(0; (a, b)), wie sie in der folgenden Tabelle angegeben sind:

(a, b) t_{3^{3}}^{(2)}(0; (a, b)) (a, b) t_{3^{3}}^{(2)}(0; (a, b)) (a, b) t_{3^{3}}^{(2)}(0; (a, b))
(0, 0)  27 (3, 0)  972 (6, 0)  972
(9, 0)  108 (18, 0)  108 (3, 3)  4374
(6, 3)  8748 (9, 9)  162 (18, 9)  324
(18, 6)  972 (9, 3)  972 (9, 6)  972
(18, 3)  972

Wir sehen sofort:

∑_{(a,b)∈R_{0}} t_{3^{3}}^{(2)}(0; (a, b)) = 3^{9} = r_{3^{3}}^{(2)}(0).

Wir gehen nun genauso für Q_{1} vor. Die Einschränkung der Abbildung F_{1} auf ω(I)N_{3^{3}}(I) hat in diesem Fall für I = ( \begin{matrix}1 \\ & 0 \end{matrix} ) den Grad 3^{6} und für I = ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \end{matrix} ) Grad 3^{5}. Für die Bahnen der Operation h ↦ U^{t}hU von SL(2, ℤ/3^{3}ℤ)

auf Q_{1} erhalten wir die 9 Repräsentanten

\left\{{(0,-1),(3,-1),(6,-1),(9,-1),(12,-1), \atop (15,-1),(18,-1),(21,-1),(24,-1)}\right\} ,

deren Stabilisatoren alle Index 1 haben. Der Eintrag (a, b) steht hier und im Folgenden für den Repräsentanten Diag(a, b). Als Repräsentanten für die Spitzenklassen erhalten wir nach Satz 2.29 nun

⋃_{v_{1}∈{0,1,2}} S_{3^{3}}^{(2)}(1; (v_{1})) = {(0, −1), (3, −1), (6, −1), (9, −1), (18, −1)} ,

da hier (3, −1), (12, −1), (21, −1) und (6, −1), (15, −1), (14, −1) jeweils dieselbe Spitzenklasse repräsentieren. Weiter ergibt sich

t_{3^{3}}^{(1)}(1; (0,)) = t_{3^{3}}^{(1)}(1; (9,)) = t_{3^{3}}^{(1)}(1; (18,)) = 1 · (3^{6} + 3^{5})

und

t_{3^{3}}^{(1)}(1; (3,)) = t_{3^{3}}^{(1)}(1; (6,)) = 3 · (3^{6} + 3^{5}).

Hier gilt auch

∑_{[a]∈ ⋃_{v_{1}∈{0,1,2}} S_{3^{3}}^{(2)}(1;(v_{1}))} t_{3^{3}}^{(1)}(1; (a)) = 9 · (3^{6} + 3^{5}) = r_{3^{3}}^{(2)}(1).

Mit [a] bezeichnen wir hier die Spitzenklasse

( \begin{matrix}1 \\ & & & 1 \\ a & & 1 \\ & −1 \end{matrix} ) .

Da im Fall i = 2 sowohl S_{3^{3}}^{(2)}(2; (0)) als auch Q_{2} nur ein Element haben, ist

t_{3^{3}}^{(2)}(2, (0)) = 3^{9} = r_{3^{3}}^{(2)}(2).

□

Die Weiten von Spitzenklassen wollen wir nun explizit für die Dimension n = 2 berechnen.

Lemma 2.35 Sei n = 2, N = p^{ν} eine Potenz einer ungeraden Primzahl und ϵ, ϵ′ jeweils ein Quadrat beziehungsweise Nichtquadrat modulo N, p ∤ ϵ, p ∤ ϵ′. Ist ν > v_{1} > v_{2} > 0 und ν > v > 0, so ist der Index \overline{t}_{p^{ν}}^{(2)}(0; (a, b)) des Stabilisators von

h = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} )

in

H^{(ν)} = {Ĥ|H ∈ MAT^{sym}(2, pℤ_{[p^{ν−1}]})}

unter der Operation

h ↦ U^{t}hU, U ∈ SL(n, ℤ/p^{ν}ℤ)

gegeben durch:

\overline{t}_{p^{ν}}^{(2)}(0, (a, b)) = \{ \begin{matrix}1, & falls & (a, b) = (0, 0), \\ p^{2(ν−v_{1}−1)} \frac{(p−1)(p+1)}{2}, & falls & (a, b) = (ϵp^{v_{1}}, 0), \\ p^{2(ν−v_{2}−1)} \frac{(p−1)(p+1)}{2}, & falls & (a, b) = (ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}}), \\ p^{2(ν−v)−1} (p + (\frac{−ϵ}{p})) , & falls & (a, b) = (ϵp^{v}, p^{v}). \end{matrix}

Hierin bezeichne (\frac{·}{·}) das Legendre-Symbol.

Beweis: Im Fall ν = 1 hat H^{(ν)} nur ein Element 0_{n}, also ist \overline{t}_{p^{ν}}^{(2)}(0; (0, 0)) = 1. Ist −1 ein Quadrat modulo p, so hat die quadratische Form ax^{2}+y^{2} eine nichttriviale Lösung modulo p, wenn a ein Quadrat modulo p ist. Der quadratische Raum (𝔽_{p}, âx^{2}+y^{2}) ist also genau dann hyperbolisch, wenn (\frac{−a}{p}) = 1 ist. Ist ein Element der Form

Diag(a, b) = Diag(ϵp^{v}, p^{v}) aus H^{(ν)} gegeben, so können wir statt dieses modulo p^{ν} zu betrachten auch Diag(ϵ, 1) modulo p^{ν−v} betrachten. Die Formeln (12.4) und (14.3) aus [40] liefert uns nun:

\overline{t}_{p^{ν}}^{(2)}(0; (ϵp^{v}, p^{v})) = p^{2(ν−v)−1} (p + (\frac{−ϵ}{p})) .

Sei nun Diag(a, b) = Diag(ϵ̂p^{v_{1}}, 0) aus H^{(ν)}. Die Matrix M = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ∈

SL(2, ℤ) ist genau dann eine Lösung der Gleichung

M^{t}Diag(ϵp^{v_{1}}, 0)M = Diag(ϵp^{v_{1}}, 0)

modulo p^{ν}, wenn

α^{2} ≡ 1 (mod p^{ν−v_{1}}),
β ≡ 0 (mod p^{n−v_{1}})

und

αδ − βγ = 1

gilt. Die erste Kongruenz hat für α̂ ∈ ℤ/p^{ν}ℤ genau 2p^{v_{1}} und die zweite für β̂ ∈ ℤ/p^{ν}ℤ genau p^{v_{1}} Lösungen. Wählen wir nun γ̂ beliebig aus ℤ/p^{ν}ℤ, so ist δ durch die ℤ-Repräsentanten α, β, γ von α̂, β̂, γ̂ mittels αδ − βγ = 1 eindeutig bestimmt. Damit ist

\overline{t}_{p^{ν}}^{(2)}(0; (ϵp^{v_{1}}, 0)) = \frac{|SL(2, ℤ/p^{ν}ℤ)|}{2p^{ν+2v_{1}}} = p^{2(ν−v_{1}−1)} \frac{(p + 1)(p − 1)}{2}.

Es bleibt der Fall Diag(a, b) = Diag(ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}}) ∈ H^{(ν)}. Wir werden die Anzahl

der Matrizen M = ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ) ∈ SL(2, ℤ/p^{ν}ℤ) bestimmen, die eine Lösung der

Gleichung M^{t}Diag(ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}})M = Diag(ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}}) sind. Indem wir diese Gleichung komponentenweise betrachten folgt, dass eine Matrix M ∈ SL(2, ℤ/p^{ν}ℤ) genau dann Lösung dieser Gleichung ist, wenn α, β, γ, δ das folgende System von Gleichungen erfüllen:

αδ − βγ = 1,  (2.30)
ϵp^{v_{1}}α^{2} + ϵ′p^{v_{2}}γ^{2} = ϵp^{v_{1}},  (2.31)
ϵp^{v_{1}}β^{2} + ϵ′p^{v_{2}}δ^{2} = ϵ′p^{v_{2}},  (2.32)
ϵp^{v_{1}}αβ + ϵ′p^{v_{2}}γδ = 0.  (2.33)

Wir werden zeigen, dass das System:

αδ − βγ = 1,  (2.34)
−ϵp^{v_{1}}β = ϵ′p^{v_{2}}γ,  (2.35)
p^{v_{2}}α^{2} = p^{v_{2}} − \frac{ϵ}{ϵ′} p^{v_{1}}β^{2},  (2.36)
p^{v_{2}}α = p^{v_{2}}δ.  (2.37)

dazu äquivalent ist. Gleichung (2.30) und (2.34) sind identisch. Indem wir Gleichung (2.32) mit α multiplizieren und vom β–fachen der Gleichung (2.33) subtrahieren, erhalten wir

ϵ′p^{v_{2}}αδ^{2} − ϵ′p^{v_{2}}βγδ = ϵ′p^{v_{2}}α.

Mit Hilfe von Gleichung (2.30) folgt hieraus nun Gleichung (2.37). Subtrahieren wir das δ–fache der Gleichung (2.33) vom γ–fachen der Gleichung (2.32) und nutzen wieder Gleichung (2.30) so folgt (2.35). Aus Gleichung (2.30) multipliziert mit p^{v_{2}} folgt mit Hilfe von (2.35) und (2.37) nun (2.36). Wir können also aus dem ersten System alle Gleichungen des zweiten Systems ableiten. Nun zur umgekehrten Richtung. Gleichung (2.36) ist äquivalent zu:

ϵ′p^{v_{2}}α^{2} + ϵp^{v_{1}}β^{2} = ϵ′p^{v_{2}}.

Mit Hilfe von (2.35) erhalten wir (2.32). Multiplizieren wir Gleichung (2.35) mit γ und nutzen anschließend (2.34) folgt:

−ϵp^{v_{1}}βγ = ϵ′p^{v_{2}}γ^{2}
⇔ ϵp^{v_{1}}(1 − αδ) = ϵ′p^{v_{2}}γ^{2}
⇔ ϵp^{v_{1}} = ϵ′p^{v_{2}}γ^{2} + ϵp^{v_{1}}αδ

Mit Hilfe von (2.37) folgt hieraus (2.31). Um die noch fehlende Gleichung (2.33) herzuleiten genügt es Gleichung (2.34) mit α zu multiplizieren. Damit haben wir alle Gleichungen des ersten Systems aus denen des zweiten Systems abgeleitet und die beiden Gleichungsysteme haben die selben Lösungen. Wir betrachten nun das System aus den Gleichungen (2.34), (2.35), (2.36) und (2.37). Keine der Gleichungen liefert eine Einschränkung für die Wahl von β. Sei also β ein beliebiges der p^{ν} Elemente aus ℤ/p^{ν}ℤ. Gleichung (2.35) erlaubt nun nur noch noch p^{v_{2}} Möglichkeiten für γ und für α gibt es wegen (2.36) noch 2p^{v_{2}} Wahlmöglichkeiten. δ ist nun auf Grund von (2.34) eindeutig bestimmt und für den Index t_{p^{ν}}^{(2)}(0, (ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}})) folgt:

t_{p^{ν}}^{(2)}(0, (ϵp^{v_{1}}, ϵ′p^{v_{2}})) = \frac{|SL(2, ℤ/p^{ν}ℤ)|}{2p^{ν+2v_{2}}} = p^{2(ν−v_{2}−1)} \frac{(p + 1)(p − 1)}{2}.
□

Aus diesem Lemma ergeben sich nun auch direkt die Werte für t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (⋆)):

Lemma 2.36 Sei n = 2, N = p^{ν} eine Potenz einer ungeraden Primzahl, ϵ ein Quadrat oder Nichtquadrat modulo N, p ∤ ϵ, v_{2} < v_{1} < ν , v < ν, sowie

a_{1} ∈ (ℤ/p^{min{ν−v_{1},v_{2}}}ℤ)^{∗} und
a_{2} ∈ (ℤ/p^{min{ν−v,v}}ℤ)^{∗} .

Dann ist:

t_{p^{ν}}^{(2)}(2; (0)) = p^{3ν},
t_{p^{ν}}^{(2)}(1; (a_{2}p^{v})) = (p^{2ν} + p^{2ν−1})p^{max{ν−2v,0}},
t_{p^{ν}}^{(2)}(1; (0)) = (p^{2ν} + p^{2ν−1}),

t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (a, b)) =
1,  falls (a, b) = (0, 0),
p^{2(ν−v−1)} \frac{(p−1)(p+1)}{2},  falls (a, b) = (ϵp^{v}, 0),
p^{max\{ν−v_{1}−v_{2},0\}}p^{2(ν−v_{2}−1)} \frac{(p−1)(p+1)}{2}, falls (a, b) = (a_{1}p^{v_{1}}, ϵp^{v_{2}}),
p^{max\{ν−2v,0\}}p^{2(ν−v)−1} (p + (\frac{−a_{2}}{p} )) , falls (a, b) = (a_{2}p^{v}, p^{v}).

Beweis: Der Beweis ergibt sich aus (2.21), (2.29) und Lemma 2.35.

□

Bemerkung 2.37 Beachte, dass die Weiten t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (ap^{v}, p^{v})) einer Spitzenklasse aus S_{p^{ν}}^{(2)}(0; (ap^{v}, p^{v})) nicht mehr alleine vom Exponenten v der p-Potenz abhängt, sondern auch von der Quadratklasse von −a modulo p.

□

Beispiel 2.38 Betrachten wir hier noch eimal genauer den Fall ν = 6. Es gilt hier:

t_{p^{ν}}^{(2)}(2; (0)) = p^{18} = r_{p^{ν}}^{(2)}(0),
t_{p^{ν}}^{(2)}(1; (0)) + ∑_{j=1}^{5} ∑_{a_{2}∈(ℤ/p^{min{ν−j,j}}ℤ)^{∗}} t_{p^{ν}}^{(2)}(2; (a_{2}p^{j})) = p^{17} + p^{16} = r_{p^{ν}}^{(2)}(1).

Weiter ist:

t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (0, 0)) = 1,
∑_{j=1}^{5} t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (ϵp^{j}, 0)) = (p^{2} − 1)(1 + p^{2} + p^{4} + p^{6} + p^{8}),

∑_{j=1}^{5} ∑_{a_{1}∈(ℤ/p^{min{ν−j_{1},j_{2}}}ℤ)^{∗}} t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (a_{1}p^{j_{1}}, ϵp^{j_{2}})) = (p^{2} − 1)(p − 1)(p^{2} + p^{4} + p^{5}
+p^{6} + p^{7} + 2p^{8} + p^{9} + p^{10} + p^{11}),
∑_{j=1}^{5} ∑_{a_{2}∈(ℤ/p^{min{ν−j,j}}ℤ)^{∗}} t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (a_{2}p^{j}, p^{j})) = (p − 1)(p^{2} + p^{5} + p^{8} + p^{11} + p^{14}).

Also:

∑_{(⋆,⋆)} t_{p^{ν}}^{(2)}(0; (⋆, ⋆)) = p^{15} = r_{p^{ν}}^{(2)}(1).

Summieren wir schließlich über alle Spitzen, so ist:

∑_{i=0}^{2} ∑_{(⋆)} t_{p^{ν}}^{(2)}(i; (⋆)) = p^{15} + p^{16} + p^{17} + p^{18}

= p^{3ν} (1 + \frac{1}{p}) (1 + \frac{1}{p^{2}} )
= | Γ_{0}^{(2)}(p^{ν})\Sp(2, ℤ) | .
□

Um allgemeiner als in Lemma 2.36 auf die Weite einer Spitzenklasse einzugehen, also auch für Dimensionen größer als zwei, sei

H^{(ν,i)} = {Ĥ|H ∈ MAT^{sym}(i, pℤ_{[p^{ν−1}]})}

(siehe Lemma 2.25), gegeben und R^{(i)} die ebenfalls in Lemma 2.25 angegebene Menge von Repräsentanten für die Operation U ↦ U^{t}HU von SL(i, ℤ/p^{ν}ℤ) auf H^{(ν,i)}. Für ein R ∈ R^{(i)} bezeichnen wir mit \overline{t}(R) den Index des Stabilisators von R in H^{(ν,i)} unter dieser Operation. Sei weiter S^{(i)} = R^{(i)}/ ≈_{n}. Dann ist, wie aus der Definition von ≈_{n} auf Seite 65 und Satz 2.29 folgt,

S^{(i)} → ⋃_{(v_{1},...,v_{n−i})∈E_{i}^{(n)}(ν)} S_{p^{ν}}^{(n)}(i; (v_{1}, …, v_{n−i}))  (2.38)

S ↦ ( \begin{matrix}E_{n−i} \\ & & & E_{i} \\ S & & E_{n−i} \\ & −E_{i} \end{matrix} )  (2.39)

eine Bijektion. Die Weite der Spitzenklasse, auf die S abgebildet wird, ist also mit (2.29) durch

p^{ν \frac{i(i+1)}{2}} ∑_{{I∈D^{(n)} \atop r_{I} =i}} (p^{νt_{I}+(ν−1)s_{I}}) ∑_{{R∈R^{(i)} \atop R≈nS}} \overline{t}(R)  (2.40)

gegeben.

Lemma 2.39

i) Ist p^{ν} eine Potenz einer ungeraden Primzahl, so ist

t_{p^{ν}}^{(n)}(i; (\underline{0})) = p^{ν \frac{i(i+1)}{2}} ∑_{{I∈D^{(n)} \atop r_{I} =i}} p^{νt_{I}+(ν−1)s_{I}}.

ii) Ist p eine nicht notwendig ungerade Primzahl, dann ist

t_{p}^{(n)}(i; (\underline{0})) = p^{\frac{i(i+1)}{2}} ∑_{{I∈D^{(n)} \atop r_{I} =i}} p^{t_{I}} = p^{\frac{i(i+1)}{2}} \binom{n}{min\{i, n − i\}}_{p} .

Beweis: Die Mengen S_{p^{ν}}^{n}(l; (\underline{0})), 0 ≤ l ≤ n enthalten genau eine Spitzenklasse. Unter F_{1} hat diese genau ein Urbild. Dieses hat nach Gleichung 2.29 unter F_{1} die geforderte Anzahl von Urbildern.

□

Die Weiten von Spitzenklassen für die Dimension n ≥ 3 werden bis auf Lemma 2.42 im Rahmen dieser Arbeit nicht mehr explizit berechnet werden. Die folgenden Lemmata, die alle offensichtlich sind, notieren wir hier noch für den späteren Gebrauch.

Lemma 2.40 Für eine natürliche Zahl N mit 4 ∤ N sind

i) S_{N}^{(n)}(n; (\underline{0})) = \{J_{2n} = ( \begin{matrix}& E_{n} \\ −E_{n} \end{matrix} )\} ,

ii) S_{N}^{(n)}(0; (\underline{0})) = \{E_{2n}\} ,

iii) S_{N}^{(n)}(i; (\underline{0})) = \{( \begin{matrix}E_{n−i} \\ & & & E_{i} \\ & & E_{n−i} \\ & −E_{i} \end{matrix} )\} für 0 < i < n,

und damit ist

s_{N}^{(n)}(n; (\underline{0})) = s_{N}^{(n)}(0; (\underline{0})) = 1,

sowie

s_{N}^{(n)}(0; (\underline{0})) = 1 für 0 < i < n.
□

Lemma 2.41 Für eine natürliche Zahl N mit 4 ∤ N sind

i) s_{N}^{(n)}(\underline{j}; (\underline{d})) = ∏_{i=1}^{t} s_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(n)}(j_{i}; (d_{i})) und

ii) t_{N}^{(n)}(\underline{j}; (\underline{d})) = ∏_{i=1}^{t} t_{p_{i}^{ν_{i}}}^{(n)}(j_{i}; (d_{i})).

□

Lemma 2.42 Für eine natürliche Zahl N mit 4 ∤ N sind

i) t_{N}^{(n)}(n; (\underline{0})) = N^{\frac{n(n+1)}{2}} und

ii) t_{N}^{(n)}(0; (\underline{0})) = 1.

□

2.3 Schranken im Fall der Modulgruppen Γ_{0}^{(n)}(N)

Wir wollen nun mit den Ergebnissen aus den vorigen Abschnitten die in [52], Theorem 2.9 angegebenen Schranken auf den Fall von Siegelschen Modulformen zur Untergruppe Γ_{0}^{(n)}(N) verallgemeinern. Zunächst wollen wir noch einige Begriffe erklären, die wir in diesem Abschnitt benutzen. Diese Begriffe und weitere Eigenschaften dieser findet man auch in [52]. Sei L eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge der reellen symmetrischen positiv semidefiniten Matrizen. L heißt Kern, falls

(1) ℝ_{≥1}L = L,

(2) 0 ∉ L und

(3) ℝ_{>0}L ist eine Teilmenge der reellen symmetrischen positiv semidefiniten Matrizen.

Des weiteren wollen wir mit ν(f|_{k}M) den Abschluss der konvexen Hülle von ℝ_{≥1}Supp(f|_{k}M) bezeichnen. Für alle M in Sp(n, ℤ) ist ν(f|_{k}M) ein Kern. Sei

N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} eine natürliche Zahl und f ∈ S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ) eine Spitzenform. Sei

weiter ω_{n} die dyadische Spur und M_{1}, …, M_{r} ein Repräsentantensystem von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ). Theorem 2.5 aus [52] liefert uns:

Gilt für alle M_{j}, j ∈ {1, …, r}:

min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{j})) > \frac{k}{4π} 𝔴_{n},  (2.41)

dann ist f ≡ 0. Dabei ist

𝔴_{n} = sup_{Ω∈H_{n}} inf_{σ∈Sp(n,ℤ)}ω_{n}(Im(σΩ)^{−1}).

2.3. SCHRANKEN IM FALL DER MODULGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N)

Die Menge von Kernen {ν(f|_{k}M) | M ∈ Sp(n, ℤ)} ist Γ_{0}^{(n)}(N)-zulässig, das heißt

∀ V ∈ Γ_{0}^{(n)}(N), U = ( \begin{matrix}A^{t} & S \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} ) ∈ Δ(n, ℤ)

ist

ν(f|_{k}V MU) = Aν(f|_{k}M)A^{t}

(siehe hierzu [52], Lemma 1.5). Damit ist dann nach (1.8)

min ω_{n} (Supp(f|_{k}V MU)) = min ω_{n} (Supp(f|_{k}M)) .

Der Wert von min ω_{n} (Supp(f|_{k}M)) hängt für eine Spitzenform f zur Untergruppe Γ_{0}^{(n)}(N) vom Gewicht k nur an der Spitzenklasse, die von M repräsentiert wird und nicht am Repräsentanten selbst. Anstelle von Ungleichung (2.41) genügt es somit auch die Ungleichung

min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{j})) > \frac{k}{4π} 𝔴_{n}  (2.42)

für alle Repräsentanten M_{j} von Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) zu fordern. Dabei sei t_{N}^{(n)}(j) die Weite der Spitzenklasse M_{j}. Im Fall n = 1 und n = 2 finden sich hierfür explizite Werte in Lemma 2.21 und Lemma 2.36.

Bemerkung 2.43

i) Hier stellt sich nun die Frage, ob sich die Werte min ω_{n}(Supp(f|M_{j})) für zwei Spitzenklassen M_{1} und M_{2} immer unterscheiden. Können hier Teilmengen von Spitzenklassen identifiziert werden, für die dieser Wert übereinstimmt, so können wir anstatt (2.42) eine Ungleichung der Form

∑_{M_{j}∈X} t_{N}^{(n)}(j) min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{j})) > \frac{k}{4π} 𝔴_{n}  (2.43)

mit

X = {M ∈ Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) | min ω_{n}(Supp(f|M)) = min ω_{n}(Supp(f|M_{j})) }

nur für eine Menge von Repräsentanten aus Γ_{0}^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ) fordern, für die min ω_{n}(Supp(f|M_{j})) paarweise verschieden ist. Die im Folgenden abgeleiteten Schranken könnten hierdurch verbessert werden. (Es werden im Allgemeinen für mindestens eine Fourierentwicklung aus (2.43) weniger Fourierkoeffizienten einer Spitzenform f als in (2.42) benötigt bis eine Ungleichung aus (2.43) verletzt wird und folglich f ≡ 0 ist.) Wie später in Abschnitt 4 deutlich wird, ist dies aber zumindest für den Fall n = 1 nicht zu erwarten, falls wir annehmen, dass wir in jeder Entwicklung eine Schranke haben, die die gleiche Anzahl von Fourierkoeffizienten braucht, um das Verschwinden einer Spitzenform f nachzuweisen. Beachte hierbei auch Bemerkung 2.62.

ii) Sind für eine Spitzenform f ∈ S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N), χ) die beiden Fourierentwicklungen in den beiden Spitzenklassen M_{1} und M_{2} mittels

(f|_{k}M_{j})(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}M_{j})} a_{T}^{j} e^{2π𝔦tr(T Z)}

gegeben, so würde mit der selben Begründung wie in i) auch eine Aussage (über die potenziellen Träger) der Form:

∀T ∈ Supp(f|M_{1}) mit ω_{1}(T) < c_{1} gilt a_{T}^{1} = 0
⇒ ∀T ∈ Supp(f|M_{2}) mit ω_{1}(T) < c_{2} gilt a_{T}^{2} = 0

für geeignete Konstanten c_{1} und c_{2} zu einer Verbesserung der Abschätzung führen. Ob eine solche Aussage gültig ist, ist hierbei vollkommen offen. Es scheint, dass Spitzenklassen, die nicht in der Menge

⋃_{i=0}^{n} S_{N}^{(2)}(\underline{i}; (\underline{0}))  (2.44)

liegen, schlechtere Abschätzungen liefern. Die Gültigkeit einer Aussage der obigen Form scheint in den Spitzenklassen, die nicht in (2.44) liegen daher eher möglich. In den Spitzenklassen aus (2.44) würde, ähnlich wie im Fall der Dimension 1, eine Verbesserung der im Folgenden abgeleiteten Schranken vor allem bei kleinen Stufen zu einer Abschätzungen für die Dimension von Räumen von Spitzenformen führen, die kleiner als die wahre Dimension der Räume ist. Man hätte also einen Widerspruch hergeleitet. Die Gültigkeit einer Aussage der obigen Form ist also auch für kleine Stufen nicht zu erwarten.

□

Aus der gemittelten Abschätzung [52], Theorem 2.6 erhalten wir:

Ist

∑_{j=1}^{s} t_{N}^{(n)}(j) min ω_{n} (Supp(f|M_{j})) > [Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)]\frac{k}{4π} 𝔴_{n}, (2.45)

so ist f ≡ 0.

2.3. SCHRANKEN IM FALL DER MODULGRUPPEN Γ_{0}^{(n)}(N)

Für alle M_{j} gilt die Ungleichung

min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{j})) ≥ 𝔡_{n}Ñ_{j}.  (2.46)

Dabei ist

Ñ_{i} = ∏_{{m=1 \atop (lm,vm)≠(0,0)}}^{t} \frac{1}{p_{m}^{ν_{m}}} , falls M_{i} ∈ S_{N}^{(n)}(\underline{l}, (\underline{v}))

und

𝔡_{n} = min_{{T ∈MAT^{sym}(n,ℤ), \atop T >0,t_{jj} ∈2ℤ}} ω_{n}(T).

Einige Werte von 𝔡_{n} für kleines n sind:

\begin{matrix}n & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 𝔡_{n} & 1 & \frac{3}{2} & 2 & 2 \end{matrix}

Für eine fest gewählte Spitzenklasse M_{j}, j ∈ {1, …, s} genügt demnach die Forderung

min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{j})) > \frac{[Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)]}{t_{N}^{(n)}(j)} \frac{k}{4π} 𝔴_{n}

−𝔡_{n} ∑_{{i=1 \atop i≠j}}^{s} Ñ_{i} \frac{t_{N}^{(n)}(i)}{t_{N}^{(n)}(j)},  (2.47)

um zu folgern, dass f ≡ 0 ist. Sei nun für eine positiv definite Matrix Z

m(Z) = min_{x∈ℤ^{n}−{0}}x^{t}Zx

die Hermitesche Funktion, und μ_{n} die Hermitesche Konstante, (siehe [32], [66]), also die kleinste Konstante, so dass für alle positiv definiten Z gilt:

m(Z) ≤ μ_{n} ^{n} \sqrt{det(Z)}.

Nutzen wir nun noch die Abschätzungen

𝔴_{n} ≤ \frac{2}{\sqrt{3}}n

(siehe (1.6)) und

ω_{n}(Z) ≥ \frac{n}{μ_{n}} ^{n} \sqrt{det(Z)}

(siehe (1.7)), so erhalten wir den folgenden Satz:

Satz 2.44 Sei {M_{1}, …, M_{s}} eine Menge von Spitzenklassen für Γ_{0}^{(n)}(N), f ∈ S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N), χ) eine Spitzenform und

(f|_{k}M_{j})(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}M_{j})} a_{j,T} e^{2π𝔦tr(T Z)}

die Fourierentwicklung von (f|_{k}M_{j}). Dann sind für jedes fest gewählte j die folgenden Aussagen äquivalent:

i) f ≡ 0,

ii) für alle T ∈ Supp(f|_{k}M_{j}) mit

ω_{n}(T) ≤ \frac{[Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)]}{t_{N}^{(n)}(j)}𝔴_{n} \frac{k}{4π} − ∑_{{i=1 \atop i≠j}}^{s} \frac{t_{N}^{(n)}(i) min ω_{n} (Supp(f|_{k}M_{i}))}{t_{N}^{(n)}(j)}

gilt a_{j,T} = 0,

iii) für alle T ∈ Supp(f|_{k}M_{j}) mit

ω_{n}(T) ≤ \frac{N^{\frac{n(n+1)}{2}}}{t_{N}^{(n)}(j)} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) \frac{nk}{2\sqrt{3}π} − 𝔡_{n} ∑_{{i=1 \atop i≠j}}^{s} Ñ_{i} \frac{t_{N}^{(n)}(i)}{t_{N}^{(n)}(j)}

gilt a_{j,T} = 0,

iv) für alle T ∈ Supp(f|_{k}M_{j}) mit

\sqrt[n]{det(T)} ≤ \frac{N^{\frac{n(n+1)}{2}}}{t_{N}^{(n)}(j)} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) μ_{n} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{𝔡_{n}μ_{n}}{n} ∑_{{i=1 \atop i≠j}}^{s} Ñ_{i} \frac{t_{N}^{(n)}(i)}{t_{N}^{(n)}(j)}

gilt a_{j,T} = 0.

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2.4 Vergleich der Schranken

2.4. VERGLEICH DER SCHRANKEN

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, für welche Spitzenklasse Satz 2.44 die beste Schranke liefert. Anders ausgedrückt, beschäftigen wir uns mit dem Problem, in welcher Spitzenklasse bei einem Test mit nur einer Spitzenklasse die wenigsten Fourierkoeffizienten berechnet werden müssen, um zu entscheiden, ob eine vorgelegte Spitzenform identisch null ist. Für eine vorgelegte Modulform f wollen wir dabei sagen zwei Rechnungen in zwei Spitzenklassen sind gleichwertig, beziehungsweise zwei Schranke für zwei Spitzenklassen sind gleichwertig, falls in beiden Spitzenklassen die gleiche Anzahl an Fourierkoeffizienten berechnet werden muss, um zu entscheiden ob f ≡ 0 ist. Diese Ausdrucksweise soll lediglich eine quantitative Aussage über die jeweils benutzten Schranken erlauben. Sie ist nicht als exakte mathematische Definition zu verstehen, da sie nicht auf der wahren Anzahl der notwendigen Fourierkoeffizienten basiert, sondern vielmehr auf der Güte der gemachten Abschätzungen und der benutzten Techniken beruht. Insbesondere ist diese Ausdrucksweise auch davon abhängig, was man unter dem potenziellen Träger einer Spitzenform versteht. Es wird sich später herausstellen, dass sich die angegebenen Schranken noch für einige besondere Spitzenklassen verbessern lassen. Wir untersuchen zunächst den Fall der Dimension n = 1. Hier hat bereits E. Hecke eine Abschätzung geliefert [28], Satz 2, p. 811 und die Anmerkung dazu. Die Aussage von E. Hecke lässt sich folgendermaßen interpretieren:

Ist f ∈ S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N)) eine Spitzenform mit Fourierentwicklung

f = ∑_{T =0}^{∞} a_{T} e^{2π𝔦T},

dann ist f ≡ 0, falls a_{T} = 0 für alle T mit

T ≤ \frac{k}{12}N ∏_{{p|N \atop p,Prim}} (1 + \frac{1}{p})

gilt.

In den an Korollar 2.46 anschließenden Ausführungen werden wir sehen, dass wir durch die in der vorliegenden Arbeit vorgestellten Mittel eine Schranke erhalten, die im Wesentlichen bis auf einen Faktor \frac{k}{2\sqrt{3}π} anstatt dem Faktor \frac{k}{12} der Schranke von E. Hecke entspricht. Die hier erhaltene Schranke ist im quadratfreien Fall unabhängig von der Wahl der Spitzenklasse, die bei der Fourierentwicklung von f benutzt wird.

Beispiel 2.45 Ist N = 5, so ist [SL(2, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(5)] = 6 und Γ_{0}^{(1)}(5) hat 2 Spitzenklassen: Eine Spitzenklasse M_{1} aus S_{5}^{(1)}(1; (0)) der Weite t_{5}^{(1)}(0; (0)) = 5 und eine Spitzenklasse M_{2} aus S_{5}^{(1)}(0; (0)) der Weite t_{5}^{(1)}(0; (0)) = 1. Betrachten wir die Entwicklung von f in der Spitzenklasse M_{2}, so ist f ≡ 0, falls a_{2,T} = 0 für alle T ∈ ℕ mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[SL(2, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(5)]}{t_{5}^{(1)}(0; (0))} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{t_{5}^{(1)}(0; (0)) min ω_{n}(Supp(f|M_{1}))}{t_{5}^{(1)}(0; (0))}

≤ 6\frac{k}{2\sqrt{3}π} − 1 = \frac{\sqrt{3}}{π}k − 1.

Mittels der Entwicklung von f in der Spitzenklasse M_{1} gilt: f ≡ 0, falls a_{1,T} = 0 für alle T ∈ \frac{1}{5}ℕ mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[SL(2, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(5)]}{t_{5}^{(1)}(1; (0))} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{t_{5}^{(1)}(0; (0)) min ω_{n}(Supp(f|M_{2}))}{t_{5}^{(1)}(1; (0))}

≤ \frac{6}{5} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{1}{5} = \frac{1}{5} (\frac{\sqrt{3}}{π}k − 1) .

Da der Träger von f|M_{1} aus Matrizen mit Einträgen aus \frac{1}{5}ℕ und der Träger von f|M_{2} aus Matrizen mit Einträgen aus ℕ besteht, sind die beiden Schranken gleichwertig.

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Mit Hilfe der expliziten Ausdrücke für die Anzahlen und Weiten von Spitzenklassen erhalten wir aus Satz 2.44 mit Hilfe der Lemmata 2.20 und 2.21 folgendes Korollar:

Korollar 2.46 Sei N = p^{ν} eine Primzahlpotenz, M eine Spitzenklasse von Γ_{0}^{(1)}(N) und f ∈ S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N), χ) eine Spitzenform mit Fourierentwicklung

(f|_{k}M)(τ) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}M)} a_{M,T} e^{2π𝔦T τ}.

Dann ist f ≡ 0, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

i) Ist M ∈ S_{N}^{(1)}(1; (0)), so ist für alle T ∈ \frac{1}{N} ℕ mit

T < (\frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{1}{p^{ν}} ) (1 + \frac{1}{p}) + \frac{1}{p^{ν}}

a_{M,T} = 0.

ii) Ist M ∈ S_{N}^{(1)}(0; (0)), so ist für alle T ∈ ℕ mit

T < \frac{k}{2\sqrt{3}π} p^{ν} (1 + \frac{1}{p}) − \frac{1}{p}

a_{M,T} = 0.

iii) Ist M ∈ S_{N}^{(1)}(0; (v)) mit 0 < v ≤ \frac{ν}{2}, so ist für alle T ∈ \frac{1}{N} ℕ mit

T < (\frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{1}{p^{ν}} ) \frac{p^{v}}{p^{ν−2v}} (1 + \frac{1}{p}) − \frac{p^{ν} − p^{ν−2v} − 1}{p^{2ν−2v}}

a_{M,T} = 0. iv) Ist M ∈ S_{N}^{(1)}(0; (v)) mit \frac{ν}{2} < v < ν, so ist für alle T ∈ \frac{1}{N} ℕ mit

T < (\frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{1}{p^{ν}} ) p^{ν} (1 + \frac{1}{p}) − \frac{p^{ν} + 2}{p^{ν}}

a_{M,T} = 0.

□

Da bei einer Enwicklung in der Spitzenklasse J_{2} aus S_{N}^{(1)}(1; (0)) für alle T ∈ \frac{1}{N} ℕ ein Fourierkoeffizient berechnet werden muss, und

ω_{1} (\frac{1}{p^{ν}} T ) = \frac{1}{p^{ν}} ω_{1}(T)

gilt, sind die beiden Schranken i) und ii) aus Korollar 2.46 gleichwertig, das heißt in beiden Spitzenklassen muss die gleiche Anzahl

\frac{k}{2\sqrt{3}π} p^{ν} (1 + \frac{1}{p}) − \frac{1}{p}

von Fourierkoeffizienten berechnet werden, um zu entscheiden, ob f identisch null ist oder nicht. Wir wollen nun noch zeigen, wie auch bereits das Beispiel 2.45 suggeriert, dass eine Rechnung für quadratfreies N und für eine Spitzenform f ∈ S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N), χ) in jeder Spitzenklasse gleichwertig ist.

Proposition 2.47

Seien N = ∏_{i=1}^{t} p_{i} quadratfrei, M_{j} ∈ S_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j}; (\underline{v}^{j}))), j ∈ \{1, 2\} zwei Spitzenklassen

von Γ_{0}^{(1)}(N) und f ∈ S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N), χ) eine Spitzenform mit Fourierentwicklung.

(f|_{k}M_{j})(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}M_{j})} a_{j,T} e^{2π𝔦tr(T Z)}.

Die Anzahl der Fourierkoeffizienten, die nach Satz 2.44 und den Abschätzungen

min ω_{1}(Supp(f|_{k}M_{j})) ≥ ∏_{{i=1 \atop l^{1}_{i}=0}}^{t} \frac{1}{p_{i}}

bei einer Rechnung in nur einer Spitzenklasse berechnet werden muss, um zu entscheiden, ob f ≡ 0 ist oder nicht, ist in jeder Spitzenklasse gleich.

Beweis Da N quadratfrei ist, haben die Weiten der Spitzenklassen M_{j} den Wert

t_{N}^{(1)}(M_{j}) = ∏_{{i=1 \atop l{j \atop i} =0}}^{t} p_{i}

und jede Menge S_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j}; (\underline{v}^{j})) besteht aus genau einem Element. Setzen wir

c = [Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(N)]𝔴_{1} \frac{k}{4π} ,

so liefert Satz 2.44 die Abschätzungen:

T ≤ \frac{1}{t_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j}; (\underline{v}^{j}))} (c − ∑_{{M∈Γ{(1) \atop 0}\Sp/Δ \atop M≠M_{j}}} t_{N}^{(1)}(M) min ω_{1}(Supp(f|_{k}M)))

= \frac{1}{t_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j}; (\underline{v}^{j}))} (c − ∑_{{M∈Γ{(1) \atop 0}\Sp/Δ \atop M≠M_{1},M_{2}}} t_{N}^{(1)}(M) min ω_{1}(Supp(f|_{k}M)))

−\frac{t_{N}^{(1)}(M_{m}) min ω_{1}(Supp(f|_{k}M_{m}))}{t_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j}; (\underline{v}^{j}))} mit m ∈ \{1, 2\}, m ≠ j.

Da der Träger von f|_{k}M_{j} aus Matrizen mit Einträgen aus _{\frac{1}{t_{N}^{(1)}(\underline{l}^{j};(\underline{v}^{j}))}}ℕ besteht, sehen wir mit der Abschätzung

t_{N}^{(1)}(M_{m}) min ω_{1}(Supp(f|_{k}M_{m})) ≥ ∏_{{i=1 \atop l^{1}_{i}=0}}^{t} \frac{1}{p_{i}} ∏_{{i=1 \atop l^{1}_{i}=0}}^{t} p_{i} = 1,

dass in jeder Spitzenklasse

c − ∑_{{M∈Γ{(1) \atop 0}\Sp/Δ \atop M≠M_{1},M_{2}}} t_{N}^{(1)}(M) min ω_{1}(Supp(f|_{k}M)) − 1  (2.48)

Fourierkoeffizienten berechnet werden müssen. Diese Anzahl ist also unabhängig von der gewählten Spitzenklasse.

□

Wie sich die Schranken für einzelne Spitzenklassen im nichtquadratfreien Fall verhalten, untersuchen wir nun noch exemplarisch an einem Beispiel.

Beispiel 2.48 Für N = 27 berechnen wir folgende Daten:

[Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(27)] = 36,

S_{27}^{(1)}(1; (0)) = {M_{1}}  mit t_{27}^{(1)}(1; (0)) = 27,
S_{27}^{(1)}(0; (0)) = {M_{2}}  mit t_{27}^{(1)}(0; (0)) = 1,
S_{27}^{(1)}(0; (1)) = {M_{3}, M_{4}} mit t_{27}^{(1)}(0; (1)) = 3,
S_{27}^{(1)}(0; (2)) = {M_{5}, M_{6}} mit t_{27}^{(1)}(0; (2)) = 1.

Daraus ergibt sich, indem wir

min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{2})) > 1, und
min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{i})) > \frac{1}{27}, i ∈ \{1, 3, 4, 5, 6\},

benutzen, die folgende Aussage: f ≡ 0, falls für alle T ∈ N mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(27)]}{t_{27}^{(1)}(1; (0))} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{t_{27}^{(1)}(0; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{2}))}{t_{27}^{(1)}(1; (0))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (1))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{3})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{4})))}{t_{27}^{(1)}(1; (0))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (2))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{5})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{5})))}{t_{27}^{(1)}(1; (0))}

≤ \frac{1}{27} (\frac{18k}{\sqrt{3}π} − \frac{35}{27})

die Koeffizienten a_{1,T} = 0 sind, oder falls für alle T ∈ \frac{1}{27}ℕ mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(27)]}{t_{27}^{(1)}(0; (0))} \frac{k}{2\sqrt{3}π} − \frac{t_{27}^{(1)}(1; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{1}))}{t_{27}^{(1)}(0; (0))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (1))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{3})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{4})))}{t_{27}^{(1)}(0; (0))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (2))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{5})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{6})))}{t_{27}^{(1)}(0; (0))}

≤ \frac{18k}{\sqrt{3}π} − \frac{35}{27}

die Koeffizienten a_{2,T} = 0 sind, oder falls für alle T ∈ \frac{1}{27}ℕ mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(27)]}{t_{27}^{(1)}(0; (1))} \frac{k}{2\sqrt{3}π}

−\frac{t_{27}^{(1)}(1; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{1}))}{t_{27}^{(1)}(0; (1))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{2}))}{t_{27}^{(1)}(0; (1))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (1)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{k}))}{t_{27}^{(1)}(0; (1))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (2))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{5})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{6})))}{t_{27}^{(1)}(0; (1))}

≤ \frac{1}{3} (\frac{18k}{\sqrt{3}π} − \frac{59}{27})

für k ∈ {3, 4}, k ≠ i die Koeffizienten a_{i,T} = 0, i ∈ {3, 4} sind, oder falls für alle T ∈ \frac{1}{27}ℕ mit

T = ω_{1}(T) ≤ \frac{[Sp(1, ℤ) : Γ_{0}^{(1)}(27)]}{t_{27}^{(1)}(0; (2))} \frac{k}{2\sqrt{3}π}

−\frac{t_{27}^{(1)}(1; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{1}))}{t_{27}^{(1)}(0; (2))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (0)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{2}))}{t_{27}^{(1)}(0; (2))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (1))(min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{3})) + min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{4})))}{t_{27}^{(1)}(0; (2))}

−\frac{t_{27}^{(1)}(0; (2)) min ω_{n}(Supp(f|_{k}M_{k}))}{t_{27}^{(1)}(0; (2))}

≤ \frac{18k}{\sqrt{3}π} − \frac{61}{27}

für k ∈ {5, 6}, k ≠ i die Koeffizienten a_{i,T} = 0, i ∈ {5, 6} sind. Auch in diesem Beispiel sind die Schranken gleichwertig, die man aus den Entwicklungen für die Spitzenklassen M_{1}, M_{2} aus S_{27}^{(1)}(1; (0)) und S_{27}^{(1)}(0; (0)) erhält, wie wir bereits in Korolar 2.46 gesehen haben. Für die Spitzenklassen M_{3}, …, M_{6} beachte auch Beispiel 2.49.

□

Um Aussagen über die Spitzenklassen M_{3}, …, M_{6} aus Beispiel 2.48 zu erhalten, beschränken wir uns nun auf eine mittels einer Thetareihe konstruierte Modulform f. Die Träger von f|_{k}M_{i}, i ∈ \{3, …, 6\} sind in diesen Fällen aus \frac{1}{27}ℕ. In den Arbeiten von Y. Kitaoka [34] und H. G. Quebbemann [53] wird das Transformationsverhalten von Thetareihen zu beliebiger Stufe unter der Operation einer Matrix M aus SL(2, ℤ) beschrieben.

Sei θ_{Λ} eine Thetareihe zu einem geraden Gitter Λ der Stufe p^{ν} und

T = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ) ∈ SL(n, ℤ) mit p^{v}|c, (2 |̸p).

Sei weiter

ϕ : Λ^{#}/Λ ⟶ ℚ/ℤ
v + Λ ↦ \frac{1}{2}Norm(v) + ℤ

und

E = \{w + Λ ∈ Λ^{#}/Λ | (v + Λ) · (w + Λ) = cϕ(v) ∀v ∈ (Λ^{#} ∩ \frac{1}{c}Λ)/ Λ\} .

Hierbei bezeichnet Λ^{#} das Dualgitter von Λ und Norm(v) die Norm des Gitterpunktes v. Nach [53], Proposition 2 ist dann

\sqrt{det(Λ)}\sqrt{𝔦c}^{n}θ_{Λ}|_{k}T = ♯ (Λ/Λ^{#}) ∑_{w∈E} γ_{T} (w)θ_{w}  (2.49)

mit

γ_{T} (w) = e^{π𝔦 \frac{Norm(w)}{c}} ∑_{y∈Λ/(Λ∩cΛ^{#})} e^{π𝔦 \frac{1}{c} (Norm(y)+2y·w)}

und

θ_{w}(Z) = ∑_{v∈w⊂Λ/Λ^{#}} e^{π𝔦Norm(v)Z}.

Beispiel 2.49 Wir betrachten das 27-modulare Gitter

Λ = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + 3\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} − 3\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} )⟩_{ℤ}

mit Gram-Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 14 \end{matrix} ) .

Dabei sagen wir ein Gitter Ω ist N-modular, falls die Gram-Matrizen von Ω und \sqrt{N}Ω isometrisch (also SL(n, ℤ)-äquivalent sind. Das Dualgitter von Λ hat Gram-Matrix

A^{−1} = \frac{1}{27} ( \begin{matrix}14 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} )

und wird von

( \begin{matrix}−\frac{1}{6\sqrt{3}} − \frac{1}{2} \\ \frac{1}{6\sqrt{3}} − \frac{1}{2} \end{matrix} ) und ( −\frac{1}{3\sqrt{3}}^{\frac{1}{3\sqrt{3}}} )

erzeugt. Wir wollen die Entwicklung von Θ_{Λ}(Z) in der Spitzenklasse

T_{1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix} ) und T_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 9 & 1 \end{matrix} )

betrachten. Für c = 3 ist dann

Λ^{#} ∩ \frac{1}{3}Λ = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ −\sqrt{3} \end{matrix} )⟩_{ℤ}

und für c = 9 ist

Λ^{#} ∩ \frac{1}{9}Λ = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \frac{1}{\sqrt{3}} ; \frac{1}{−\sqrt{3}} )⟩_{ℤ} .

Demnach besteht im Fall c = 3 die Menge

⟨( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ −\sqrt{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−\frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{9}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{9}{2} \end{matrix} )⟩_{ℤ}

aus Repräsentanten für E. Im Fall c = 9 ist dies nur

\{( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} )\} .

Wir sind nun am Träger von Θ_{Λ}|T_{i}, i ∈ {1, 2} interessiert. Gleichung (2.49) liefert uns, dass mit geeigneten Konstanten const_{1} und const_{2}

Θ_{Λ}|T_{2} = const_{1} ∑_{w∈E} γ_{T_{2}}(w)Θ_{w}

= const_{1}γ_{T_{2}} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) Θ\binom{0}{0}
= const_{2} ∑_{x∈Λ} e^{π𝔦Norm(x)Z}

ist. Da T_{2} ∈ S_{27}^{(1)}(0; (2)) ist, würde es nach Beispiel 2.48 genügen alle Fourierkoeffizienten a_{T} mit

t ≤ \frac{18}{\sqrt{3}π} − \frac{61}{27}

zu betrachten, um eine Linearkombination von Thetareihen der Stufe 27 und Gewicht 1 als 0 nachzuweisen. Dies sind für Gewicht 1 etwa genau so viel wie in den Spitzenklassen aus S_{27}^{(1)}(1; (0)) und S_{27}^{(1)}(0; (0)). Betrachten wir nun den Träger von Θ_{Λ}|T_{1}. Gleichung (2.49) liefert:

Θ_{Λ}|T_{1} = const_{1} ∑_{w∈M⊂Λ^{#}/Λ} γ_{T_{1}}(w)Θ_{w}.

Dabei besteht M aus den drei Nebenklassen

( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) + Λ, ( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ −\sqrt{3} \end{matrix} ) + Λ, ( \begin{matrix}\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} ) + Λ.

Für eine Rechnung sind, da T_{1} ∈ S_{27}^{(1)}(0; (1)) ist, alle Fourierkoeffizienten a_{T} von Interesse, für die T kleiner ist als etwa das dreifache der in Beispiel 2.48 für den Fall k = 1 angegebenen Schranke, insgesamt also kleiner als

\frac{18}{\sqrt{3}π} − \frac{59}{27}.

In diesem Fall sind also auch etwa dieselbe Anzahl von Fourierkoeffizienten von Interesse wie in allen anderen Spitzenklassen auch.

□

Bemerkung 2.50

i) Das letzte Beispiel suggeriert uns, dass im Fall n = 1 die angegebenen Schranken in je zwei Spitzenklassen jeweils gleichwertig sind. Eine genaue Untersuchung hierzu wurde im Rahmen dieser Arbeit nicht vorgenommen. Eine Möglichkeit dies anzugehen besteht wohl darin die in [34] angegebenen expliziten Transformationsformeln auf die in (2.13) angegebene Menge von Spitzenklassen anzuwenden und die dazugehörigen Schranken zu vergleichen.

ii) Die von E. Hecke in [28], Satz 2, p. 811 und der Anmerkung dazu angegebenen Schranke für den Fal n = 1 ist besser als die hier behandelte Schranke.

iii) Der Rechenaufwand, um zu entscheiden ob eine Spitzenform identisch null ist, kann durch eine Rechnung in mehreren Spitzenklassen verringert werden, wenn man annimmt, dass der Rechenaufwand zur Bestimmung eines Fourierkoeffizienten mit steigender dyadischer Spur auch steigt. Siehe hierzu auch Bemerkung 2.51.

□ Betrachten wir nun Formen von beliebigem Grad n. Wir wollen zunächst Abschätzungen angeben, die sich aus der Betrachtung der Spitzenklassen aus

S_{N}^{(n)}(\underline{n}; (\underline{0})) = \{J_{n} = ( \begin{matrix}0_{n} & E_{n} \\ −E_{n} & 0_{n} \end{matrix} )\} und S_{N}^{(n)}(\underline{0}; (\underline{0})) = \{E_{2n}\}

ergeben. Nach Lemma 2.42 ist

t_{N}^{(n)}(n; (0)) = N^{\frac{n(n+1)}{2}} ,
t_{N}^{(n)}(0; (\underline{0})) = 1.

Seien

(f|_{k}E_{2n}) (Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}E_{2n})} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)},
(f|_{k}J_{n}) (Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}J_{2n})} b_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)}

Fourierentwicklungen von f in E_{2n} beziehungsweise in J_{n}. Die potenziellen Träger dieser Modulformen wurden in Lemma 1.20 angegeben. Nach Satz 2.44 ist dann f ≡ 0, falls eine der folgenden beiden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind.

i) a_{T} = 0 für alle

T ∈ Supp(f|_{k}E_{2n}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2}ℤ)| T > 0, t_{jj} ∈ ℤ\}

mit

ω_{n}(T) < N^{\frac{n(n+1)}{2}} \frac{nk}{2\sqrt{3}π} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} )

−\frac{3}{2N} (N^{\frac{n(n+1)}{2}} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) − 1)

= \frac{3}{2N} + N^{\frac{n(n+1)}{2}} (\frac{nk}{2\sqrt{3}π} − \frac{3}{2N} ) ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) ,

ii) b_{T} = 0 für alle

T ∈ Supp(f|_{k}J_{n}) = \{T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ)| T > 0, Nt_{jj} ∈ ℤ\}

mit

ω_{n}(T) < \frac{N^{\frac{n(n+1)}{2}}}{N^{\frac{n(n+1)}{2}}} \frac{nk}{2\sqrt{3}π} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} )

−\frac{3}{2N} \frac{1}{N^{\frac{n(n+1)}{2}}} (N^{\frac{n(n+1)}{2}} ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) − N^{\frac{n(n+1)}{2}} )

= \frac{3}{2N} + (\frac{nk}{2\sqrt{3}π} − \frac{3}{2N} ) ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) .

Benutzen wir die Abschätzung aus ii), so sind, um zu entscheiden ob eine Spitzenform identisch Null ist, alle halbganzen (GL(n, ℤ)-inäquivalenten) Formen zu betrachten, deren dyadische Spur kleiner als

\frac{3}{2} + N (\frac{nk}{2\sqrt{3}π} − \frac{3}{2N} ) ∏_{p|N} ∏_{i=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{i}} ) .  (2.50)

ist. Diese Schranke ist für großes N im Vergleich zum Fall i) etwa um das N^{\frac{n(n+1)}{2}} - fache kleiner. Ein Test auf Verschwinden einer Modulform benötigt also im Fall i) nur etwa den N^{\frac{n(n+1)}{2} −1}-ten Teil der Fourierkoeffizienten wie ein Test im Fall ii).

Bemerkung 2.51

i) Dies ist ein Unterschied zum Fall n = 1, in dem die Spitzenklasse J_{2} im Vergleich zur Spitzenklasse E_{2} für eine Rechnung nicht bevorzugt wird.

ii) Es stellt sich allgemein das Problem zu entscheiden, welche Spitzenklasse die beste Schranke liefert. Es ist zu vermuten, dass die Spitzenklassen von S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (\underline{v})) mit kleinem l eine bessere Schranke liefern, als diejenigen mit großem l, da in (2.29) p-Potenzen auftreten, die bei großem l auch groß werden.

iii) Im Hinblick auf Bemerkung 2.37 können sich bereits die Schranken unterscheiden, die man für zwei Spitzenklassen aus S_{p^{ν}}^{(2)}(l; (\underline{v})) erhält. Es kann vermutet werden, dass der Unterschied der sich hierbei für Spitzenklassen aus der Menge S_{p^{ν}}^{(n)}(l; (\underline{v})) ergibt, nur gering ist. Im Grad n = 2 ist dies für

zwei Schranken zu geeigneten Spitzenklassen lediglich ein Faktor (\frac{p^{2}+1}{p^{2}−1})

beziehungsweise (\frac{p^{2}−1}{p^{2}+1}).

iv) Selbst unter der Annahme, dass man mit kleinem l eine bessere Schranke erhält, können wir hier nicht davon ausgehen, dass bei einem Test auf Gleichheit von zwei Modulformen die Spitzenklasse J_{2n} (hier ist l = 0) die schnellste Rechnung liefert. Rechnen wir zum Beispiel zusätzlich zu J_{2n} für einige Spitzenklassen mit l = 1 einige Fourierkoeffizienten aus, was wahrscheinlich einen relativ kleinen Rechenaufwand bedeutet, da tr(T) klein ist, so lässt sich damit die Anzahl der zu berechnenden Fourierkoeffizienten in J_{2n} verringern. Einerseits sind dies wohl gerade diejenigen Fourierkoeffizienten, für die man einen hohen Rechenaufwand benötigt, um sie zu bestimmen. Andererseits ist zu erwarten, dass die Anzahl der Matrizen T aus dem Träger einer Modulform, für die ω_{n}(T) = const gilt, mit wachsender Konstante const stark ansteigt (Siehe auch Teil vi) dieser Bemerkung), so dass eine geringe Verkleinerung der Schranken die Berechnung vieler Fourierkoeffizienten überflüssig machen kann. Nimmt man dabei noch an, dass für eine große Kostante auch noch die Spur von T groß ist (siehe vi)), so erspart man sich hier gerade die Berechnungen für diejenigen T, die aufwendig sind. Diese beiden Effekte können dann zu einer signifikanten Rechenzeitverkürzung führen.

v) Über den Zusammenhang von Spur und dyadischer Spur weiß man für kleines n, dass für alle Minkowski-reduzierten Formen T:

tr(T) = ω_{1}(T), falls n = 1,
\frac{3}{4}tr(T) ≤ ω_{2}(T), falls n = 2,
\frac{2}{3}tr(T) ≤ ω_{3}(T), falls n = 3,

ist (siehe hierzu [52], Abschnitt 4). Für größeres n ist hier keine lineare Abschätzung mehr bekannt. Selbst falls es eine solche Abschätzung nicht gibt, sollte man erwarten, dass man für eine große Spur auch meistens eine große dyadische Spur hat. Man beachte hierbei auch noch Lemma 2.52. Eine nicht lineare Abschätzung von Spur und dyadischer Spur findet man in Lemma 2.54

vi) Um die Mächtigkeit der Menge

RG_{ω_{n}}^{(n)}(const) = {T ∈ MAT^{sym}(n, ℤ) | ω_{n}(T) ≤ const t_{ii} ∈ 2ℤ, i ∈ {1, …, n}, T ist Minkowski-reduziert }

abzuschätzen, kann man ausnutzen, dass für alle Minkowski-reduzierten Matrizen T gilt: ω_{n}(T) ≤ tr(T). Es folgt, dass |RG_{GL}^{(n)}(const)| kleiner als die Mächtigkeit der Menge

RG_{tr}^{(n)}(const) = {T ∈ MAT^{sym}(n, ℤ) | tr(T) ≤ const t_{ii} ∈ 2ℤ, i ∈ {1, …, n}, T ist Minkowski-reduziert }

ist. Sei G die Gram-Matrix einer halbganzen, positiv definiten, Minkowskireduzierten quadratischen Form gegeben. Aus den Reduktionsbedingungen folgt 0 ≤ g_{11} ≤ … ≤ g_{nn} und 2|g_{ij}| ≤ g_{ii}. Die Diagonaleinträge von G können also jeweils \frac{const}{2} und die Einträge, die nicht auf der Diagonalen stehen, jeweils const Werte annehmen. Also ist

RG_{ω_{n}}^{(n)}(const) ∈ O (\frac{1}{2^{n}} const^{\frac{n(n+1)}{2}} ) .

Im Fall n = 2 findet man in Gleichung (2.57) eine bessere Abschätzung.

vii) Eine explizite Beschreibung der Fourierkoeffizienten einer Modulform bei Entwicklung in einer beliebigen Spitzenklasse durch die Fourierkoeffizienten einer fest vorgegebenen Entwicklung wäre hier wünschenswert. Selbst für Thetareihen kennt man eine explizite Beschreibung nur im Fall der Dimension 1 aus [53] und [34].

viii) Für einige besondere Spitzenklassen wurde in Lemma 1.20 ein expliziter Zusammenhang von Fourierkoeffizienten von Modulformen berechnet. Hierfür werden wir später Verbesserungen der Schranken angeben.

□

Lemma 2.52 Sei c_{n} die größte Konstante, die so gewählt ist, dass für alle Minkowski-reduzier-ten Form T ∈ P_{n}(ℝ) ∩ C_{n}^{∗} gilt:

c_{n}tr(T) ≤ ω_{n}(T).

Dann ist

c_{n+1} ≤ c_{n}.

Beweis: Zunächst wollen wir anmerken, dass die Konstanten c_{n} existieren, da für alle T ∈ P_{n}(ℝ) ∩ C_{n}^{∗} gilt:

ω_{n}(T) ≤ tr(T).

Ist also c_{T} die größte Konstante, so dass

c_{T} tr(T) ≤ ω_{n}(T)

gilt, dann ist c_{T} aus [0, 1]. Da P_{n}(ℚ) dicht in P_{n}(ℝ) ist, und da für die Spur und die dyadische Spur gilt:

tr(λT) = λtr(T),
ω_{n}(λT) = λω_{n}(T),

genügt es nach der Definition von c_{n} anstelle der Minkowski-reduzierten Formen aus P_{n}(ℝ) ∪ C_{n}^{∗} nur Minkowski-reduzierte Formen aus P_{n}(ℤ) zu betrachten. Sei {T_{i}}_{i∈ℕ} eine Folge von Formen und {c_{n,i}}_{i∈ℕ} eine Folge positiver Zahlen, so dass c_{n,i}tr(T_{i}) = ω_{n}(T_{i}) und

lim_{i→∞} c_{n,i} = c_{n}

gilt. Wir betrachten die Folge

\{S_{i} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & T_{i} \end{matrix} )\}_{i∈ℕ} .

Da alle T_{i} Minkowski-reduziert sind, sind dies auch alle S_{i} und es ist

ω_{n+1}(S_{i}) = ω_{n}(T_{i}) + 1 = c_{n,i}tr(T_{i}) + 1.

Da

lim_{i→∞} c_{3,i} ≤ \frac{2}{3}

ist, folgt mit Induktion nach n nun: Es existiert ein i_{0}, so dass für alle i > i_{0} die Ungleichung 1 ≥ c_{n,i} gilt und somit

c_{n,i}tr(T_{i}) + 1 ≥ c_{n,i}tr(T_{i}) + c_{n,i} = c_{n,i}tr(S_{i}), ∀i > i_{0},

also ω_{n+1}(S_{i}) ≥ c_{n,i}tr(S_{i}), ∀i > i_{0}, was wiederum c_{n+1} ≤ c_{n} impliziert, da {S_{i}}_{i∈ℕ} eine Teilmenge von P_{n}(ℝ) ist.

□

Bemerkung 2.53

i) Die Werte c_{n} für n ≥ 4 können durchaus gleich null sein. Sowohl die Spur als auch die dyadische Spur liefern uns eine positive Schranke für die Entscheidung, ob eine vorgegebene Spitzenform identisch Null ist oder nicht. Das Verhältnis dieser Schranken ist eine gewisse positive Zahl. Dieses Verhältnis könnte für große Werte von Spur und dyadischer Spur aber beliebig nahe an 0 liegen. Falls für ein n der Wert von c_{n} gleich Null wäre, also tr ∉ O(ω_{n}), dann könnte die dyadische Spur dementsprechend im Vergleich zur Spur eine beliebig gute Verbesserung der Schranken liefern. (Dies wäre dann vor allem für große Schranken, also Spitzenformen mit hohem Gewicht oder großer Stufe zu erwarten.) Könnte man umgekehrt zeigen, dass c_{n} einen positiven Wert hätte, also tr ∈ O(ω_{n}), dann würde dies die dyadische Spur davon abhalten, im Vergleich zur Spur eine beliebig gute Verbesserung der Schranken zu liefern. ii) Anstrengungen einen positiven Wert für die Konstanten c_{n} im Rahmen die-

ser Arbeit zu konstruieren waren leider fruchtlos. Mit Hilfe der Reduktionstheorie lässt sich aber noch folgender Zusammenhang von Spur und dyadischer Spur zeigen.

□

Lemma 2.54 Für die ganzen Minkowski-reduzierten Formen T gibt es eine Konstante const_{n}, so dass gilt:

ω_{n}(T) ≥ const_{n} ^{n} \sqrt{tr(T)}.

Beweis: Zunächst können wir die dyadische Spur einer Form durch deren Determinante abschätzen (siehe [52] Proposition 3.12),

ω_{n}(T) ≥ \frac{n}{μ_{n}} ^{n} \sqrt{det(T)}.

Seien M_{1}, …, M_{n} die sukzessiven Minima von T. Nach [12], Theorem 2.2, Theorem 3.1 oder [65] ist

μ_{n}^{n} det(T) ≥ ∏_{j=1}^{n} M_{j}

und

M_{j} ≥ C_{j}t_{jj}

für geeignete Konstanten C_{j}. Also ist:

ω_{n}(T) ≥ \frac{n}{μ_{n}} ^{n} \sqrt{det(T)} ≥ \frac{n}{μ_{n}^{2}} ^{n} \sqrt{∏_{j=1}^{n} M_{j}} ≥ \frac{n}{μ_{n}^{2}} ^{n} \sqrt{∏_{j=1}^{n} C_{j}} ^{n} \sqrt{∏_{j=1}^{n} t_{jj}}.

Da T ganz ist, können wir schließlich das Produkt über die Diagonaleinträge t_{jj} durch die Spur abschätzen:

∏_{j=1}^{n} t_{jj} ≥ c ∑_{j=1}^{n} t_{jj} = c tr(T).

Hierbei ist c = 1, falls T eine gerade Form ist und 2^{1−n} falls T halbganz ist. In beiden Fällen gibt es eine Konstante

const_{n} = \frac{n}{μ_{n}^{2}} ^{n} \sqrt{c ∏_{j=1}^{n} C_{j}},

die die behauptete Ungleichung aus dem Lemma erfüllt.

□

2.5 Verbesserungen von Schranken für einige Spitzenklassen

Wir wollen nun noch Verbesserungen der in Satz 2.44 angegebenen Schranken für einige Spitzenklassen herleiten. Betrachten wir dazu den in (1.11) beschriebenen Vektorraumautomorphismus von S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)). Sei S_{i} die Spitzenklasse aus S_{N}^{(n)}(\underline{i}, (\underline{0})), 0 ≤ i ≤ n. In Lemma 1.20 wird für eine Form f ∈ S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) die Fourierentwicklung von (f|S_{n−i})(Z) explizit durch die Entwicklung von (f|w_{n,N}^{fr}|S_{i})(Z) ausgedrückt.

Bemerkung 2.55

i) Betrachten wir eine Form f aus dem von Thetareihen erzeugten Unterraum eines Raums von Modulformen zur Γ_{0}^{(n)}(N), dann lässt sich diese durch Fourierentwicklungen von (f|_{k}S_{i})(Z) für alle i explizit berechnen. Formeln hierfür findet man in [6], Lemma 8.2 und [5], Lemma 4.8.

ii) Der von den Thetareihen erzeugte Raum der Modulformen ist invariant unter der Frickeinvolution. Betrachten wir also eine Siegelsche Thetareihe Θ vom Geschlecht n zum Gitter Λ mit Stufe N, dann ist Θ|_{k}w_{n,N}^{fr} die Siegelsche Thetareihe vom Geschlecht n zum mit N skalierten Dualgitter von Λ. Siehe hierzu zum Beispiel [24], Satz 0.3 (Thetatransformationsformel) zusammen mit Gleichung (1.12).

□

Sei g das Bild einer Spitzenform f ∈ S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) unter der Frickeinvolution, g = f|_{k}w_{n,N}^{fr} mit Fourierentwicklungen

(g|_{k}S_{i})(Z) = ∑_{T̃∈Supp(g|_{k}S_{i})} aT̃e^{2πitr(T̃Z)} und
(f|_{k}S_{n−i})(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}S_{n−i})} b_{T} e^{2πitr(T Z)},

für i ≠ 0, und seien zwei Konstanten c_{1} und c_{2} so vorgegeben, dass die beiden Aussagen

(g|_{k}S_{i})(Z) ≡ 0

⇔

∀T̃ ∈ Supp(g|_{k}S_{i}) mit ω_{n}(T̃) ≤ c_{1}
gilt aT̃ = 0,

(2.51)

(f|_{k}S_{n−i})(Z) ≡ 0 ⇔ ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{n−i}) mit ω_{n}(T) ≤ c_{2} gilt b_{T} = 0 (2.52)

wahr sind. Wir wollen nun die folgende Aussage zeigen:

Falls ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{n−i}) mit ω_{n}(T) ≤ Nc_{1} gilt b_{T} = 0,
dann ist f ≡ 0.  (2.53)

2.5. VERBESSERUNGEN EINIGER SCHRANKEN

Aufgrund von Lemma 1.20 besteht für die Fourierkoeffizienten aT̃ von (g|_{k}S_{i})(Z) und b_{T} von (f|_{k}S_{n−i})(Z) der Zusammenhang

b_{T} = ((−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} N^{\frac{n}{2} −i})^{−k} aT̃

mit

T̃ = ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{n−i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix} ) T ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \\ \sqrt{N}K_{n−i} \end{matrix} ) .

Insbesondere gilt

b_{T} = 0 ⇔ aT̃ = 0.

Im an diese Ausführungen anschließenden Lemma 2.59 werden wir zeigen, dass

ω_{n}(T) ≤ Nω_{n}(T̃)

gilt. Damit erhalten wir aus (2.53) die Implikation von rechts nach links in (2.51). Ist also die Voraussetzung in (2.53) wahr, so folgt daraus g|_{k}S_{i} ≡ 0 und somit g ≡ 0 und, da die Frickeinvolution ein Automorphismus ist, auch f ≡ 0. Ist Nc_{1} < c_{2} haben wir eine Verbesserung der Abschätzung aus Satz 2.44 angegeben. Im Fall i = 0 seien die beiden Fourierentwicklungen

(g|_{k}S_{0})(Z) = ∑_{T̃∈Supp(g|_{k}S_{0})} aT̃e^{2πitr(T̃Z)} und
(f|_{k}S_{n})(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}S_{n})} b_{T} e^{2πitr(T Z)},

sowie Konstanten c_{1} und c_{2} wie in (2.51) und (2.52) gegeben. Wir wollen annehmen dass c_{1} so gewählt ist dass gilt:

Falls ∀T̃ ∈ Supp(g|_{k}S_{0}) mit ω_{n}(T̃) < c_{1} gilt aT̃ = 0,
dann ist g ≡ 0.

Mit Lemma 1.20 folgern wir

b_{T} = 0 ⇔ aT̃ = 0

mit T̃ = NK_{n}T K_{n}, denn

b_{T} = (−1)^{\frac{n(n−1)}{2} k}N^{− \frac{nk}{2}} aT̃.

Da K_{N} ∈ SL(n, ℤ) ist, gilt ω_{n}(T̃) = Nω_{n}(T) und es folgt:

Falls ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{n}) mit ω_{n}(T) < Nc_{1} gilt b_{T} = 0,
dann ist f ≡ 0.

Die sich aus den obigen Ausführungen ergebenden Verbesserungen fassen wir in folgendem Satz zusammen. Beachte dabei, dass für die dort definierten Schranken min{c_{0}, Nc_{n}} = Nc_{n} gilt, was in Teil ii) der Aussge benutzt wird.

Satz 2.56 Seien S_{i} für 0 ≤ i ≤ n die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N) aus S_{N}^{(n)} (\underline{i}, (\underline{0})), und seien S_{i}, n < i ≤ s die restlichen Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N). Sei weiter f ∈ S_{n}^{k} (Γ_{0}^{(n)}(N)) eine Spitzenform mit Fourierentwicklungen

(f|_{k}S_{i}) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}S_{i})} a_{i,T} e^{2π𝔦tr(T Z)}.

Setzen wir für 0 ≤ i ≤ n jeweils

c_{i} = \frac{[Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)]}{t_{N}^{(n)}(i)}𝔴_{n} \frac{k}{4π} − 𝔡_{n} ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{s} \frac{t_{N}^{(n)}(j) min ω_{n}(Supp(f|_{k}S_{i}))}{t_{N}^{(n)}(i)},

wobei t_{N}^{n}(i) die Weite der Spitzenklasse S_{i} bezeichnet, dann sind äquivalent: i) f ≡ 0, ii) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{0}) mit ω_{n}(T) < Nc_{n} gilt a_{0,T} = 0, iii) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{n}) mit ω_{n}(T) < c_{n} gilt a_{n,T} = 0, iv) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{i}) mit ω_{n}(T) < min{c_{i}, Nc_{n−i}} gilt a_{i,T} = 0, (0 < i ≤ n).

□

Wir erhalten hieraus folgende explizite Schranken: Korollar 2.57 Sei N = ∏_{j=1}^{t} p_{j}^{ν_{j}} eine natürliche Zahl. Mit denselben Voraussetzungen wie in Satz 2.56 sind folgende Aussagen äquivalent:

i) f ≡ 0, ii) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{n}) mit

ω_{n}(T) < \frac{𝔡_{n}}{N} + (\frac{nk}{2\sqrt{3}π} − \frac{𝔡_{n}}{N} ) ∏_{p|N} ∏_{j=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{j}} )

gilt a_{n,T} = 0, iii) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{0}) mit

ω_{n}(T) < 𝔡_{n} + (\frac{nkN}{2\sqrt{3}π} − 𝔡_{n}) ∏_{p|N} ∏_{j=1}^{n} (1 + \frac{1}{p^{j}} )

gilt a_{0,T} = 0, iv) ∀T ∈ Supp(f|_{k}S_{i}) mit

ω_{n}(T) < min{c(i), Nc(n − i)},

wobei

c(i) = \frac{𝔡_{n}}{N} + (\frac{nk}{2\sqrt{3}π} − \frac{𝔡_{n}}{N} ) N^{\frac{2in−i^{2}+i}{2}} ∏_{j=1}^{t} \begin{matrix}∏_{k=1}^{n} & (1 + \frac{1}{p^{k}} ) \\ ∑_{{I∈D^{(n)} \atop r_{I} =i}} & (p_{j}^{ν_{j}t_{I}+(ν_{j}−1)s_{I}}) \end{matrix}

ist, gilt a_{i,T} = 0, falls 0 < i < n.

□

Bemerkung 2.58 Satz 2.44 liefert uns für die beiden Spitzenklassen S_{0} und S_{n} Schranken, die wie im Anschluss an Bemerkung 2.502.50 gezeigt wird, nicht gleichwertig sind. Satz 2.56 sowie Korollar 2.57 liefern nun Schranken, die gleichwertig sind.

□

Nun zeigen wir die in Satz 2.56 benutzte Ungleichung.

Lemma 2.59 Ist M = ( \begin{matrix}NA & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ MAT^{sym}(n, ℤ) mit A ∈ MAT^{sym}(i, ℤ), N ∈ ℕ und

M̃ = ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{n−i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix} ) M ( \begin{matrix}& \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \\ \sqrt{N}K_{n−i} \end{matrix} ) ,

dann gilt:

ω_{n}(M) ≤ Nω_{n}(M̃), falls 0 < i < n.

Beweis: Sei

T_{i} = ( \begin{matrix}& \sqrt{N}K_{n−i} \\ \frac{1}{\sqrt{N}} K_{i} \end{matrix} )

und eine dyadische Darstellung von M, durch

M = ∑_{j} α_{j}v_{j}v_{j}^{t} mit ω (M) = ∑_{j} α_{j}

gegeben. Dann ist

M̃ = T_{i}MT_{i} = ∑_{j} α_{j} (T_{i}v_{j}) (T_{i}v_{j})^{t}
= ∑_{j} \frac{α_{j}}{N} (\sqrt{N}T_{i}v_{j}) (\sqrt{N}T_{i}v_{j})^{t}

und folglich:

ω_{n}(M̃) ≥ ∑_{j} \frac{α_{j}}{N} = \frac{1}{N} ω_{n} (M) .

□

Bemerkung 2.60

i) Betrachtet man die Elemente T ∈ Supp(f_{k}|S_{n−i}) des potenziellen Trägers einer Modulform f zur Γ_{0}^{(n)}(N), so kann der Faktor N in dieser Abschätzung nicht verbessert werden, wie man am folgenden Beispiel (0 < j < n) erkennt, wenn man N groß wählt:

M = ( \begin{matrix}NE_{j} \\ & N^{2}E_{n−j} \end{matrix} ) hat dyadische Spur ω_{n}(M) = N^{2(n−j)} + N^{j},
M̃ = ( \begin{matrix}N^{3}E_{n−j} \\ & E_{j} \end{matrix} ) hat dyadische Spur ω_{n}(M̃) = N^{3(n−j)} + j.

ii) Ist M aus einer Teilmenge von Supp(f_{k}|S_{n−i}), zum Beispiel aus der für uns interessanten Menge {M ∈ Supp(f_{k}|S_{n−i})| ω_{n}(M) < const}, so kann und wird für explizite Rechnungen meistens auch eine bessere Abschätzung existieren.

□

Im Anschluss geben wir noch eine Verbesserung der Schranken für die Grade n = 2 und n = 3 an. Wir bezeichnen wieder mit S_{i} die Spitzenklasse aus S_{N}^{(n)}(\underline{i}; (\underline{0})). Bei der Herleitung von Satz 2.44 haben wir die Abschätzung

min (ω_{n}(Supp(f|_{k}S_{i}))) ≥ 𝔡̃_{n}N_{i}

(siehe 2.46) benutzt. Für die Spitzenklasse S_{0} ist

Ñ_{i} = 1 und 𝔡_{2} = \frac{3}{2}, 𝔡_{3} = 2.

Betrachten wir aber eine der Spitzenklassen S_{i}, 1 ≤ i ≤ n, dann wissen wir aus Lemma 1.20, dass das obere linke Element eines Elementes des Trägers durch N teilbar ist. Für eine Minkowski-reduzierte Form

T = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) ∈ MAT^{sym}(2, ℤ)

ist dann:

ω_{2}(T) = a + c − |b| ≥ \frac{3}{2}N

und somit

min ω_{2} (Supp(f|_{k}S_{i})) ≥ \frac{3}{2}.

Für n = 3 folgt mit Hilfe von Proposition 4.2. aus [52], dass

min ω_{3} (Supp(f|_{k}S_{i})) ≥ 2.

Eine weitere Verbesserung im Fall n = 2 kann dadurch erreicht werden, dass man die in der Aussage von Satz 2.44, iii) benutzte Konstante

\frac{k}{\sqrt{3}π} auf \frac{k}{6}  (2.54)

reduziert. Dieses ist ein bisher noch unveröffentlichtes Ergebnis von C. Poor und D. S. Yuen. Damit erhalten wir aus Satz 2.56 das folgende Korollar für Grad 2 Formen:

Proposition 2.61 Sei N eine natürliche Zahl mit Primfaktorzerlegung N = ∏_{i=1}^{t} p_{i}^{ν_{i}} und 4 ∤ N. Seien weiter S_{i}, 0 ≤ i ≤ 2 die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(2)}(N) aus S_{N}^{(2)}(i; (\underline{0})) und sei f ∈ S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(2)}(N)) eine Spitzenform mit Fourierentwicklung

(f|_{k}S_{i}) (Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}S_{i})} a_{i,T} e^{2π𝔦tr(T Z)}.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

i) f ≡ 0,

ii) für alle T ∈ Supp(f|_{k}S_{2}) mit ω_{2}(T) ≤ c_{1} gilt a_{2,T} = 0,

iii) für alle T ∈ Supp(f|_{k}S_{0}) mit ω_{2}(T) ≤ Nc_{1} gilt a_{0,T} = 0,

iv) für alle T ∈ Supp(f|_{k}S_{1}) mit ω_{2}(T) ≤ c_{2} gilt a_{1,T} = 0.

Dabei ist

c_{1} = \frac{k}{6} ∏_{i=1}^{t} ∏_{j=1}^{2} (1 + \frac{1}{p_{i}^{j}} ) − \frac{3}{2N^{3}} ∏_{i=1}^{t}( (1 + p_{i}^{2ν_{i}−1} + p_{i}^{2ν_{i}})

+\frac{1}{p_{i}^{ν_{i}}} (p_{i}^{3ν_{i}} ∏_{j=1}^{2} (1 + \frac{1}{p_{i}^{j}} ) − (1 + p_{i}^{2ν_{i}−1} + p_{i}^{2ν_{i}} + p_{i}^{3ν_{i}})))

und

c_{2} = \frac{k}{6}N^{3} ∏_{i=1}^{t} \frac{∏_{j=1}^{2} (1 + \frac{1}{p_{i}^{j}} )}{p_{i}^{2ν_{i}} + p_{i}^{2ν_{i}−1}} − \frac{3}{2} ∏_{i=1}^{t} \frac{1}{(p_{i}^{2ν_{i}} + p_{i}^{2ν_{i}−1})}

(1 + p_{i}^{2ν_{i}} ∏_{j=1}^{2} (1 + \frac{1}{p_{i}^{j}} ) − \frac{1 + p_{i}^{2ν_{i}−1} + p_{i}^{2ν_{i}−2}}{p_{i}^{ν_{i}}} ) .

□

Für die Gewichte k ∈ {1, 2, 3} und N ≤ 50 fassen wir einige gerundete Werte für die Schranken Nc_{1} und c_{2} in der folgenden Tabelle zusammen. Hierbei werden Werte größer als 100 nicht mehr aufgeführt.

k = 1 :

\begin{matrix}N & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 9 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 \\ c_{1} & -1.0 & -0.5 & -0.2 & -0.2 & -0.1 & -0.0 & 0.1 & 0.0 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ Nc_{1} & -2.0 & -1.4 & -0.8 & -1.0 & -0.4 & -0.3 & 0.6 & 0.4 & 0.7 & 2.0 & 1.9 \\ c_{2} & -0.8 & -0.7 & -0.4 & 0.3 & -0.1 & 0.2 & 1.1 & 0.5 & 0.8 & 1.9 & 1.8 \\ Nc_{2} & -1.7 & -2.1 & -2.2 & 2.1 & -1.0 & 1.4 & 10.8 & 5.1 & 10.1 & 26.0 & 27.1 \end{matrix}

N 17 18 19 21 22 23 25 26 27 29 30
c_{1} 0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.4
Nc_{1} 1.4 3.9 1.8 3.5 4.7 2.4 3.1 6.0 4.0 3.5 12.6
c_{2} 1.4 2.9 1.7 2.9 3.5 2.4 2.8 4.3 3.4 3.4 6.3
Nc_{2} 24.2 52.3 33.2 59.9 76.3 55.2 70.8  91.5 98.2

\begin{matrix}N & 31 & 33 & 34 & 35 & 37 & 38 & 39 & 41 & 42 & 43 & 45 \\ c_{1} & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.2 & 0.1 & 0.3 & 0.2 & 0.1 & 0.4 & 0.1 & 0.2 \\ Nc_{1} & 3.8 & 6.6 & 8.5 & 6.3 & 4.8 & 9.8 & 8.1 & 5.5 & 18.3 & 5.8 & 10.7 \\ c_{2} & 3.7 & 5.0 & 5.9 & 5.0 & 4.7 & 6.7 & 6.1 & 5.4 & 9.0 & 5.7 & 7.4 \end{matrix}

\begin{matrix}N & 46 & 47 & 49 & 50 \\ c_{1} & 0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ Nc_{1} & 12.3 & 6.5 & 7.6 & 50.7 \\ c_{2} & 8.4 & 6.4 & 6.8 & 9.6 \end{matrix}

k = 2 :

\begin{matrix}N & 2 & 3 & 5 & 6 & 7 & 9 & 10 & 11 & 13 & 14 & 15 \\ c_{1} & -0.7 & -0.2 & 0.0 & 0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.5 & 0.2 & 0.2 & 0.5 & 0.4 \\ Nc_{1} & -1.4 & -0.7 & 0.2 & 1.8 & 1.0 & 1.9 & 4.5 & 2.4 & 3.1 & 7.2 & 6.6 \\ c_{2} & -0.4 & -0.1 & 0.4 & 1.7 & 1.0 & 1.8 & 3.2 & 2.3 & 3.0 & 4.8 & 4.7 \\ Nc_{2} & -0.8 & -0.4 & 2.2 & 10.4 & 7.3 & 16.4 & 32.5 & 25.4 & 38.5 & 67.7 & 70.4 \end{matrix}

N 17 18 19 21 22 23 25 26 27 29 30
c_{1} 0.3 0.7 0.3 0.5 0.6 0.3 0.3 0.6 0.4 0.3 1.0
Nc_{1} 4.4 12.3 5.1 9.6 12.2 6.4 8.3 14.8 10.7 8.5 30.0
c_{2} 4.3 7.1 4.9 6.8 8.1 6.2 7.2 9.7 8.4 8.2 13.5
Nc_{2} 72.5  93.5

\begin{matrix}N & 31 & 33 & 34 & 35 & 37 & 38 & 39 & 41 & 42 & 43 & 45 \\ c_{1} & 0.3 & 0.5 & 0.6 & 0.4 & 0.3 & 0.6 & 0.5 & 0.3 & 1.0 & 0.3 & 0.5 \\ Nc_{1} & 9.1 & 15.5 & 19.8 & 14.8 & 11.1 & 22.3 & 18.5 & 12.5 & 40.9 & 13.1 & 24.6 \\ c_{2} & 8.9 & 11.2 & 13.0 & 11.2 & 10.9 & 14.7 & 13.4 & 12.2 & 18.9 & 12.9 & 16.0 \end{matrix}

\begin{matrix}N & 46 & 47 & 49 & 50 \\ c_{1} & 0.6 & 0.3 & 0.3 & 0.7 \\ Nc_{1} & 27.3 & 14.5 & 17.1 & 50.3 \\ c_{2} & 18.0 & 14.2 & 15.2 & 20.4 \end{matrix}

k = 3 :

N 2 3 5 6 7 9 10 11 13 14 15
c_{1} -0.4 0.0 0.3 0.8 0.3 0.5 0.8 0.4 0.4 0.9 0.7
Nc_{1} -0.8 0.1 1.3 4.5 2.3 4.2 8.4 4.4 5.4 12.3 11.2
c_{2} -0.0 0.4 1.3 3.1 2.2 3.5 5.4 4.2 5.1 7.8 7.6
Nc_{2} -0.0 1.2 6.5 18.7 15.6 31.4 54.2 45.8 66.8

\begin{matrix}N & 17 & 18 & 19 & 21 & 22 & 23 & 25 & 26 & 27 & 29 & 30 \\ c_{1} & 0.4 & 1.1 & 0.4 & 0.7 & 0.9 & 0.5 & 0.5 & 0.9 & 0.6 & 0.5 & 1.6 \\ Nc_{1} & 7.4 & 20.6 & 8.4 & 15.6 & 19.8 & 10.5 & 13.5 & 23.6 & 17.3 & 13.5 & 47.3 \\ c_{2} & 7.1 & 11.2 & 8.1 & 10.8 & 12.7 & 10.1 & 11.5 & 15.2 & 13.4 & 13.1 & 20.8 \end{matrix}

\begin{matrix}N & 31 & 33 & 34 & 35 & 37 & 38 & 39 & 41 & 42 & 43 & 45 \\ c_{1} & 0.5 & 0.7 & 0.9 & 0.7 & 0.5 & 0.9 & 0.7 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0.9 \\ Nc_{1} & 14.5 & 24.5 & 31.1 & 23.3 & 17.5 & 34.8 & 28.9 & 19.5 & 63.6 & 20.5 & 38.5 \\ c_{2} & 14.1 & 17.3 & 20.1 & 17.4 & 17.1 & 22.6 & 20.6 & 19.0 & 28.8 & 20.0 & 24.7 \end{matrix}

\begin{matrix}N & 46 & 47 & 49 & 50 \\ c_{1} & 0.9 & 0.5 & 0.5 & 1.1 \\ Nc_{1} & 42.3 & 22.5 & 26.6 & 49.9 \\ c_{2} & 27.6 & 22.0 & 23.5 & 31.2 \end{matrix}

2.6 Die Dimension der Spitzenräume S_{n}^{k} (Γ(n)_{0}(N))

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Dimension der Räume S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) von Spitzenformen vom Grad n zur Modulgruppe Γ_{0}^{(n)}(N) vom Gewicht k ∈ ℤ beschäftigen. Im Fall n = 1 sind die Dimensionen für Fuchssche Gruppen der ersten Art bekannt. Siehe hierzu zum Beispiel [48], Theorem 2.5.2 und Theorem 2.5.3 oder [61], Theorem 2.24 und Theorem 2.25. E. Hecke [28], Satz 2, p. 811 und die Anmerkung dazu, gab bereits 1940 folgende Abschätzung an:

dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(N), 1)) ≤ \frac{k}{12}N ∏_{{p|N \atop p,Prim}} (1 + \frac{1}{p}) .

Explizite Werte finden sich zum Beispiel in [48], Table A. Speziell für Gewicht eins findet sich ein Ausdruck für die Dimensionen in Termen von Werten von Residuen von speziellen Zetafunktionen in einer Arbeit von Y. Tanigawa und H. Ishikawa [63]. Im Fall n = 2 hat K. Hashimoto mit Hilfe der Selbergschen Spurformel die Dimensionen von S_{n}^{k}(Γ, 1) für bestimmte Untergruppen Γ von Sp(2, ℤ) im Fall k ≥ 5 bestimmt, siehe [27], Theorem 5-1. Daraus berechnet er dann unter anderem eine explizite Formel für dim(S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(2)}(p), 1)) für ungerade Primzahlen p. Siehe hierzu [27], Theorem 7-1. In dieser Veröffentlichung finden sich auch viele Hinweise auf weitere Aussagen zu Dimensionen von Spitzenräumen. Für die Gewichte k = 3, 4 gibt es Vermutungen für explizite Formeln. Im Falle k = 2 weiß man weniger. Es ist aber bekannt, dass die Dimensionen nicht für alle Stufen Null sind. Dies wurde in der Arbeit [6] von S. Böcherer und R. Schulze-Pillot gezeigt. Die in [6] vorgestellten unteren Abschätzungen sollen im folgenden Unterabschnitt zunächst beschrieben werden. Im Fall n = 3 findet sich in [64] eine explizite Formel für dim(M_{3}^{k}(Sp(3, ℤ), 1)) und in [46] im Fall k ≥ 10 ein explizites Ergebnis für die Dimension von Spitzenräumen zur Gruppe Sp(n, ℤ).

2.6.1 Untere Abschätzungen der Dimensionen

2.6. DIE DIMENSION VON S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))

In [6] werden von S. Böcherer und R. Schulze-Pillot mit Hilfe von Yoshida-Liftungen und Thetareihen nichttriviale Spitzenformen zu den Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(N) von ’kleinem’ Gewicht konstruiert, [6], Corollary 9.1, p. 85. Wir betrachten speziell den Fall n = 2 und N = p Primzahl. Mit S_{1}^{2,∗}(Γ_{0}^{(1)}(p)) bezeichnen wir den Unterraum von S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p)), der von Hecke-Eigenformen h_{i} erzeugt wird, deren L-Funktion L(τ, h_{i}) an der Stelle τ = 1 nicht verschwindet. Sei weiter S_{1}^{2,+}(Γ_{0}^{(1)}(p)) der Raum der Spitzenformen f ∈ S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p)), die unter der Frickeinvolution

w_{N}^{fr} = \frac{1}{\sqrt{N}} ( \begin{matrix}& 1 \\ −N \end{matrix} )

invariant sind, also f|_{k}w_{N}^{fr} = f, und S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p)) der Raum der Spitzenformen f ∈ S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p)), die unter der Frickeinvolution anti-invariant sind, f|_{k}w_{N}^{fr} = −f. Die in [6] konstruierten Spitzenformen liefern für dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(p))) als untere Abschätzung den Wert

dim(S_{1}^{2,∗}(Γ_{0}^{(1)}(p))) + \frac{d_{p}^{+}(d_{p}^{+} − 1)}{2} + \frac{d_{p}^{−}(d_{p}^{−} − 1)}{2},

mit

d_{p}^{+} = dim(S_{1}^{2,+}(Γ_{0}^{(1)}(p))),
d_{p}^{−} = dim(S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p))).

Ist d_{p}^{+} beziehungsweise d_{p}^{−} aus \{0, 1\}, so ist der entsprechende Summand \frac{d_{p}^{+}(d_{p}^{+}−1)}{2}

beziehungsweise \frac{d_{p}^{−}(d_{p}^{−}−1)}{2} in der Abschätzung gleich Null. Der erste Fall für den eine Spitzenform f aus S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p)) existiert für die L(1, f) = 0 ist, ist p = 389. Dies folgt zum Beispiel aus [60]. Weitere Primzahlen, für die Spitzenformen aus S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p)) existieren, für die L(1, f) = 0 ist, wurden von K. Hashimoto angegeben und mit dessen Einverständnis in [6], p. 87 veröffentlicht. Ist L(1, f) ≠ 0 für alle f ∈ S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p)) so gilt dim(S_{1}^{2,∗}(Γ_{0}^{(1)}(p))) = dim(S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p))). Den Wert von dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p))) findet man in [20], p 134. Es gilt für quadratfreies N:

dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(N))) = 1 + \frac{1}{12} ∑_{p|N}(p + 1) − \frac{1}{2} ∑_{p|N} 2 + \frac{1}{4} ∑_{p|N} (1 + (\frac{−4}{p}))

+\frac{1}{3} ∑_{p|N} (1 + (\frac{−3}{p})) ,

wobei (\frac{·}{·}) das Jacobi-Symbol bezeichnet.

Bemerkung 2.62 Betrachten wir Spitzenformen vom Gewicht 2, so folgt aus der obigen Formel, dass die Dimension dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(N))) für quadratfreies N von der Größenordnung O (\frac{1}{12}N) ist. Unter der Annahme, dass für Spitzenformen vom Grad 1 die Schranken für jede Fourierentwicklung gleichwertig sind, was für quadratfreies N in Proposition 2.47 gezeigt wird, kann aus einer Aussage der Form (2.43) ein Widerspruch hergeleitet werden. Nehmen wir an, für die beiden Spitzenklassen M_{j}, j ∈ {1, 2} stimmen die beiden Werte min ω_{n}(Supp(f|_{2}M_{j})), j ∈ {1, 2} immer überein. Dies liefert uns eine Abschätzung d(N) für die Dimension von dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(N))), die von der Größenordnung O (\frac{N}{4\sqrt{3}π}) ist. Damit ist aber

lim_{N→∞} \frac{dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)})(N))}{d(N)} = \frac{4\sqrt{3}π}{12} ≈ 1, 814,

was nicht möglich ist.

□

In [61], 2.24 wird gezeigt, dass

dim(S_{2}^{2,+}(Γ_{0}^{(2)}(p)) = g(X_{0}^{+}(p))

ist. Dabei bezeichnet g(X_{0}^{+}(p)) das Geschlecht der Modulkurve X_{0}^{+}(p). Eine Formel hierfür liefert E. Hecke in [28], p.773-781,

g(X_{0}^{+}(N)) = \frac{1}{2}g(X_{0}(N)) + \frac{1}{2} − \frac{1}{4}δ_{N}h(−4N),

mit

δ_{N} = \{ \begin{matrix}2, & falls & N ≡ 7(mod 8), \\ \frac{4}{3}, & falls & N ≡ 3(mod 8), \\ 1, & sonst. \end{matrix}

Mit h(−4N) wird die Klassenzahl primitiver positiv definiter quadratischer Formen der Diskriminante −4N und mit g(X_{0}(N)) das Geschlecht der Modulkurve X_{0}(N)glossaryg(X_{0}(N)) bezeichnet. Eine Formel hierfür findet sich ebenfalls bei E. Hecke [28], p.773-781 oder in [48], Theorem 4.2.11, p. 113. Für eine Primzahl N = p ist

g(X_{0}(N)) = \frac{1}{12}(p + 1) − \frac{1}{4} (1 + (\frac{−4}{p}))

+\frac{1}{3} (1 + (\frac{−3}{p})) .

Da

S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p)) = S_{1}^{2,+}(Γ_{0}^{(1)}(p)) ⊕ S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p))

die direkte Summe der beiden Unterräume invarianter und anti-invarianter Spitzenformen ist, also

dim (S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p))) = dim (S_{1}^{2,+}(Γ_{0}^{(1)}(p))) + dim (S_{1}^{2,−}(Γ_{0}^{(1)}(p))) ,

gilt, kennen wir somit auch den Wert von

d_{p}^{−} = dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p))) − d_{p}^{+}.

Für Primzahlen kleiner als 100 sind in Tabelle 2.3 Dimensionen von einigen der oben genannten Räume sowie die untere Abschätzung für dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(p))) aufgeführt.

p  2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p))) 0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 2 3
d_{p}^{+}  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
d_{p}^{−}  0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 1 3
dim(S_{2}^{2,∗}(Γ_{0}^{(2)}(p))) 0 0 0 0 1 0 1 1 2 2 2 2 6
p  43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
dim(S_{1}^{2}(Γ_{0}^{(1)}(p))) 3 4 4 5 4 5 6 5 6 7 7 7
d_{p}^{+}  1 0 1 0 1 2 0 2 1 1 1 3
d_{p}^{−}  2 4 3 5 3 3 6 3 5 6 6 4
dim(S_{2}^{2,∗}(Γ_{0}^{(2)}(p))) 4 10 7 15 7 9 21 9 16 22 22 16

Tabelle 2.3: Einige Werte von Dimensionen von Spitzenräumen und eine untere Abschätzung für dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(p)))

2.6.2 Obere Abschätzungen der Dimensionen

Wir wollen nun auf obere Schranken für die Dimensionen dim(S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) eingehen. Seien dazu S_{1}, …, S_{s} die Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N). In Satz 2.44 wird für eine Spitzenform f und eine Spitzenkasse S_{j} eine obere Schranke

c̃_{n}^{k}(N, j) = \frac{[Sp(n, ℤ) : Γ_{0}^{(n)}(N)]}{t_{N}^{(n)}(j)}𝔴_{n} \frac{k}{4π} − ∑_{{i=1 \atop i≠j}}^{s} \frac{t_{N}^{(n)}(i) min ω_{n} (Supp(f|M_{i}))}{t_{N}^{(n)}(j)}

für die dyadische Spur der Elemente des potenziellen Trägers einer Fourierentwicklung von f|_{k}M_{j} angegeben, die bestimmt werden müssen, um zu entscheiden, ob f identisch Null ist. Der Ausdruck (2.50) gibt für die Spitzenklasse J_{n}, die hier mit S_{n} bezeichnet werden soll, eine explizite Abschätzung für c̃_{n}^{k}(N, n) an. Aus Abschnitt 2.4 und Satz 2.56 entnehmen wir, dass die Schranken für die Spitzenklassen J_{n} und E_{2n} Werte liefern, bei denen am wenigsten Fourierkoeffizienten berechnet werden müssen, um das Verschwinden von Spitzenformen nachzuweisen. Für Spitzenformen vom Grad 2 haben wir in Proposition 2.61 die explizite Schranke aus (2.50) verbessert. Den jeweils besten Wert wollen wir mit c_{n}^{k}(N, j) bezeichnen. Der Wert eines Fourierkoeffizienten a_{T} hängt nur von der SL(n, ℤ)–Äquivalenzklasse von T ab. Die Anzahl der Klassen, die dyadische Spur kleiner als c_{n}^{k}(N, j) haben, ist somit eine obere Schranke für die Dimension von S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)). Da für ein Element U ∈ GL(n, ℤ) gilt

a_{T} = det(U)^{−k}a_{U^{t}T U},  (2.55)

ist bereits die Anzahl der GL(n, ℤ)-äquivalenten Klassen von halbganzen, symmetrischen, positiv definiten Matrizen T, mit

ω_{n}(T) ≤ c_{n}^{k}(N, j)

eine obere Schranke für dim(S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))). Gilt für jeden Repräsentanten T einer GL(n, ℤ)-Äquivalenzklasse \overline{T} _{0}^{GL} einer halbganzen, symmetrischen, positiv definiten Matrizen T_{0}, dass die Äquivalenzklasse \overline{T}^{SL} von T modulo SL(n, ℤ) gleich \overline{T} _{0}^{SL} ist, dann muss für ungerades Gewicht k der Fourierkoeffizient a_{T} aufgrund von (2.55) gleich Null sein. Dies liefert für ungerades Gewicht eine weitere Verbesserung für die Schranke von dim(S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))). Wir bezeichnen die so aus c_{n}^{k}(N, j) erhaltene Schranke mit d_{n}^{k}(N, j). Im Fall n = 1 stimmen die Werte von c_{1}^{k}(N, j) und d_{1}^{k}(N, j) für alle Spitzenklassen überein. Betrachten wir eine der Spitzenklasse

S_{0} = E_{2} oder S_{1} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ,

dann gilt für j ∈ {0, 1}

c_{1}^{k}(N, j) = d_{1}^{k}(N, j) = (\frac{Nk}{2\sqrt{3}π} − 1) ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}) − \frac{1}{N} .

In Tabelle 2.4 werden einige spezielle Werte von d_{1}^{k}(N, j), j ∈ {0, 1} mit den wahren Werten von dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))) verglichen. Die Dimensionen wurden aus [48], Tabelle A übernommen. Vergleichen wir d_{1}^{k}(N, j), j ∈ {0, 1} mit der von E. Hecke gefundenen Abschätzung 2.55 so ist:

lim_{N→∞} \frac{dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)})(N))}{d_{1}^{k}(N, j)} = \frac{2\sqrt{3}π}{12} ≈ 0, 9069.

Im Fall der Dimension n = 2 liefert Proposition 2.61 für die Spitzenklassen

S_{0} = E_{4}

S_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ & & & 1 \\ & & 1 \\ & −1 \end{matrix} )

S_{2} = ( \begin{matrix}0 & E_{2} \\ −E_{2} & 0 \end{matrix} )

Abschätzungen von c̃_{2}^{k}(N, j). Ist j ∈ {0, 2} und N = p eine Primzahl, dann ist

c_{2}^{k}(p, j) = p^{\frac{j}{2}} (\frac{k}{6} − \frac{3}{2p}) (1 + \frac{1}{p}) (1 + \frac{1}{p^{2}} ) − \frac{3}{2p^{4}} .

k  2 4 6 8 10 20 30 50
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(3))) 0 0 1 1 2 5 9 15
d_{k}^{1}(3)  0 0 1 1 2 6 10 17
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(5))) 0 1 1 3 3 9 13 23
d_{k}^{1}(5)  0 1 2 3 4 10 15 26
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(23))) 2 5 9 13 17 37 57 97
d_{k}^{1}(23)  2 7 12 16 21 43 65 109
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(59))) 5 14 24 34 44 94 144 244
d_{k}^{1}(59)  10 21 32 43 54 109 164 275
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(97))) 7 24 40 56 72 154 236 398
d_{k}^{1}(97)  17 35 53 71 89 179 270 450
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(15))) 1 4 8 12 16 36 56 96
d_{k}^{1}(15)  1 5 10 14 19 41 63 107
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(21))) 1 6 12 16 22 48 76 128
d_{k}^{1}(21)  2 8 14 20 26 55 85 144
dim(S_{1}^{k}(Γ_{0}^{(1)}(35))) 3 10 18 26 34 74 114 194
d_{k}^{1}(35)  5 14 23 32 41 85 129 218

Tabelle 2.4:

Um d_{2}^{k}(p, j) zu berechnen, betrachten wir die Menge der Minkowski-reduzierten Formen, deren dyadische Spur kleiner als c_{2}^{k}(N, j) ist. Ist

T = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) ∈ P_{n}(ℤ)

Minkowski-reduziert, so ist ω_{n}(T) = a + c − |b|. Des weiteren haben wir folgendes Lemma:

Lemma 2.63 Die Menge

RG_{SL} = \{( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) ∈ MAT (2, \frac{1}{2}ℤ) | \begin{matrix}a, c ∈ ℤ, \\ −a < 2b ≤ a < c, & falls & a < c, \\ 0 ≤ 2b ≤ a = c, & falls & a = c \end{matrix} \}

= \{M ∈ MAT (2, \frac{1}{2}ℤ)| M ist Minkowski-reduziert \}

ist ein Repräsentantensystem von Gram-Matrizen von halbganzen binären quadratischen Formen unter SL(n, ℤ)–Äquivalenz.

□ Siehe hierzu zum Beispiel [69], §8. Ein Repräsentantensystem von GL(n, ℤ)–äquivalenten Gram-Matrizen von ganzen binären quadratischen Formen ist dann

RG_{GL} = \{( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) ∈ MAT (2, \frac{1}{2}ℤ)| \begin{matrix}a, c ∈ ℤ, \\ 0 ≤ 2b ≤ a ≤ c \end{matrix} \} . (2.56)

Betrachten wir Spitzenformen zu ungeradem Gewicht, dann sind diejenigen Fourierkoeffizienten

a_{T} , T = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} )

gleich Null, für die b = 0 ist. Im Anhang in Tabelle 4.1 und 4.2 wurden einige Werte für die Mächtigkeiten der Mengen

{T ∈ RG_{SL}| ω_{2}(T) < const},
{T ∈ RG_{GL}| ω_{2}(T) < const}

aufgelistet. Für eine vorgegebene Konstante c_{2} wollen wir nun die Grössenordnung der Mächtigkeit von |{T ∈ RG_{GL}| ω_{2}(T) < c_{2}}| bestimmen. Aus 0 ≤ 2b ≤ a ≤ c und a + c − b < c_{2} folgt 4b ≤ a + c ≤ c_{2} + b und somit dann b ≤ \frac{c_{2}}{3} . Damit sind:

0 ≤ b ≤ \frac{c_{2}}{3} ,
2b ≤ a ≤ \frac{c_{2} + b}{2},
a ≤ c ≤ c_{2} + b − a,

und

|RG_{GL}| = O (∑_{b=0}^{\frac{c_{2}}{3}} ∑_{a=2b}^{\frac{c_{2}+b}{2}} ∑_{c=a}^{c_{2}+b−a} 1) = O (∑_{b=0}^{\frac{c_{2}}{3}} ∑_{a=2b}^{\frac{c_{2}+b}{2}} c_{2} + b − 2a)

O (∑_{b=0}^{\frac{c_{2}}{3}} ∑_{a=0}^{c_{2}−3b} 2a) = O (∑_{b=0}^{\frac{c_{2}}{3}}(c_{2} − 3b)^{2})

O (∑_{b=0}^{\frac{c_{2}}{3}}(3b)^{2}) = O (\frac{1}{9}c_{2}^{3}) .  (2.57)

Dies liefert uns, dass d_{2}^{k}(p, j), j ∈ {0, 2} beim Grenzübergang von p → ∞, p ist Primzahl, von der Grössenordnung

O (\frac{1}{2^{2} 3^{5}} k^{3}p^{3})

ist. Die explizite Formel von K. Hashimoto liefert, dass dim(S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(p))) für p → ∞, p ist Primzahl, von der Grössenordnung

O (\frac{1}{2^{6} · 3^{3} · 5}k^{3}p^{3})

ist. Also ist

lim_{{p→∞ \atop p,Prim}} \frac{dim(S_{n}^{k}(Γ_{0}^{(2)}(p), 1))}{d_{2}^{k}(p)} = \frac{3^{2}}{2^{4} · 5} = 0, 1125.

Im Anschluss an Proposition 2.61 werden für die Gewichte k ∈ {1, 2, 3} und N ≤ 50, 4 ∤ N Tabellen angeführt, aus denen wir Werte für c_{2}^{k}(N, j), j ∈ {0, 1, 2} ablesen können. Hierbei sind Nc_{1} als c_{2}^{k}(N, 0) = c_{2}^{k}(N, 2) und Nc_{2} als c_{2}^{k}(N, 1) zu interpretieren. Da es keine binären, positiv definiten quadratischen Formen mit dyadischer Spur kleiner als 1, 5 gibt, erhalten wir mit c_{2}^{k}(N, 0) und mit Hilfe der Werte aus den Tabellen die folgende Aussage:

Lemma 2.64

dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(N))) = 0, falls N ∈ {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 17},
dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(N))) ≤ 1, falls N ∈ {14, 15, 17, 19, 23},
dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(25))) ≤ 3,
dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(N))) ≤ 5, falls N ∈ {18, 21, 29, 31},
dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(27))) ≤ 6,
dim(S_{2}^{1}(Γ_{0}^{(2)}(N))) ≤ 9, falls N ∈ {22, 37},
dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(N))) = 0, falls N ∈ {2, 3, 5, 6, 7},
dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(9))) ≤ 1,
dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(11))) ≤ 2,
dim(S_{2}^{2}(Γ_{0}^{(2)}(13))) ≤ 5,
dim(S_{2}^{3}(Γ_{0}^{(2)}(N))) = 0, falls N ∈ {2, 3, 5},
dim(S_{2}^{3}(Γ_{0}^{(2)}(7))) ≤ 1,
dim(S_{2}^{3}(Γ_{0}^{(2)}(N))) ≤ 6, falls N ∈ {9, 11},
dim(S_{2}^{3}(Γ_{0}^{(2)}(6))) ≤ 9.
□

Betrachten wir die Werte von Nc_{2} in den sich an Proposition 2.61 anschließenden Tabellen, so wachsen diese mit N im Vergleich zu den Weten Nc_{1} schnell an.

Die Werte, die man somit für d_{2}^{k}(N, 1) aus c_{2}^{k}(N, 1) erhält, sind im Allgemeinen schlechtere Abschätzungen für dim(S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))) als die Werte von d_{2}^{k}(N, j), j ∈ {0, 2}. Betrachtet man aber den Träger Supp(f|_{k}S_{1}), dann enthält dieser nur Matrizen, bei denen der obere linke Eintrag aus ℤ ist. Für alle anderen Elemente T ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2N} ℤ), T > 0, T_{11}, T_{22} ∈ \frac{1}{N} ℤ verschwindet der Fourierkoeffizient a_{T} von f|_{k}S_{1}, wie wir in Lemma 1.20 gesehen haben. Um mittels c_{2}^{k}(N, 1) den Wert von dim(S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))) abzuschätzen kann man die Mächtigkeit der Menge

\{T = ( \begin{matrix}a & b \\ b & c \end{matrix} ) ∈ MAT^{sym} (n, \frac{1}{2}ℤ)| {a ∈ Nℤ, |2b| ≤ a ≤ c, \atop ω_{2}(T) ≤ c_{2}^{k}(N, 1)} \}

nutzen. die wir mit d̂_{2}^{k}(N, 1) bezeichnen werden. In keinem der Fälle k ∈ {1, 2, 3}, N ≤ 50, 4 ∤ N erhalten wir damit eine Verbesserung der Abschätzungen. Wegen des mit steigendem N relativ zu Nc_{1} starken Anwachsens von Nc_{2} ist nicht zu erwarten, dass d̂_{2}^{k}(N, 1) für große N eine Verbesserung liefert. Betrachten wir nun noch den Fall der Dimension n = 3. Formel (2.50) liefert uns zusammen mit Satz 2.56 oder dem anschließenden Korollar für j ∈ {0, 3}:

c_{3}^{k}(N, j) = (N \frac{\sqrt{3}k}{2π} − 1) ∏_{p|N} (1 + \frac{1}{p}) (1 + \frac{1}{p^{2}} ) (1 + \frac{1}{p^{3}} ) + 1 − \frac{N − 1}{N^{6}}.

Da

ω_{3}(M) ≥ \frac{2}{3}tr(M)  (2.58)

ist, siehe [52] Proposition 4.2, lassen sich leicht alle Formen bestimmen, die dyadische Spur kleiner als eine vorgegebene Schranke haben. Im Anhang in Tabelle 4.3 sind die ersten ganzen, ternären quadratischen Formen aufgelistet, die dyadische Spur kleiner oder gleich fünf haben. In Tabelle 4.4 sind die Anzahlen von geraden, ternären, positiv definiten Formen angegeben, die dyadische Spur kleiner als 67 haben. Zur Berechnung dieser Anzahlen wurde die in [58] definierte Vorzeichennormalform ternärer Formen benutzt. Des weiteren findet sich in dieser Tabelle die Summe aller Anzahlen derjenigen Formen, die dyadische Spur kleiner als ein fest vorgegebener Wert c < 67 haben. Dies sind Abschätzung für dim(S_{3}^{k}(Γ_{0}^{(3)}(N))). Wir erhalten dadurch

Lemma 2.65

dim(S_{3}^{2}(Γ_{0}^{(3)}(3))) = dim(S_{3}^{2}(Γ_{0}^{(3)}(5))) = 0,
dim(S_{3}^{4}(Γ_{0}^{(3)}(3))), dim(S_{3}^{4}(Γ_{0}^{(3)}(7))) ≤ 1,
dim(S_{3}^{2}(Γ_{0}^{(3)}(5))) ≤ 5,
dim(S_{3}^{2}(Γ_{0}^{(3)}(9))) ≤ 8,
□

Der Fall der Untergruppen Γ(n)(N)

In diesem Kapitel wollen wir den Fall der Hauptkongruenzuntergruppen Γ^{(n)}(N) behandeln. Dieser ist viel einfacher als der Fall der Gruppen Γ_{0}^{(n)}(N). Dies liegt darin begründet, dass die Gruppen Γ^{(n)}(N) normale Untergruppen von Sp(n, ℤ) sind. Sie sind die Kerne der natürlichen Homomorphismen

Sp(n, ℤ) → Sp(n, ℤ/Nℤ).

Genau wie im Fall der Untergruppen Γ_{0}^{(n)}(N) interessieren wir uns auch hier für die Elemente von Γ^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ). Diese nennen wir die 0-dimensiona-len Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N) oder einfach nur die Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N) Die Anzahlen der Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N), die wir mit s(Γ_{0}^{(n)}(N)) bezeichnen wollen, sind bekannt. Man findet sie im Fall n = 1 zum Beispiel in [48], Theorem 4.2.10, (2),

|Γ^{(1)}(N)\SL(2, ℤ)/Δ(1, ℤ)| = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}N^{2} ∏_{p|N}(1 − \frac{1}{p^{2}} ), & falls N ≥ 3, \\ 3, & falls N = 2. \end{matrix} (3.1)

U. Christian gibt in [15], (17) eine Formel von s(Γ^{(n)}(N)) für n ≥ 1 an. Es gilt:

s (Γ^{(n)}(N)) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}N^{\frac{1}{2} n^{2}+ \frac{1}{2} n+1} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) ∏_{j=2}^{n} (1 + \frac{1}{p^{j}} ) , & falls N > 2, \\ 3 ∏_{j=2}^{n} (2^{j} + 1) , & falls N = 2. \end{matrix}

Setzen wir ∏_{i=a}^{b} = 1, fallls b < a ist, so ergibt dies im Fall n = 1 wieder (3.1). Unter

der Weite einer Spitzenklasse von Γ^{(n)}(N) wollen wir die Anzahl der Elemente aus Γ^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) verstehen, die unter

Γ^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ) → Γ^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ)

KAPITEL 3. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ^{(n)}(N)

auf die jeweilige Spitzenklasse von Γ^{(n)}(N) projiziert werden. Da Γ^{(n)}(N) eine normale Untergruppe von Sp(n, ℤ) ist, sind die Weiten aller Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N) gleich. Wir bezeichnen sie als t (Γ^{(n)}(N)). Es gilt:

t(Γ^{(n)}(N)) = \frac{|Sp(n, ℤ/Nℤ)|}{|Γ^{(n)}(N)\Sp(n, ℤ)/Δ(n, ℤ)|} = \frac{|Sp(n, ℤ/Nℤ)|}{s(Γ^{(n)}(N))}.

Die Ordnung von Sp(n, ℤ/Nℤ) = [Sp(n, ℤ) : Γ^{(n)}(N)] findet man in [35] oder in [50], Theorem VII. 28:

|Sp(n, ℤ/Nℤ)| = [Sp(n, ℤ) : Γ^{(n)}(N)] = N^{2n^{2}+n} ∏_{p|N} ∏_{j=1}^{n} (1 − \frac{1}{p^{2j}} ) .

Daraus ergibt sich nun auch eine Formel für die Weiten der Spitzenklassen von Γ_{0}^{(n)}(N),

t (Γ^{(n)}(N)) = \{ \begin{matrix}2N^{\frac{3}{2} n^{2}+ \frac{1}{2} n−1} ∏_{p|N} ∏_{j=2}^{n} (1 − \frac{1}{p^{j}} ) , & falls N > 2, \\ 2^{n^{2}} ∏_{j=2}^{n} (2^{j} − 1) , & falls N = 2. \end{matrix}

Bemerkung 3.1 Im Fall n = 1 erhalten wir so für die Weite einer Spitzenklasse t(Γ^{(1)}(N)) = 2N, falls N > 2 ist und t(Γ^{(1)}(2)) = 2. Die Spitzen der Untergruppen Γ^{(1)}(N) haben aber nur die Weiten N (Siehe [54], p. 46). Der Faktor 2 taucht hier für N > 2 auf, da man bei der Definition der Weite einer Spitze nicht die Elemente σ ∈ Γ^{(1)}(N), sondern die daraus definierten Automorphismen ι_{σ} : ℍ_{1} → ℍ_{1} der oberen Halbebene betrachtet und

AUT(ℍ) ≅ SL(2, ℝ)/{±E_{2}}

ist. Beachte hierbei, dass −E_{2} ∉ Γ^{(1)}(N) ist, falls N > 2 gilt (Siehe auch Bemerkung 2.19).

□

Mit Hilfe von Satz 1.12 liefert uns dies nun mit den in Kapitel 2, Abschnitt 3 vorgestellten Mitteln ein Analogon zu Satz 2.44 für Hauptkongruenzuntergruppen.

Satz 3.2 Sei M eine Spitzenklasse für Γ^{(n)}(N), f ∈ S_{n}^{k}(Γ^{(n)}(N), χ) eine Spitzenform und

(f|_{k}M)(Z) = ∑_{T ∈Supp(f|_{k}M)} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)}

die Fourierentwicklung von (f|_{k}M). Unter diesen Voraussetzungen sind die folgenden Aussagen äquivalent: i) f ≡ 0,

ii) für alle T ∈ Supp(f|_{k}M) mit

ω_{n}(T) ≤ \frac{[Sp(n, ℤ) : Γ^{(n)}(N)]}{t (Γ^{(n)}(N))}𝔴_{n} \frac{k}{4π}

− ∑_{{M̃∈Γ^{(n)}(N)\Sp(n,ℤ)/Δ(n,ℤ) \atop M̃≠M}} min ω_{n} (Supp(f|_{k}M̃))

≤ s (Γ^{(n)}(N)) 𝔴_{n} \frac{k}{4π} − 𝔡_{n} \frac{s (Γ^{(n)}(N)) − 1}{N}

gilt a_{T} = 0.

□

Bemerkung 3.3

i) Die hier angegebene Schranke hängt im Vergleich zu Satz 2.44 im Wesentlichen nur noch von der Anzahl der Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N) und nicht mehr von den Weiten der einzelnen Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N) ab, da die Weiten für jede Spitzenklasse von Γ^{(n)}(N) gleich sind. Insbesondere hängt sie nicht mehr von der Spitzenklasse M ab.

ii) Um min ω_{n} (Supp(f|_{k}M̃)) abzuschätzen wurde ausgenutzt, dass es keine Formen vom Grad n mit dyadischer Spur kleiner als 𝔡_{n} gibt, und dass die Fourierentwicklung von f|_{k}M̃ die Form

(f|_{k}M̃)(Z) = ∑_{{T ∈MAT^{sym}(n, \frac{1}{2N} ℤ) \atop T >0, Nt_{jj} ∈ℤ}} a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)}

hat.

□

Im Folgenden wollen wir noch einige Tabellen mit Zahlenwerten angeben und einige Dimensionen von Räumen von Spitzenformen abschätzen. Zuerst eine Tabelle mit Anzahlen von Spitzenklassen von Γ^{(n)}(N):

\begin{matrix}N & s^{(1)} (Γ^{(1)}(N)) & s^{(2)} (Γ^{(2)}(N)) & s^{(3)} (Γ^{(3)}(N)) & s^{(4)} (Γ^{(4)}(N)) \\ 2 & 3 & 15 & 135 & 2295 \\ 3 & 4 & 48 & 1440 & 91840 \\ 4 & 6 & 144 & 11520 & 2350080 \\ 5 & 12 & 360 & 46800 & 24609312 \\ 6 & 12 & 864 & 259200 & 237119400 \\ 7 & 24 & 1344 & 470400 & 991545600 \\ 8 & 24 & 2304 & 1474560 & 4812963840 \\ 9 & 36 & 3888 & 3149280 & 16269180480 \\ 10 & 36 & 6480 & 8424000 & 56478371040 \end{matrix}

Mit 𝔡_{1} = 1 und 𝔴_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}} erhalten wir als Abschätzung d_{1}^{k}(N) für die Dimensionen dim (S_{1}^{k} (Γ^{(n)}(N))) die folgenden Werte, die sich als das Maximum von Null und dem ganzzahligen Anteil von

s (Γ^{(1)}(N)) \frac{Nk}{2\sqrt{3}π} − s (Γ^{(1)}(N)) + 1

ergeben:

N  2 3 4 5 6 7 8 9 10
d_{1}^{2}(N)  0 0 0 0 2 7 12 24 31
dim (S_{1}^{2} (Γ^{(1)}(N))) 0 0 0 0 1 3 5 10 7
d_{1}^{4}(N)  0 1 3 11 15 38 47 84 97
dim (S_{1}^{4} (Γ^{(1)}(N))) 0 1 3 9 12 30 36 63 54
d_{1}^{6}(N)  1 3 8 22 28 69 82 143 163
dim (S_{1}^{6} (Γ^{(1)}(N))) 1 3 7 19 24 58 68 117 107

Die Werte für die Dimension lassen sich dabei mit Hilfe der Formel

dim (S_{1}^{k} (Γ^{(1)}(N))) = \{ \begin{matrix}(k − 1)(g(N) − 1) + (\frac{k}{2} − 1) s (Γ^{(1)}(N)) , & k > 2, \\ g(N), & k = 2 \end{matrix}

berechnen (siehe [48], Theorem 2.5.2). Hier ist (siehe [48], Theorem 4.2.10, Theorem 4.2.11 und Theorem 4.2.5 (1)):

g(N) = 1 + (\frac{N}{24} − \frac{1}{4}) N^{2} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) , falls N > 2 und
g(2) = 0.

Im Fall n = 2 sind die Dimensionen von S_{n}^{k}(Γ^{(n)}(N)) für k ≥ 4 bekannt. Für N ≥ 3, k ≥ 7 wurden diese von Y. Morita in [49] unter Zuhilfenahme der Selbergschen Spurformel angegeben. Kurze Zeit später wurde von U. Christian in [16] und von T. Yamazaki in [68] die folgende Formel, die für k ≥ 4 gilt, veröffentlicht,

dim(S_{n}^{k}(Γ^{(n)}(N))) = \frac{(2k − 2)(2k − 3)(2k − 4)}{2^{10}3^{3}5}N^{10} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) (1 − \frac{1}{p^{4}} )

−\frac{(2k − 3)}{2^{6}3^{2}}N^{8} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) (1 − \frac{1}{p^{4}} )

+\frac{1}{2^{5}3}N^{7} ∏_{p|N} (1 − \frac{1}{p^{2}} ) (1 − \frac{1}{p^{4}} ) .

U. Christian arbeitet ebenfalls mit der Selbergschen Spurformel, während T. Yamazaki zum Beweis den Satz von Riemann-Roch ausnutzt. Da 𝔡_{2} = \frac{3}{2} ist, liefert uns Satz 3.2 mit

𝔴_{2} ≤ \frac{4}{\sqrt{3}}

eine Konstante

d_{2}^{k}(N) = max {0, d̃_{2}^{k}(N)} mit
d̃_{2}^{k}(N) = halbganzzahligerAnteil (\frac{k}{\sqrt{3}π} s (Γ^{(2)}(N)) − \frac{3}{2} \frac{s (Γ^{(2)}(N)) − 1}{N}) .

Die Anzahl der halbganzen Formen mit dyadischer Spur kleiner als d_{2}^{k}(N) ist eine obere Abschätzung für dim (S_{2}^{k} (Γ^{(n)}(N))). Einige explizite Werte für d_{2}^{k}(N) sind:

\begin{matrix}N & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ d_{2}^{1}(N) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 600 & 2190 \\ d_{2}^{2}(N) & 0 & 0 & 0 & 123 & 610.5 & 1443 & 3320 & 7030.5 & 14098.5 \\ d_{2}^{3}(N) & 0 & 8.5 & 103 & 453.5 & 1563.5 & 3172 & 6707.5 & 13461.5 & 26007.5 \\ d_{2}^{4}(N) & 1 & 35 & 208.5 & 784.5 & 2516 & 4901 & 10095 & 19892 & 37916 \\ d_{2}^{5}(N) & 6.5 & 61.5 & 314.5 & 1115 & 3468.5 & 6630 & 13482 & 26323 & 49825 \\ d_{2}^{6}(N) & 12 & 88 & 420.5 & 1446 & 4421.5 & 8359 & 16869.5 & 32753.5 & 61733.5 \end{matrix}

Daraus ergibt sich sofort:

Korollar 3.4

dim (S_{2}^{1} (Γ^{(2)}(N))) = 0, für 2 ≤ N ≤ 8,
dim (S_{2}^{2} (Γ^{(2)}(N))) = 0, für 2 ≤ N ≤ 4,
dim (S_{2}^{3} (Γ^{(2)}(2))) = 0,
dim (S_{2}^{4} (Γ^{(2)}(2))) = 0.
□

In [27], Corollary 6-1 hat K. Hashimoto für k ≥ 5 die Dimension der Spitzenräume S_{2}^{k} (Γ^{(2)}(2)) als

dim (S_{2}^{k} (Γ^{(2)}(2))) = \frac{1}{1440}(15(2k − 2)(2k − 3)(2k − 4)
+ (−1)^{k}225(2k − 2)(2k − 4) − (−1)^{k}2700(2k − 3)
+ (−1)^{k}8100 − 900(2k − 3) + 2700).

angegeben. Die folgende Tabelle zeigt einige Werte für dim (S_{2}^{k} (Γ^{(2)}(2))), d_{2}^{k}(2) und die Anzahl D_{2}^{k}(2) der halbganzen Formen T mit ω_{2}(T) ≤ d_{2}^{k}(2), also eine obere Abschätzung für dim (S_{2}^{k} (Γ^{(2)}(2))).

\begin{matrix}k & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ d_{2}^{k}(2) & 6.5 & 12 & 17.5 & 23 & 28.5 & 34 & 39.5 & 45 \\ D_{2}^{k}(2) & 55 & 276 & 774 & 1660 & 3046 & 5041 & 7758 & 11306 \\ dim (S_{2}^{k} (Γ^{(2)}(2))) & 1 & 5 & 5 & 24 & 15 & 61 & 35 & 120 \end{matrix}

Auch im Fall der Stufe N = 3 sind die Dimensionen aus Korollar 3.4 bekannt. Sie können einer Arbeit von K. Gunji (siehe [26]) entnommen werden. Für Räume von Spitzenformen vom Grad n = 3 wurden von E. Minking und L. Chung-Yuan in [19] Dimensionsformeln für dim (S_{3}^{k} (Γ^{(3)}(N))), k ≥ 10 angegeben. Hier ist 𝔡_{3} = 2 und Satz 3.2 liefert uns mittels 𝔴_{3} ≤ 2\sqrt{3} eine Konstante:

d_{3}^{k}(N) = max {0, d̃_{3}^{k}(N)} mit
d̃_{3}^{k}(N) = halbganzzahligerAnteil (\frac{\sqrt{3}k}{2π} s (Γ^{(3)}(N)) − 2\frac{s (Γ^{(3)}(N)) − 1}{N}) .

Daraus ergibt sich die folgende Tabelle

\begin{matrix}N & d_{3}^{2}(N) & d_{3}^{4}(N) & d_{3}^{6}(N) & d_{3}^{8}(N) \\ 2 & 0 & 29.5 & 178.5 & 327 \\ 3 & 0 & 1885 & 4267 & 6648.5 \\ 4 & 2367 & 27772 & 53177.5 & 78582.5 \\ 5 & 35412.5 & 164423.5 & 293434.5 & 422445.5 \end{matrix}

KAPITEL 3. DER FALL DER UNTERGRUPPEN Γ^{(n)}(N)

und somit auch: Korollar 3.5

dim (S_{3}^{2} (Γ^{(3)}(2))) = dim (S_{3}^{2} (Γ^{(3)}(2))) = 0.
□

Um Dimensionen von Räumen von Spitzenformen vom Grad n = 4 abzuschätzen, benutzen wir 𝔡_{4} = 2, 𝔴_{4} ≤ \frac{8}{\sqrt{3}} und erhalten:

d_{4}^{k}(N) = max {0, d̃_{4}^{k}(N)} mit
d̃_{4}^{k}(N) = halbganzzahligerAnteil (\frac{2k}{\sqrt{3}π} s (Γ^{(4)}(N)) − 2\frac{s (Γ^{(4)}(N)) − 1}{N}) .

Aus folgender Tabelle mit Werten

\begin{matrix}N & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ d_{4}^{1}(N) & 0 & 0 & 0 & 0 & 48684309.5 \\ d_{4}^{2}(N) & 0 & 18858 & 2210066 & 41233543 & 571607417 \\ d_{4}^{3}(N) & 473 & 120126 & 5665178 & 86459626 & 1094530524.5 \\ d_{4}^{4}(N) & 2160 & 221394 & 9120290 & 131685708.5 & 1617453632 \end{matrix}

erhalten wir schließlich das Korollar: Korollar 3.6

dim (S_{4}^{1} (Γ^{(4)}(N))) = 0, falls 2 ≤ N ≤ 5,
dim (S_{4}^{2} (Γ^{(4)}(2))) = 0.

□

Der Hermitesche Fall

4.1 Reduktionstheorie für Hermitesche Formen

Im Folgenden sollen kurz einige Tatsachen der Reduktionstheorie für ganze, positiv definite, Hermitesche Formen vorgestellt werden. Die Beweise der Aussagen finden sich bei P. Humbert in [29]. Für eine Hermitesche Form mit Gram-Matrix S wird in diesem Kapitel die From x^{∗}Sx selbst häufig nur mit S bezeichnet. Sei K = ℚ(\sqrt{−d}), d quadratfrei, ein imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Ganzheitsring 𝔒_{K}. Zwei positiv definite Hermitesche Formen S_{1} und S_{2} vom Grad n heißen äquivalent, wenn es eine Matrix U ∈ GL(n, 𝔒_{K}) gibt, so dass S_{1} = U^{∗}S_{2}U.

Lemma 4.1 Für eine positiv definite, Hermitesche Form S gibt es nur endlich viele Vektoren x ∈ 𝔒_{k}^{n}, für die x^{∗}Sx < const ist.

□

Mit Hilfe dieses Lemmas lässt sich eine in GL(n, K) invertierbare Matrix U aus MAT(n, 𝔒_{K}) konstruieren, so dass die Diagonaleinträge ṡ_{ii} von Ṡ = U^{∗}SU eine Folge von sukzessiven Minima bilden. Darüber hinaus soll U hierbei so gewählt sein, dass für die Argumente der Einträge von Ṡ gilt:

−\frac{π}{υ} ≤ arg(ṡ_{ij}) ≤ \frac{π}{υ} , i, j ∈ \{1, …, n\}

(siehe [29]). Hierbei bezeichne υ die Anzahl der Einheitswurzeln von K. Insbesondere gilt 0 ≤ ṡ_{11} ≤ … ≤ ṡ_{nn}. Für die Matrix U gilt der folgende Satz:

Satz 4.2 Die Norm der Determinante der Matrix U ist durch eine Konstante const_{1} beschränkt, die nicht von der Form S sondern nur vom Körper K und vom Grad n der Form S abhängt. Dabei kann man für const_{1} den Wert

const_{1} = |Disk(K)|^{\frac{n}{2}} n^{2n}

wählen.

□

KAPITEL 4. DER HERMITESCHE FALL

Der bestmögliche Wert für const_{1} ist vermutlich kleiner als |Disk(K)^{\frac{n}{2}} n^{2n}|. Ebenfalls gilt (siehe [29]):

Satz 4.3 Eine Matrix U ∈ MAT(n, 𝔒_{K}) ∩ GL(n, K) mit Determinante det(U) = α lässt sich in der Form V U_{v} schreiben, wobei V als Determinante eine Einheit det(V) = ϵ hat, und U_{v} aus einer endlichen Menge M(K, α, n) ganzer Matrizen ist, die nur von K, α und n abhängt.

□

Die Menge M(K, α, n) ist nicht eindeutig bestimmt. Sie ist ein Repräsentantensystem von

SL(n, 𝔒_{K})\{U ∈ MAT(n, 𝔒_{K}) ∩ GL(n, K)| det(U) = α}.

Als ein vollständiges Repräsentantensystem hiervon kann man eine Menge von Matrizen M wählen, die paarweise nicht kongruent modulo α sind, also

U_{v_{1}} ≢ U_{v_{2}}(mod α) ∀U_{v_{1}}, U_{v_{2}} ∈ M(K, α, n).

und für die det(M) aus α𝔒_{K}^{∗} ist. Legen wir M(K, α, n) als ein solches Repräsentantensystem fest, dann folgt aus diesem Satz, dass die in den Bemerkungen nach Lemma 4.1 konstruierte Matrix U eine Darstellung U = V U_{v} mit U_{v} ∈ M(K, α, n) besitzt. Transformieren wir Ṡ mittels U_{v}^{−1} , so erhalten wir eine positiv definite, Hermitesche Form S̈ = (U_{v}^{−1})^{∗}ṠU_{v}^{−1} = V^{∗}SV, die zu S äquivalent ist. Diese wollen wir als Humbert-reduziert bezeichnen. Da M(K, α, n) endlich ist kann des Weiteren gezeigt werden, dass eine Konstante const_{2} existiert, die nicht von S̈ abhängt, so dass für die Einträge s̈_{ij} mit i, j ∈ {1, …, n} gilt:

|s̈_{ij}| ≤ const_{2}s̈_{ii} und |s̈_{ij}| ≤ const_{2}s̈_{jj}.

4.2 Die Hermite-Humbert Konstante für Hermitesche Zahlkörper

Die in diesem Abschnitt aufgeführten Ergebnisse sind im Wesentlichen einer Arbeit von M. I. Icaza, [31] entnommen. Sei K ein imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Ganzheitsring 𝔒_{K}. Sei weiter

x^{∗}Sx = ∑_{i,j=1}^{n} s_{ij}\overline{x_{i}}x_{j} mit x = (x_{1}, …, x_{n})

eine Hermitesche, positiv definite Form mit Gram-Matrix S. Definieren wir m_{n,K} als

m_{n,K} : HP_{n}^{semi}(ℂ) = {s ∈ HER(n, ℂ)| s ≥ 0} → ℝ_{≥0},
m_{n,K}(S) = min_{x∈(𝔒_{K})^{n}−{0}}(x^{∗}Sx), (4.1)

4.2. DIE HERMITE-HUMBERT KONSTANTE

sowie

γ_{n,K}(S) = ( \frac{m_{n,K}(S)}{\sqrt[n]{det(S)}})^{2} ,  (4.2)

dann erhalten wir die Hermite-Humbert Konstante γ_{n,K} als

γ_{n,K} = sup_{S} {γ_{n,K}(S)} .

Bemerkung 4.4

i) Das Quadrat in (4.2) tritt auf, da wir hier im Gegensatz zu [31] in der Definition des Minimums m_{n,K}(S) einer Form S die Wurzel des dort verwendeten Minimums μ(S) betrachten. Die im folgenden benutzten Ergebnisse aus [31] werden entsprechend angepasst.

ii) Sei eine Hermitesche, positiv definite Form mit Gram-Matrix S vorgegeben. Die Form

x^{∗}Sx = ∑_{i,j=1}^{n} s_{ij}\overline{x_{i}}x_{j}, x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝔒_{K}^{n}

können wir durch Spurbildung wie in [56] auch als positiv definite, reelle, 2n-dimensionale Form S_{ℝ} auffassen. Ist K = ℚ(\sqrt{−d}) mit d ≡ 1, 2 mod 4, dann ist 𝔒_{K} = ℤ + 𝔦\sqrt{d}ℤ und S_{ℝ} hat Gram-Matrix

( \begin{matrix}s_{11} & & … & Re(s_{1j}) & −\sqrt{d}Im(s_{1j}) & … \\ & ds_{11} & … & \sqrt{d}Im(s_{1j}) & dRe(s_{1j}) & … \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ Re(s_{1j}) & \sqrt{d}Im(s_{1j}) & … & s_{jj} & & … \\ −\sqrt{d}Im(s_{1j}) & dRe(s_{1j}) & … & & ds_{jj} & … \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} ).

Ist nun K = ℚ(\sqrt{−d}) mit d ≡ 3 mod 4, dann ist 𝔒_{K} = ℤ + \frac{1+𝔦\sqrt{d}}{2}ℤ und S_{ℝ} hat Gram-Matrix

( \begin{matrix}2s_{11} & s_{11} & … & 2r_{1j} & r_{1j} − \sqrt{d}i_{1j} & … \\ s_{11} & \frac{1+d}{2}s_{11} & … & r_{1j} + \sqrt{d}i_{1j} & \frac{1+d}{2}r_{1j} & … \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 2r_{1j} & r_{1j} − \sqrt{d}i_{1j} & … & 2s_{jj} & s_{jj} & … \\ r_{1j} + \sqrt{d}i_{1j} & \frac{1+d}{2}r_{1j} & … & s_{jj} & \frac{1+d}{2}s_{jj} & … \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ... \end{matrix} )

mit r_{ij} = Re(s_{ij}) und i_{ij} = Im(s_{ij}). Sei im Folgenden a = m_{n,K}(S) das Minimum der Form S. Im Fall d ≡ 1, 2 mod 4 hat auch das Minimum der Form S_{ℝ} den Wert a. Denn ist x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝔒_{K}^{n} so gegeben, dass x^{∗}Sx = a ist, dann ist

y^{t} = (Re(x_{1}), \frac{Im(x_{1})}{\sqrt{d}}, …, Re(x_{n}), \frac{Im(x_{n})}{\sqrt{d}})

aus ℤ^{2n} und es ist y^{t}S_{ℝ}y = a. Umgekehrt ist y = (y_{1}, …, y_{2n}) ∈ ℤ^{2n} ein Vektor, für den y^{t}S_{ℝ}y sein Minimum a′annimmt, dann hat x^{∗}Sx für

x^{t} = (y_{1} + 𝔦\sqrt{d}y_{2}, …, y_{2n−1} + 𝔦\sqrt{d}y_{2n})

auch den Wert a′. Für den Fall d ≡ 3 mod 4 sei

x^{t} = (x_{1,1} + \frac{1 + 𝔦\sqrt{d}}{2}x_{1,2}, …, x_{n,1} + \frac{1 + 𝔦\sqrt{d}}{2}x_{n,2}) ∈ 𝔒_{K}^{n}

mit x^{∗}Sx = a. Dann ist y = (x_{1,1}, x_{1,2}, …, x_{n,1}, x_{n,2}) aus ℤ^{2n} und y^{t}S_{ℝ}y = 2a. Ist umgekehrt y = (y_{1}, …, y_{2n}) ∈ ℤ^{2n}, so dass y^{t}S_{ℝ}y = a gilt, dann ist

x^{t} = (y_{1} + \frac{1 + 𝔦\sqrt{d}}{2}y_{2}, …, y_{2n−1} + \frac{1 + 𝔦\sqrt{d}}{2}y_{2n})

aus 𝔒_{K}^{n} und es ist x^{∗}Sx = \frac{a}{2}. Folglich hat S_{ℝ} im Fall d ≡ 3 mod 4 das Minimum 2a. Für die Diskriminanten der zu S und S_{ℝ} gehörenden Gitter wird in [56] der folgende Zusammenhang gezeigt:

det(S_{ℝ}) = Disk(K)^{n} det(S).
□

Aus der Reduktionstheorie von P. Humbert folgt dass γ_{n,K} endlich ist. Darüber hinaus wird in [31], Theorem 1 die folgende Schranke gezeigt:

γ_{n,K} ≤ 4 \frac{|Disk(K)|}{\sqrt[n]{V(2n)^{2}}}.  (4.3)

Dabei ist V(n) das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel, also

V(2n) = \frac{π^{n}}{n!} .

Also gilt für S ∈ HP_{n}(ℂ):

m_{n,K}(S) ≤ \frac{2 ^{n} \sqrt{n!}}{π}\sqrt{|Disk(K)|} ^{n} \sqrt{det(S)}.  (4.4)

Beachtet man, dass für S ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) − HP_{n}(ℂ) immer m_{n,K}(S) = 0 gilt, so folgt die Gültigkeit von Ungleichung (4.4) für alle S ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ). Es gilt also das folgende Lemma:

Lemma 4.5 Die Funktion m_{n,K}(S) ist stetig auf HP_{n}^{semi}(ℂ) und verschwindet auf HP_{n}^{semi}(ℂ)− HP_{n}(ℂ).

Beweis: Die Stetigkeitsaussage kann für nicht singuläre Formen analog zu [52], Proposition 2.2 gezeigt werden, oder sie kann aus Lemma 4.11 der vorliegenden Arbeit gefolgert werden, das ebenfalls analog zu [52], Proposition 2.2 bewiesen wird. Mit Hilfe der Ungleichung (4.4) und den anschließenden Zeilen folgt nun die Aussage des Lemmas.

□

In [31], Theorem 2 wird darüber hinaus gezeigt, dass es für jedes n und K eine Form S gibt, so dass

γ_{n,K}(S) = γ_{n,K}

gilt.

Bemerkung 4.6 Sei

QF_{ℝ}(K, n) = {S_{ℝ}| S ∈ MAT^{sym}(n, 𝔒_{K}), S > 0}

und

γ_{2n}^{(K)} = min_{S_{ℝ}∈QF_{ℝ}(K,2n)}{γ_{2n}(S_{ℝ})}

mit

γ_{2n}(S_{ℝ}) = \frac{m(S_{ℝ})}{\sqrt[2n]{det(S_{ℝ})}}.

Ist S eine positiv definite Hermitesche Form und S_{ℝ} ∈ QF_{ℝ}(K, n) die positiv definite reelle Form, die man durch Spurbildung wie in [56] aus S erhält, dann gilt nach (4.4):

γ_{2n}(S_{ℝ}) = \frac{m(S_{ℝ})}{\sqrt[2n]{det(S_{ℝ})}} = \frac{1}{\sqrt{|Disk(K)|}} \frac{α_{d} m_{n,K}(S)}{\sqrt[2n]{det(S)}}

≤ α_{d} \frac{2 ^{n} \sqrt{n!}}{π} \frac{1}{\sqrt[n]{det(S)}}.

Hierbei ist

α_{d} = \{ \begin{matrix}1, & falls & d ≡ 1, 2 mod 4, \\ 2, & falls & d ≡ 3 mod 4. \end{matrix}

Folglich ist dann:

m(S_{ℝ}) ≤ α_{d} \frac{2 ^{n} \sqrt{n!}}{π} \frac{1}{\sqrt[n]{det(S)}} ^{2n} \sqrt{det(S_{ℝ})}

= α_{d} \frac{2 ^{n} \sqrt{n!}}{π}|Disk(K)| ^{n} \sqrt{det(S_{ℝ})}.
□

4.3 Die dyadische Spur

In diesem Abschnitt übertragen wir die Definition der dyadischen Spur aus [52] auf die Menge der positiv definiten Hermiteschen Formen und werden einige grundlegende Eigenschaften dieser Verallgemeinerung herleiten. Die Vorgehensweise und die angeführten Beweise lehnen sich eng an [52], Paragraph 3, sowie Lemma 2.4 und Proposition 2.2 an. Beweise aus [52], die sich sofort verallgemeinern, werden hier nicht mehr aufgeführt.

Definition 4.7 Wir sagen eine Hermitesche Matrix S ∈ MAT^{sym}(n, ℂ) hat eine dyadische Darstellung, falls es α_{i} ∈ ℝ_{>0} und v_{i} ∈ 𝔒_{K}^{n} − {0} gibt, so dass

S = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗}

ist.

□

Sei für S ∈ HER(n, K), S ≥ 0 das Radikal von S als

rad(S) = {v ∈ ℂ^{n} | v^{∗}Sv = 0}

definiert und

C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) = ℝ_{≥0}⟨vv^{∗}⟩_{v∈𝔒_{K}^{n}−{0}}.

Proposition 4.8

C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) = {S ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) | rad(S) ist über K definiert}.

4.3. DIE DYADISCHE SPUR

Beweis: Für die Menge {S ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) | rad(S) ist über K definiert } schreiben wir im Beweis kurz X. Für den Fall n = 1 ist

C_{1}^{∗}(𝔒_{K}) = ℝ_{≥0}⟨vv^{∗}⟩_{v∈𝔒_{K}−{0}} = ℝ_{≥0}|v|_{v∈𝔒_{K}−{0}}^{2} = ℝ_{≥0}.

Da S positiv semidefinit ist, ist dann

X = ℝ_{≥0} = C_{n}^{∗}(𝔒_{K}).

Im Fall n > 1 zeigen wir zunächst C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) ⊂ X. Sei S = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗} eine dyadische Darstellung von S. Dann ist

x^{∗}Sx = ∑_{i} α_{i}x^{∗}v_{i}v_{i}^{∗}x = ∑_{i} α_{i}|x^{∗}v_{i}|^{2} ≥ 0

und damit ist S positiv semidefinit. Und da S positiv semidefinit ist, folgt des Weiteren

rad(S) = {x ∈ ℂ^{n} | ∑_{i} α_{i}|x^{∗}v_{i}|^{2} = 0} = {x ∈ ℂ^{n} | x^{∗}v_{i} = 0 ∀i} .

Da v_{i} aus 𝔒_{K}^{n} ist, kann dies als Erzeugnis von Vektoren über K aufgefasst werden. Somit ist C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) ⊂ X gezeigt. Nun zur umgekehrten Richtung X ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}): Unter der Annahme, dass

HP_{n}(ℂ) ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K})

ist, folgt die Behauptung mit Induktion. Sei S ∈ X gegeben. Ist rad(S) = 0, dann ist S positiv definit, also S ∈ HP_{n}(ℂ) ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}). Sei also rad(S) ≠ 0. Sei v = (v_{1}, …, v_{n}) ein Vektor aus rad(S). Da rad(S) über K definiert ist, können wir annehmen, dass alle Einträge von v aus 𝔒_{K} sind. Sei a eine Zahl aus dem von v_{1}, …, v_{n} erzeugten Ideal. Nach [7], Hilfssatz 4^{∗}, lässt sich v zu einer ganzen Matrix U ergänzen, deren erste Spalte v ist und die Determinante a hat. Damit ist

U^{∗}SU = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) .

Aufgrund der Induktionsannahme ist S_{n−1} aus C_{n−1}^{∗}(𝔒_{K}) und hat somit eine dyadische Darstellung

S_{n−1} = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗}.

Damit ist dann

U^{∗}SU = ∑_{i} α_{i} ( \begin{matrix}0 \\ v_{i} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 \\ v_{i} \end{matrix} )^{∗} .

Sei Ũ eine ganze Matrix, so dass U^{−1} = \frac{1}{a} Ũ gilt. Dann ist

S = (U^{∗})^{−1} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) U^{−1} = ∑_{i} \frac{α_{i}}{|a|^{2}} (Ũ^{∗} ( \begin{matrix}0 \\ v_{i} \end{matrix} )) (ũ^{∗} ( \begin{matrix}0 \\ v_{i} \end{matrix} ))^{∗} ,

und deshalb liegt S in C_{n}^{∗}(𝔒_{K}). Es bleibt somit HP_{n}(ℂ) ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) zu zeigen. Wir beweisen zunächst HP_{n}(K) ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}). Für eine Hermitesche Form x^{∗}Sx mit S ∈ HP_{n}(K) findet man eine Darstellung

x^{∗}Sx = ∑_{i} α_{i}|x^{∗}v_{i}|^{2}

mit v_{i} ∈ K^{n} und α_{i} ∈ ℚ_{≥0}. Wählen wir nun ein z ∈ ℤ_{>0} so, dass zv_{i} für alle i aus ∈ 𝔒_{K}^{n} ist, dann erhalten wir:

S = ∑_{i} \frac{α_{i}}{z^{2}} (zv_{i})(zv_{i}^{∗}).

Damit ist HP_{n}(K) ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}). Als nächstes zeigen wir, dass alle S ∈ HER(n, ℂ) mit

s_{ii} ≥ const ∑_{{j \atop j≠i}} |s_{ij}|

für eine genügend große Konstante const, die nur von K abhängt, aus C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) sind. Sei δ = \sqrt{−d}, also δ\overline{δ} = |δ|^{2} = d. Sei weiter S = R + δT für zwei reelle Matrizen R und T. Bezeichnen e_{1}, …, e_{n} die Standardeinheitsvektoren, so ergibt sich für δT die folgende Darstellung:

δT = δ ( \begin{matrix}0 & & & & t_{ij} \\ & . & . & . \\ −t_{ij} & & & & 0 \end{matrix} )

= ∑_{{i,j=1 \atop i<j}}^{n} |t_{ij}|(−δe_{i} + sgn(t_{ij})e_{j})(−δe_{i} + sgn(t_{ij})e_{j})^{∗}

− ∑_{i=1}^{n} (d ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{i} |t_{ij}| + ∑_{{j=i \atop j≠i}}^{n} |t_{ij}|) e_{i}e_{i}^{∗}.

Für die reelle, symmetrische Matrix R ist

R = ∑_{{i,j=1 \atop i<j}}^{n} |r_{ij}|(e_{i} + sgn(r_{ij})e_{j})(e_{i} + sgn(r_{ij})e_{j})^{∗} + ∑_{i=1}^{n} (r_{ii} − ∑_{{j=1 \atop j≠i}}^{n} |r_{ij}|) e_{i}e_{i}^{∗}.

Wählen wir die Konstante const also größer als d, so sind die Koeffizienten der Terme e_{i}e_{i}^{∗} von R + δT positiv, da r_{ii} = s_{ii}. Sei nun allgemein S ∈ HP_{n}(ℂ). Wir wählen η ∈ ℝ_{>0}, so dass S − ηE_{n} ∈ HP_{n}(ℂ). Anschließend wähle S̃ aus HP_{n}(K), so dass S̆ = (S − ηE_{n}) − S̃ nur Einträge hat, die im Betrag kleiner als \frac{η}{nd} sind. Dies ist möglich, da HP_{n}(K) dicht in HP_{n}(ℂ) liegt. Also hat S = S̃ + (ηE_{n} + S̆) eine dyadische Darstellung, da sowohl S̆, als auch ηE_{n} + S̃ eine dyadische Darstellung haben. Damit ist gezeigt, dass X ⊂ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) gilt.

□

Wir definieren nun die dyadische Spur für S ≠ 0 als

ω_{n,K} = ω_{K} : C^{∗}(𝔒_{K}) → ℝ_{≥0}
ω_{K}(S) = sup (∑_{i} α_{i}) ,

wobei das Supremum über alle dyadischen Darstellungen S = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗} genom-

men wird. Für S = 0 sei

ω_{K}(0) = 0.

Nun geben wir einige Eigenschaften von ω_{K} an, insbesondere die Endlichkeit der Bildwerte, die aus Teil i) des nächsten Lemmas folgt.

Lemma 4.9 Für alle S ∈ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) gilt:

i) ∀K, ∀ Y ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) ist tr(Y S) ≥ ω_{K}(S)m_{n,K}(Y),

ii) ω_{K}(S) = 0 ⇔ S = 0,

iii) ω_{K}(λS) = λω_{K}(S) für alle λ ∈ ℝ_{≥0},

iv) ω_{K}(S_{1} + S_{2}) ≥ ω_{K}(S_{1}) + ω_{K}(S_{2}) und

v) ω_{K} ist eine GL(n, 𝔒_{K})-Klassenfunktion, das heißt ω_{K}(S) = ω_{K}(USU^{∗}) für alle U ∈ GL(n, 𝔒_{K}).

Beweis: Ist

S = ∑_{i} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗}

eine dyadische Darstellung von S, so gilt für ein Y ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) die Ungleichung

tr(Y S) = ∑_{i} α_{i}tr (Y v_{i}v_{i}^{∗}) = ∑_{i} α_{i}v_{i}^{∗}Y v_{i} ≥ ∑_{i} α_{i}m_{n,K}(Y).

Bildet man nun das Supremum über alle dyadischen Darstellungen von S, dann folgt die Behauptung aus Teil i). Ist eine von Null verschiedene positiv semidefinite Hermitesche Form gegeben, dann ist deren dyadische Spur positiv. Da ω_{K}(0) = 0 ist, folgt Teil ii). Für ein positives λ ∈ ℝ ist S = ∑ a_{i}v_{i}v_{i}^{∗} eine dyadische Darstellung von S genau dann, wenn ∑ λa_{i}v_{i}v_{i}^{∗} eine dyadische Darstellung von λS ist, so dass λω_{K}(S) = ω_{K}(λS) gilt. Die Aussage iv) erhält man, da die Summe der dyadischen Darstellungen von S_{1} und S_{2} eine dyadische Darstellung von S_{1} + S_{2} ist. Für v) muss bemerkt werden, dass ∑ a_{i}v_{i}v_{i}^{∗} genau dann eine dyadische Darstellung von S ist, wenn ∑ a_{i}Uv_{i}(Uv_{i})^{∗} eine dyadische Darstellung von USU^{∗} ist.

□

Bemerkung 4.10 Teil ii), iii) und iv) von Lemma 4.9 besagen, dass man ω_{K} als Typ-I-Funktion auffassen kann (siehe Definition 1.11), wenn man als Urbildmenge einer Typ-I-Funktion eine Teilmenge D mit HP_{n}(ℂ) ⊂ D ⊂ HP_{n}^{semi}(ℂ) zulässt.

□

Lemma 4.11 Eine Funktion deren Definitionsbereich HP_{n}(ℂ) umfasst und die die Eigenschaften ii), iii) und iv) aus Lemma 4.9 erfüllt, ist stetig auf HP_{n}(ℂ).

Beweis: Der Beweis von [52], Proposition 2.2 kann nach Ersetzen von P_{n}(ℝ) durch HP_{n}(ℂ) wörtlich übernommen werden.

□

Lemma 4.12 Sei ϕ : HP_{n}^{semi}(ℂ) → ℝ_{≥0} eine Funktion, die die Eigenschaften ii), iii) und iv) aus Lemma 4.9 erfüllt und die auf HP_{n}^{semi}(ℂ) − HP_{n}(ℂ) verschwindet, dann nimmt die Funktion

ϕ̂(S) = inf_{Y ∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr(SY)}{ϕ(Y)}

für alle S ∈ HP_{n}(ℂ) ihr Minimum in einem Y_{0} an.

Beweis: Ersetzen wir in [52], Lemma 3.6 die Symbole P_{n}(ℝ) mit HP_{n}(ℂ), P_{n}^{semi}(ℝ) mit HP_{n}^{semi}(ℂ) und V_{n}(ℝ) mit HER(n, ℂ), so kann der dort angegebene Beweis wörtlich übernommen werden.

□

Proposition 4.13 Das Infimum

m̂_{n,K}(S) = inf_{Y ∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr(SY)}{m_{n,K}(Y)}

wird für alle S ∈ C_{n}^{∗}(𝔒_{k}) für ein Y_{0} angenommen.

Beweis: Aufgrund von Lemma 4.5 und 4.12 erhalten wir die Aussage für S ∈ HP_{n}(ℂ). Sei S ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) − HP_{n}(ℂ) und damit rad(S) ≠ 0. Nach Proposition 4.8 ist rad(S) über K definiert, da S ∈ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}). Sei nun, wie im Beweis von Proposition 4.8, U aus MAT(n, 𝔒_{K}) mit det(U) = a so konstruiert, dass

U^{∗}SU = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S̃_{n−1} \end{matrix} )

ist. Sei weiter Ũ ∈ SL(n, 𝔒_{K}) so gewählt, dass U^{−1} = \frac{1}{a} Ũ gilt. Dann ist

S = (U^{∗})^{−1} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S̃_{n−1} \end{matrix} ) U^{−1} = Ũ^{∗} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{|a|^{2}} S̃_{n−1} \end{matrix} ) Ũ.

Mit S ist auch S̃_{n−1} und S_{n−1} = \frac{1}{|a|^{2}} S̃_{n−1} positiv semidefinit. Weiter ist

m̂_{n,K}(S) = m̂_{n,K} (Ũ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) Ũ^{∗})

= inf_{Y ∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr (Ũ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) Ũ^{∗}Y )}{m_{n,K}(Y)}

= inf_{Y ∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr (( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) Ũ^{∗}Y Ũ)}{m_{n,K}(Ũ^{∗}Y Ũ)}

= m̂_{n,K} (( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} )) .

Seien ohne Einschränkung S_{n−1} und Ỹ_{0} ∈ HP_{n−1}(ℂ) so gewählt, dass

m̂_{n−1,K}(S_{n−1}) = \frac{tr(S_{n−1}Ỹ_{0})}{m_{n−1,K}(Ỹ_{0})}

ist. Da

tr (( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ_{0} \end{matrix} )) = tr(S_{n−1}Ỹ_{0})

und

m_{n,K} ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ_{0} \end{matrix} ) = min_{x∈(𝔒_{K})^{n}−\{0\}}x^{∗} ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ_{0} \end{matrix} ) x

≤ min_{(0,x̃)^{t}∈((𝔒_{K})×(𝔒_{K})^{n−1})−\{0\}} ( 0 ; x̃ )^{∗} ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ_{0} \end{matrix} ) ( 0 ; x̃ )
= m_{n−1,K}(Ỹ_{0})

gelten, ist

m̂_{n−1,K}(S_{n−1}) ≤ m̂_{n,K} (( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} )) .

Umgekehrt muss aber

m̂_{n,K} ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) = inf_{( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ \end{matrix} )∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr (( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & S_{n−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ \end{matrix} ))}{m_{n,K} ( \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & Ỹ \end{matrix} )}

≤ inf_{Y ∈HP_{n−1}(ℂ)} \frac{tr (S_{n−1}Y)}{m_{n−1,K} (Y)}
= m̂_{n−1,K}(S_{n−1})

sein, so dass m̂_{n,K}(S) = m̂_{n−1,K}(S_{n−1}) ist. Da aber S_{n−1} aus HP_{n−1}(ℂ) war, wird das Infimum nach Lemma 4.5 und 4.12 angenommen.

□

Lemma 4.14 Sei Y_{0} ∈ HP_{n}(ℂ). Dann gibt es eine Umgebung N ⊂ HP_{n}(ℂ) von Y_{0}, so dass

Y ∈ N ⇒ MinVec(Y) ⊂ MinVec(Y_{0}).

Hierbei bezeichne

MinVec(Y) = {x ∈ 𝔒_{K}^{n}| x^{∗}Sx = m_{n,K}(S)}

die Menge der Minimalvektoren von S.

Beweis: Nach Ersetzen von ℤ durch 𝔒_{K}, P_{n}(ℝ) durch HP_{n}(ℂ) und m(Y) durch m_{n,K}(Y) kann der Beweis von [52], Lemma 3.8 wörtlich übernommen werden.

□

Satz 4.15 Für jedes S ∈ C_{n}^{∗}(𝔒_{K}) gibt es ein Y_{0} ∈ HP_{n}(ℂ), so dass

ω_{K}(S) = inf_{Y ∈HP_{n}(ℂ)} \frac{tr(SY)}{m_{n,K}(Y)} = \frac{tr(SY_{0})}{m_{n,K}(Y_{0})}  (4.5)

ist, wobei S eine dyadische Darstellung in den Minimalvektoren von Y_{0} besitzt, also

S = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗}

mit v_{i} ∈ MinVec(Y_{0}), α_{i} ≥ 0. Darüber hinaus gilt:

\frac{tr(SY_{0})}{m_{n,K}(Y_{0})} = ω_{K}(S) = ∑_{v_{i}∈MinVec(Y_{0})} α_{i}.

Beweis: Proposition 4.13 liefert die Existenz eines Y_{0}, das die zweite Gleichheit von (4.5) erfüllt. Hierbei gilt:

tr(SY_{0})m_{n,K}(Y) ≤ tr(SY)m_{n,K}(Y_{0}) für alle Y ∈ HP_{n}(ℂ).  (4.6)

Wegen Lemma 4.14 gibt es nun eine Umgebung N von Y_{0} so, dass Y ∈ N ⇒ MinVec(Y) ⊂ MinVec(Y_{0}) gilt. Für alle genügend kleinen B ∈ HER(n, ℂ) ist Y_{B} = Y_{0} + B ∈ N. Wähle v_{0} ∈ MinVec(Y_{0}) so, dass m_{n,K}(Y_{B}) = v_{0}^{∗}Y_{B}v_{0} ist. Damit wird Gleichung (4.6) zu

tr(SY_{0})tr(Y_{B}v_{0}v_{o}^{∗}) ≤ tr(SY_{B})m_{n,K}(Y_{0}) ∀B ∈ {Y − Y_{0}|Y ∈ N}. (4.7)

Sei nun ein T ∈ HER(n, ℂ) mit v^{∗}T v ≥ 0 ∀v ∈ MinVec(Y_{0}) gegeben. Für ein genügend kleines λ > 0 erfüllt dann B = λT die Ungleichung (4.7), also 0 ≤ λtr(SY_{0})tr(T v_{0}v_{0}^{∗}) ≤ λm_{n,K}(Y_{0})tr(ST). Demnach ist tr(ST) ≥ 0 für alle T ∈ HER(n, ℂ) mit v^{∗}T v ≥ 0 ∀v ∈ MinVec(Y_{0}). Damit liegt S im kleinsten abgeschlossenen Kegel, der die Menge {v^{∗}v | v ∈ MinVec(Y_{0})} enthält. Dies ist aber ℝ_{≥0}⟨vv^{∗}⟩_{v∈MinVec(Y_{0})}. Ist nun

S = ∑_{v_{i}∈MinVec(Y_{0})} α_{i}v_{i}v_{i}^{∗}

eine dyadische Darstellung in den Minimalvektoren von Y_{0}, also insbesondere ω_{K}(S) ≥ ∑ α_{i}, so ist tr(SY_{0}) = ∑ α_{i}m_{n,K}(Y_{0}). Mit Hilfe von Lemma 4.9 i) folgt nun wegen

\frac{tr(SY_{0})}{m_{n,K}(Y_{0})} ≥ ω_{K}(S) ≥ ∑_{i} α_{i}

die Behauptung.

□

Lemma 4.16

i) ω_{K}(HP_{n}(𝔒_{K})) ist diskret in ℝ,

ii) ω_{K}(S) ≥ \frac{πn}{2 ^{n} \sqrt{n!}\sqrt{|Disk(K)|}} ^{n} \sqrt{det(S)}.

Beweis: Aus Teil ii) der Aussage folgt, dass es für ein gegebenes Element c aus ℝ_{>0} nur endlich viele Konjugationsklassen ganzer Matrizen S gibt, für die ω_{K}(S) < c ist, also ist ω_{K}(HP_{n}(𝔒_{K})) diskret in ℝ. Aufgrund von Lemma 4.9, Teil ii) genügt es, die Ungleichung aus Teil ii) nur für nichtsinguläres S zu zeigen. Mit Hilfe von (4.4) folgt für alle Y ∈ HP_{n}(ℂ):

\frac{tr(SY)}{m_{n,K}(Y)} ≥ \frac{n ^{n} \sqrt{det(SY)}}{m_{n,K}(Y)} ≥ \frac{πn}{2 ^{n} \sqrt{n!}\sqrt{|Disk(K)|}} ^{n} \sqrt{det(S)}.

Nehmen wir nun das Infimum über alle Y ∈ HP_{n}(ℂ), so erhalten wir mit Hilfe von Satz 4.15 die geforderte Ungleichung.

□

Lemma 4.17 Sind l ∈ ℕ_{≥0} und H ⊂ \frac{1}{l}HP_{n}(𝔒_{K}), so gilt:

inf ω_{K}(Abschluss der konvexen Hülle von (ℝ_{≥1}H) ∩ HP_{n}(ℂ))
= inf_{s∈H} ω_{K}(s) = min_{s∈H} ω_{K}(s).

Beweis: Da H im Abschluss der konvexen Hülle von ℝ_{≥1}H liegt, gilt die Ungleichung

inf ω_{K}(Abschluss der konvexen Hülle von (ℝ_{≥1}H) ∩ HP_{n}(ℂ))
≤ inf ω_{K}(H).

4.4. DER HALBHÜLLENSATZ

Umgekehrt gibt es zu jedem x aus dem Abschluss der konvexen Hülle von ℝ_{≥1}H eine Auswahl S_{i} ∈ H und 0 ≤ α_{i} ∈ ℝ, so dass ∑ α_{i} ≥ 1 ist und ∑_{i} α_{i}S_{i} beliebig nahe an x liegt. Da ω_{K} nach Lemma 4.11 stetig auf HP_{n}(ℂ) ist, liegt ω_{K} (∑ α_{i}S_{i}) beliebig dicht an ω_{K}(x). Des weiteren ist

ω_{K} (∑ α_{i}S_{i}) ≥ ∑ α_{i}ω_{K}(S_{i}) ≥ ∑ α_{i} inf ω_{K}(H) ≥ inf ω_{K}(H),

und somit ω_{K}(x) ≥ inf ω_{K}(H). Da ω_{K}(HP_{n}(𝔒_{K})) nach Lemma 4.16 diskret in ℝ ist, wird das Infimum angenommen und es gilt die zweite Gleichung.

□

4.4 Der Halbhüllensatz

In diesem Abschnitt wollen wir Satz 1.2 aus [52] verallgemeinern. Sei L eine konvexe, abgeschlossene Teilmenge des HP_{n}^{semi}(ℂ). L heißt Kern, falls

(1) ℝ_{≥1}L = L,

(2) 0 ∉ L und

(3) ℝ_{>0}L ⊃ HP_{n}(ℂ).

Sei weiter

L^{⊔} = {x ∈ HER(n, ℂ) | ∀y ∈ L gilt tr(xy) ≥ 1} .

Mit L ist auch L^{⊔} ein Kern und für zwei Kerne L_{1} ⊂ L_{2} ist L_{2}^{⊔} ⊂ L_{1}^{⊔}. Des weiteren ist (L^{⊔})^{⊔} = L. Für einen imaginär quadratischen Zahlkörper K liegt die Menge L_{K} = L ∩ HP_{n}^{semi}(K) dicht in L, und es gilt L_{K}^{⊔} = L^{⊔}. Wir bezeichnen für eine nichtleere Teilmenge C von HER(n, ℂ) die Menge

{x ∈ HER(n, ℂ)| tr(xy) ≥ 0 ∀y ∈ C}

mit C^{∨}. Die Menge C^{∨} ist ein Kegel im ℂ^{n^{2}} und (C^{∨})^{∨} ist der kleinste abgeschlossene Kegel, der C enthält. Ist f ∈ M_{n}^{k}(U(n, 𝔒_{K}), χ) eine Modulform, so definieren wir ν(f) als den Abschluss der konvexen Hülle von ℝ_{≥0}Supp(f). Dabei bezeichnt Supp(f) die Menge aller T ∈ HER(n, 𝔒_{K})^{#}, für die in der Fourierentwicklung von (f|_{k}M)(Z),

(f|_{k}M)(Z) = ∑_{0≤T ∈(HER(n,𝔒_{K}))^{#}} a_{T} (M)e^{2π𝔦 \frac{tr(T Z)}{b}},

(siehe (1.9)) der Fourierkoeffizient ungleich Null ist. Hierbei lassen wir im Vergleich zum symplektischen Fall in der Fourierentwicklung von (f|_{k}M)(Z) auch Summanden a_{T} e^{\frac{2π𝔦}{b} tr(T Z)} zu, für die b > 1 ist. Bevorzugt man eine Fourierentwicklung in der nur Summanden der Form a_{T} e^{2π𝔦tr(T Z)} auftreten, ist Supp(f) eine Teilmenge von \frac{1}{b}(HER(n, 𝔒_{K}))^{#}. Die Aussagen und Beweise in den folgenden Abschnitten müssen dann entsprechend angepasst werden. Mit e_{ij} sei im Folgenden die Matrix bezeichnet, die an der ij-ten Stelle den Eintrag 1 hat und sonst nur Nullen.

Lemma 4.18 Sei n > 2 und Γ eine Kongruenzuntergruppe mit

U(n, 𝔒_{K})[𝔞] ⊂ Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K}).

Für eine Hermitesche Modulform f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) mit 0 ∉ Supp(f) ist ν(f) ein Kern oder f ist identisch null.

Beweis: Aus der Fourierentwicklung von f (siehe (1.9)) folgt, dass Supp(f) ⊂ HP_{n}^{semi}(ℂ) ist. Es gilt ν(f) ⊂ HP_{n}^{semi}(ℂ), denn der Abschluss \overline{HP_{n}^{semi}(ℂ)}von HP_{n}^{semi}(ℂ) ist gleich HP_{n}^{semi}(ℂ). Dies sieht man leicht, denn: Sei {S_{i}}_{i∈ℕ} eine gegen ein S ∈ \overline{HP_{n}^{semi}(ℂ)} konvergente Folge von Elementen aus HP_{n}^{semi}(ℂ) und \{λ_{i}^{j}\}_{j∈\{1,...,n\}} die Eigenwerte von S_{i}. Diese sind größer gleich null, da die S_{i} positiv semidefinit sind. Da die Eigenwerte {λ_{i}^{j}}_{j∈{1,...,n}} stetig von S_{i} abhängen, konvergiert die Folge {λ_{i}^{j}}_{j∈{1,...,n}} für i → ∞ gegen die Eigenwerte {λ^{j}}_{j∈{1,...,n}} von S. Für diese muss dann aber {λ^{j}}_{j∈{1,...,n}} ≥ 0 gelten, da auch alle {λ_{i}^{j}}_{j∈{1,...,n}} größer oder gleich null sind. Damit ist dann S aber auch positiv semidefinit. Dass S Hermitesch ist, ist klar. Des weiteren ist ν(f) abgeschlossen und konvex. Es bleiben also die Bedingungen (1), (2) und (3) der Definition des Kern zu überprüfen. Die Aussage (1) ist aufgrund der Konstruktion von ν(f) klar. Die zweite Aussage folgt aus der Tatsache, dass

Supp(f) ⊂ (HER(n, 𝔒_{K}))^{#} ⊂ \frac{1}{Disk(K)}HER(n, 𝔒_{K})

ist. Es folgt für alle T ∈ Supp(f), dass tr(T) ≥ \frac{1}{Disk(K)}, also auch

tr(x) ≥ \frac{1}{Disk(K)} ∀x ∈ ν(f).

Damit ist (2) gezeigt und es bleibt (3) zu beweisen. Zeigen wir K^{∨} ⊂ P_{n}^{semi}(ℂ), dann folgt P_{n}(ℂ) ⊂ ℝ_{>0}ν(f) und (3) ist bewiesen. Wir wollen Zeigen: Falls ν(f)^{∨} ⊄ HP_{n}^{semi}(ℂ) ist, so existiert ein T ∈ ν(f)^{∨}, das nicht semidefinit ist und ein A ∈ SL(n, 𝔒_{K}), so dass für den oberen linken Eintrag p_{11} von P = A^{∗}T A^{−1} die Ungleichung p_{11} < 0 gilt. Sei dazu ṽ ∈ ℂ^{n} ein komplexer Vektor, für den ṽ^{∗}T ṽ ≤ 0 ist. Approximiert man ṽ durch einen Vektor v ∈ K^{n}, so dass sich die Einträge v_{i} und ṽ_{i} aus v und ṽ für i ∈ {1, …, n} höchstens um ϵ unterscheiden, dann ist für ein genügend kleines ϵ auch v^{∗}T v ≤ 0. Wir ergänzen nun v zu einer über K invertierbaren Matrix Ã. Sei 𝔞̃ ein Ideal in K, das so gewählt ist, dass 𝔞̃Ã = A aus SL(n, 𝔒_{K}) ist. Der obere linke Eintrag der rechten Seite von

Ã^{∗}T Ã = A^{∗} \frac{T}{|𝔞̃|^{2}} A

ist genau dann kleiner als null, falls dies der obere linke Eintrag der rechten Seite ist. Da A ∈ SL(n, 𝔒_{K}) und \frac{T}{|𝔞̃|^{2}} ∈ ν(f)^{∨} ist, folgt die Existenz von A und T. Sei

γ = ( \begin{matrix}A^{∗} & 0 \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} ) ∈ SΔ_{n}(𝔒_{K}),

dann operiert γ auf dem Hermiteschen Halbraum durch γZ = A^{∗}ZA. Somit ist

(f|_{k}γ)(Z) = det(A^{−1})^{−k}f(A^{∗}ZA) = f(A^{∗}ZA).

Da SΔ_{n}(𝔒_{K})[𝔞] normal in Δ_{n}(𝔒_{K}) ist, ist f|_{k}γ invariant unter SΔ_{n}(𝔒_{K})[𝔞]. Wegen Supp(f|_{k}γ) = A^{∗}Supp(f)A ist nun

ν(f|_{k}γ) = A^{∗}ν(f|_{k}γ)A

und

ν(f|_{k}γ)^{∨} = A^{−1}ν(f|_{k}γ)(A^{∗})^{−1}.

Also: P = A^{−1}T (A^{∗})^{−1} ∈ A^{−1}ν(f|_{k}γ)(A^{∗})^{−1} = ν(f|_{k}γ)^{∨}. Falls Supp(f|_{k}γ) ⊂ ℝ_{≥0}e_{11} ist, folgt, dass f ≡ 0 ist. Denn sei hierzu

E = E_{n} + 𝔞e_{11} − 𝔞e_{22} + 𝔞e_{12} − 𝔞e_{21},

dann gilt:

H = ( \begin{matrix}E^{∗} & 0 \\ 0 & E^{−1} \end{matrix} ) ∈ SΔ_{n}(𝔒_{K})[𝔞],

und es ist (f|_{k}γ)|_{k}H = f|_{k}γ, also

Supp((f|_{k}γ)|_{k}H) = Supp(f|_{k}γ)

und

E^{∗}Supp(f|_{k}γ)E = Supp(f|_{k}γ).

Dann ist aber für s = λe_{11} ∈ ℝ_{≥0}e_{11}:

E^{∗}sE = λ((1 + 2Re(𝔞) + |𝔞|^{2})e_{11} + (𝔞 + |𝔞|^{2})e_{12}) + (\overline{𝔞} + |𝔞|^{2})e_{21}) + |𝔞|^{2}e_{22}).

Demnach ist λ = 0. Da 0 ∉ Supp(f|_{k}γ) ist Supp(f|_{k}γ) = ∅ also f|_{k}γ ≡ 0 und f ≡ 0. Um Supp(f|_{k}γ) ⊂ ℝ_{≥0}e_{11} zu zeigen, nehmen wir nun an es gelte Supp(f|_{k}γ) ⊄ ℝ_{≥0}e_{11} und führen dies zu einem Widerspruch. Aufgrund dieser Annahme gibt es ein B ∈ Supp(f|_{k}γ), dessen m-ter Diagonaleintrag b_{mm}, m > 1 größer als Null ist. Sei für t ∈ ℕ nun T_{t} = E_{t} + t𝔞e_{1m} und sei δ_{t} = T_{t}BT_{t}^{∗}. Die Folge der oberen linken Einträge von δ_{t} ist für t > N für ein genügend großes N streng monoton steigend, da

(δ_{t})_{11} = b_{11} + t\overline{𝔞}b_{1m} + t𝔞b_{m1} + t^{2}|𝔞|^{2}b_{mm} = t^{2}|𝔞|^{2}b_{mm} + O(t).

Sei nun ζ ∈ ℂ mit Im(ζ) > 0 und Z_{ζ} = iE_{n} + iζP. Da P ∈ ν(f|_{k}γ)^{∨} ist, ist tr(P ν(f|_{k}γ)^{∨}) ≥ 0, also tr(P Supp(f)) ≥ 0. Des weiteren ist:

∑_{S∈Supp(f|_{k}γ)} |a_{S}e^{2πi \frac{tr(SZ_{ζ})}{b}} | = ∑_{S∈Supp(f|_{k}γ)} |a_{S}| |e^{−2π \frac{tr(SEn)}{b}} | |e^{2π𝔦ζ \frac{tr(SP)}{b}} |

≤ ∑_{S∈Supp(f|_{k}γ)} |a_{S}| |e^{−2π \frac{tr(SEn)}{b}} | .

Die letzte Summe konvergiert absolut gleichmäßig auf einer abgeschlossenen Umgebung von iE_{n}. Also konvergiert die Fourierentwicklung von Supp(f|_{k}γ) bei Z_{ζ} absolut. Betrachten wir nun die Teilfolge

∑_{t>N} |a_{δ_{t}}| |e^{2πi \frac{tr(δ_{t}Z_{ζ})}{b}} | = |a_{B}| ∑_{t>N} |e^{2πi \frac{tr(δ_{t}Z_{ζ})}{b}} | .

Da Im(tr(δ_{t}Z_{ζ})) = t^{2}|𝔞|^{2}b_{mm}(1 + ζp_{11}) + O(t) mit p_{11} < 0 ist, ist 1 + ζp_{11} für genügend großes ζ negativ und die Teilfolge divergiert, ein Widerspruch zur absoluten Konvergenz der Oberfolge.

□

Satz 4.19 (Halbhüllensatz) Sei n > 2, Γ eine Kongruenzuntergruppe mit U(n, 𝔒_{K})[𝔞] ⊂ Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K}) und f ∈ M_{n}^{k}(Γ, χ) eine Hermitesche Modulform. Falls

ϕ_{f}(Z) = det(Y)^{\frac{k}{2}} |f(Z)| mit Y = Im(Z)

sein Maximum bei Z_{0} = X_{0} + iY_{0} annimmt, dann ist

\frac{bk}{4π} Y_{0}^{−1} ∈ ν(f).

Hierbei ist b eine Konstante, die von f abhängt. Ist 𝔞 = (N) mit N ∈ ℕ, dann kann b = N gewählt werden.

Beweis: Zunächst ist 0 ∉ Supp(f), da sonst für 0 ∈ Supp(f) der Grenzwert

lim_{Z→∞iE_{n}} |ϕ_{f}(Z)| = +∞

nicht existiert und somit ϕ_{f}(Z) sein Maximum nicht in ℍ_{n}(ℂ) annimmt. Es kann also Lemma 4.18 angewendet werden und es folgt: ν(f) ist ein Kern. Falls

(\frac{bk}{4π} Y_{0}^{−1})^{⊔} ⊃ (ν(f)^{⊔})_{K}

gilt, folgt

\frac{bk}{4π} Y_{0}^{−1} ∈ ((\frac{bk}{4π} Y_{0}^{−1})^{⊔})^{⊔} ⊂ ((ν(f)^{⊔})_{K})^{⊔} ⊂ (ν(f)^{⊔})^{⊔} ⊂ ν(f)

und die Behauptung ist bewiesen. Es reicht also zu zeigen, dass

tr (\frac{bk}{4π} Y_{0}^{−1}T ) ≥ 1 ∀T ∈ (ν(f)^{⊔})_{K}, T positiv semidefinit

gilt. Sei dazu δ = \sqrt{−d} und und sei q ∈ ℤ_{>0} sowie P und Q so gewählt, dass T = \frac{P +δQ}{q} ist. Setze T̃ = P + δQ. Seien weiter ζ ∈ ℂ und Z_{ζ} = Z_{0} + ζ|𝔞|^{2}T̃. Da

Z_{ζ} − Z_{ζ}^{∗} = Z_{0} − Z_{0}^{∗} + 2𝔦Im(ζ)|𝔞|^{2}T̃

ist, Z_{0} − Z_{0}^{∗} aus ℍ_{n}(ℂ) ist, und T positiv semidefinit ist, ist Z_{ζ} ∈ ℍ_{n}(ℂ), falls Im(ζ) > −ϵ für ein genügend kleines ϵ gilt. Da f(Z) holomorph ist, ist auch f(Z_{ζ}) holomorph. Aufgrund der Ganzheit von T̃ kann f(Z_{ζ}) als holomorphe Funktion von z = e^{\frac{2πi}{b} ζ} auf 0 < |z| ≤ e^{− \frac{2π}{b} ϵ} aufgefasst werden. Die Laurententwicklung von f um z = 0 ist

f(Z_{ζ}) = ∑_{S∈Supp(f)} a_{S}e^{\frac{2πi}{b} tr(SZ_{ζ})} = ∑_{S∈Supp(f)} a_{S}e^{\frac{2πi}{b} tr(SZ_{0})}e^{\frac{2πi}{b} ζtr(S|𝔞|^{2}T̃)},

und es gilt:

min_{S∈Supp(f)} tr (\frac{|𝔞|^{2}}{b} ST̃) = min_{S∈Supp(f)} \frac{|𝔞|^{2}q}{b} tr(ST) ≥ |𝔞|^{2}q,

da tr(ST) ≥ 1 ist. Deshalb setzt sich die Funktion

\frac{f(Z_{0})}{e^{\frac{2πi|𝔞|^{2}q}{b} ζ}}

holomorph auf z = 0 fort und nimmt nach dem Maximumsprinzip ihr Maximum auf |z| = e^{\frac{2πi}{b} ϵ} an, also für ein ζ′ mit Im(ζ′) = −ϵ. Da der Wert des Maximums größer als der Wert der Funktion bei z = 1 sein muss, gilt die Ungleichung:

|\frac{f(Z_{0})}{e^{\frac{2πi}{b} 0}} | = |f(Z_{0})| ≤ |\frac{f(Z_{ζ′})}{e^{\frac{2πi|𝔞|^{2}q}{b} ζ′}} | .

Da ϕ_{f}(Z) sein Maximum bei Z_{0} annimmt, also

ϕ_{f}(Z_{0}) = | det(Y_{0})|^{\frac{k}{2}} |f(Z_{0})| ≥ | det(Y)|^{\frac{k}{2}} |f(Z)|

ist, folgt:

|f(Z_{ζ′})| |\frac{det(Y_{ζ′})}{det(Y_{0})}|^{\frac{k}{2}} ≤ |\frac{f(Z_{ζ′})}{e^{\frac{2πi|𝔞|^{2}q}{b} ζ′}} |

mit Y_{ζ′} = det(Y_{0} + |𝔞|^{2}Im(ζ′T̃)) = det(Y_{0} + |𝔞|^{2}ϵP). Da f ≢ 0 ist, liefern die beiden obigen Ungleichungen:

|\frac{det(Y_{ζ′})}{det(Y_{0})}|^{\frac{k}{2}} ≤ |\frac{1}{e^{\frac{2πi|𝔞|^{2}q}{b} ζ′}} | ,

also

det(E_{n} + |𝔞|^{2}ϵT̃Y_{0}^{−1})^{\frac{k}{2}} ≤ e^{− \frac{2π|𝔞|^{2}qϵ}{b}} .

Hieraus folgt (vergleiche [24] p. 49-50), dass

\frac{k}{2}tr(|𝔞|^{2}T̃Y_{0}^{−1}) ≥ \frac{2π|𝔞|^{2}q}{b}

ist. Es folgt

\frac{kb}{4π} tr(T Y_{0}^{−1}) ≥ 1,

was zu zeigen war. Die Aussage über die Konstante b ergeben sich aus (1.9) und den sich daran anschließenden Zeilen.

□

Satz 4.20 Sei n > 2, Γ eine Kongruenzuntergruppe mit U(n, 𝔒_{K})[𝔞] ⊂ Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K}), und f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ) eine Hermitesche Spitzenform mit Fourierentwicklung

(f)(Z) = ∑_{0≤T ∈(HER(n,𝔒_{K}))^{#}} a_{T} e^{2π𝔦 \frac{tr(T Z)}{b}}

für die ϕ_{f}(Z) ihr Maximum bei Z_{0} = X_{0} + iY_{0} annimmt. Dann gilt für alle M ∈ U(n, 𝔒_{K}), dass

\frac{kb}{4π} Im(M^{−1}Z_{0})^{−1} ∈ ν(f|_{k}M)

ist.

4.5. ANWENDUNGEN DES HALBHÜLLENSATZES

Beweis: Für M̃ ∈ U(n, 𝔒_{K}) gibt es eine natürliche Zahl N ∈ ℕ so, dass f|_{k}M̃ invariant unter SΔ_{n}(𝔒_{K})[(N)] ist, denn mit Γ ist auch M̃^{−1}ΓM̃ eine Kongruenzuntergruppe. Da für alle

M = ( \begin{matrix}A & B \\ 0 & D \end{matrix} ) ∈ SΔ_{n}(𝔒_{K})[(N)]

gilt:

ϕ_{f|_{k}M}(Z) = det(Y)^{\frac{k}{2}} |(f|_{k}M)(Z)|
= det(Y)^{\frac{k}{2}} det(D)^{−k}|f(M⟨Z⟩)|
= det(Y)^{\frac{k}{2}} |f(M⟨Z⟩)| = ϕ_{f}(M⟨Z⟩),

nimmt f|_{k}M sein Maximum auf M^{−1} · Z an. Nun kann Satz 4.19 angewendet werden.

□

Bemerkung 4.21 Ist f Spitzenform zur vollen Modulgruppe (n > 2), so nimmt ϕ_{f}(Z) sein Maximum auf ℍ_{n}(ℂ) an.

Beweis: Analog zu [24], Hilfssatz 3.11 genügt es zu zeigen, dass

lim_{det(Y)→∞} ϕ_{f}(Z) = 0.

Diese Aussage findet sich in [10], p. 146, (E).

□

4.5 Anwendungen des Halbhüllensatzes

Ziel dieses Abschnittes ist es, ein Analogon zum Satz von C. Poor und D. S. Yuen anzugeben, das für Hermitesche Modulformen gilt. Sei K ein imaginärquadratischer Zahlkörper, Γ eine Kongruenzuntergruppe mit

U(n, 𝔒_{K})[𝔞] ⊂ Γ ⊂ U(n, 𝔒_{K}), n > 2

und f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ) eine Spitzenform. Wir interessieren uns für die Kerne ν(f|_{k}M) mit M ∈ U(n, 𝔒_{K}). Für zwei Repräsentanten M_{1} und M_{2} derselben Nebenklasse von Γ\U(n, 𝔒_{K}), stimmen die Kerne ν(f|_{k}M_{1}) und ν(f|_{k}M_{2}) überein. Ist M =

( \begin{matrix}A^{∗} & S \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} ) ∈ Δ_{n}(𝔒_{K}), so ist ν(f|_{k}M) = A^{∗}ν(f)A.

Definition 4.22 Eine Menge von Kernen {K_{M}}_{M∈U(n,𝔒_{K})} heißt Γ-zulässig, falls für alle M_{1} ∈ Γ

und M_{2} = ( \begin{matrix}A^{∗} & S \\ 0 & A^{−1} \end{matrix} ) ∈ Δ_{n}(𝔒_{K}) gilt: K_{M_{1}MM_{2}} = K_{A^{∗}MA}.

□

Die Menge {ν(f|_{k}M)}_{M∈U(n,𝔒_{K})} ist Γ-zulässig und für eine Γ-zulässige Menge von Kernen {K_{M}}_{M∈U(n,𝔒_{K})} sind die beiden Aussagen

i) Für alle M ∈ U(n, 𝔒_{K}) gilt: ν(f|_{k}M) ⊂ K_{M} und

ii) Für alle M ∈ Γ\U(n, 𝔒_{K})/Δ_{n}(𝔒_{K}) gilt: ν(f|_{k}M) ⊂ K_{M}

äquivalent.

Satz 4.23 Sei f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ) eine Spitzenform zur Kongruenzuntergruppe Γ von endlichem Index in U(n, 𝔒_{K}), n > 2 und die Funktion ϕ_{f}(Z) nehme ihr Maximum bei Z_{0} = X_{0} + iY_{0} ∈ ℍ_{n}(ℂ) an. Sei weiter {K_{M}}_{M∈Γ\U(n,𝔒_{K})/Δ_{n}(𝔒_{K})} eine Γ-zulässige Menge von Kernen mit Supp(f|_{k}M) ⊂ K_{M}. Seien

(f|_{k}M)(Z) = ∑_{0≤T ∈(HER(n,𝔒_{K}))^{#}} a_{T} (M)e^{2π𝔦 \frac{tr(T Z)}{b_{f}}}

die Fourierentwicklungen von (f|_{k}M)(Z). Dann gilt:

i) Ist f ≢ 0, so ist:

Z_{0} ∉ ⋃_{M∈U(n,𝔒_{K})}M \{Z ∈ ℍ_{n}(ℂ) | \frac{b_{f}k}{4π} Im(Z)^{−1} ∉ K_{M} \} .

ii) Enthält die in Teil i) beschriebene Vereinigung von Mengen den Fundamentalbereich F_{n}(K, Γ), so ist f ≡ 0.

Beweis: Der Beweis geht analog zu [52], Theorem 1.6. Der dortige Hinweis auf Lemma 1.5 ist mit den obigen Ausführungen abgedeckt. Die Konstante b_{f} hängt, da M und M^{−1} aus U(n, 𝔒_{K}) sind, nur von der Form f und nicht von der Matrix M ab. (Siehe (1.9).)

□

Satz 4.24 (gleichmäßige Abschätzung) Sei Γ ⊃ U(n, 𝔒_{K})[(N)], N ∈ ℕ, n > 2 eine Kongruenzuntergruppe und f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ) eine Spitzenform zu Γ. Ist für alle M ∈ Γ\U(n, 𝔒_{K})

min ω_{K}(Supp(f|_{k}M)) > \frac{Nk}{4π} sup_{Z∈ℍ_{n}(ℂ)} inf_{σ∈U(n,𝔒_{K})}ω_{K}(Im(σZ)^{−1}),

so ist f ≡ 0.

Beweis: Ersetzen wir im Beweis von [52], Theorem 2.5 ϕ durch ω_{K}, ’Main Result 1.3’ durch Satz 4.20, P_{n}(ℝ) durch HP_{n}(ℂ) und Lemma 2.4 durch Lemma 4.17, so kann dieser Beweis hier wörtlich übernommen werden. Hierbei ist zu beachten, dass man für die Konstante b aus Satz 4.20 den Wert N wählen kann, siehe (1.9) und die anschließenden Zeilen.

□

Satz 4.25 (Mittlere Abschätzung) Sei f ∈ S_{n}^{k}(Γ, χ) eine Spitzenform zur Kongruenzuntergruppe Γ ⊃ U(n, 𝔒_{K})[N] von endlichem Index I in U(n, 𝔒_{K}), n > 2. Seien weiter M_{1}, …, M_{I} eine Menge von Repräsentanten von Γ\U(n, 𝔒_{K}). Ist

\frac{1}{I} ∑_{i=1}^{I} min ω_{K}(Supp(f|_{k}M_{i})) > \frac{Nk}{4π} sup_{Z∈ℍ_{n}(ℂ)} inf_{σ_{∈}U(n,𝔒_{K})}ω_{K}(Im(σZ)^{−1}),

so ist f ≡ 0.

Beweis: Ersetzt man im Beweis von [52], Theorem 2.6 das Zeichen ϕ durch ω_{K} und Theorem 2.5 durch Satz 4.24, so kann dieser Beweis wörtlich übernommen werden.

□

Um diese Sätze für explizite Rechnungen anwenden zu können, bleibt noch die Bestimmung von

ω_{K}^{(n)} = sup_{Z∈ℍ_{n}(ℂ)} inf_{σ_{∈}U(n,𝔒_{K})}ω_{K}(Im(σZ)^{−1})

oder einer oberen Schranke hiervon. Als obere Schranke kann

𝔴_{K,n} = sup_{Z∈F(n,K)} ω_{K}(Z^{−1})

benutzt werden. Hierbei bezeichnet F(n, K) einen Fundamentalbereich der Operation von U(n, 𝔒_{K}) auf ℍ_{n}(ℂ). Damit erhalten wir für die vollen Modulgruppen den folgenden Satz:

Satz 4.26 Sei K ein imaginärquadratischer Zahlkörper und sei für n > 2 eine Spitzenform f ∈ S_{n}^{k}(U(n, 𝔒_{K}), χ) mit Fourierentwicklung

f(Z) = ∑_{T ∈Supp(f)} a(T)e^{\frac{2πitr(T Z)}{b}}

vorgelegt. Dann sind äquivalent:

i) f ≡ 0,

ii) ∀T ∈ Supp(f) mit ω_{K}(T) < ω_{K}^{(n)} \frac{bk}{4π} ist a(T) = 0,

iii) ∀T ∈ Supp(f) mit ω_{K}(T) < 𝔴_{K,n} \frac{bk}{4π} ist a(T) = 0.

□

Im Folgenden wollen wir nun noch eine explizite Abschätzung für 𝔴_{K,n} angeben. In Lemma 4.9 haben wir gesehen, dass für jeden imaginärquadratischen Zahlkörper und für alle S, Y ∈ HP_{n}^{semi}(ℂ) gilt:

tr(Y S) ≥ ω_{K}(S)m_{n,K}(Y).

Also ist für S = Y^{−1}

ω_{K}(Y^{−1}) ≤ \frac{tr(Y Y^{−1})}{m_{n,K}(Y)} = \frac{n}{m_{n,K}(Y)}.  (4.8)

Folglich sind wir an einer Abschätzung für

m_{n,K}(Y), Z = X + 𝔦Y ∈ F(n, K)

interessiert. Für alle Z ∈ F(n, K) und

M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ U(n, 𝔒_{K})

ist

det ((CZ + D)(CZ + D)^{∗}) ≥ 1

und für die Einträge x_{ij} von X gilt: |x_{ij}| ≤ \frac{1}{2}. Also ist ∀Y ∈ F(n, K)

y_{ii} ≥ \frac{\sqrt{3}}{2}, i ∈ \{1, …, n\}.  (4.9)

Aus der Reduktionstheorie (siehe Seite 133f) erhalten wir die Existenz einer Matrix U_{v}^{−1} in der Menge

⋃_{α} M(K, α, n),

die aus endlich vielen in GL(n, K) invertierbaren Matrizen aus MAT(n, 𝔒_{k}) besteht, deren Determinnate α durch

1 ≤ α ≤ |Disk(K)|^{\frac{n}{2}} n^{2n}

beschränkt ist, siehe hierzu Satz 4.2. Dabei kann U_{v}^{−1}, so gewählt werden, dass Y = (U_{v}^{−1})^{∗}Ẏ U_{v}^{−1} und

ẏ_{11} ≤ … ≤ ẏ_{nn}

gelten. Beachte nun, dass

m_{n,K}(Ẏ) = min_{x∈𝔒_{K}^{n}−{0}}x^{∗}Ẏ x
= α^{2} min_{x∈𝔒_{K}^{n}−\{0\}}(\frac{1}{α}U_{v}x)^{∗} Y (\frac{1}{α}U_{v}x)

ist. Da die Menge

G = \{ \frac{1}{α}U_{v}x| x ∈ 𝔒_{K}^{n} − \{0\}\} ⊂ 𝔒_{K}^{n} − \{0\}

ist, folgt

m_{n,K}(Ẏ) ≤ α^{2} min_{x∈G} x^{∗}Y x ≤ α^{2}m_{n,K}(Y)
≤ |Disk(K)|^{\frac{n}{2}} n^{2n}m_{n,K}(Y).  (4.10)

Schließlich erhalten wir aus (4.8), (4.9) und (4.10) die Abschätzung

𝔴_{K,n} ≤ \frac{2}{\sqrt{3}}|Disk(K)|^{n}n^{4n}.

Wir erhalten ergänzend zu Satz 4.26:

Satz 4.27 Sei für n > 2 eine Spitzenform f ∈ S_{n}^{k}(U(n, 𝔒_{K}), χ) mit Fourierentwicklung

f(Z) = ∑_{T ∈Supp(f)} a(T)e^{\frac{2πitr(T Z)}{b}}

vorgelegt. Dann sind äquivalent: i) f ≡ 0,

iii) ∀T mit ω_{K}(T) < \frac{k}{2\sqrt{3}π}|Disk(K)|^{n}n^{4n} ist a(T) = 0.

□

Bemerkung 4.28 Im Vergleich zum Siegelschen Fall (siehe [52] oder Satz 1.9) tritt hier in der Schranke für die dyadische Spur ein Faktor |Disk(K)|^{n}n^{4n} auf. Insbesondere der Faktor n^{4n} scheint hierbei störend. Eine bessere Abschätzung für Determinanten der Menge M(K, α, n) aus der Reduktionstheorie wäre hier wünschenswert.

□

Beispiel 4.29 Im einfachsten Fall des Zahlkörpers ℚ(\sqrt{−1}) mit Disk(ℚ(\sqrt{−1})) = −4 müssen im Fall n = 2 schon alle T ∈ HP_{n}(ℤ[𝔦]) betrachtet werden, für die

ω_{K}(T) < \frac{k}{\sqrt{3}π} 2^{11}

ist. Für praktische Rechnungen ist diese Konstante bereits zu groß.

□

Anhang

Wir geben hier noch einige Tabellen an, die allgemeine Aussagen zu binären und ternären quadratischen Formen enthalten.

In Tabelle 4.1 werden die Anzahlen von geraden, binären quadratischen Formen mit vorgegebener dyadischer Spur aufgelistet. In der Spalte, die mit ω_{2} gekennzeichnet ist, steht hierbei der Wert der dyadischen Spur und in der mit ’anz’ gekennzeichneten Spalte die Anzahl der Formen, deren dyadische Spur diesen Wert hat. Der Wert in der mit ’sum’ gekennzeichneten Spalte gibt die Anzahl aller gerader, binären Formen an, die dyadische Spur kleiner oder gleich dem Wert in der mit ω_{2} gekennzeichneten Spalte haben. Dies entspricht der Anzahl aller SL(n, ℤ)–Äquivalenzklassen gerader, binärer Formen, deren dyadische Spur kleiner als dier Wert ω_{2} ist.

Aus Tabelle 4.2 können Abschätzungen für die Dimension der Räume S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N)) abgelesen werden. Es werden die Anzahlen von GL(n, ℤ)–Äquivalenzklassen ganzer binärer Formen deren dyadishe Spur kleiner als eine vorgegebene Konstante c ist aufgeführt. (Die Aussagen in der vorliegenden Arbeit sind für galbganze Formen formuliert, so dass die dort angegebenen Konstanten mit 2 multipliziert werden müssen um sie mit den Konstante in der Tabelle vergleichen zu können.) Der Unterschied der hierbei für Spitzenformen vom geradem und ungeradem Gewicht gemacht wird beruht darauf, dass alle Fourierkoeffizienten a_{T} einer Spitzenform mit ungeradem Gewicht, die die Form

( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} )

haben, verschwinden. Es gilt:

a_{U^{t}T U} = det(U)^{k}a_{T} für alle U ∈ GL(n, ℤ),

siehe [24], Hilfssatz 3.4. Betrachten wir U = Diag(1, −1) , dann folgt a_{T} = 0. Falls eine Spitzenform gerades Gewicht hat, kann so nicht argumentiert werden.

In Tabelle 4.3 werden all diejenigen halbganzen ternären Formen mit ihrer Determinante und Spur aufgelistet, die dyadische Spur kleiner als 5 haben. Ist die Gram-Matrix einer solchen Form durch

( \begin{matrix}a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{matrix} )

gegeben, dann wird diese in der Tabelle durch den Eintrag 2a 2b 2c 2d 2e 2f aufgelistet. Zur Berechnung dieser Liste wurde die explizite Beschreibung von ternären Formen aus [58] benutzt.

In Tabelle 4.4 werden die Anzahlen von geraden ternären quadratischen Formen mit vorgegebener dyadischer Spur aufgelistet. Die Beschriftung der Tabelle ist analog zu Tabelle 4.1.

ω_{2} anz sum ω_{2} anz sum ω_{2} anz sum ω_{2} anz sum
3 2 2 4 1 3 5 2 5 6 3 8
7 4 12 8 4 16 9 6 22 10 6 28
11 8 36 12 9 45 13 10 55 14 11 66
15 14 80 16 14 94 17 16 110 18 18 128
19 20 148 20 21 169 21 24 193 22 25 218
23 28 246 24 30 276 25 32 308 26 34 342
27 38 380 28 39 419 29 42 461 30 45 506
31 48 554 32 50 604 33 54 658 34 56 714
35 60 774 36 63 837 37 66 903 38 69 972
39 74 1046 40 76 1122 41 80 1202 42 84 1286
43 88 1374 44 91 1465 45 96 1561 46 99 1660
47 104 1764 48 108 1872 49 112 1984 50 116 2100

Tabelle 4.1: Liste mit Anzahlen von geraden binären quadratischen Formen mit vorgegebener dyadischer Spur

\begin{matrix}c & 2|k & 2 |̸k & c & 2|k & 2 |̸k & c & 2|k & 2 |̸k & c & 2|k & 2 |̸k \\ 3 & 1 & 1 & 4 & 2 & 1 & 5 & 3 & 2 & 6 & 5 & 3 \\ 7 & 7 & 5 & 8 & 10 & 6 & 9 & 13 & 9 & 10 & 17 & 11 \\ 11 & 21 & 15 & 12 & 27 & 18 & 13 & 32 & 23 & 14 & 39 & 27 \\ 15 & 46 & 34 & 16 & 55 & 39 & 17 & 63 & 47 & 18 & 74 & 54 \\ 19 & 84 & 64 & 20 & 97 & 72 & 21 & 109 & 84 & 22 & 124 & 94 \\ 23 & 138 & 108 & 24 & 156 & 120 & 25 & 172 & 136 & 26 & 192 & 150 \\ 27 & 211 & 169 & 28 & 234 & 185 & 29 & 255 & 206 & 30 & 281 & 225 \\ 31 & 305 & 249 & 32 & 334 & 270 & 33 & 361 & 297 & 34 & 393 & 321 \\ 35 & 423 & 351 & 36 & 459 & 378 & 37 & 492 & 411 & 38 & 531 & 441 \\ 39 & 568 & 478 & 40 & 611 & 511 & 41 & 651 & 551 & 42 & 698 & 588 \\ 43 & 742 & 632 & 44 & 793 & 672 & 45 & 841 & 720 & 46 & 896 & 764 \\ 47 & 948 & 816 & 48 & 1008 & 864 & 49 & 1064 & 920 & 50 & 1128 & 972 \end{matrix}

Tabelle 4.2: Liste mit Abschätzungen von dim(S_{2}^{k}(Γ_{0}^{(n)}(N))) für ω_{2} < c

2 · Form  2 · dyadische Spur 8 · Determinante 2 · Spur
2 2 2 1 1 1  4  4  6
2 2 2 1 0 0  5  6  6
2 2 2 0 0 0  6  8  6
2 2 4 1 1 1  6  10  8
2 2 4 0 1 1  6  12  8
2 2 4 1 0 0  7  12  8
2 2 4 0 1 0  7  14  8
2 4 4 1 1 2  7  20  10
2 2 6 1 1 1  8  16  10
2 2 4 0 0 0  8  16  8
2 2 6 0 1 1  8  20  10
2 4 4 0 0 2  8  24  10
2 4 4 1 1 1  8  24  10
2 4 4 1 0 1  8  26  10
4 4 4 2 2 1  8  36  12
4 4 4 2 2 2  8  32  12
2 2 6 1 0 0  9  18  10
2 2 6 0 1 0  9  22  10
2 4 4 1 0 0  9  28  10
2 4 4 0 0 1  9  30  10
2 4 6 1 1 2  9  4  12
2 4 6 0 1 2  9  36  12
4 4 4 2 1 1  9  44  12
4 4 4 1 1 -1  9  50  12
2 2 8 1 1 1  10  22  12
2 2 6 0 0 0  10  24  10
2 2 8 0 1 1  10  28  12
2 4 4 0 0 0  10  32  10
2 4 6 1 1 1  10  38  12
2 4 6 0 0 2  10  40  12
2 4 6 1 0 1  10  40  12
2 4 6 0 1 1  10  42  12
4 4 4 2 0 0  10  48  12
2 6 6 1 1 3  10  48  14
4 4 4 1 1 1  10  54  12
4 4 4 1 1 0  10  56  12
4 4 6 2 2 2  10  56  14
4 4 6 2 2 1  10  60  14
4 4 6 0 2 2  10  64  14
4 4 6 1 2 2  10  66  14

Tabelle 4.3: Liste mit ternären, halbganzen, quadratischen Formen mit dyadischer Spur kleiner gleich 10 mit Wetrten für Spur und Determinante

ω_{3}  1  2  3  4  5
anz  0  0  0  1  1
sum  0  0  0  1  2
ω_{3}  6  7  8  9  10
anz  3  3  8  8  16
sum  5  8  16  24  40
ω_{3}  11  12  13  14  15
anz  17  32  33  55  60
sum 57  89  122  177  237
ω_{3}  16  17  18  19  20
anz  95  101  151  164  235
sum 332  433  584  748  983
ω_{3}  21  22  23  24  25
anz 256  351  383  516  560
sum 1239 1590 1973 2489 3049
ω_{3}  26  27  28  29  30
anz 730  799  1020 1111 1393
sum 3779 4578 5598 6709 8102
ω_{3} 31 32 33 34 35
anz 1517 1873 2037 2474 2689
sum 9619 11492 13529 16003 18692
ω_{3} 36 37 38 39 40
anz 3232 3502 4156 4504 5295
sum 21924 25426 29582 34086 39381
ω_{3} 41 42 43 44 45
anz 5721 6664 7189 8302 8937
sum 45102 51766 58955 67257 76194
ω_{3} 46 47 48 49 50
anz 10225 10979 12464 13332 14996
sum 86419 97398 109862 123194 138190
ω_{3} 51 52 53 54 55
anz 15989 17828 18913 20900 22057
sum 154179 172007 190920 211820 233877
ω_{3} 56 57 58 59 60
anz 24152 25335 27467 28616 30724
sum 258029 283364 310831 339447 370171
ω_{3} 61 62 63 64 65
anz 31746 33711 34530 36254 36751
sum 401917 435628 470158 506412 543163

Tabelle 4.4: Liste mit Anzahlen von geraden ternären quadratischen Formen mit vorgegebener dyadischer Spur 164

Literaturverzeichnis

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Index

GL(n, ℤ)–Klassenfunktion, 8 GL(n, ℤ)–Äquivalenz, 8 GL(n, 𝔒_{K})-Klassenfunktion, 141 Γ-zulässig, 154 Φ-Operator, 6, 17 SL(n, ℤ)–Klassenfunktion, 8 SL(n, ℤ)–Äquivalenz, 8 ℤ_{p}-Äquivalenz, 61

Bruhat-Zerlegung, 27

Charakter, 3, 15

Dyadische Darstellung, 8, 138 Dyadische Spur, 9, 141

Eigentlich diskontinuierlich, 1 Eulersche φ-Funktion, 52

Fourierentwicklung, 5, 16 Frickeinvolution, 20, 117 Fundamentalbereich, 2, 3, 14

Gaußsche Koeffizienten, 34 Geschlecht, 18, 19 Gewicht, Modulform, 4, 15

Halbebene, obere, 1 Halbraum, Hermitescher, 14 Halbraum, Siegelsche, 1 Hauptkongruenzuntergruppe, 2, 15 Hermite-Humbert Konstante, 135 Hermitesche Funktion, 91 Hermitesche Konstante, 8, 91

Kern, 88, 147 Kongruenzcharakter, 3 Kongruenzuntergruppe, 2, 15 Legendre-Symbol, 82

Modulform n-ten Grades, 4 Modulform, Hermitesche, 15 Modulgruppe, Hermitesche, 14 Modulgruppe, Siegelsche, 1 Modulgruppe, spezielle Hermitesche,

14 Multiplikatorsystem, 5

Pluriharmonisches Polynom, 18 Projektiv rational, 21

Radikal, 138

Rechnungen, gleichwertig, 92

Schranken, gleichwertig, 93

Spitze, 13

Spitzenform n-ten Grades, 7

Spitzenklasse, 0-dimensional, 12, 125 Stufe, 2, 15, 18 Sukzessiven Minima, 133 Symplektische Gruppe, 1

Teilerfremdes symmetrisches Paar, 60 Thetareihe, Siegelsche, 18 Thetareihe, verallgemeinerte , 19 Träger, 5, 6 Träger, potenzieller, 6 Typ-I-Funktion, 11 Typ-II-Funktion, 11

Umgebungen von i∞, 4 Unitäre Gruppe, 14

Weite einer Spitze, 57

Weite einer Spitzenklasse, 56, 78