Modulkurven und Codes

Überarbeitete und erweiterte Version meiner Diplomarbeit

angefertigt von Markus Klein nach einem Thema von Prof. Dr. R. Schulze-Pillot

am Fachbereich Mathematik der Universität des Saarlandes 2

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 5

1.1 Codierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Schranken von Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Asymptotische Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Affine und projektive Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Die Dimension von Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Kurven über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern … 14 1.2.6 Divisoren, Differenziale und Satz von Riemann-Roch . . . . . 14

1.3 Riemannsche Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Weierstraß-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Algebraisch-geometrische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Adjungierter Divisor, Basen von L(D) und Brill-Noether Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Modulkurven 21 2.1 Operation von Gruppen auf topologischen Räumen . . . . . . . . . . 21 2.2 Gebrochen-rationale Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Einige Untergruppen von SL(2, ℤ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Der topologische Raum Γ\\overline{ℍ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Die Riemannsche Fläche Γ\\overline{ℍ}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Modulformen für Modulgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7 Das Geschlecht der Modulkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.8 Elliptische Kurven und Modulräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Das Modulpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Die Modelle von M. Pfeifer 33

3.1 Konstruktion der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Quaternionenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Konstruktion von Basen von S_{k}(Γ_{0}(l)) . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Konstruktion von Modulfunktionen ohne endliche Nullstellen 36 3.1.4 Darstellung von Modulfunktionen ohne endliche Pole . . . . . 36 3.1.5 Relationen zwischen Modulfunktionen . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Reduzibilität der Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Reduktion einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Primärzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Die Modelle über dem Körper 𝔽_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 Die Modelle der Klassen größer oder gleich zwei über ℚ … 43 3.3.3 Einige Modelle von X_{0}^{+}(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Reduzibilität der neu gewonnen Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Absolute Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1 Hyperelliptischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.2 Projektiver Abschluss und Berechnung von rationalen

Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Beispiele für Codes 61 4.1 Zeta-Funktionen und rationale Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Codes, die über der asymptotischen Gilbert-Varshamov-Schranke

liegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Konstruktion einiger Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Literaturverzeichnis 76

Kapitel 1

Einführung

1.1 Codierungstheorie

Die Codierungstheorie beschäftigt sich mit dem Problem der Übermittlung von Nachrichten durch einen Rauschkanal, also einen Kanal, bei dem durch Übertragung von Nachrichten Fehler auftreten können. Die Erkennung und Korrektur solcher Fehler ist eines der Hauptprobleme der Theorie. Ihr Ursprung liegt in einem Satz von Shannon, der die Existenz von Codes garantiert, die Informationen durch einen Informationskanal mit einer Rate übertragen können, die nahe an der Übertragungskapazität des Kanals liegt. Das heißt zu gegebenem Kanal gibt es Codes, so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der Übertragung einer Nachricht beliebig klein ist.

Eine Nachricht besteht im Allgemeinen aus einer endlichen Folge von Symbolen über einem endlichen Alphabet, von dem wir annehmen, dass es ein endlicher Körper 𝔽_{q} ist. Da in einem Übertragungskanal Störungen auftreten, die übermittelte Nachricht also mit Fehlern behaftet sein kann und Fehler bei der Interpretation der Nachricht gemacht werden können, ist eines der Ziele der Theorie, diese Fehler möglichst unwahrscheinlich zu machen. Die Idee besteht darin, im Allgemeinen überflüssige Informationen zusammen mit der Nachricht zu übermitteln, das heißt, die Folge der Nachrichtensymbole systematisch zu vergrößern. Eine Teilmenge C des Vektorraums 𝔽_{q}^{n} nennen wir einen Code der Länge n. Ist H eine (n − k) × n-Matrix über 𝔽_{q} mit Rang n − k, dann heißt der Unterraum C aller Vektoren c ∈ 𝔽_{q}^{n} mit Hc^{T} = 0 linearer Code über 𝔽_{q}. Eine k × n Matrix G mit Rang k, die Gleichung GH^{t} = 0 erfüllt, nennen wir Erzeugermatrix von C. Die lineare Hülle der Zeilen von G erzeugt den Code C. Für die beiden Vektoren x, y aus 𝔽_{q}^{n} nennen wir die Anzahl der in x und y unterschiedlichen Koordinaten den Abstand d(x, y) von x und y und die Anzahl der von null verschiedenen Koordinaten in x bezeichnen wir mit dem Gewicht w(x) von x. Die Zahl d = min_{u,v∈C,u≠v} d(u, v)

nennen wir den minimalen Abstand des Codes C. Ist C ein linearer Code, so ist d = min_{0≠c∈C} w(c). Im linearen Fall bezeichnen wir k = log_{q}(#C) als die Dimension

von C. Wir sagen auch C ist ein linearer [n, k, d]-Code. Ist C nicht notwendig linear, so nennt man C auch einen (n, M, d)-Code. M bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente von C.

1.1.1 Schranken von Codes

Satz 1.1 (Singleton Schranke) Für einen (n, M, d)-Code C über 𝔽_{q} gilt: M ≤ q^{n−d+1}. Ist C insbesondere linear, so gilt: n ≥ k + d − 1.

Beweis: Sei C ein Code, der für gegebene Länge n und Abstand d die maximal mögliche Anzahl von Elementen M hat. Durch d − 1-maliges punktieren, also streichen des letzten Symbols jedes Codewortes erhält man einen (n − d + 1, M, 1)-Code. Dies ist ein Code, in dem jedes Codewort verschieden ist. Insbesondere muss gelten M ≤ q^{n−d+1}, woraus im linearen Fall n ≥ k + d − 1 wird.

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Satz 1.2 (Hamming Schranke) Sei C ein (n, M, d)-Code über 𝔽_{q} und t der ganzzahlige Anteil von \frac{d+1}{2}. Dann ist

M (1 + ( \begin{matrix}n \\ 1 \end{matrix} ) (q − 1) + ⋯ + ( \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ) (q − 1)^{t}) ≤ q^{n}.

Beweis: Es gibt ( \begin{matrix}n \\ m \end{matrix} ) (q − 1)^{m} Vektoren mit n Koordinaten über 𝔽_{q}, die das Gewicht m

haben. Die Kugeln mit Radius e und mit Mittelpunkt in einem Codewort sind alle paarweise disjunkt. Jede der M Kugeln enthält

1 + ( \begin{matrix}n \\ 1 \end{matrix} ) (q − 1) + ⋯ + ( \begin{matrix}n \\ t \end{matrix} ) (q − 1)^{t}

aller q^{n} Vektoren in 𝔽_{q}^{n}. Daraus folgt die Behauptung.

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Satz 1.3 (Plotkin Schranke) Für einen [n, k, d]-Code C über 𝔽_{q} gilt:

d ≤ \frac{nq^{k−1}(q−1)}{q^{k}−1}.

Beweis: Sei 1 ≤ i ≤ n, so dass C ein Codewort enthält, dessen i-te Komponente nicht null ist. Sei D_{i} der Unterraum, der aus allen Codewörtern besteht, deren i-te Stelle gleich null ist. In C/D_{i} gibt es q Elemente, die den q möglichen Werten der i-ten Komponente eines Codewortes entsprechen. Die Gleichung |C|/|D_{i}| = |C/D_{i}| liefert uns |D_{i}| = q^{k−1}. Addiert man nun die Gewichte aller Codewörter von C durch Summation über alle Komponenten, von denen es maximal n Stück gibt, so erhält man einen Wert, der kleiner gleich nq^{k−1}(q − 1) ist (Zu jedem D_{i} gibt es, ohne D_{i} selbst gezählt, q − 1 Nebenklassen. In C gibt es also (q − 1)q^{k−1} Vektoren deren i-te Komponente ungleich null ist.). Der minimale Abstand d des Codes ist das minimale Gewicht, das nicht gleich null ist, und da die Anzahl der Codewörter, die nicht gleich null sind, q^{k} − 1 ist, erhält man für d die obige Ungleichung, da das Minimum der Gewichte über alle Codewörter kleiner gleich dem Mittel der Gewichte über alle Codewörter sein muss.

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Lemma 1.1 Ein linearer Code C hat genau dann minimalen Abstand d ≥ s + 1, falls je s Spaltenvektoren in der Matrix H linear unabhängig sind.

Beweis: Seien s Spalten von H linear abhängig, dann gibt es ein Codewort c ∈ C, c ≠ 0, für das Hc^{T} = 0 und w(c) ≤ s gilt. Also ist d = min_{0≠c∈C} w(c) < s + 1. Umgekehrt, falls

je s Spalten von H linear unabhängig sind, kann es kein c ∈ C, c ≠ 0 geben, das ein Gewicht w(c) ≤ s hat und deshalb ist d ≥ s + 1.

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Satz 1.4 (Gilbert-Varshamov Schranke) Es gibt einen [n, k, d′]-Code über 𝔽_{q} mit minimalem Abstand d′ größer gleich d, falls

q^{n−k} > ∑_{i=0}^{d−2} ( \begin{matrix}n − 1 \\ i \end{matrix} ) (q − 1)^{i}.

Beweis: Wir konstruieren eine Paritätsprüfungsmatrix H für einen Code mit obiger Eigenschaft. Die Konstruktion wird so ausgeführt, dass H den Rang n−k hat und je d−1 Spalten von H linear unabhängig sind. Mit Lemma 1.1 folgt, dass der konstruierte Code minimalen Abstand größer gleich d hat.

Zur Konstruktion wählen wir zunächst die erste Spalte von H als einen beliebigen Vektor v_{1} ≠ 0 der Länge n − k über 𝔽_{q}. Als zweite Spalte wählen wir einen beliebigen Vektor v_{2} ≠ 0 der Länge n − k über 𝔽_{q}, der kein skalares Vielfaches von v_{1} ist. Allgemein nehmen wir nun an, wir haben bereits j − 1 Vektoren ausgesucht (j < n), so dass je d − 1 linear unabhängig sind. Dann können höchstens

∑_{i=0}^{d−2} ( \begin{matrix}j − 1 \\ i \end{matrix} ) (q − 1)^{i}

Vektoren durch lineare Kombinationen von d−2 oder weniger dieser j−1 Spaltenvektoren gebildet werden. Solange j < n gilt, können wir einen weiteren Spaltenvektor von H so auswählen (hier eine j-te Spalte), dass er keine durch Linearkombination von d − 2 oder weniger der j − 1 schon ausgewählten Spaltenvektoren ist. Insbesondere sind dann je d − 1 Spaltenvektoren linear unabhängig. Die Konstruktion kann so ausgeführt werden, dass H den Rang n − k hat (Wähle zum Beispiel die ersten n-k Vektoren linear unabhängig.).

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1.1.2 Asymptotische Schranken

Im Satz von Shannon wird deutlich, dass gute Codes, also solche, bei denen das Auftreten von Fehlern bei der Übertragung unwahrscheinlich ist, auch lange Codes sind. Deshalb ist das asymptotische Verhalten von Codes von besonderem Interesse. Sei nun q, die Anzahl der Elemente des Alphabets, fest vorgegeben. Jedem Code über dem Alphabet ordnen wir ein Paar (δ(C) = \frac{d}{n}, R(C) = \frac{k}{n}) aus [0, 1]^{2} zu. Betrachtet man nun Folgen {C_{i}}_{i∈I} von Codes, deren Länge für i → ∞ gegen Unendlich strebt, so definieren wir, falls die Grenzwerte existieren,

(δ, R) := lim_{i→∞} (δ(C), R(C)) ⊂ [0, 1]^{2}

und nennen die Familie von Codes gut, falls δ und R größer als null sind. Bezeichnen wir mit U_{q} die Menge aller Punkte P aus [0, 1]^{2}, für die es eine Folge von Codes gibt, so dass für diese Folge (δ, R) gleich P ist, dann ergibt sich folgenden Satz:

Satz 1.5 Es gibt eine stetige Funktion

α_{q} : [0, 1] → [0, 1] mit
U_{q} = {(δ, R) ∈ [0, 1]^{2}|R ≤ α_{q}(δ)}.

Weiter gilt:

• α_{q}(0) = 1 • α_{q}(δ) = 0 für \frac{q−1}{q} ≤ δ ≤ 1

• α_{q} ist streng monoton fallend im Intervall [0, \frac{q−1}{q}]

Beweis: Siehe [TV, Part I, Chapter 3, Paragraph 1, Theorem 1.3.1, p. 68 ff].

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Bemerkung 1.1

Obige Konstruktionen können für lineare, sowie für nicht notwendig lineare Codes durchgeführt werden. Man weiß nicht, ob beide Konstruktionen dieselbe stetige Funktion liefern.

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Die oben angegebenen Schranken für Codes liefern uns nun folgende Abschätzungen für α_{q}: Als obere Schranken:

• asymptotische Singleton Schranke:

α_{q}(δ) ≤ 1 − δ

• asymptotische Plotkin Schranke:

α_{q}(δ) ≤ 1 − \frac{q−1}{q}δ

• asymptotische Kugelpackungsschranke:

α_{q}(δ) ≤ 1 − H_{q}(\frac{δ}{2})

Als untere Schranke:

• asymptotische Gilbet-Varschamov Schranke:

α_{q}(δ) ≥ 1 − H_{q}(δ)

Mit H_{q} bezeichnen wir hier die Entropiefunktion, die gegeben ist durch:

H_{q}(x) = xlog_{q}(q − 1) − xlog_{q}(x) − (1 − x)log_{q}(1 − x)

Bemerkung 1.2

Es gibt bessere obere Schranken. Siehe hierzu zum Beispiel [TV, Part I, Chapter 3]. In Paragraph 4.2 wird noch ein Satz angegeben, der die asymptotische Gilbert-Varschamov Schranke für q ≥ 49 verbessert.

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1.2 Algebraische Geometrie

1.2.1 Affine und projektive Räume

Sei im Weiteren k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Mit 𝔸^{n}(k) oder einfach 𝔸^{n} bezeichnen wir den n-dimensionalen affinen Raum über k. Die Elemente P ∈ 𝔸^{n}(k) nennen wir Punkte. Sie sind n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}), deren i-ten Eintrag wir i-te Koordinate nennen. Der affine Raum ist mit einer Topologie ausgestattet, der sogenannten Zariski-Topologie, deren abgeschlossene Mengen aus den Nullstellenmengen V (I) von Idealen I aus k[x_{1}, …, x_{n}] bestehen,

V (I) = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝔸^{n}|f(x_{1}, …, x_{n}) = 0 für alle f ∈ I}.

Diese nennen wir algebraische Mengen. Hat man umgekehrt eine algebraische Menge V ⊂ 𝔸^{n}, so ist die Menge

I(V) = {f ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]|f(P) = 0 für alle P ∈ V }

ein Ideal in k[x_{0}, …, x_{n}], das wir das Ideal von V nennen. Dieses Ideal ist endlich erzeugt, da k[x_{0}, …, x_{n}] ein noetherscher Ring ist. Das Radikal \sqrt{I} eines Ideals I ist definiert als

\sqrt{I} = \{f ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]|f^{r} ∈ I für ein r ∈ ℕ − \{0\}\}.

Diejenigen Ideale, die mit ihrem eigenen Radikal übereinstimmen, heißen Radikalideale.

Satz 1.6 (Korrespondenz von Idealen und algebraischen Mengen) Die beiden oben beschriebenen Abbildung I und V zwischen der Menge der algebraischen Mengen von 𝔸^{n} und der Menge der Radikalideale von k[x_{1}, …, x_{n}] sind bijektiv und invers zueinander.

Beweis: Siehe [CLS, Chapter 4, Paragraph 2, Theorem 7, p. 175] oder [Ha, Chapter 1, Paragraph 1, Corollary 1.4, p. 4]

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Eine algebraische Menge V nennen wir reduzibel, wenn wir sie als Vereinigung zweier unterschiedlicher algebraischer Mengen V = V_{1} ∪ V_{2} schreiben können, die beide nicht gleich V sind. Sonst nennen wir sie irreduzibel und bezeichnen sie auch als Varietät. Auf der algebraischen Seite entsprechen Varietäten Primidealen. Man hat folgenden Satz:

Satz 1.7 Die Abbildungen I und V aus Satz 1.6 induzieren eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Primideale von k[x_{1}, …, x_{n}] und der Menge der irreduziblen algebraischen Mengen von 𝔸^{n}.

Beweis: Siehe [CLS, Chapter 4, Paragraph 5, Corollary 4, p. 196]

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Desweiteren gilt:

Satz 1.8 Die Abbildungen I und V aus Satz 1.6 induzieren eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der maximalen Ideale von k[x_{1}, …, x_{n}] und der Menge der Punkte von 𝔸^{n}.

Beweis: Siehe [CLS, Chapter 4, Paragraph 5, Corollary 12, p. 199]

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Für ein Ideal I aus k[x_{1}, …, x_{n}] korrespondieren also die Punkte von V (I) mit denjenigen maximalen Idealen, die I enthalten. Da k[x_{1}, …, x_{n}] noethersch ist existiert zu jeder algebraischen Menge V eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Zerlegung V_{1} ∪ … ∪ V_{s} von V in Varietäten, so dass V_{i} nicht in V_{j} enthalten ist, falls i ≠ j. Die V_{i} nennen wir die irreduziblen Komponenten von V. Siehe hierzu zum Beispiel [Ha, Chapter 1, Paragraph 1, Proposition 1.5 und Corollary 1.6, p. 5] oder [CLS, Chapter 4, Paragraph 6, Theorem 4, p. 203 und Theorem 5, p. 204]. Ist V eine Varietät, dann ist der Ring k[x_{1}, …, x_{n}]/I(V) ein Integritätsring, den wir als Koordinatenring A[V] von V bezeichnen. Dessen Quotientenkörper k(V) = Quot(A[V]) nennen wir Funktionenkörper von V.

Mit ℙ^{n}(k) oder kurz ℙ^{n} bezeichnen wir den n-dimensionalen projektiven Raum. Seine Punkte sind Äquivalenzklassen von (n+1)-Tupeln (a_{0}, …, a_{n}), die mindestens einen Eintrag a_{i} haben, der ungleich 0 ist. Dabei gilt: (x_{0}, …, x_{n}) ∼ (y_{0}, …, y_{n}) falls es eine Zahl λ ∈ k − {0} mit (x_{0}, …, x_{n}) = (λy_{0}, …, λy_{n}) gibt. Beachte dabei, dass es wohldefiniert ist, ob ein Eintrag gleich oder ungleich 0 ist. Die einzelnen Einträge des (n+1)-Tupels nennen wir homogene Koordinaten. Um nun auf dem projektiven Raum ℙ^{n} eine Topologie zu definieren, müssen wir homogene Ideale betrachten, das heißt Ideale, deren Erzeuger homogene Polynome sind, denn die Nullstellenmengen dieser Ideale sind auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert. Für die Topologie nehmen wir als abgeschlossene Mengen die Nullstellenmengen von homogenen Idealen und nennen diese wieder algebraische Mengen. Die irreduziblen Mengen werden wiederum als Varietäten bezeichnet. Insbesondere nennen wir den Schnitt einer projektiven Varietät mit einer offenen Menge eine quasi-projektive Varietät. Wie im affinen Fall erhalten wir wieder eine bijektive Abbildung I zwischen der Menge der algebraischen Mengen von ℙ^{n} und der Menge der homogenen Radikalideale von k[x_{0}, …, x_{n}], jedoch ohne das Ideal (x_{0}, …, x_{n}). Die Umkehrabbildung von I bezeichnen wir wie im Affinen mit V. Dabei werden abermals irreduzible algebraische Mengen auf homogene Primideale (ohne das Ideal (x_{0}, …, x_{n})) abgebildet und umgekehrt. Siehe hierzu [CLS, Chapter 8, Paragraph 3, Theorem 10]. Betrachten wir nun die offenen Mengen U_{i} := ℙ^{n} − V ((x_{i})) mit i ∈ {0, …, n}. Sei P = (a_{0}, …, a_{n}) ein Punkt aus ℙ^{n}. Da mindestens eine Koordinate von P, zum Beispiel a_{i}, ungleich 0 sein muss, ist P für diesen Index i aus U_{i}. Die U_{i}, i ∈ {1, …, n} bilden also eine endliche Überdeckung von ℙ^{n}. Durch die Abbildungen

ϕ_{i} : U_{i} → 𝔸^{n}, ϕ_{i}((a_{0}, …, a_{n})) := (\frac{a_{0}}{a_{i}} , …, \frac{a_{i−1}}{a_{i}} , \frac{a_{i+1}}{a_{i}} , …, \frac{a_{n}}{a_{i}})

wird ein Homöomorphismus von U_{i} auf 𝔸^{n} definiert. Die Umkehrabbildung wird durch (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (x_{1}, …, x_{i}, 1, x_{i+1}, …, x_{n}) gegeben. Jeder projektive Raum kann also durch endlich viele affine Räume überdeckt werden. Insbesondere können wir jede projektive Varietät V durch affine Varietäten V_{i} = U_{i} ∩ V überdecken. Die Ideale I(V_{i}) erhält man, indem man im homogenen Ideal I(V) = (f_{j}(x_{0}, …, x_{n}), j ∈ {1, …, s}) die i-te Koordinate x_{i} durch 1 ersetzt. Demzufolge ist I(V_{i}) gleich (f_{j}(x_{0}, …, x_{i−1}, 1, x_{i+1}, …, x_{n})|f_{j} ∈ V j ∈ {1, …, s}). Umgekehrt erhält man aus dem zu einer affinen Varietät V gehörenden Ideal I den projektiven Abschluss \overline{V}, die kleinste algebraische Menge, die V enthält, indem man < \{x_{0}^{deg(f)}f(\frac{x_{1}}{x_{0}} , …, \frac{x_{n}}{x_{0}} )|f ∈ I\} >, das Erzeugnis der homogenisierten Elemente von I, bildet. Dieses homogene Ideal kann man berechnen, indem man eine Gröbner Basis eines Erzeugendensystems von I bezüglich einer graduierten Ordnung berechnet und dessen Erzeuger homogenisiert. Eine graduierte Ordnung ist dabei eine Ordnung, bei der die Monome zuerst nach dem Totalgrad geordnet werden. Man hat folgende Proposition.

Proposition 1.1 Sei V eine n-dimensionale affine Varietät und \overline{V} ihr projektiver Abschluss in ℙ^{n}, dann gilt:

i ) \overline{V} ∩ U_{0} = V.

ii) Ist V irreduzibel, so auch \overline{V}.

Beweis: Siehe [CLS, Chapter 8,Paragraph 4, Proposition 7, p. 381].

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Die oben beschriebene kleinste algebraische Menge \overline{V}, die V enthält, ist also eine projektive Varietät.

1.2.2 Morphismen

Seien X ⊂ 𝔸^{n} und Y ⊂ 𝔸^{m} affine Varietäten. Wir nennen die Abbildung ϕ : X → Y einen Morphismus von X nach Y, falls es Polynome f_{1}, …, f_{s} aus k[x_{1}, …, x_{n}] gibt, so dass ϕ(P) = (f_{1}(P), …, f_{s}(P)) für alle P ∈ X. Morphismen sind stetig in der Zariski-Topologie. Sie induzieren k-Algebrahomomorphismen von A[Y] nach A[X]. So erhält man zum Beispiel von obigem Morphismus ϕ den Homomorphismus ϕ^{∗} : A[Y] → A[X], der das Polynom g(y_{1}, …, y_{m}) in die Nebenklasse von g(f_{1}, …, f_{m}) abbildet. Umgekehrt liefert jeder k-Algebrahomomorphismus λ : A[Y] → A[X] einen Morphismus ϕ : X → Y. Sind y_{1}, …, y_{m} die Erzeuger von A[Y], und f_{1}, …, f_{m}) deren Bilder im Koordinatenring von X. Seine f1^{′}, …, fm^{′} Repräsentanten der f_{1}, …, f_{m} und ist P ein Punkt von X. Dann liegen f′_{1}(P), …, f′_{m}(P) in Y und ϕ = (f′_{1}, … f′_{m}) liefert einen Morphismus von X nach Y. Es gilt dabei ϕ^{∗} = λ. Einen Morphismus ϕ : X → Y nennen wir einen Isomorphismus, falls ein Morphismus ψ : Y → X existiert, so dass ϕ ∘ ψ die Identität auf Y und ψ ∘ ϕ die Identität auf X ist. Es gilt dann offenbar:

Satz 1.9 Die Varietäten X und Y sind genau dann isomorph, wenn A[X] und A[Y] isomorphe k-Algebren sind.

Beweis: Siehe [LG, Part II, Chapter I, Proposition 1.1, p. 37] oder [Ha, Chapter I, Paragraph 3, Corrollary 3.7 oder 3.8].

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Sei nun P ein Punkt einer affinen (beziehungsweise projektiven) Varietät X. Wir nennen eine stetige Funktion ϕ : X → 𝔸^{1} regulär bei P, wenn es eine offene Umgebung U von P und Polynome f und g aus k[x_{1}, …, x_{n}] (beziehungsweise homogene Polynome f und g aus k[x_{0}, …, x_{n}] vom gleichen Grad) gibt, so dass g(P) ≠ 0 in U und ϕ = \frac{f}{g} in U ist. Die Abbildung ϕ heißt regulär auf V ⊂ X, wenn sie regulär in jedem Punkt von U ist. Die regulären Funktionen auf U bilden einen Ring, den wir mit O_{X}(U) oder einfach O(U) bezeichnen. Seien U eine offene Umgebung von P und f eine reguläre Funktion auf U, Die Äquivalenzklassen von Paaren (U, f), unter der Äquivalenzrelation

(U, f) ∼ (V, g) ⇔ f und g stimmen auf U ∩ V überein,

bilden einen Ring O_{p}, den wir den lokalen Ring von P nennen. Dies ist ein lokaler Ring im algebraischen Sinn. Er enthält also genau ein maximales Ideal 𝔪_{p}. Den Restklassenkörper k(P) = O_{P} /𝔪_{P} nennen wir den Restklassenkörper von P. Der lokale Ring O_{P} ist isomorph zu A[X]_{𝔪_{p}}, die Lokalisierung von A[X] bei 𝔪_{p}.

Betrachten wir nun für eine quasi-projektive Varietät X die Paare (U, f) nichtleerer, offener Teilmengen von X und regulärer Funktionen auf U. Die Äquivalenzklassen solcher Paare unter der Äquivalenzrelation

(U, f) ∼ (V, g) ⇔ f und g stimmen auf U ∩ V überein

bilden einen Körper, den Funktionenkörper k(X) von X. Die Äquivalenzklassen nennen wir rationale Funktionen. Ist X affin, so stimmt k(X) mit dem Quotientenkörper von A[X] überein. Seien nun X und Y (quasi-)projektive Varietäten. Eine stetige Abbildung ϕ : X → Y heißt Morphismus, falls für alle offenen Teilmengen U von Y und reguläre Funktionen g ∈ O(U) die Hintereinanderausführung ϕ ∘ g : ϕ^{−1}(U) → 𝔸^{1} regulär ist. Dieser Begriff stimmt im affinen Fall mit dem oben definierten überein. Wir betrachten wieder Paare (U, f), wobei U eine nichtleere offene Menge von X und f : U → Y ein Morphismus ist. Eine Äquivalenzklasse der Äquivalenzrelation

(U, f) ∼ (V, g) ⇔ f und g stimmen auf U ∩ V überein

heißt rationale Abbildung von X nach Y. Wir nennen eine rationale Abbildung ϕ dominant, wenn das Bild ϕ(X) von X unter ϕ dicht in Y ist. Dabei ist ϕ(X) die Menge der Punkte P ∈ Y so dass es ein Paar (U, f) einer nichtleerern offenen Menge U ⊂ X und eines Morphismus f : U → Y gibt, so dass P das Bild eines Punktes P′ aus U unter f ist. In diesem Fall induziert die rationale Abbildung ϕ einen k-Alge-brahomomorphismus ϕ^{∗} : k(X) → k(Y) zwischen den Funktionenkörpern von k(X) und k(Y). Umgekehrt kann aus jedem k-Algebrahomomorphismus ϕ : k(Y) → k(X) eine dominante rationale Abbildung von X nach Y konstruiert werden. Man wählt dazu eine offene Umgebung U von Y . Die Bilder der Erzeuger von A[U] sind dann regulär für eine offene Menge V von X. Damit erhält man einen k-Algebrahomo-morphismus von A[U] nach A[X], also einen Morphismus von X nach Y. Zwei Varietäten heißen birational äquivalent, wenn es rationale Abbildungen ϕ : X → Y und ψ : Y → X gibt, so dass ϕ ∘ ψ die Identität auf einer offenen Menge von Y und ψ ∘ ϕ die Identität auf einer offenen Menge von X ist. Es gilt also:

Satz 1.10 Zwei Varietäten X und Y sind genau dann birational äquivalent, wenn ihre Funktionenkörper k(X) und k(Y) als k-Algebren isomorph sind.

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1.2.3 Die Dimension von Varietäten

Sei X eine affine Varietät. Dann wird die natürliche Zahl n = dim(X) die Dimension von X genannt, wenn die drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind.

i) (topologisch) n ist das Supremum der Länge von Ketten X_{0} ⊊ … ⊊ X_{n} ⊊ X irreduzibler abgeschlossener Mengen von X.

ii) (algebraisch) n ist das Supremum der Länge von Ketten 𝔭_{0} ⊊ … ⊊ 𝔭_{n} = I(X) von Primidealen in A[X].

iii) n ist der Transzendenzgrad des Funktionenkörpers K(X) von X über K. (Siehe hierzu [Ha, p. 5f]).

Die Dimension des projektiven Abschlusses von X stimmt mit der von X überein. Sie ist eine birationale Invariante. Insbesondere sind die Dimensionen von 𝔸^{n} und ℙ^{n} gleich n. Varietäten der Dimension 1 nennen wir Kurven. Die Funktionenkörper von Kurven haben also Transzendenzgrad 1. Umgekehrt gehört zu jedem algebraischen Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 eine Kurve. Hierzu mehr im nächsten Abschnitt.

1.2.4 Kurven

Sei P ein Punkt auf einer Kurve X und U eine offene affine Teilmenge von X, die P enthält. Seien ferner f_{1}, …, f_{m} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] die Erzeuger von I(U). Wir nennen dann P nicht singulär oder regulär, wenn die nachstehenden drei äquivalenten Bedingungen erfüllt sind.

i) Die Matrix (\frac{∂f_{i}}{∂x_{j}})_{i∈\{1,...,m\};j∈\{1,...,n\}} hat den Rang n − 1.

ii) Der lokale Ring O_{P} ist ein diskreter Bewertungsring.

iii) Der k(P)-Modul 𝔪_{P} /𝔪_{P}^{2} hat Dimension 1.

Sonst nennen wir P einen singulären Punkt. Sind alle Punkte von X nicht-singulär, so nennen wir X nicht-singulär. Hat X einen singulären Punkt, so nennen wir X singulär. Da die Menge der singulären Punkte einer Varietät eine echte, abgeschlossene Teilmenge dieser Varietät ist, kann es auf jeder Kurve nur endlich viele singuläre Punkte geben (Siehe [Ha, Chapter I, Paragraph 5, Theorem 5.3].). Falls P ein nicht singulärer Punkt ist, so können wir, da O_{P} ein Bewertungsring ist, alle Elemente f von O_{P} in der Form f = t^{n}m_{p} darstellen. Dabei ist t ein geeignetes Element aus O_{P}, n eine natürliche Zahl und m_{P} ein Erzeuger des maximalen Ideals 𝔪_{P} in O_{P}. Die Zahl n ist unabhängig von der Wahl des Erzeugers und ist eindeutig bestimmt. Sie wird auch mit ν_{P} (f) bezeichnet (ν_{P} ist dann die Bewertung des Bewertungsrings O_{P}). Wir nennen t einen lokalen Parameter bei P. Betrachten wir den Fall einer ebenen Kurve X, die durch ein Polynom f aus k[X, Y] gegeben ist. Sei P ein Punkt von X und T = aX + bY + c eine Gerade durch den Punkt P. Dann ist für jede solche Gerade, die keine Tangente von X im Punkt P ist, t = aX + bY + c ∈ k[X, Y]/(f) ein lokaler Parameter bei P. Vergleiche hierzu auch [Fu, Chapter 3.2, Theorem 1, p 70f]. Zwischen den Punkten einer nicht-singulären projektiven Kurve und den lokalen Ringen des zugehörigen algebraischen Funktionenkörpers vom Transzendenzgrad eins gibt es also eine bijektive Abbildung.

Sei nun P ein nicht-singulärer Punkt und t_{P} ein lokaler Parameter bei P. Es gibt eine eindeutig bestimmte Einbettung ξ_{P} von O_{P} in den Ring der Potenzreihen k[[T_{p}]] über k, so dass für eine im Punkt P reguläre Funktion f und eine natürliche

Zahl n die Differenz f − ∑_{i=1}^{n} α_{i}t_{p}^{i} in 𝔪_{P}^{n+1} liegt, wobei ξ_{P} (f) gleich ∑_{i=1}^{n} α_{i}T_{p}^{i} ist ([Sha,

Chapter II, 2, p.84ff]). Jede rationale Funktion kann also in jedem nicht-singulären Punkt eindeutig in einer Laurent-Reihe entwickelt werden.

Im Hinblick darauf und auf Satz 1.10 wollen wir einen algebraischen Funktionenkörper vom Transzendenzgrad eins auch als abstrakte Kurve oder einfach als Kurve bezeichnen. Durch die algebraischen Funktionenkörper vom Transzendenzgrad eins werden die birationalen Äquivalenzklassen von Kurven klassifiziert. Einen Repräsentanten dieser Klasse, sei er nun durch eine Varietät oder sein erzeugendes Ideal gegeben, nennen wir Modell der Kurve. Insbesondere gibt es zu jeder abstrakten Kurve ein nicht-singuläres projektives Modell, (Siehe hierzu auch [Ha] I,6, Corollary 6.11.). Das dieses Modell definierende Ideal ist nicht eideutig bestimmt ist und hängt von der Einbettung in den projektiven Raum ab.

Bemerkung 1.3

Genauer gilt: Die Kategorie der Funktionenkörper vom Transzendenzgrad eins über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k mit k-Homomorphismen ist äquivalent zur Kategorie der nicht-singulären projektiven Kurven mit nicht konstanten Morphismen.

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1.2.5 Kurven über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern

Sei k ein nicht algebraisch abgeschlossener, perfekter Körper. Wir interessieren uns hier für den Fall eines endlichen Körpers 𝔽_{q}, wobei q die Potenz einer Primzahl p sei. Sei ferner \overline{k} der algebraische Abschluss von k und G = Gal(\overline{k}/k) die Galois-Gruppe von \overline{k} über k. Diese operiert auf 𝔸^{n}(\overline{k}) vermöge der Abbildung

𝔸^{n}(\overline{k}) ∋ P = (x_{1}, …, x_{n}) ↦ σP = (σx_{1}, …, σx_{n}) mit σ ∈ Gal(\overline{k}/k) und x_{i} ∈ \overline{k}.

Da die Galoisgruppe trivial auf k operiert gilt: σP = P für alle P ∈ 𝔸^{n}(k) und σ ∈ G. Für Polynome aus k[x_{1}, …, x_{n}] und P ∈ 𝔸^{n}(\overline{k}) gilt f(σP) = σf(P), da σ auf den Koeffizienten von f trivial operiert.

Wir sagen die Kurve X ⊂ 𝔸^{n}(\overline{k}) (beziehungsweise X ⊂ ℙ^{n}(\overline{k})) sei über k definiert, wenn das Ideal I(X) durch Polynome f_{1}, …, f_{m} aus k[x_{1}, …, x_{n}] (beziehungsweise durch homogene Polynome f_{1}, …, f_{m} aus k[x_{0}, …, x_{n}]) erzeugt werden kann. In diesem Fall nennen wir X(k) = X ∩𝔸^{n}(k) = {P ∈ X| die Koordinaten von P sind aus k} (beziehungsweise X(k) = X ∩ ℙ^{n}(k) = {P ∈ X| Es gibt homogenen Koordinaten von P, die aus k sind }) die Menge der k-rationalen Punkte von X.

Sei nun X ⊆ 𝔸^{n} über k definiert. Dann definieren wir I(X/k) = I(X) ∩ k[x_{1}, …, x_{n}], k[X] = k[x_{1}, …, x_{n}]/I(X/k) und k(X) = Quot(k[X]) ⊆ \overline{k}(X). Analog gehen wir im projektiven Fall vor. Der Ring k[X] (beziehungsweise k(X)) ist der unter der Operation von G invariante Unterring von \overline{k}[X] (beziehungsweise \overline{k}(X)).

Sei X nun eine nicht-singuläre Kurve. Dies können wir annehmen, da wir uns ein nicht-singuläres Modell von \overline{k}(X) wählen können. Dann ist für einen Punkt P aus X (P hat also nicht notwendig Koordinaten in k) O_{P} (k) = {f ∈ k(X)| f ist regulär in P \} = O_{P} (\overline{k}) ∩ k(X) ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal M_{P} (k) = \{f ∈ O_{P} (k)|f(P) = 0\} = M_{P} (\overline{k}) ∩ k(X). Der Restklassenkörper k(P) = O_{P} (k)/M_{P} (k) ist eine endliche algebraische Erweiterung von k. Sei der Grad dieser Erweiterung d und seien P = σ_{1}(P), σ_{2}(P), …, σ_{d}(P) die Konjugierten von P unter Gal(k(P)/k) in \overline{k}. Dies sind dann d Punkte vom Grad Eins über k′. Die Gesamtheit P′ dieser Punkte über k′ nennen wir einen abgeschlossenen Punkt vom Grad d. Da wir X auch als algebraischen Funktionenkörper vom Transzendenzgrad eins auffassen können, für den die Bewertungsringe in Bijektion mit den abgeschlossenen Punkten der Kurve X stehen, können wir O_{P′}(k) oder die zugehörige Bewertung auch als abgeschlossenen Punkt bezeichnen. Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper k haben alle abgeschlossenen Punkte einer Kurve über k den Grad Eins. Im anderen Fall entspricht der abgeschlossene Punkt P aus \overline{k} den Konjugierten unter Gal(\overline{k}/k). Dies sind deg(P) Punkte (Diese haben in X(\overline{k}) Grad eins).

1.2.6 Divisoren, Differenziale und Satz von Riemann-Roch

Sei X eine glatte projektive Kurve über k. Die Elemente der freien abelschen Gruppe Div_{k}(X), formale endliche Summen von Punkten von X, die die Form D = ∑_{P ∈X(k)} n_{P} P mit n_{P} ∈ ℤ haben, nennen wir Divisoren von X. Die Menge

Supp(D) = {P ∈ X|n_{P} ≠ 0} ist endlich und heißt Träger von D. Ist k′ ⊂ k und X über k′ definiert, so nennen wir einen Divisor k′-rational, wenn er das Bild eines Divisors von Div_{k′}(X) unter der natürlichen Einbettung Div_{k′}(X) → Div_{k}(X) ist. Wir nennen einen Divisor effektiv, falls alle seine Koeffizienten n_{P} größer gleich null sind. Der Grad eines Divisors ist definiert durch deg(D) = ∑_{p∈X} n_{P} deg(P). Sei f eine ratio-

nale Funktion auf X, dann definiert (f) = ∑_{P ∈X} ν_{P} (f)P einen Divisor, den wir den

Divisor von f nennen. Es gilt deg((f)) = 0. Die Menge {(f)|f ∈ k(X)^{∗}} bildet eine Untergruppe von Div(X), deren Quotientengruppe P ic(X) = Div(X)/{(f)|f ∈ k(X)^{∗}} wir mit Picardgruppe oder Divisorenklassengruppe bezeichnen. Ihre Elemente sind Klassen von Divisoren unter der Äquivalenzrelation

D ∼ D′ ⇔ D − D′ = (f) für ein f ∈ k(X)^{∗}.

Man nennt diese Äquivalenzrelation lineare Äquivalenz. Jedem Divisor D ordnen wir einen endlichdimensionalen k-Vektorraum zu, L(D) = {f ∈ k(X)^{∗}|(f) + D ist effektiv } ∪ {0}. Die Dimension l(D) des Vektorraumes L(D) können wir mit Hilfe des Satzes von Riemann-Roch berechnen, auf den wir später noch zurückkommen werden.

Betrachten wir nun wieder eine Varietät. Jeder affinen Varietät V läßt sich in eindeutiger Weise ein k[V]-Modul Ω[V] und eine Abbildung d : k[V] → Ω[V] zuordnen, so dass gilt:

i) Ω(V) wird von allen d(f) erzeugt, f ∈ k[V]

ii) d(f + g) = d(f) + d(g) für f, g ∈ k[V]

iii) d(fg) = fd(g) + gd(f)

iv) d(a) = 0 für alle a ∈ k

Die Elemente von Ω[V] nennen wir reguläre Differenzialformen und schreiben anstatt d(f) auch kürzer df. Eine regulaere Differentialform ω kann auch als Abbildung ω : X → ⋃_{P ∈X} 𝔪_{P} /𝔪_{P}^{2} aufgefasst werden, die in einer geeigneten Umgebung von P

durch Q ↦ (f − f(Q)) mod 𝔪_{Q}^{2} für ein in der Umgebung regunläres f ∈ k[X] gegeben ist. Siehe hierzu auch [Sha, Paragraph 4, p. 156ff]. Für projektive Varietäten V betrachten wir eine offene, affine Überdeckung {U_{i}} von V und nennen die Äquivalenzklassen von Paaren (U_{i}, ω_{i}) ,ω_{i} sei eine reguläre Differenzialform auf U_{i}, unter der Äquivalenzrelation

(U_{i}, ω_{i}) ∼ (U_{j}, ω_{j}) ⇔ auf U_{i} ∩ U_{j} gilt: ω_{i} = ω_{j}.

eine reguläre Differenzialform und schreiben für die Menge der Äquivalenzklassen ebenfalls Ω[X]. Ist nun V wieder eine Kurve, so können wir analog zur Definition der rationalen Funktionen die rationalen Differenzialformen definieren. Dies sind die Äquivalenzklassen von Paaren (U, ω) einer nichtleeren, offenen, affinen Teilmengen von X, und einer regulären Differenzialform ω auf U unter der Äquivalenzrelation

(U, ω) ∼ (V, η) ⇔ ω und η sind auf U ∩ V gleich.

Für affine Varietäten ist der k(X)-Modul der rationalen Differenzialformen gleich k(X)Ω[X]. Er wird erzeugt durch die Elemente d(\frac{g}{h}) mit \frac{g}{h} ∈ k(X) und es gilt d(\frac{g}{h}) = \frac{hdg−gdh}{h^{2}}. Sei nun ω eine geeignete Differenzialform auf X. Auf einer geeigneten Umgebung von P ist Ω[U] ein freier A[U]-Modul mit Erzeuger dt, wobei t ein lokaler Parameter von O_{P} ist. Wir können ω in einer geeigneten Umgebung des Punktes P als ω = f_{P} dt_{P} interpretieren, wobei f_{P} eine rationale Funktion und t_{P} ein lokaler Parameter bei P ist. Wir definieren nun den Divisor von ω als (ω) = ∑_{P ∈X} ν_{P} (f_{P})P. Die Divisoren der rationalen Differenzialformen von X liegen

alle in einer linearen Äquivalenzklasse. Diese nennen wir die kanonische Divisorenklasse. Ihre Elemente nennen wir kanonische Divisoren und bezeichnen sie meist mit κ. Die Dimension des k-Vektorraumes L(κ) ist unabhängig von der Wahl von κ und wird als Geschlecht g = dim_{k}(L(κ)) von X bezeichnet. Es ist eine birationale Invariante. Falls k′/k eine separable Körpererweiterung ist, wie dies für die endlichen Körper der Fall ist, so ist das Geschlecht X über k′ gleich dem Geschlecht von X über k. Der Satz von Riemann-Roch besagt nun:

Satz 1.11 Für eine nicht singuläre, projektive Kurve X vom Geschlecht g gilt: l(D) = deg(D)+ 1 − g + l(κ − D). Dabei ist κ ein kanonischer Divisor von X.

Beweis: Siehe [St, Chapter I, Paragraph 5, Theorem I.5.15 , p. 28] oder [Ha, Chapter IV, Papagraph 1, Theorem 1.3].

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Dabei gilt insbesondere:

Lemma 1.2 Ist der Grad des Divisors D größer als 2g − 2, so hat der Raum L(κ − D) die Dimension null. Also gilt l(D) = deg(D) + 1 − g.

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1.3 Riemannsche Flächen

Eine Riemannsche Fläche ist eine eindimensionale, zusammenhängende, komplexe Manigfaltigkeit, genauer: ein zusammenhängender Hausdorff Raum X, auf dem eine komplexe Struktur S definiert ist, die die folgenden Eigenschaften hat:

(i) S ist eine Familie von Paaren (U_{α}, ϕ_{α}), wobei {U_{α}}_{α∈A} eine offene Überdeckung von X mit der Indexmenge A ist, und für alle α ist das Bild der Homöomorphismen ϕ_{α} eine offene Teilmenge von ℂ.

(ii) Falls für α und β aus A die beiden Mengen U_{α} und U_{β} nicht leeren Schnitt haben, dann ist die Abbildung

ϕ_{α} ∘ ϕ_{β}^{−1} : ϕ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) → ϕ_{β}(U_{α} ∩ U_{β})

biholomorph.

Dabei heißen zwei komplexe Strukturen äquivalent, wenn ihre Vereinigung ebenfalls eine komplexe Struktur ist. Abbildung 1.1 verdeutlicht die Situation.

Wir wollen nun zeigen, dass der Begriff der glatten Kurve über den komplexen Zahlen und der Begriff der Riemannschen Fläche im Wesentlichen äquivalent sind. Wir folgen hier dem Kapitel 2.1.5 aus [Ts]. Sei dazu X eine quasi-projektive Kurve über den komlexen Zahlen. Wir wollen nun eine komplexe Topologie auf X definieren. Dazu nehmen wir an, dass X in ℙ^{n}(ℂ) eingebettet sei. Der affine Raum 𝔸^{n}(ℂ) ≅ ℂ^{n} ist homöomorph zum ℝ^{2n}, welcher mit einer Topologie ausgestattet ist. Die Topologie des ℙ^{n}(ℂ) definieren wir nun als Quotiententopologie unter der kanonischen Abbildung π : 𝔸^{n+1}(ℂ)−{0} → ℙ^{n}(ℂ), das heißt eine Menge U in ℙ^{n}(ℂ) ist genau dann offen, wenn ihre Urbildmenge π^{−1}(U) offen ist. Da die Einschränkung

Abbildung 1.1: Komplexe Struktur einer Riemannschen Fläche

von π auf die Einheitskugel S^{2n+1} = {(z_{0}, …, z_{n}) ∈ 𝔸^{n+1}(ℂ)−{0}| ∑_{i=1}^{n} z_{i}^{2} = 1} sur-

jektiv ist, ist mit S^{2n+1} auch ℂ^{n} kompakt. Die komplexe Topologie auf X sei nun als die Einschränkung der oben beschriebenen Topologie definiert. Falls X projekiv ist, so ist es eine abgeschlossene Teilmenge von ℙ^{n}(ℂ). Da die Kurve X als Schnitt von Nullstellenmengen stetiger Funktionen auf ℙ^{n}(ℂ) definiert ist, ist sie kompakt in der komplexen Topologie. Sei nun P ein Punkt von X. Dieser ist nicht singulär, da X als glatt angenommen wurde. Sei weiter U ⊂ 𝔸^{n}(ℂ) eine offene affine Umgebung von P und t_{P} ein lokaler Parameter von X bei P. Da t_{P} eine rationale,insbesondere reguläre Funktion ist, gibt es ein ϵ > 0, so dass U_{ϵ} := {Q inX|t_{P} (Q) < ϵ} stetig auf ℂ abgebildet wird. Seien nun t_{1}, …, t_{n} die Einschränkungen der Koordinatenfunktionen von 𝔸^{n} auf X und Φ_{i}(t) die Potenzreihenentwicklung von t_{i} bei P. Man kann nun zeigen, dass Φ_{i}(t) auf einer Kugel vom Radius ϵ_{i} konvergiert. Wir definieren die Abbildung u : ℂ ⊃ D_{ϵ} → 𝔸^{n}(ℂ) durch u(t) ↦ (Φ_{1}(t), …, Φ_{n}(t)), wobei D_{ϵ} eine Kugel vom Radius ϵ = min_{i} ϵ_{i} um null in ℂ ist. Weiter kann nun gezeigt werden, dass t_{P} ∘ u in einer Umgebung V_{P} ⊂ ℂ der Null und u ∘ t_{P} in einer Umgebung U_{P} von P gleich der Identität sind. t_{P} ist also ein Homöomorphismus von U_{P} nach V_{P}. Die Situation wird in Abbildung 1.2 verdeutlicht. Da insbesondere t_{P} und die Einbettung von X in ℙ^{n}(ℂ) beliebig gewählt waren, hängt die komplexe Topologie der Kurve weder von der Wahl des lokalen Parameters noch von der Einbettung der Kurve X in den projektiven Raum ab. Die Familie der Paare (U_{P} , u_{P}), p ∈ X ist eine komplexe Struktur auf X. Um zu zeigen, dass X zusammen mit der komplexen Topologie eine Riemannsche Fläche ist, muss noch gezeigt werden, dass X zusammenhängend ist. Einen Beweis hierfür findet sich zum Beispiel in [Ts, Theorem 2.1.84, p. 137]. Wir nennen die so konstruierte Riemannsche Fläche die zu X assoziierte Riemannsche Fläche. Diese Konstruktion kann im kompakten Fall umgekehrt werden.

Satz 1.12 Sei Y eine kompakte Riemannsche Fläche, dann gibt es eine, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte, (glatte,) projektive Kurve X, so dass Y zu der zu X assoziierten Riemannschen Fläche homöomorph ist.

Abbildung 1.2: Homöomorphismus der komplexen Struktur auf einer Kurve X in die komplexe Ebene

Siehe hierzu auch [Gu, Chapter X, p. 239ff].

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Bemerkung 1.4

In der Sprache der Kategorien heißt dies, dass die Kategorie der Riemannschen Flächen zusammen mit komplex analytischen Abbildungen und die Kategorie der glatten projektiven Kurven über den komplexen Zahlen zusammen mit regulären Abbildungen äquivalent sind.

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1.3.1 Weierstraß-Punkte

Sei X eine glatte projektive Kurve. Ein Divisor D aus P ic(X) nennen wir speziell, falls l(κ − D) > 0 ist. Ansonsten nennen wir ihn nicht speziell.

Lemma 1.3 Jeder Divisor D vom Grad größer oder gleich 2g − 1 ist nicht speziell, und jeder Divisor vom Grad kleiner als g − 2 ist speziell.

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Sei nun weiter P ∈ X ein Punkt von X und a ≥ 1 eine natürliche Zahl. Wir nennen a eine Lücke von P, wenn l(aP) = l((a − 1)P) gilt. Sonst nennen wir a eine Nichtlücke von P. Die Zahl a ist also eine Nichtlücke von P, wenn es ein f ∈ k(X) gibt, mit ν_{P} (f) = a. Gibt es dies nicht, so ist a eine Lücke von P.

Lemma 1.4

i) Es gibt g Lücken von P.

ii) Eins ist eine Lücke von P.

iii) Jedes a ≥ 2g ist eine Nichtlücke von P.

iv) Sind a und b Nichtlücken von P, so ist auch a + b eine Nichtlücke von P.

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Die Folge {a_{1}, …, a_{g}} der Lücken von P nennen wir Lückenfolge von P. Der Punkt P heißt Weierstraß-Punkt, wenn die Lückenfolge von P nicht mit {1, …, g} übereinstimmt. P ist genau dann ein Weierstraß-Punkt, wenn gP ein spezieller Divisor ist, beziehungsweise genau dann, wenn aP für ein a ≥ g speziell ist. Die Anzahl w(X) der Weierstraß-Punkte von X ist endlich. Ist X hyperelliptisch und char(k) ≠ 2 , so ist w(X) = 2g + 2 und die Lückenfolge der Weierstraß-Punkte ist {2, 4, …, 2g − 2}.

1.4 Algebraisch-geometrische Codes

Im Weiteren sollen die Parameter n, d und k eines Codes auch mit len, dim und dis bezeichnt werden. In diesem Abschnitt beschreiben wir die Konstruktion und grundlegende Eigenschaften von algebraisch-geometrischen Codes. Dabei folgen wir im Wesentlichen [TV], Chapter 3.1. Es gibt mehrere Arten lineare Codes aus algebraischen Kurven zu konstruieren. Diese sind im Wesentlichen äquivalent. Wir werden uns hier nur mit der L-Konstruktion beschäftigen.

Sei X eine projektive, glatte und absolut irreduzible Kurve über einem endlichen Körper 𝔽_{q}. Ferner sei X(𝔽_{q^{i}}) die Menge der 𝔽_{q^{i}}-rationalen Punkte von X und D_{i} = {P_{1}, …, P_{n_{i}}} eine Teilmenge von X(𝔽_{q^{i}}). G ∈ Div(X) ein Divisor von X mit Grad a ∈ {0, …, n_{i} − 1}, so dass der Schnitt des Trägers Supp(G) von G mit D_{i} leer ist. Dann erhalten wir mittels der linearen Abbildung:

Ev_{D} : L(D) → 𝔽_{q}^{n}
f ↦ (f(P_{1}), …, f(P_{n}))

einen linearen Code, den wir mit C_{L}(X, D_{i}, G) bezeichnen wollen.

Bemerkung 1.5

i) Ein zu G linear äquivalenter Divisor G′, für den Supp(G′) ebenfalls einen leeren Schnitt mit D hat, liefert einen äquivalenten Code.

ii) Die Voraussetzung, dass Supp(G) und D leeren Schnitt haben, kann umgangen werden (siehe zum Beispiel [TV, Chapter3.1, p. 271ff] oder [LG, Part II, III, Remark, p 55]).

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Über die Parameter dieser Codes macht der folgende Satz eine Aussage.

Satz 1.13 Sei X eine Kurve mit Geschlecht g. Mit den oben gemachten Bezeichnungen und Voraussetzungen gilt für die Parameter von C_{L}(X, D_{i}, G):

\begin{aligned}len & = & n_{i}, \\ dim & ≥ & a − g + 1 mit Gleichheit falls 2g − 1 ≤ a < len, \\ dis & ≥ & len − a. \end{aligned}

Beweis: Siehe [TV, Theorem 3.1.1 und Remark 3.1.3] oder [LG, Part II, III, p. 55].

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Bemerkung 1.6

i) Diese Abschätzungen sind keine Gleichungen. Es gilt für dim genauer: dim = a − g + 1 + dim(L(κ − D)), falls κ ein kanonischen Divisor ist. Wir haben für a ≤ 2g − 1 also die Abschätzung 0 ≤ dim ≤ g.

ii) Der Parameter für dim kann also nur verbessert werden, wenn dim(L(κ − D)) > 0 ist. Wegen Lemma 1.3 ist dies nur dann der Fall, wenn der Grad des Divisors D kleiner als 2g − 1 ist. Zur Konstruktion guter Codes (Klassen von Codes mit asymptotisch guten Parametern) sind also insbesondere Kurven von großem Geschlecht wünschenswert. Man sucht folglich Kurven, deren Verhältnis von Punkteanzahl zum Geschlecht ’günstig’ ist. Der Divisor aP ist ein spezieller Divisor, wenn P ein geeignetes Vielfaches eines Weierstraß-Punktes ist. Um gute Codes zu erzeugen, interessieren wir uns also insbesondere für Weierstraß-Punkte.

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1.4.1 Adjungierter Divisor, Basen von L(D) und Brill-Noether Algorithmus

Dieser Abschnitt basiert im Wesentlichen auf [BR],[CF] und [HB]. Wir beschränken uns nun auf ebene, projektive und absolut irreduzible Kurven, das heißt auf Kurven C, die durch eine Form F ∈ k[X, Y, Z] definiert sind. Durch sukzessives Blowing-up (Siehe hierzu das Kapitel vier oder [HA, Chapter I, Paragraph 4, p. 28ff]) erhalten wir ein glattes Modell C′ von C, und für jeden singulären Punkt P_{s} von C einen Desingularisierungsbaum 𝔗_{P_{s}} über einer endlichen Erweiterung k′ von k (Siehe hierzu auch [TV, p. 230] ), dessen Blätter k′-rationalen Punkten von C′ entsprechen. Die Knoten dieses Baumes entsprechen singulären Punkten P_{1}, …, P_{n_{s}} auf einer Kurve C_{i} (C_{1} = C) der Ordnung e_{i,s}. Die Kanten entsprechen den Blowing-up’s π_{i} : C_{j} → C_{i} für ein j ∈ {1, …, n_{s}} der Kurve C_{i} im Punkt P_{i}. Sei E_{i,s} der Ausnahmedivisor von π_{i}, das heißt der Divisor der zur Ausnahmegeraden des Blowing-up’s π_{i} gehört. Der Träger von E_{i,s} besteht also aus den gemeinsamen Punkten der Ausnahmegeraden und der direkten Transformierten von C_{i}. Den adjungierten Di-

visor 𝔄 definieren wir als ∑_{P_{s}} ∑_{i=1}^{n_{s}}(r_{i,s} − 1)E_{i,s}. Er ist ein k-rationaler Divisor. Sei

G ∈ k[X, Y, Z] eine Form, die nicht von F geteilt wird. Die Kurve die durch die Gleichung G = 0 beschrieben wird, nennen wir Adjungierte von C, wenn (G) ≥ 𝔄 ist. Für einen beliebigen Divisor D von C′ gilt dann mit obigen Notationen:

Satz 1.14 Ist G_{0} eine Form vom Grad d in k[X, Y, Z], so dass (G_{0}) ≥ 𝔄 + D gilt, dann ist

L(D) = \{\overline{G}/\overline{G_{0}} | G ist eine Form vom Grad d ∈ k[X, Y, Z] mit
(G) ≥ (G_{0}) − D} ∪ {0}.

Dabei bezeichnet \overline{G} die Restklasse von G im Koordinatenring von C.

Beweis: Siehe [HB, Theorem 4.3].

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Mit dem folgenden Algorithmus lässt sich nun eine Basis von L(D) berechnen (Brill-Noether-Algorithmus).

1) Berechne den adjungierten Divisor von C, das heißt insbesondere: Suche die singulären Punkte und desingularisiere.

2) Wähle eine Form G_{0} von genügend großem Grad b ∈ ℕ so, dass G_{0} nicht von F geteilt wird, G_{0} = 0 eine Adjungierte von C definiert und (G_{0}) ≥ 0 ist.

3) Berechne eine k-rationale Basis von {G|G ist eine Form vom Grad b, (G) ≥ (G_{0}) − D und G wird nicht von F geteilt}.

4) Falls \{G_{0}, …, G_{n}\} eine Basis aus 3) ist, dann ist die Menge \{1, \frac{\overline{G_{1}}}{\overline{G_{0}}} , …, \frac{\overline{G_{n}}}{\overline{G_{0}}} \} eine Basis von L(D).

Einige Beispiele hierzu finden sich in Kapitel 4.

Modulkurven

2.1 Operation von Gruppen auf topologischen Räumen

Sei G eine Gruppe und X ein topologischer Raum. Wir sagen G operiert stetig (von links) auf X (kurz operiert auf X), wenn es eine Abbildung G × X → X gibt, deren Bild von (g, x) wir auch mit gx bezeichnen und für die gilt:

i) Für jedes g ∈ G ist x ↦ gx eine stetige Abbildung.

ii) (gh)x = g(hx) für je zwei Elemente g und h aus G.

iii) Für die Einheit 1 aus G gilt 1x = x für alle x aus X.

G operiere im Folgenden auf X. Wir nennen die Menge G_{x} = {g ∈ G|gx = g} den Stabilisator von x in X, und ein Element x aus X nennen wir Fixpunkt von g aus G, wenn gilt: gx = x. Das heißt, x ist genau dann Fixpunkt von g, wenn g aus G_{x} ist. Für jedes Element g aus G gilt G_{gx} = gG_{x}g^{−1}, denn gG_{x}g^{−1} = {gg′g^{−1} ∈ G|g′x = x} = {gg′g^{−1} ∈ G|gg′g^{−1}gx = gx} = {g′′ ∈ G|g′′gx = gx} = G_{gx}. Die Menge Gx = {gx|g ∈ G} nennen wir die G-Bahn von x in X. Für zwei Elemente x, y aus X gilt entweder Gx = Gy oder Gx ∩ Gy = ∅. Deshalb können wir X als disjunkte Vereinigung von G-Bahnen schreiben. Ist dabei insbesondere X = Gx für ein x aus X, so sagen wir: G operiert transitiv auf X. Äquivalent dazu ist: Für je zwei Elemente x, y aus X existiert ein g aus G , so dass gx = y ist. Die Menge der G-Bahnen schreiben wir als G\X.

Sei nun π : X → G\X die natürliche Projektion, die jedem x aus X seine Bahn Gx aus G\X zuordnet. Wir nennen eine Teilmenge U aus G\X offen, wenn die Teilmenge π^{−1}(U) offen in X ist. Dies definiert eine Topologie auf G\X, die wir Quotiententopologie nennen. G\X mit der Quotiententopologie nennen wir den Quotientenraum von X und schreiben dafür ebenfalls G\X.

2.2 Gebrochen-rationale Transformationen

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Die 2 × 2-Matrizen über R, deren Determinante eine Einheit in R ist, bilden unter Multiplikation eine Gruppe GL(2, R), die wir die allgemeine lineare Gruppe nennen. Die spezielle lineare Gruppe SL(2, R) ist die Untergruppe von GL(2, R), die aus allen Matrizen mit Determinante eins besteht. Hier interessieren wir uns hauptsächlich für R = ℝ und R = ℤ. Die allgemeine lineare Gruppe GL(2, ℝ) und ihre Untergruppen operieren auf natürliche Weise auf ℂ ∪ {∞} vermöge der Abbildung:

GL(2, ℝ) × (ℂ ∪ {∞}) → ℂ ∪ {∞},
(γ, z) ↦ γz := \frac{az+b}{cz+d}.

Für Elemente ν aus der oberen Halbebene ℍ = {z ∈ ℂ|Im(z) > 0} und γ ∈ GL(2, ℝ) folgt aus Im(ν) > 0 und det(γ) > 0, dass Im(γν) > 0 gilt. Also operiert GL^{+}(2, ℝ) = {g ∈ Gl(2, ℝ) | det(g) > 0} und deren Untergruppen auf ℍ Wie wir leicht feststellen können, operieren die skalaren Vielfachen der Eins trivial. Speziell für SL(2, ℤ) ist dies {1_{2}, −1_{2}} = Z(SL(2, ℤ)) das Zentrum von SL(2, ℤ). Die Elemente γ, γ‘ ∈ SL(2, ℤ) beschreiben genau dann dieselbe Operation auf ℍ, wenn γ = γ‘ oder γ = −γ‘. Die Elemente γ aus SL(2, ℤ)/{±I_{2}} bezeichnet man als gebrochen-rationale Transformationen. Mit Hilfe der Jordan’schen Normalform unterscheiden wir folgende Fälle:

i) γ hat die Jordan’sche Normalform ( \begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} ) und somit genau einen Fix-

punkt. In diesem Fall nennen wir γ parabolisch.

ii) γ hat die Jordan’sche Normalform ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix} ) und zwei Fixpunkte. Sind diese

zueinander konjugiert komplexe Punkte, so nennen wir γ elliptisch, sind sie aus ℝ ∪ ∞, so nennen wir γ hyperbolisch.

Wir haben folgende Klassifikation: Sei σ ∈ SL(2, ℝ), dann gilt:

σ ist parabolisch ⇔ tr(σ) = ±2
elliptisch ⇔ |tr(σ)| < 2
hyperbolisch ⇔ |tr(σ)| > 2.

Sei nun Γ eine diskrete Untergruppe von SL(2, ℝ). Wir nennen ν ∈ ℍ einen elliptischen Punkt von Γ, falls es ein elliptisches Element von γ ∈ Γ gibt, so dass gilt: γν = ν. Ein Punkt s aus ℝ∪∞ nennen wir Spitze von Γ, wenn ein parabolisches Element γ ∈ Γ existiert, so dass γs = s. Die Menge der Spitzen von Γ bezeichnen wir mit S(Γ). Ist ν eine Spitze (beziehungsweise ein elliptischer Punkt) von Γ, so ist auch für alle γ ∈ Γ das Element γν eine Spitze (beziehungsweise ein elliptischer Punkt). Für einen elliptischen Punkt ν ist der Stabilisator Γ_{ν} = {γ ∈ Γ|γν = ν} eine endliche, zyklische Gruppe, und umgekehrt sind die Elemente endlicher Ordnung in Γ (außer ±I_{2}) die elliptischen Elemente. Die Ordnung der Gruppe {γ ∈ Γ/(Γ ∩ {±I_{2}})|γν = ν} nennen wir die Ordnung des elliptischen Punktes ν bezüglich Γ.

Bemerkung 2.1

Bei der Definition der Ordnung eines elliptischen Elementes werden Untergruppen der Gruppe der gebrochen-rationalen Transformationen verwendet, die im Allgemeinen nicht mit den Untergruppen der Matrixgruppen verwechselt werden dürfen. Um zwischen der Matrixgruppe und der Gruppe der gebrochen-rationalen Transformationen zu unterscheiden, bezeichnen wir Γ/(Γ ∩ \{±1_{2}\}) auch kurz mit \overline{Γ}.

□

Beispiel 2.1

Die Gruppe Γ = SL(2, ℤ) ist eine diskrete Untergruppe von SL(2, ℝ). Die Matrix

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ Γ ist parabolisch und hat Fixpunkt ∞. Also ist ∞ eine Spitze von Γ.

2.3. EINIGE UNTERGRUPPEN VON SL(2, ℤ) 23

Die Matrizen ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) sind elliptisch und haben als Fixpunkte i

und p = e^{\frac{2πi}{3}} , so dass i und p elliptische Punkte sind. Die Elemente des Stabilisators

Γ_{i} von i können durch die beiden Matrizen I_{2} und ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) repräsentiert werden,

also hat i die Ordnung zwei. Der Punkt p hat Ordnung drei und darüber hinaus gilt: Zu jedem elliptischen Punkt p′ der Ordnung zwei existiert ein γ aus Γ, so dass γp′ = p. Genauso existiert zu jedem elliptischen Punkt p′ der Ordnung drei ein γ aus Γ, so dass γp′ = p. Siehe hierzu [Mi, Lemma 4.2.6 p.107].

□

2.3 Einige Untergruppen von SL(2, ℤ)

In diesem Abschnitt werden wir uns mit einigen wichtigen Untergruppen der speziellen linearen Gruppe SL(2, ℤ) und deren Eigenschaften beschäftigen.

Definition 2.1 Γ(1) := SL(2, ℤ) oder eine ihrer Untergruppen von endlichem Index bezeichnen wir als Modulgruppen. Insbesondere für eine positive, ganze Zahl N aus ℕ sei weiter

Γ(N) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ(1)|a, d ≡ 1(modN); b, c ≡ 0(modN)\} und

Γ_{0}(N) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ(1)|c ≡ 0(modN)\}.

Wir schreiben kurz ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ≡ ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ c′ & d′ \end{matrix} ) (mod N), falls a′ ≡ a(mod N), b′ ≡

b(mod N), c′ ≡ c(mod N), d′ ≡ d(mod N). Wir nennen Γ(N) die Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N.

Die Gruppen Γ(N) und Γ_{0}(N) sind Modulgruppen, da sie einen endlichen Index in Γ(1) haben, den wir im Folgenden noch angeben werden (Vergleiche Proposition 2.1). Man sieht sofort, dass für N gleich eins gilt: Γ(1) gleich Γ_{0}(1) und für N größer als eins hat man eine echte Inklusion Γ(N) ⊂ Γ_{0}(N), so dass die Gruppen Γ_{0}(N) auch Modulgruppen sind. Da SL(2, ℤ) auf der oberen Halbebene operiert, tut dies auch jede ihrer Untergruppen, insbesondere jede Modulgruppe.

Mit Γ_{0}^{+}(N) bezeichnen wir das Erzeugnis von Γ_{0}(N) und ω′_{N} = ( \begin{matrix}0 & 1/\sqrt{N} \\ −\sqrt{N} & 0 \end{matrix} ).

Da die Determinante von ω′_{N} eins ist, liegt ω′_{N} in SL_{2}(ℝ). Es ist ein skalares Viel-

faches von ω_{N} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ N & 0 \end{matrix} ). Die Matrix ω_{N}, beziehungsweise den dadurch be-

schriebenen Automorphismus ω_{N} : ℍ → ℍ, ω_{N}ν = \frac{−1}{Nν}, bezeichnen wir als die Fricke-Involution (ω_{N}^{2} = id). Jedes Element γ^{+} aus Γ_{0}^{+}(N) hat eine Darstellung als γ(ω′_{N})^{j} mit γ aus Γ_{0}(N) und j aus {1, 2}. Also ist der Index [Γ_{0}^{+}(N) : Γ_{0}(N)] gleich zwei. Γ_{0}^{+}(N) ist eine diskrete Untergruppe von SL(2, ℝ) und operiert ebenfalls auf der oberen Halbebene. Ist N kein vollkommenes Quadrat, dann stimmen die Spitzen von Γ_{0}^{+}(N) mit denen von Γ_{0}(N) überein.

Nun werden wir die Indices [\overline{Γ}(1) : \overline{Γ}(N)] und [\overline{Γ}(1) : \overline{Γ}_{0}(N)] angeben.

Lemma 2.1 Für alle positiven natürlichen Zahlen N ist Γ(N) eine normale Untergruppe von SL(2, ℤ), und es gilt: SL(2, ℤ)/Γ(N) ≅ SL(2, ℤ/N).

Beweis: Der Kern der natürlichen Abbildung λ_{N} : SL(2, ℤ) → SL(2, Z/N),

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}\overline{a} & \overline{b} \\ \overline{c} & \overline{d} \end{matrix} )

ist Γ(N). Die Surjektivität wird in [Mi, Theorem 4.2.1, p.104] gezeigt.

□

Lemma 2.2 Sei N eine ganze Zahl, ∏_{p_{i}∈ℙ} p_{i}^{e_{i}} ihre Primfaktorzerlegung, wobei die e_{i} natürliche

Zahlen fast alle gleich null seien. P_{N} bezeichne die Menge der Primfaktoren von N. Dann ist die Abbildung:

Ξ : Sl(2, ℤ/N) → ⨁_{p_{i}∈P_{N}} SL(2, ℤ/p_{i})^{e_{i}},

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ↦ ⨁_{p_{i}∈P_{N}} ( \begin{matrix}a_{i} & b_{i} \\ c_{i} & d_{i} \end{matrix} ) (mod p_{i}^{e_{i}})

ein Isomorphismus.

Beweis: Siehe [Mi, Lemma 4.2.3, p.105].

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Proposition 2.1

a) [\overline{Γ}(1) : \overline{Γ}(N)] = \{ \begin{matrix}\frac{N^{3}}{2} ∏_{p|N,p∈ℙ}(1 − p^{−2}) & N > 2 \\ 6 & N = 2 \end{matrix} ,

b) [\overline{Γ}(1) : \overline{Γ}_{0}(N)] = N ∏_{p|N,p∈ℙ}(1 + p^{−1}).

Beweis: Siehe [Mi, Theorem 4.2.5, (1) und (2), p. 106].

□

2.4 Der topologische Raum Γ\\overline{ℍ}

Sei Γ eine Modulgruppe oder eine der Gruppen Γ^{+}(N). Dann bezeichnen wir die Vereinigung von ℍ mit den Spitzen von Γ als \overline{ℍ}. Die Gruppe Γ operiert auf \overline{ℍ} und wir können den Quotientenraum betrachten. Dabei heißen die Elemente ν_{1} und ν_{2} Γ-äquivalent, wenn sie in derselben Bahn unter Γ liegen. Da Spitzen auf Spitzen und elliptische Punkte auf elliptische Punkte abgebildet werden, nennen wir die Äquivalenzklassen von Γ (beziehungsweise die elliptischen Punkte von Γ) die Spitzen von Γ\\overline{ℍ} (beziehungsweise die elliptischen Punkte von Γ\\overline{ℍ}) und bezeichnen sie mit S(Γ\\overline{ℍ}) (beziehungsweise E(Γ\\overline{ℍ}).

Beispiel 2.2

In Beispiel 2.1 haben wir gesehen, dass alle Spitzen von Γ(1) zu ∞ Γ(1)-äquivalent sind. Γ(1)\\overline{ℍ} hat also genau eine Spitze. Wir sehen auch, dass Γ(1)\\overline{ℍ} genau einen elliptischen Punkt der Ordnung zwei und einen elliptischen Punkt der Ordnung drei hat. Die Anzahl der elliptischen Punkte und Spitzen von Γ_{0}(N)\\overline{ℍ} kann man explizit 2.5. DIE RIEMANNSCHE FLÄCHE Γ\\overline{ℍ}. 25

angeben. Siehe [Mi,Theorem 4.2.7, p.108ff] oder [Sh, Proposition 1.43, p.24ff]. Sei dazu μ_{2} die Anzahl der elliptischen Punkte der Ordnung zwei, μ_{3} die Anzahl der elliptischen Punkte der Ordnung zrei und μ_{∞} die Anzahl der Spitzen. Dann ist:

μ_{2} = \{ \begin{matrix}0 & 4|N \\ ∏_{p|N}(\frac{−1}{p}) & sonst \end{matrix} ,

μ_{3} = \{ \begin{matrix}0 & 9|N \\ ∏_{p|N}(\frac{−3}{p}) & sonst \end{matrix} ,

μ_{∞} = ∑_{d|N,d>0} ϕ((d, \frac{N}{d})).

Dabei bezeichnet ϕ die Euler-ϕ-Funktion und es gilt:

(\frac{−1}{p}) = \{ \begin{matrix}0 & = & p = 2 \\ 1 & = & p ≅ 1mod(4) \\ −1 & = & p ≅ 3mod(4) \end{matrix} ,

(\frac{−3}{p}) = \{ \begin{matrix}0 & = & p = 3 \\ 1 & = & p ≅ 1mod(3) \\ −1 & = & p ≅ 2mod(3) \end{matrix} .

Ist insbesondere N eine Primzahl, dann hat Γ_{0}(N)\\overline{ℍ} genau zwei Spitzen, die durch 0 und ∞ repräsentiert werden können. Da die Spitzen von Γ_{0}^{+}(N) und Γ_{0}(N) übereinstimmen, wenn N kein echtes Quadrat ist, und darüber hinaus ∞ von ω′_{0} auf 0 abgebildet wird, hat Γ_{0}^{+}(N)\ℍ genau eine Spitze, falls N eine Primzahl ist.

□

Um eine komplexe Struktur auf Γ\\overline{ℍ} einzuführen, konstruieren wir uns zuerst eine geeignete Topologie auf \overline{ℍ}. Dazu definieren wir ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen von ν aus \overline{ℍ}. Für alle ν aus ℍ nehmen wir das übliche Fundamentalsystem von der Abstandstopologie in ℂ. Für eine Spitze ν aus S(Γ) nehmen wir als Fundamentalsystem die Vereinigung von {ν} mit dem Inneren einer Kreisscheibe, welche die reelle Achse im Punkt ν berührt falls die Spitze nicht ∞ ist. Im Fall ν = ∞ ist ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen von ∞ durch die Mengen N_{c} := {z ∈ ℍ |Im(z) > c} ∪ {∞}, 0 < c ∈ ℝ gegeben. Zur Verdeutlichung siehe Abbildung 2.1. Als Topologie auf Γ\(\overline{ℍ}) nehmen wir die Quotiententopologie bezüglich der natürlichen Projektion π von \overline{ℍ} nach Γ\(\overline{ℍ}), so dass eine Menge U von Γ\(\overline{ℍ}) genau dann offen ist, wenn ihr Urbild π^{−1}(U) offen ist.

Darüber hinaus haben wir folgende Proposition:

Proposition 2.2 Der topologische Raum Γ\ℍ ist Hausdorff in seiner Quotiententopologie.

Beweis: Da SL(2, ℤ) ist, folgt die Proposition aus [Mi, Corollary 1.5.3, p.17f] und [Mi, Lemma 1.7.2, p.24f].

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2.5 Die Riemannsche Fläche Γ\\overline{ℍ}.

Nun zur Definition der Riemannsche Struktur auf Γ\(\overline{ℍ}). Sei dazu wie oben π die natürliche Projektion von \overline{ℍ} nach Γ\(\overline{ℍ}). Für alle ν aus \overline{ℍ} sei Γ_{ν} = \{γ ∈ Γ|γ(ν) = ν\}

Abbildung 2.1: Offene Umgebungen von ∞ bzw r ∈ ℚ

der Stabilisator von ν. Nach [Sh, Proposition 1.7 und Lemma 1.26] existiert für alle ν ∈ ℍ eine offene Umgebung U ⊂ ℍ, so dass Γ_{ν} = {γ ∈ Γ|γ(U) ∩ U ≠ ∅}. Für ein solches ν gibt es eine natürliche Einbettung Γ_{ν}\U → Γ\\overline{ℍ}. Sei P ein Punkt aus Γ\ℍ und ν_{P} ein Punkt aus ℍ, so dass π(ν_{P}) gleich P ist. Sei weiterhin U_{P} eine offene Umgebung von ν_{P}, so dass Γ_{ν_{P}} = {γ ∈ Γ|γ(U_{P})∩U_{P} ≠ ∅}. Für jedes ν_{P} ∈ ℍ ist die Abbildung μ_{ν_{P}} : ℍ → B_{1}(0) ⊂ ℂ von der oberen Halbebene in die offene komplexe Kreisscheibe mit Radius eins um null, die ν seinem Bild \frac{ν−ν_{P}}{ν−\overline{ν_{P}}} zuordnet, ein holomorpher Isomorphismus mit μ_{ν_{P}} (ν_{P}) = 0. Sei nun e_{P} die Ordnung von ν_{P} bezüglich Γ, falls P ein elliptischer Punkt ist, und sei e_{P} gleich eins, falls es kein elliptischer Punkt ist. Wir definieren:

ψ_{P} : Γ_{ν_{P}} \U → ℂ,
ψ(π(ν_{P})) = (μ_{ν_{P}} (ν))^{e_{P}} = (\frac{ν−ν_{P}}{ν−\overline{ν_{P}}} )^{e_{P}}, und
S_{1} := {(Γ_{ν_{P}} \U_{P} , ν_{P})}.

Ist ν_{P} eine Spitze, dann sei σ_{P} ∈ SL_{2}(ℝ), so dass

σ_{P} Γ_{ν_{p}}σ_{P^{−1}}\{±I_{2}\} = \{( \begin{matrix}1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{m}|m ∈ ℤ\}

(Siehe hierzu [Sh, Proposition 1.17, p.8]). Wir definieren nun:

ψ_{P} : Γ_{ν_{P}} \U → ℂ,

ψ(π(ν_{P})) = \{ \begin{matrix}exp(2πi\frac{σ_{P} (ν)}{h}) & falls & σ_{P} (ν) ≠ ∞ \\ 0 & falls & σ_{P} (ν) = ∞ \end{matrix} , und

S_{2} := {(Γ_{ν_{P}} \U_{P} , ν_{P})}.

Die Familie S = S_{1} ∪ S_{2} definiert eine komplexe Struktur auf Γ\\overline{ℍ}. Siehe hierzu auch [Mi, Paragraph 1.8, p.28ff]. Wir haben folgenden Satz:

Satz 2.1 Die Menge Γ\(\overline{ℍ}) ist eine zusammenhängende, kompakte Riemannsche Fläche.

Beweis: Die Behauptung folgt aus [Sh, Proposition 1.3.1, p.13] und dem Sachverhalt, dass SL(2, ℤ)\\overline{ℍ} isomorph zur Riemannschen Zahlenkugel ist ([Sh, Proposition 1.4 und Bemerkungen im ersten Abschnitt von Paragraph 1.6]).

□

In Paragraph 1.3 haben wir gesehen, dass der Begriff der kompakten Riemannschen Fläche und der glatten, projektiven Kurve äquivalent sind. Wir erhalten also zu jeder Modulgruppe eine assoziierte Kurve, die wir für Γ(N) mit X(N) und für Γ_{0}(N) mit X_{0}(N) bezeichnen. Für die Gruppe Γ^{+}(N) ist der Quotientenraum Γ_{0}^{+}(N)\\overline{ℍ} ebenfalls eine kompakte Riemannsche Fläche. Die dazu assoziierte Kurve bezeichnen wir mit X_{0}^{+}(N).

2.6 Modulformen für Modulgruppen

Sei GL^{+}(2, ℝ) die Untergruppe der Matritzengruppe GL(2, ℝ), die aus allen Matrizen mit positiver Determinante besteht. Sei weiter k eine gerade, ganze Zahl und

γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL^{+}(2, ℝ). Für eine meromorphe Funktion f auf der oberen

Halbebene definieren wir den Operator [γ]_{k} durch

f|[γ]_{k} (ν) := (detγ)^{\frac{k}{2}} (cν + d)^{−k}f(γν).

Skalare Vielfache der Einheitsmatrix operieren dabei trivial. Ist insbesondere γ aus SL(2, ℝ) dann gilt:

f|[γ]_{k} (ν) = (cν + d)^{−k}f(γν),

und für γ_{1}, γ_{2} aus Gl^{+}(2, ℝ) ist

f|[γ_{1}γ_{2}]_{k} = (f|[γ_{1}]_{k})|[γ_{2}]_{k}.

Die Operation von [γ]_{k} ist verträglich mit Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen, das heißt für die Funktionen f und g auf ℍ und α ∈ ℂ gilt:

(αf)|[γ]_{k} = (αf)|[γ]_{k} und
(f + g)|[γ]_{k} = f|[γ]_{k} + g|[γ]_{k}.

Sei nun Γ eine Modulgruppe und s ∈ S(Γ) eine Spitze von Γ. Sei weiterhin γ_{0} ∈ SL(2, ℝ), so dass γ_{0}s = ∞. Dann kann der Stabilisator Γ_{s} = {γ ∈ Γ|γs = s} für eine positive reelle Zahl h beschrieben werden als

γ_{0}Γ_{s}γ_{0}^{−1} = \{± ( \begin{matrix}1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{m} |m ∈ ℤ\}.

Ist f invariant unter [γ]_{k} für alle γ ∈ Γ, dann ist f|[γ_{0}^{−1}]_{k} invariant unter [σ]_{k} für alle σ aus γ_{0}Γ_{s}γ_{0}^{−1}, da für σ = γ_{0}γγ_{0}^{−1} mit γ ∈ Γ_{s} ⊂ Γ gilt:

(f|[γ_{0}^{−1}]_{k})|[σ]_{k} = f|[γ_{0}^{−1}σ]_{k} = f|[γ_{0}^{−1}γ_{0}γγ_{0}^{−1}] = f|[γγ_{0}^{−1}]_{k} = f|[γ_{0}^{−1}]_{k}.

Also ist f|[γ_{0}^{−1}]_{k} (ν) invariant unter ν ↦ ν + h. Die Abbildung ν ↦ q_{h} := e^{2πi \frac{ν}{h}} bildet die obere Halbebene auf die punktierte Einheitskreisscheibe ab, und es existiert eine meromorphe Funktion ϕ(q_{h}) auf einer punktierten, offenen Kreisscheibe 0 < |q_{h}| < r ∈ ℝ, r > 0, so dass f|[γ_{0}^{−1}] (ν) = ϕ(q_{h}). Wir nennen f(ν) meromorph in der Spitze s, falls ϕ(q_{h}) meromorph in null ist. Diese Definition hängt nicht von γ_{0} ab, und ist f in der Spitze s meromorph, so auch in jeder dazu Γ-äquivalenten anderen Spitze. Nun zur Definition einer automorphen Form.

Definition 2.2

Sei f eine Funktion auf ℍ und k eine gerade, ganze Zahl. Wir nennen f eine automorphe Form vom Gewicht k für die Modulgruppe Γ, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) f(ν) ist meromorph auf ℍ,

ii) f|[γ]_{k} (ν) = f(ν) für alle γ ∈ Γ,

iii) f(ν) ist meromorph in jeder Spitze von Γ.

□

Da die oben beschriebene Funktion ϕ(q_{h}) meromorph in einem Ringgebiet ist, lässt sie sich in eine Potenzreihe um null entwickeln:

ϕ(q_{h}) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}q_{h}^{n} = ∑_{n∈ℤ} a_{n}e^{2πi \frac{ν}{h}},

die wir die Fourier- oder q_{h}- Entwicklung von f für s nennen. Dabei ist f(ν) genau dann meromorph, wenn für ein n < 0 höchstens endlich viele a_{n} von null verschieden sind. Ist a_{n} für alle n < 0 gleich null, dann nennen wir f in s holomorph. Wir sagen f(ν) verschwindet in s, falls ϕ(q_{h}) in null verschwindet.

Definition 2.3

Sei f eine Funktion auf ℍ und k eine gerade, ganze Zahl. f(ν) heißt Modulform (beziehungsweise Spitzenform) vom Gewicht k für die Modulgruppe Γ, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) f(ν) ist holomorph auf ℍ,

ii) f|[γ]_{k} (ν) = f(ν) für alle γ ∈ Γ,

iii) f(ν) ist holomorph (beziehungsweise verschwindet) in jeder Spitze von Γ.

□

Mit M_{k}(Γ) (beziehungsweise S_{k}(Γ)) bezeichnen wir die Menge der Modulformen (beziehungsweise Spitzenformen) vom Gewicht k für Γ. Aufgrund der Verträglichkeit der Operation von [γ]_{k} mit Skalarmultiplikation und Addition von Funktionen sind M_{k}(Γ) und S_{k}(Γ) ℂ-Vektorräume. Das Produkt zweier Modulformen (beziehungsweise zweier automorpher Formen oder Spitzenformen) vom Gewicht k_{1} und k_{2} ist eine Modulform (beziehungsweise automorphe Form oder Spitzenform) vom Gewicht k_{1} +k_{2}. Der Quotient einer Modulform (beziehungsweise automorphen Form) vom Gewicht k_{1} mit einer von null verschiedenen Modulform (beziehungsweise einer automorphen Form) vom Gewicht k_{2} ist eine Modulform (beziehungsweise automorphe Form) vom Gewicht k_{1} −k_{2}. Die Menge der automorphen Formen vom Gewicht null für Γ bildet also einen Körper, deren Elemente wir Modulfunktionen nennen.

Beispiel 2.3

Die Funktion

j = j(τ) = \frac{(1+240 ∑_{n=1}^{∞} σ_{3}(n)q^{n})^{3}}{q ∏_{n=1}^{∞}(1−q^{n})^{24}} , mit σ_{3}(n) = ∑_{d|n,d∈ℕ} d^{3}

ist eine Modulfunktion für Γ(1) und deren Untergruppen, und j_{N} := j(Nτ) ist eine Modulfunktion für Γ_{0}(N).

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Da Modulfunktionen für Γ invariant unter allen Elementen γ aus Γ sind, können wir sie als Funktionen auf der Riemannschen Fläche Γ\ℍ auffassen. Ist speziell Γ = Γ_{0}(N), so haben wir folgenden Satz:

Satz 2.2 Der Körper der meromorphen Funktionen von ℂ(X_{0}(N)) wird von j und j_{N} erzeugt.

Beweis: Siehe [Sh, Proposition 2.10, p.34] oder [Kn, Chapter XI, Theorem 11.33, p.336].

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Betrachten wir nun Γ_{0}^{+}(N). Da Γ_{0}^{+}(N) das Erzeugnis von Γ_{0}(N) und ω′_{N} ist, sind die Modulfunktionen von Γ_{0}^{+}(N) invariant unter Γ_{0}(N) und ω′_{N}.

Da ω′_{N} ein skalares Vielfaches von ω′_{N} ist, beschreiben [ω_{N}]_{k} und [ω′_{N}]_{k} dieselbe Operation.

Definition 2.4

Eine meromorphe Funktion f auf ℍ nennen wir ω_{n}- invariant oder einfach invariant, falls ω_{n}f := f|[ω_{N}]_{k} = f, und ω_{n}-anti-invariant oder einfach anti-invariant, falls ω_{n}f = −f.

□

Ist f eine Modulfunktion oder Spitzenform von Γ(1), so ist f(ν) + ω_{N}f(ν) invariant und f(ν) − ω_{N}f(ν) anti-invariant.

2.7 Das Geschlecht der Modulkurven

Satz 2.3 Sei Γ eine Untergruppe von Γ(1) mit endlichem Index μ. Seien weiterhin ν_{2} beziehungsweise ν_{3} die Anzahl der Γ- inäquivalenten, elliptischen Punkte der Ordnung zwei beziehungsweise drei und ν_{∞} die Anzahl der Γ-inäquivalenten Spitzen von Γ. Dann hat Γ\\overline{H} das Geschlecht

g = 1 + \frac{μ}{12} − \frac{ν_{2}}{4} − \frac{ν_{3}}{3} − \frac{ν_{∞}}{2} .

Beweis: Siehe [Sh, Proposition 1.40, p.23].

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Ist insbesondere Γ = Γ_{0}(N), so haben wir in Beispiel 2.2 die Werte für ν_{2}, ν_{3} und ν_{∞} angegeben. Die Werte für ν sind Proposition 2.1 zu entnehmen.

2.8 Elliptische Kurven und Modulräume

Es gibt viele Methoden elliptische Kurven zu definieren. Beginnen wir hier mit einem Gitter L = ℤ + τℤ mit τ ∈ ℍ. Der Quotient von ℂ mit diesem Gitter ist ein eindimensionaler Torus, den wir mit E(τ) = ℂ/L bezeichnen und elliptische Kurve nennen. Durch die Weierstraß’sche p-Funktion

p(z, L) := \frac{1}{z^{2}} + ∑_{ω∈L−\{0\}} (\frac{1}{(z − ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} ) , z ∉ L
p(z) := ∞, z ∈ L

und deren Ableitung

p′(z) := −2 ∑_{ω∈L−\{0\}} \frac{1}{(z − ω)^{3}} , z ∉ L
p′(z) = ∞, z ∈ L

wird durch

ℂ/L → E
z ↦ (p(z), p′(z), 1), z ≠ 0
z ↦ (0, 1, 0), z = 0

ein Isomorphismus von Riemannschen Flächen (und ein Gruppenhomomorphismus) erklärt ([Si, Chapter VI, Proposition 3.6, p.158]). Dabei ist E = E(g_{1}, g_{2}) ⊂ ℙ^{2}(ℂ) eine ebene, projektive Kurve. Hat ℙ^{2}(ℂ) die homogenen Koordinaten (x : y : z), so wird E im affinen Teilraum U_{3} in den Koordinaten x und y durch die Gleichung y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} beschrieben. Die Zahlen g_{2} und g_{3} sind bestimmt durch:

g_{2} = 60 ∑_{ω∈L−\{0\}} \frac{1}{(ω)^{4}} ,

g_{3} = 140 ∑_{ω∈L−\{0\}} \frac{1}{(ω)^{6}} .

Die obige Gleichung E nennen wir die Weierstraß-Form der elliptischen Kurve E(τ). Die Diskriminante der Kurve E ist Δ = g_{2}^{3} − 27g_{3}^{2}. E ist genau dann ungleich null, wenn Δ ungleich null ist. Siehe hierzu [Si, III, Proposition 1.4, p.50]. Die Zahl j = j(E) := \frac{12g_{2}^{3}}{Δ} heißt j-Invariante.

Satz 2.4 Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k sind zwei elliptisch Kurven E, E’ genau dann isomorph, wenn ihre j-Invarianten j(E) und j(E’) gleich sind.

Beweis: Siehe [Si, Chapter III, Paragraph 1, Proposition 1.4(b)], falls die Charakteristik von k nicht zwei oder drei ist, und siehe [Si, Apendix A] für die Charakteristik zwei und drei.

□

Bemerkung 2.2

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Für einen gegebenen Wert von j erhält man, falls char(k) ≠ 2, 3, folgende elliptische Kurven in Weierstraß-Form:

i) Falls j ≠ 0, 1728, dann ist E gegeben durch y^{2} = 4x^{3} − \frac{27j}{j−1728}(x + 1).

ii) Falls j = 0, dann ist E gegeben durch y^{2} = 4x^{3} − 1.

iii) Falls j = 1728, dann ist E gegeben durch y^{2} = 4x^{3} − 3x.

Für j = ∞ erhält man eine singuläre, ’elliptische’ Kurve, die durch ein Modell der Form y^{2} = x^{3} beschrieben werden kann. Man kann zeigen, dass die j-Invariante invariant unter der Modulgruppe Γ(1) ist. Das heißt: j(τ) = j(σ(τ))∀σ ∈ Γ(1). Die Modulgruppe ihrerseits klassifiziert wiederum die Isomorphieklassen von elliptischen Kurven. Wir können also Γ(1)\ℍ∪{∞} = Γ_{0}(1)\\overline{ℍ} = X_{0}(1) als Parameterraum für elliptische Kurven auffassen. Deshalb nennen wir X_{0}(1) den Modulraum der elliptischen Kurven über k. Eine exakte Darstellung dessen findet sich in [Si2, Paragraph 4, p.34-38].

Beschreiben wir nun weitere Modulräume. Sei N ∈ ℕ und E = ℂ/L wieder eine elliptische Kurve zum Gitter L = ℤ + τℤ mit τ ∈ ℍ. Sei weiterhin C = C(L) eine zyklische Untergruppe der Ordnung N von E, die wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit als die Vielfachen von \frac{τ}{N} wählen können (∞ sei dabei als das additiv Neutrale der elliptischen Gruppe gewählt). Unter einer gebrochen-rationalen Transformation σ mit Determinante eins geht L nach σ(L) und C(L) genau dann nach C(σ(L)), falls σ aus Γ_{0}(N)ist , so dass die Isomorphieklassen von Paaren (E, C) von elliptischen Kurven E mit zyklischer Untergruppe C der Ordnung N mit den Bahnen von Γ_{0}(N)\ℍ in Bijektion stehen. Kompaktifizieren wir nun Γ_{0}(N)\ℍ, indem wir die Spitzen S(Γ_{0}(N)) zu Γ_{0}(N)\ℍ hinzufügen. Wollen wir X_{0}(N) nun als Modulraum auffassen, so müssen wir den Spitzen noch ’verallgemeinerte, elliptische Kurven’ zuordnen. Diese Kurven haben nur noch arithmetisches Geschlecht eins. Sie haben auch eine Gruppenstruktur mit einer Untergruppe der Ordnung N. Ist der Grundkörper nicht algebraisch abgeschlossen, so gibt es zwischen der j-Invarianten und den Isomorphieklassen von Paaren elliptischer Kurven und Untergruppen der Ordnung N nicht notwendig eine bijektive Korrespondenz. Igusa zeigt nun in [Ig], dass es eine Kurve X_{0}(N) gibt, die als Kurve über ℂ die Isomorphieklassen elliptischer Kurven parametrisiert, und durch Gleichungen über ℤ[\frac{1}{N}] definiert ist. Dabei gilt für alle Primzahlen p, die N nicht teilen: Reduziert man die Gleichungen modulo p, so erhalten wir eine nichtsinguläre Kurve über \overline{𝔽}_{p}, deren Punkte die Isomorphieklassen von Paaren (E, C) parametrisieren.

Bemerkung 2.3

Um diese Aussage genau zu fassen, benötigt man die Theorie der Schemata. Einzelheiten finden sich in [Ig] oder in den Arbeiten:

• N.Katz B.Mazur, Arithmetic Moduli of Elliptic Curves, Ann. of Math. Studies, Princton Univ. Press, 1985.

• P.Deligne, M. Rappoport, Schemes des courbes elliptiques, Lecture Notes in Math. 349, 1973, p.143-316.

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2.9 Das Modulpolynom

Wir betrachten nun ein weiteres Modell für die Modulkurve. Die Riemannsche Fläche ℍ/Γ_{0}(N) hat einen Funktionenkörper vom Transzendenzgrad eins, der von

den Funktionen j(τ) und j_{N}(τ) := j(( \begin{matrix}N & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) τ) erzeugt wird. Die Funktion j_{N} ,

deren Minimalpolynom wir mit Φ_{N} bezeichnen, und das Modulpolynom zur Stufe N nennen, ist algebraisch über ℂ(j). Es ist absolut irreduzibel und hat Koeffizienten in ℤ. Siehe hierzu [Kn, Chapter XI, Theorem 11.32 und 11.33]. Desweiteren gilt:

i) Φ_{N}(x, j) = ∏_{α∈A}(x − (α(j))) mit

A = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & d \end{matrix} ) |a, b, d ∈ ℤ; a > 0; d > 0; 0 ≤ b < d; (a, b, d) = 1, ad = n\},

ii) Φ_{N}(x, j) = x^{ψ(N)} + y^{ψ(N)} + ∑_{a,b<ψ(N)} c_{ab}x^{a}j^{b} mit ψ(N) = [Γ(1) : Γ_{0}(N)],

iii) Φ_{N}(x, j) = Φ_{N}(j, x), also c_{ab} = c_{ba}.

Das Modulpolynom liefert uns ein affines Modell für X_{0}(N). Dieses Modell ist singulär und hat die Eigenschaft, dass die Koeffizienten der Polynome sehr rasch mit N wachsen, so dass sie praktisch nicht zu handhaben sind.

Reduzieren wir nun die Koeffizienten von Φ_{N} modulo einer Primzahl p. Ist N = p^{e}N′ mit p |̸N′ dann zerfällt Φ_{N} modulo p wie folgt:

Φ_{N}(x, y) ≡ Φ_{N′}(x^{p^{e}}, y)Φ_{N′}(x, y^{p^{e}}) ∏_{i=1}^{e−1} Φ_{N′}(x^{p^{e−i−1}}, y^{p^{i−1}}) mod p.

Dabei ist Φ_{N′} das Modulpolynom zur Stufe N′. Es ist modulo p absolut irreduzibel. Ist insbesondere N = p, so zerfällt Φ_{p} modulo p in (x^{p} − y)(x − y^{p}). Siehe hierzu [Ig, 3 A digression] und [IG2,Theorem 7].

Die Modelle von M. Pfeifer

In diesem Kapitel wollen wir uns mit den von M. Pfeifer in [Pf] angegebenen Modellen von X_{0}(l) für Primzahlen l beschäftigen. Andere Modelle für Modulkurven finden sich in Arbeiten von M. Shimura [ShM] und S. G. Rovira [Ro], der Modelle für hyperelliptische Modulkurven angibt. Dabei stimmen die von Roviera angegebenen Modelle mit denen des M. Pfeifer überein, insofern in beiden Artikeln ein Modell zur selben Stufe angegeben wurde. Eine andere Quelle für einige Modelle mit kleinem Geschlecht ist [Bi].

3.1 Konstruktion der Modelle

Um die von M.Pfeifer angegebenen Modelle zu konstruieren, wurden mittels Relationen geeigneter Funktionen auf X_{0}(l) Gleichungen in einem affinen Raum angegeben, die eine eindimensionale algebraische Menge Y_{l} definieren. Es kann gezeigt werden, dass Modelle für Y_{0}(l) in Y_{l} enthalten sind. Es sind Relationen für alle Primzahlen zwischen 2 und 179, sowie für 191 und 239 angegeben worden. Dazu wurden Fourierentwicklungen der Elemente von Erzeugendensystemen der Spitzenräume S_{2}(Γ_{0}(l)) vom Gewicht zwei für Γ_{0}(l) bestimmt. Mit deren Hilfe wurden dann wiederum die Fourierentwicklungen der Erzeuger für den Raum S_{k}(Γ_{0}(l)) der Spitzenformen vom Gewicht k für Γ_{0}(l) berechnet (k gerade, größer gleich zwei). Insbesondere ist es möglich für k = 12 eine Basis von S_{12}(Γ_{0}(l)) zu bestimmen. Da man die Operation der Fricke-Involution kennt, kann man den Raum in einen unter dieser Operation invarianten Teilraum S_{12}^{+}(Γ_{0}(l)) und einen anti-invarianten Teilraum S_{12}^{−}(Γ_{0}(l)) aufspalten. Mit Hilfe dieser Basen gelingt es dann Modulfunktionen ohne endliche Pole auf Γ_{0}(l) zu berechnen. Genauer gesagt: man berechnet Funktionen 1, x_{1}, …, x_{g_{0}^{+}+1} auf X_{0}^{+}(l). Mit Hilfe des Satzes von Riemann-Roch kann die Dimension g^{+} + 2 von L((2g^{+} + 1)∞) bestimmt werden. Dies sind Funktionen auf X_{0}^{+}(l) ohne endliche Pole, deren Polstellenordnung kleiner gleich 2g^{+} +1 ist. Desweiteren berechnet man eine geeignete anti-invariante Modulfunktion s. Man kann dann zeigen, dass die Funktionen 1, x_{1}, …, x_{g_{0}^{+}+1}, s die ℂ-Algebra O(X_{0}(l)) der Modulfunktionen ohne endliche Pole auf X_{0}(l) erzeugen. Dabei werden nicht alle diese Funktionen benötigt, wenn X_{0}^{+}(l) im Unendlichen einen Weierstraß-Punkt hat. Alle diese Konstruktionen lassen sich in einer Art und Weise durchführen, dass die Fourierkoeffizienten der auftretenden Entwicklungen ganz sind. Es werden nun in Abhängigkeit einiger zufällig gewählter, natürlicher Zahlen Linearkombinationen von Potenzen der Erzeuger von O(X_{0}(l)) gewählt. Eine Relation zwischen diesen erhält man, wenn das durch Koeffizientenvergleich gegebene, lineare Gleichungssystem nichttrivial lösbar ist ([Pf, p.84f]). Diese Relationen haben auch ganzzahlige Koeffizienten. Beschreiben wir die Konstruktion nun etwas genauer.

3.1.1 Quaternionenalgebren

Eine Quaternionenalgebra 𝔄 über k ist eine vierdimensionale Algebra über k, deren Zentrum k ist und die keine echten, zweiseitigen Ideale besitzt. 𝔄 hat eine Basis {1, i, j, l} für die die Relationen

i^{2} = a, j^{2} = b und ij = l = −ji mit a, b ∈ k

gelten. Umgekehrt gibt es zu a, b ∈ k^{∗} eine Quaternionenalgebra, die durch obige Relationen definiert wird. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k gibt es bis auf Isomorphie genau eine solche Algebra. Ist k ein lokaler Körper der Charakteristik null, so gibt es bis auf Isomorphie genau zwei Quaternionenalgebren. Eine davon ist die 2×2-Matrizenalgbra, die andere ist eine eindeutig bestimmte Quaternionendivisonsalgebra [Lam, Theorem 2.10, p.154ff]. Ist 𝔄 eine Quaternionenalgebra über ℚ, so ist ℚ_{p} = 𝔄⊗_{ℚ}ℚ_{p} eine Quaternionenalgebra über ℚ_{p} (p Primzahl). Analog dazu ist 𝔄_{∞} = 𝔄⊗_{ℚ} ℝ. Wir sagen: p ist zerlegt in 𝔄, wenn 𝔄_{p} die Matrizenalgebra ist, und p ist verzweigt, wenn 𝔄_{p} die Divisonsalgebra ist (p ∈ ℙ∪∞). Auf einer Quaternionenalgebra gibt es eine Konjugation 𝔄 ∋ a = w +xi+yj +zl ↦ \overline{a} = w −xi−yj −zl mit \overline{\overline{a}} = a, \overline{a_{1}a_{2}} = \overline{a_{1}} \overline{a_{2}} und \overline{a} = a ⇔ a ∈ k. Man erhält hiermit eine Spur tr(a) = a+\overline{a}, und eine Norm N(a) = a\overline{a} und für jedes a ∈ 𝔄 gilt: a^{2}−(tr(a))+N(a) = 0. Die Norm kann auch als quadratische Form über dem vierdimensionalen Vektorraum über k aufgefasst werden N(w + xi + yj + zl) = w^{2} − ax^{2} − by^{2} + abz^{2} (hier: i^{2} = a, j^{2} = b und ij = l = −ji). Ein Kriterium für die Isomorphie von 𝔄_{p} und einer Matrixalgebra -also ein Kriterium für die Zerlegtheit von p in 𝔄- ist, dass Spur und Norm gleichzeitig in 𝔄 verschwinden. Die Spur verschwindet auf einem dreidimensionalen Unterraum von 𝔄. Die Norm beschreibt auf diesem eine Quadrik, die an allen außer endlich vielen Primstellen nicht triviale Lösungen hat. Die Quaternionenalgebra 𝔄 ist also nur an endlich vielen Primstellen verzweigt [Lam, 5.5, p.181ff]. Umgekehrt bestimmt die Menge der Primstellen schon die Quaternionenalgebra bis auf Isomorphie [OMe,Theorem 71:19, p.203]. Sei nun 𝔄 eine Quaternionenalgebra über ℚ beziehungsweise über ℚ_{p}. Ein Gitter in 𝔄 ist ein freier ℤ-Modul beziehungsweise ein freier ℤ_{p} Modul vom Rang vier in 𝔄. Eine Ordnung 𝔒 in 𝔄 ist ein Gitter in 𝔄 , das ein Unterring ist und die Eins enthält. Sei {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}} eine ℤ-Basis eines Ideals I in 𝔒 und a = n_{1}v_{1} + n_{2}v_{2} + n_{3}v_{3} + n_{4}v_{4} ∈ I gegeben. Die zu I gehörige Normform Q ist dann durch N(a) = a\overline{a} = Q(n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}) definiert und ist eine positiv definite quadratische Form.

3.1.2 Konstruktion von Basen von S_{k}(Γ_{0}(l))

Zunächst wird mit Hilfe des folgenden Satzes ein Erzeugendensystem für S_{2}(Γ_{0}(l)) berechnet.

Satz 3.1 Sei 𝔄 eine Quaternionenalgebra, die genau in l und ∞ verzweigt ist, 𝔒 eine Ordnung der Stufe l in 𝔄 und {I_{1}, …, I_{H}} ein vollständiges Vertretersystem der Links-𝔒-Idealklassen. Sei außerdem Q′_{ij}(n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}) die Normform des Ideals I_{j}^{−1}I_{i}, wobei

I_{j}^{−1} = \{a ∈ 𝔄 | I_{j}aI_{j} ⊂ I_{j}\}, sowie Q_{ij} = \frac{Q′_{ij}}{N(I_{j}^{−1}I_{i})} und

Θ_{ij}(τ) = ∑_{n∈ℤ} a_{Q_{ij}}(n)q^{n}= ∑_{n∈ℤ^{4}} e^{2πiQ_{ij}(n)τ}

die zu Q_{ij} gehörige Thetareihe, wobei a_{Q_{ij}}(n) die Anzahl der Darstellungen von n durch die quadratische Form Q_{ij} ist. Dann ist

S_{2}(Γ_{0}(l)) = ∑_{i,j=2}^{H} < θ_{ij}(τ) − θ_{1j}(τ) > .

Beweis: Siehe [Ei, Chapter IV, p.138ff].

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Bemerkung 3.1

H = H(l) bezeichnet hier die Klassenzahl der Links-𝔄-Ideale der Quaternionenalgebra 𝔄, die genau in l und ∞ verzweigt ist.

H(l) = \frac{l}{12} (1 − \frac{1}{l}) + \frac{1}{4} (1 − (\frac{−1}{l})) + \frac{1}{3} (1 − (\frac{−3}{l}))
= dim(S_{2}(Γ_{0}(l)) + 1

=^{(l>3)} \{ \begin{matrix}n & falls & l = 12n + 1 \\ n + 1 & falls & l = 12n + 5 \\ n + 1 & falls & l = 12n + 7 \\ n + 2 & falls & l = 12n + 11 \end{matrix}

Siehe [Ei, Theorem 6, p.113]

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Mit Hilfe von verallgemeinerten Thetareihen lässt sich nun eine Basis der Räume S_{k}(Γ_{0}(l)) bestimmen. Hierzu werden zu einer quadratischen Form Q(x) = \frac{1}{2}x^{t}Ax = \frac{1}{2}(Sx)^{t}Sx sphärische Polynome definiert. Ein homogenes Polynom P vom Grad d in vier Unbekannten heißt sphärisch vom Grad d bezüglich Q, falls für P (x) = H(y) mit y = Sx gilt:

Δ(H(y)) = ∑_{n∈ℤ^{4}} \frac{∂^{2}P}{∂y_{i}^{2}} = 0.

Sei P ein sphärisches Polynom P bezüglich Q. Eine verallgemeinerte Thetareihe zur quadratischen Form Q und ein sphärisches Polynom P bezüglich Q ist definiert durch

Θ(τ; Q, P) = ∑_{n∈ℤ^{2r}} P (n)e^{2πiQ(n)τ}.

Da nun für (a_{ij}^{∗})_{i,j∈{1,...,4}} = A^{−1} ein homogenes Polynom P genau dann ein sphärisches Polynom ist, wenn gilt

∑_{i,j=1}^{4} a_{i,j}^{∗} \frac{∂^{2}P}{∂x_{i}∂x_{j}} = 0

(Siehe hierzu [Sch]) kann man durch Lösen eines linearen Gleichungssystems eine Basis des (d + 1)^{2}-dimensionalen Raumes der sphärischen Polynome vom Grad d in vier Unbekannten bestimmen ([Pf], Bemerkung 3.31 und Korollar 3.30). Mit dem folgenden Satz erhält man dann eine Basis von S_{k}(Γ_{0}(l)).

Satz 3.2 Sei l eine Primzahl und ℕ ∋ k ≥ 4. Sei außerdem 𝔄 eine Quaternionenalgebra, die genau in l und ∞ verzweigt ist. 𝔒 sei eine Ordnung der Stufe l in 𝔄 und {I_{1}, …, I_{H}} ein vollständiges Vertretersystem der Links-𝔒-Idealklassen. Sei desweiteren Q′_{ij}(n_{1}, n_{2}, n_{3}, n_{4}) die Normform des Ideals I_{j}^{−1}I_{i}, Q_{ij} = \frac{Q′_{ij}}{N(I_{j}^{−1}I_{i})} und

{P_{1}^{i,y}, …, P_{(k−1)^{2}}^{i,y}} eine Basis des Raumes der sphärischen Polynome bezüglich der quadratischen Form Q_{ij}(x). Dann ist

S_{k}(Γ_{0}(l)) = ∑_{l=1}^{(k−1)^{2}} ∑_{i,j=1}^{H} < ∑_{n∈ℤ^{4}} P_{l}^{(i,j)(n)e^{2πiQ_{ij} (n)τ}} > ⨁ S_{k}(SL_{2}(ℤ)) ⨁ S_{k}(SL_{2}(ℤ))^{l}.

(Die ersten beiden Summenzeichen stehen hier fuer eine nicht direkte Summe von Räumen.)

Beweis: Siehe [Ei, Chapter IV].

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3.1.3 Konstruktion von Modulfunktionen ohne endliche Nullstellen

Folgendes Lemma gibt uns Auskunft über die Operation der Fricke-Operation auf verallgemeinerten Thetareihen.

Lemma 3.1 Sei Q eine quadratische Form in vier Veränderlichen der Stufe l mit Diskriminante l^{2} (l Primzahl), P ein sphärisches Polynom vom Grad d bezüglich Q. Q^{∗} die zu Q adjungierte, quadratische Form und P^{∗} die zu P adjungierte, sphärische Funktion, also P^{∗}(x) = P (A^{−1}x), wobei A die Darstellungsmatrix der quadratischen Form Q ist. Dann ist

Θ(τ; Q, P)|[ω_{l}]_{(2+l)} = −l^{\frac{d}{2}} Θ(τ; Q^{∗}, P^{∗}).

Beweis: Siehe [Pf, Korollar 3.33, p.41].

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Durch obiges Lemma können die Räume S_{k}(Γ_{0}(l)) explizit in einen invarianten

S_{k}^{+}(Γ_{0}(l)) = {f ∈ S_{k}(Γ_{0}(l))|ω_{l}f = f}

und einen anti-invarianten Teilraum

S_{k}^{−}(Γ_{0}(l)) = {f ∈ S_{k}(Γ_{0}(l))|ω_{l}f = −f}

aufgespalten werden.

Betrachten wir im Weiteren den Fall k = 12. Die Funktion ϕ(τ) := (η(τ)η(lτ))^{12}

mit η(τ) = e^{\frac{2πiτ}{24}} ∏_{n=1}^{∞}(1 − e^{2πinτ}) = q^{\frac{1}{24}} ∏_{n=1}^{∞}(1 − q^{n}) ist für l > 3 eine invariante

Modulform für Γ_{0}(l) vom Gewicht 12 ohne endliche Nullstellen. Sie hat unter allen invarianten Modulformen vom Gewicht 12 maximale Nullstellenordnung \frac{l+1}{2} in 0 und ∞. Jede andere invariante Modulform vom Gewicht 12 für Γ_{0}(l) ohne endliche Nullstellen ist ein skalares Vielfaches von ϕ. Ist nun {f_{0}(τ), …, f_{r}(τ)} eine Basis von S_{12}^{+}(Γ_{0}(l)) (beziehungsweise von S_{12}^{−}(Γ_{0}(l))), so sind die Funktionen \frac{f_{0}(τ)}{ϕ(τ)}, …, \frac{f_{r}(τ)}{ϕ(τ)} invariante (beziehungsweise anti-invariante) Modulfunktionen ohne endliche Pole für Γ_{0}(l). War die Basis dabei entsprechend ihrer Polstellenordnung in ∞ angeordnet, so gilt dies auch für \frac{f_{i}(τ)}{ϕ(τ)}, i ∈ \{1, …, r\}. Desweiteren ist auch ord_{∞} (\frac{f_{i}(τ)}{ϕ(τ)})

gleich ord_{0} (\frac{f_{i}(τ)}{ϕ(τ)}).

3.1.4 Darstellung von Modulfunktionen ohne endliche Pole

Die Fricke-Involution ω_{l} identifiziert die beiden Spitzen von X_{0}(l), so dass X_{0}^{+}(l) genau eine Spitze ∞^{+} hat. Sei g^{+} das Geschlecht von X_{0}^{+}(l), was einfach berechnet werden. Siehe hierzu [Fr, p.366] und [He]. Der Raum L((2g^{+} + 1)∞^{+}) hat nach Lemma 1.2 die Dimension g^{+} + 2. Ist {f_{0}(τ) = ϕ(τ), f_{1}(τ), …, f_{r}(τ)} eine Basis von S_{12}(Γ_{0}(l)), die ihrer Polstellenordnung entsprechend geordnet ist, so sind die Funktionen 1, x_{1}(τ) = \frac{f_{1}(τ)}{ϕ(τ)}, …, x_{g^{+}+1}(τ) = \frac{f_{g^{+}+1}(τ)}{ϕ(τ)} eine Basis von L((2g^{+} + 1)∞^{+}). Insbesondere ist r ≥ g^{+} + 2. Siehe hierzu [Pf, Proposition 4.16 und 4.17, p.73f]. Diese Modulfunktionen haben rationale Fourierkoeffizienten. Analog zu oben beschriebenem Verfahren kann man mit Hilfe von S_{12}^{−}(Γ_{0}(l)) eine antiinvariante Modulfunktion s(τ) berechnen. Es wird in [Pf, Proposition 4.22] gezeigt, dass sich jede invariante Modulfunktion f von Γ_{0}(l) ohne endliche Pole als Polynom P_{f} ∈ ℚ[x_{1}(τ), …, x_{g^{+}+1}(τ)] darstellen lässt. Sei nun f(τ) eine beliebige Modulfunktion ohne endliche Pole für Γ_{0}(l), die auch anti-invariant sein kann, so ist \frac{1}{2}(f(τ) + ω_{l}f(τ)) eine invariante und \frac{1}{2}(f(τ) − ω_{l}f(τ)) eine anti-invariante Modulfunktion für Γ_{0}(l) ohne endliche Pole. Da s(τ) auch anti-invariant ist, muss das Produkt \frac{1}{2}s(τ)(f(τ) − ω_{l}f(τ)) invariant sein. Man erhält also für \frac{1}{2}(f(τ) + ω_{l}(τ)) (beziehungsweise \frac{1}{2}(f(τ) − ω_{l}f(τ))) eine Darstellung als Polynom P (beziehungsweise Q) in x_{1}(τ), …, x_{g^{+}+1}(τ) mit rationalen Koeffizienten. Dies gilt insbesondere für die Funktion j(τ) und ω_{l}j(τ) = j(lτ). Nach Satz 2.2 wird der Funktionenkörper von Γ_{0}(l) von j(τ) und j(lτ) erzeugt, also auch von x_{1}(τ), …, x_{g^{+}+1}(τ), s(τ).

Bemerkung 3.2

i) Wir heben hier insbesondere hervor, dass bei der Konstruktion dieser Polynome ein Faktor 2 auftritt.

ii) Hat X_{0}^{+}(l) in ∞^{+} einen Weierstraß-Punkt, so werden im Allgemeinen nicht alle der Funktionen x_{1}(τ), …, x_{g^{+}+1}(τ) zur Darstellung der invarianten Modulfunktionen ohne endliche Pole benötigt.

iii) Hat X_{0}^{+}(l) in ∞ keinen Weierstraß-Punkt, so benötigt man im Allgemeinen alle Funktionen zur Darstellung der invarianten Modulfunktionen.

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3.1.5 Relationen zwischen Modulfunktionen

Auf der Menge Y_{0}(l) = X_{0}(l) − S(X_{0}(l)) = X_{0}(l) − {0, ∞} sind die Funktionen j(τ) und j(l(τ)) definiert, und für Y0^{′}(l) = Y_{0}(l) − {τ ∈ ℍ|s(τ) = 0} ist die Abbildung

ϕ_{l} : Y′_{0}(l) → C_{M}(l) ⊂ 𝔸^{2}
τ ↦ (j(τ, j(lτ))

eine Bijektion auf eine offene Teilmenge C′_{M}(l) der glatte Kurve C_{M}(l), die durch die Nullstellenmenge des Modulpolynoms beschrieben wird. Bezeichnen wir mit C_{p}(l) die Varietät aus 𝔸^{n+1}, die durch die Relationen zwischen x_{1}, …, x_{n}, s beschrieben werden, dann bildet auch die Abbildung

ψ_{l} : Y′_{0}(l) → C_{P} (l) ⊂ 𝔸^{n+1}
τ ↦ (x_{1}(τ), …, x_{n}(τ), s(τ))

bijektiv auf eine offene Teilmenge C′_{P} (l) von C_{P} (l) ab. Denn durch

p_{l} : C′_{P} (l) → C_{M}(l)

(x_{1}(τ), …, x_{n}(τ), s(τ)) ↦ (R_{1}(x_{1}(τ), …, x_{n}(τ), s(τ)), R_{2}(x_{1}(τ), …, x_{n}(τ), s(τ)))

erhält man mit ϕ_{l} ein kommutatives Diagramm. Siehe hierzu auch Abbildung 3.1. Dabei sind R_{1} und R_{2} die Darstellungen von j(τ) und j(lτ) rationale Funktionen in x_{1}(τ), …, x_{n}(τ), s(τ). Um die Varietät C_{P} (l) zu beschreiben, können nun Relationen zwischen den Funktionen x_{1}, …, x_{n}, s gesucht werden. Da der Funktionenkörper von ℚ[x_{1}, …, x_{n}, s] Transzendenzgrad eins hat, gibt es zu je zwei (oder mehr) Funktionen x_{i}, x_{j} ein Polynom P aus ℤ[X_{i}, X_{j}], so dass P (x_{i}(τ), x_{j}(τ)) = 0 gilt. Um eine solche Relation P zwischen m Funktionen zu bestimmen, setzt man formal Abbildung 3.1: Kommutatives Diagramm

P = ∑_{(e_{1},...,e_{m})∈N_{1}×...×N_{m}} ∏_{i=1}^{m} X_{i}^{e_{i}},

wobei N_{i} = {0, …, a_{i}} für eine zufällig gewählte, natürliche Zahl a_{i} ist. Nach Einsetzen der Fourierentwicklungen von x_{i} in X_{i} erhält man durch Koeffizientenvergleich ein lineares Gleichungssystem, das uns, falls es nichttrivial lösbar ist, eine Relation liefert. Gibt es keine nichttriviale Lösung, so erhöhe man eine der Zahlen a_{i} und stelle ein neues Gleichungssystem auf. Auf diese Art hat M. Pfeifer Relationen der Form P_{1}(x_{1}, x_{2}), …, P_{g^{+}}(x_{1}, …, x_{g^{+}+1}) bestimmt (Falls X_{0}^{+}(l) in ∞^{+} einen Weierstraß-Punkt hat, reichen nach Bemerkung 3.2 weniger Relationen aus.). Die Funktion s^{2} kann als invariante Funktion -wie oben gesehen- auch als ganzes Polynom in x_{1}, …, x_{n} dargestellt werden. Die so gewonnenen Relationen können also als Polynome über ℚ aufgefasst werden und sind nicht eindeutig bestimmt, da sie von der Wahl einiger, natürlicher Zahlen abhängen. Die von M. Pfeifer angegebenen Relationen wurden so gewählt, dass sie in einer rechnerisch günstigen Dreiecksform vorliegen. Diese Relationen wurden als Standard-Relationen bezeichnet. Von der durch das Ideal (P_{1}(x_{1}, x_{2}), …, P_{g^{+}}(x_{1}, …, x_{g^{+}+1})) definierten algebraischen Menge wissen wir nur dass sie eindimensional ist und eine ihrer Komponenten mit der gesuchten Kurve übereinstimmt. Das Modell, das zu dieser Komponente gehört, wollen wir Standardmodell nennen. Die durch obiges Ideal beschriebene algebraische Menge wollen wir mit C_{P} bezeichnen, die gesuchte Varietät mit C′′_{P}.

Um eine Einteilung der Modelle vorzunehmen machen wir folgende Definition:

Definition 3.1 Wir teilen die Kurven Γ_{0}(l) in Klassen ein. Wir sagen die Kurve Γ_{0}(l) gehört zur Klasse N, falls die Kurve Γ_{0}^{+}(l) das Geschlecht g_{0}^{+}(l) = N hat.

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Bemerkung 3.3

• Wir werden die Menge der Standard-Relationen gelegentlich auch als Standardmodelle bezeichnen. Dabei wird aus dem Kontext klar, ob wir die Varietät oder die algebraische Menge betrachten.

• Betrachten wir die oben beschriebene Konstruktion etwas genauer, so werden die Räume L((2g^{+} + 2)∞^{+}) von X_{0}^{+}(l) von g_{0}^{+} + 2 Modulfunktionen erzeugt. Desweiteren braucht man noch eine unter der Fricke-Involution invariante Modulfunktion ohne endliche Pole, um den vollen Raum O(X_{0}(l)) zu erzeugen.

Damit hat O(X_{0}(l)) also g^{+} + 3 Erzeuger. Ein Standardmodell der Klasse l liefert folglich eine algebraische Menge im 𝔸^{l+2}, die durch höchstens l + 1 Polynome gegeben ist. Hat X_{0}^{+}(l) im Unendlichen keinen Weierstraß-Punkt, so werden diese im Allgemeinen benötigt, sonst weniger. Im Fall eines Weierstraß-Punktes hat man ein Standard-Modell in einem Raum 𝔸^{l′} mit l′ < l + 2, das durch l′ − 1 Polynome dargestellt wird.

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3.2 Reduzibilität der Modelle

3.2.1 Reduktion einer Kurve

In diesem Abschnitt beschreiben wir den Begriff der Reduktion und folgen dabei [TV, Part 2, 2.6.1, p.234f]. Die hier eingeführte ’ad hoc’ Definition werden wir übernehmen. Eine exakte Definition hingegen findet man zum Beispiel in

• G. Shimura, Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions, Princeton University Press, 1998, Chapter III.

Sei P eine Primzahl, X eine affine Kurve über ℚ und F_{1}, …, F_{n} ∈ ℤ[x_{1}, …, x_{m}] eine Basis des Ideals I = I(X). Mit \overline{F_{i}}, i ∈ \{1, …, n\} bezeichnen wir die Polynome aus 𝔽_{p}[x_{1}, …, x_{m}], die man erhält, wenn man die Koeffizienten von F_{i} modulo p reduziert. Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass jedes Polynom F_{i} mindestens einen Koeffizienten hat, der nicht durch p teilbar ist, so dass die Polynome \overline{F_{i}} nicht verschwinden. Darüberhinaus kann eine Basis des Ideals I auch so gewählt werden, dass das System 0 = \overline{F_{1}} = … = \overline{F_{n}} eine eindimensionale Varietät in 𝔸^{m}(\overline{𝔽_{p}}) definiert. Bezeichnen wir diese mit \overline{X} und nennen sie eine Reduktion von X modulo p. Der so definierte Begriff der Reduktion ist nicht eindeutig, er hängt von der Wahl einer Basis des Ideals I ab. Bei der Wahl einer anderen Basis für I erhalten wir eine andere Reduktion \overline{X′} von X modulo p. Beide Reduktionen müssen nicht isomorph sein, im Gegenteil ist es sogar möglich dass \overline{X} irreduzibel und \overline{X′} reduzibel ist. Siehe hierzu auch Abschnitt 3.4. Gibt es eine irreduzible, glatte Reduktion von X, so sagen wir: X hat gute Reduktion modulo p. Es ist möglich, dass X zwei nicht isomorphe, gute Reduktionen hat. Ist X jedoch eine glatte, projektive Kurve, so ist die gute Reduktion von X modulo p bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Bemerkung 3.4

Der hier angegebene Begriff der guten Reduktion gibt keine Auskunft darüber, wie man eine Basis eines Ideals I(X) einer Kurve X mit guter Reduktion finden kann, so dass diese bei Reduktion eine irreduzible Kurve \overline{X} definiert. Es ist auch nicht klar welche der möglichen, guten Reduktionen einer affinen Kurve diejenige ist, an der man interessiert ist. Eine Möglichkeit den Begriff der guten Reduktion genauer zu fassen, liefert die Theorie der Schemata.

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Nun wollen wir die von M. Pfeifer in [Pf] angegebenen Kurven bezüglich Reduktion untersuchen, das heißt wir werden die Koeffizienten der Kurven reduzieren und die Kurven, die wir erhalten auf Reduzibilität untersuchen. ersuchen, das heißt wir werden die Koeffizienten der Kurven reduzieren und die Kurven, die wir erhalten auf Reduzibilität untersuchen.

Proposition 3.1 Für einen algebraisch abgeschlossenen Körper ist eine algebraische Menge V genau dann irreduzibel, wenn das zugehörige Ideal I(V) ein Primideal ist.

Beweis: Siehe [Ha,Chapter I, Paragraph 1, Corollary 1.4, p.4] oder [CLS,Chapter 4, Paragraph 5, Corollary 4, p.196].

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3.3 Primärzerlegung

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins.

Definition 3.2 Ein Ideal Q aus R (Q ≠ R) heißt Primärideal, falls für alle a, b ∈ R gilt:

ab ∈ Q, a ∉ Q ⇒ b^{n} ∈ Q für ein n ∈ ℕ.
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Ist Q ein Primärideal, so ist sein Radikal \sqrt{Q} ein Primideal ([Hu, Theorem 2.9, p.380]), das wir das zu Q assoziierte Primideal nennen. Ist der Ring R darüberhinaus noethersch, dann lässt sich jedes Ideal I aus R als Schnitt endlich vieler Primäridea-

le I = ⋂_{i=1}^{m} Q_{i} darstellen ([Hu, Theorem3.6, p.385]). Diese Darstellung nennen wir

eine Primärzerlegung von I. Sei P_{i} das zu Q_{i} assoziierte Primideal. Enthält in einer Primärzerlegung keines der Q_{i} das Ideal Q_{1} ∩ … ∩ Q_{i−1} ∩ Q_{i+1} … ∩ Q_{m} und gilt für jedes P_{i}: P_{i} ⊄ P_{j} für alle j ≠ i, so nennen wir die Primärzerlegung reduziert. Die P_{i} nennen wir in diesem Fall isolierte Primideale. Zu jeder Primärzerlegung

existiert eine reduzierte Primärzerlegung I = ⋂_{i=1}^{n} Q_{i} und die Menge der assoziier-

ten {P_{1}, …, P_{n}} ist eindeutig bestimmt ([Hu, Theorem 3.4, Theorem 3.5]). In Satz 1.6 haben wir gesehen, wenn k ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, gibt es eine bijektive Korrespondenz zwischen algebraischen Mengen im 𝔸^{n}(k) und Radikalidealen aus k[x_{1}, …, x_{n}]. Ebenfalls haben wir gesehen, dass es eine bijektive Korrespondenz zwischen algebraischen Mengen in ℙ^{n} und homogenen Radikalidealen in

k[x_{0}, …, x_{n}] außer (x_{0}, …, x_{n}) gibt. Sei I ein Ideal in k[x_{1}, …, x_{n}] und I = ⋂_{i=1}^{m} Q_{i}

eine reduzierte Primärzerlegung von I, dann ist V (I) = V (P_{1}) ∪ … ∪ V (P_{m}) eine Zerlegung von V (I) in irreduzible Varietäten. Dabei ist jedes Primideal P_{i} das assoziierte Ideal von Q_{i}. Ist umgekehrt V = V_{1} ∪ … ∪ V_{m} eine Zerlegung einer algebraischen Menge in Varietäten und für alle V_{i} gilt: V_{i} ⊄ V_{j} falls j ≠ i, dann ist \sqrt{I(V)} = I(V_{1}) ∩ … I(V_{m}).

Ein Verfahren zur Berechnung der Primärzerlegung und der assoziierten Primideale lässt sich insbesondere dazu benutzen, um zu testen, ob ein gegebenes Ideal I ein Primideal ist. Algorithmen zur Berechnung wurden in [GTZ] und [SY] angegeben und sind im Computeralgebrasystem Singular [Si] implementiert. Weitere Algorithmen findet man in [DGP]. Für die Rechnungen über endlichen Körpern wurde der in [SY] beschriebene Algorithmus benutzt. Insbesondere wurden Rechnungen in den Polynomringen K[X_{1}, …, X_{n}] durchgeführt, wobei K hier einer der endlichen Körper 𝔽_{2}, 𝔽_{3}, 𝔽_{5}, 𝔽_{7}, 𝔽_{31}, 𝔽_{1021} und n eine natürliche Zahl bezeichnet. In Charakteristik null wurde der Algorithmus aus [GTZ] verwendet.

Bemerkung 3.5

Es ist nicht notwendig, eine komplette Primärzerlegung zu berechnen. Es würde beispielsweise schon ausreichen die assoziierten Primideale zu berechnen. Gibt es nur ein assoziiertes Ideal, so muss dieses bereits das gesuchte Primideal sein.

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Beispiel 3.1

Wir betrachten die Kurve Γ_{0}(73) mit Geschlecht g = 5. Die Kurve Γ_{0}^{+}(73) hat Geschlecht g^{+} = 2, also handelt es sich hier um ein Modell der Klasse 2. Die algebraische Menge C_{P} (73) hat in ℚ[X, Y, Z, S] drei definierende Gleichungen:

f_{0} = −Y^{3} − 4XY^{2} − 43Y^{2} − 5X^{2}Y − 111XY − 606Y +
X^{4} + 15X^{3} + 39X^{2} − 467X − 2508,
f_{1} = −Y Z − 3XZ − 23Z − 6XY − 28Y + X^{3} − 2X^{2} − 133X − 474,
f_{2} = −S^{2} − 8Y + X^{2} − 12X − 144.

Wenn wir diese nun über dem Körper mit drei Elementen betrachten, das heißt die Koeffizienten modulo drei reduzieren und die Primärzerlegung des von Ihnen aufgespannten Ideals (f_{0}, f_{1}, f_{2}) berechnen, erhalten wir eine Zerlegung des Ideals I in drei primäre Ideale Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}. Dabei ist

Q_{1} = (Y^{2} + Y + 1, X − Y Z − Y + Z, S^{2} + X − Y + 1),
Q_{2} = (Y^{5} − Y^{3}Z − Y^{3} − Y^{2}Z + Y Z^{2} − Y Z + Y − Z^{4} − Z,
XZ^{2} + XZ − Y^{3} − Y^{2}Z − Y + Z^{2} + Z,
XY^{2} − XY Z + XZ^{2} − XZ + X − Y^{2}Z − Y Z,
X^{2} − XY + XZ − Y^{2} + Y − Z,
S^{2} − XY + XZ − Y^{2} − Z),
Q_{3} = (Y − 1, X^{2} − X + 1, S^{2} − X).

Die beiden Ideale Q_{2} und Q_{3} sind dabei schon Primideale, hingegen ist Q_{1} ein primäres Ideal und hat als Radikal Rad(Q_{1}) = (Y −1, X+1, S^{2}+1). Die algebraische Menge C_{p}(73) ist also über dem Körper mit drei Elementen reduzibel. Siehe hierzu ˜ /data/primacp/k067-191c3.

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Die Ergebnisse einiger solcher Rechnungen sind in Tabelle 3.3 zusammengefasst. Dabei bedeutet:

I: Das Modell ist im angegebenen Fall irreduzibel,

R: Das Modell ist im angegebenen Fall reduzibel,

?: Eine Rechnung ist nicht durchgeführt worden,

H: Eine Rechnung wurde wegen Mangel an Speicher, Error, etc. abgebrochen.

(W): Bei so gekennzeichneten Kurven der Stufe l hat die Kurve X_{0}^{+}(l) im Unendlichen einen Weierstraß-Punkt.

Betrachten wir die Tabelle, so fällt sofort auf, dass die untersuchten, algebraischen Mengen C_{p}(l) der Klasse N für N größer oder gleich zwei in allen untersuchten Fällen reduzibel sind. Desweiteren sieht man, dass viele Standardmodelle über dem Körper mit zwei Elementen ebenfalls zerfallen. Dies werden wir nun in den nächsten beiden Paragraphen genauer untersuchen.

3.3.1 Die Modelle über dem Körper 𝔽_{2}

Die Standardmodelle der Klasse 0 haben die Form S^{2} = f(X). An den Diskriminanten der Polynome f(X) sieht man direkt (Siehe Tabelle 3.3.1), dass die Modelle in Charakteristik zwei reduzibel sind. Für Modelle höherer Klassen kann man dies

Klasse Stufe Geschlecht Primzahl
2  3 5 7 31 1021
0  11  1  R  I I I I  I
17  1  R  I I I I  I
19  1  R  I I I I  I
23  2  R  I I I I  I
29  2  R  I I I I  I
31  2  R  I I I R  I
41  3  R  I I I I  I
47  3  R  I I I I  I
59  5  R  I I I I  I
71  6  R  I I I I  I
1  37  2  R  I I I I  I
43  3  R  I I I I  I
53  4  ?  I I I I  I
61  4  ?  I I I I  I
79  6  ?  I I I I  I
83  7  ?  I I I I  I
89  7  ?  I I I I  I
101  8  ?  I I I I  I
131  11  ?  I I I I  I
2  67  5  R  R R R R R
73  5  R  R R R R R
103  8  R  R R R R R
107  9  R  R R R R R
167  14  ?  R H R H H
191  16  H  R R R R R
3  97  7  H  H R R R R
113  9  ?  R R R R R
127  10  ?  R R R R R
139  11  ?  R R R R R
149  12  ?  R R R R R
239  20  ?  R R R R R
109(W)  8  ?  R R R R R
151(W)  12  R  R R R R R
179(W)  15  R  R R R R R
4  137  11  ?  R ? ? R R
173  14  ?  R ? ? R R
5  157  12  ?  H ? ? ?  ?
6  163  13  ?  ? ? ? ?  ?

Tabelle 3.1: Tabelle zur Beschreibung der Reduzibilität der Reduktion der Standardmodelle über den endlichen Körpern 𝔽_{2}, 𝔽_{3}, 𝔽_{5}, 𝔽_{7}, 𝔽_{31} und 𝔽_{1021}

Stufe  11  17  19  23  29
Diskriminante −2^{8} × 11^{5} −2^{8} × 17^{4} −2^{8} × 19^{3} 2^{12} × 23^{6} 2^{12} × 29^{5}
Stufe 31 41 47 59 71
Diskriminante 2^{12} × 31^{4} −2^{16} × 41^{6} 2^{20} × 47^{8} 2^{24} × 59^{9} 2^{28} × 71^{10}

Tabelle 3.2: Diskriminanten der Polynome f(X) der Standardmodelle der Klasse null noch einfach nachrechnen. So haben wir zum Beispiel für die Stufe 61 nach der Reduktion des Modells modulo zwei eine Varietät in 𝔸^{3}(\overline{𝔽_{2}}), die in 𝔽_{2}[X, Y, S] durch das Ideal (Y^{3}+X^{2}+XY +X,S^{2}+Y^{4}+Y^{3}+Y^{2}+Y +XY)= (Y^{3}+x^{2}+XY +X,S^{2}+ Y^{4} + Y^{2} + X^{2}) beschrieben wird. Das Ideal auf der rechten Seite obiger Gleichung erhält man durch Addition des ersten Erzeugers zum Zweiten. Da wir nun in Charakteristik zwei rechnen, sehen wir, dass S^{2} + Y^{4} + Y^{2} + X^{2} = (S + Y^{2} + Y + X)^{2} ein Quadrat ist. Die linke Seite der Gleichung ist eine Gröbner Basis des Ideals bezüglich der lexikographischen Ordnung S > X > Y. Da die beiden Erzeuger als höchste Koeffizienten S^{2} und X^{2} haben, kann das Polynom S +Y^{2} +X +Y nicht in obigem Ideal enthalten sein. Damit sind das angegebene Ideal, sowie das betrachtete Modell reduzibel. Ähnlich kann man auch für fast alle anderen angegebenen Modelle zeigen, dass sie über 𝔽_{2} reduzibel sind. Nicht nachgeprüft wurde dies für die Standardmodelle der Stufen 103, 107, 113, 127, 139, 149, 167, 173, 179, 191 und 239. Deshalb und aufgrund von Problemen beim Einsatz von Singular für die Primzahl zwei (Siehe ˜ /dip/primac2/ ) werden diese Modelle nicht in Charakteristik zwei behandelt.

Bemerkung 3.6

Betrachten wir die in [ShM] angegebenen Modelle, so sieht man, dass für alle dort angegebenen hyperelliptischen Kurven (diese Modelle haben Geschlecht größer als eins und haben nicht notwendig eine Primzahlstufe), die durch eine Gleichung der Form y^{2} = f(x) gegeben sind, die Diskriminante von f(x) durch zwei teilbar ist. Genau wie bei [Pf] tritt bis auf die Teiler der Stufe kein weiterer Faktor in der Diskriminante auf.

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Bemerkung 3.7

Bei der Konstruktion des Standardmodelles tritt, wie in Bemerkung 3.2 schon hervorgehoben wurde, die Zahl zwei als Faktor auf. Genauer gesagt: Betrachtet man die Abbildung 3.1, dann beschreibt p_{l} einen Morphismus von C′′_{p}(l) nach C_{M}(l), den man, wie aus der Konstruktion der Modelle hervorgeht, durch (\frac{sP +Q}{2s}, \frac{sP −Q}{2s}) mit Polynomen P und Q aus ℤ[x_{1}, …, x_{n}] angeben kann. Die Zahl zwei im Nenner der beiden rationalen Abbildungen wird wohl für die Reduzibilität modulo zwei verantwortlich sein. Die beiden Polynome P und Q sind, wie in [Pf, p 79] angegeben groß, können wohl aber noch für die vorliegenden Modelle berechnet werden.

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3.3.2 Die Modelle der Klassen größer oder gleich zwei über ℚ

Die Modelle der Klassen größer gleich zwei sind in allen untersuchten Fällen reduzibel. Der Gedanke, dass die Modelle auch schon in Charakteristik null reduzibel sind, liegt nahe. Berechnet man nun (hier mit Hilfe des Computeralgebrasystems Singular [Si]) eine Primärzerlegung in Charakteristik null, so sieht man, dass die angegebenen Relationen in der Tat eine reduzibele algebraische Menge definieren.

Beispiel 3.2

Das Standardmodell für Y_{0}(67) in ℚ[X, Y, Z, S] ist gegeben durch die Relationen f_{1}, f_{2}, f_{3}, wobei:

f_{1} = −Y^{3} − 4XY^{2} − 47Y^{2} − 5X^{2}Y − 121XY − 724Y + X^{4} + 15X^{3}
+34X^{2} − 602X − 3348,
f_{2} = −Y Z − 3XZ − 22Z − 6XY − 27Y + X^{3} − X^{2} − 131X − 474,
f_{3} = −S^{2} − 4Z + Y^{2} + 2XY + 20Y − 7X^{2} − 76X − 204.

Berechnen wir eine Primärzerlegung für das Ideal I = (f_{1}, f_{2}, f_{3}), so erhalten wir

eine Zerlegung I = ⋂_{i=1}^{4} Q_{i}, wobei die Q_{i} primäre Ideale sind, die gegeben sind durch:

Q_{1} = (Y^{2} + 20Y + 100, 3XZ + 15X + Y Z + 3Y + 22Z + 90,

XY + 10X + 4Y + 40, X^{2} + 8X + 16, S^{2} + 40X + 8Y + 4Z + 272)

Q_{2} = (Y − 8, X + 10, S^{2} + 4Z + 80),
Q_{3} = (Y + 13, X + 3, S^{2} + 4Z + 52),
Q_{4} = (Y^{5} + 12Y^{4} − 15Y^{3}Z − 482Y^{3} − 15Y^{2}Z^{2} − 767Y^{2}Z − 12264Y^{2}
−242Y Z^{2} − 10317Y Z − 101615Y − Z^{4} − 25Z^{3} − 1149Z^{2}
−42385Z − 293100,

XZ^{4} + 159XZ^{3} + 8754XZ^{2} + 157428XZ + 669960X + 3Y 4Z + 126Y^{4} −Y^{3}Z^{2} − 93Y^{3}Z − 318Y^{3} − Y^{2}Z^{3} − 141Y^{2}Z^{2} − 6261Y^{2}Z − 77382Y^{2}

−30Y Z^{3} − 2477Y Z^{2} − 69459Y Z − 772314Y + 15Z^{4} + 1766Z^{3}
+59229Z^{2} + 719286Z + 1784520,

1368XY + XZ^{3} + 117XZ^{2} + 4296XZ + 35820X + 3Y^{4} − Y^{3}Z − 51Y^{3}

−Y^{2}Z^{2} − 99Y^{2}Z − 2559Y^{2} − 30Y Z^{2} − 1217Y Z − 11505Y + 15Z^{3}
+1136Z^{2} + 22461Z + 170820,

5472X^{2} + XZ^{3} + 117XZ^{2} + 5664XZ + 72756X + 3Y^{4} − Y^{3}Z − 51Y^{3}

−Y^{2}Z^{2} − 99Y^{2}Z − 3927Y^{2} − 30Y Z^{2} − 1217Y Z − 45705Y + 15Z^{3}
+1136Z^{2} + 27933Z + 80532,
5472S^{2} + XZ^{3} + 117XZ^{2} − 5280XZ + 193140X + 3Y^{4}
−Y^{3}Z − 51Y^{3} − Y^{2}Z^{2} − 99Y^{2}Z + 1545Y^{2} − 30Y Z^{2} − 1217Y Z
+118455Y + 15Z^{3} + 1136Z^{2} + 6045Z + 1919124).

Dabei sind Q_{2}, Q_{3} und Q_{4} Primideale, und das zu Q_{1} assoziierte Primideal kann durch P_{1} = (Y + 10, X + 4, S2 + 4Z + 32) angegeben werden (Die Ergebnisse der Berechnungen der Primärzerlegung befinden sich in ˜ /data/primac0/k067c0). Reduzieren wir nun die gegebenen Primideale modulo der Primzahl 67 und berechnen für jedes dieser Ideale wiederum eine Primärzerlegung, dann sehen wir, dass nur das Primideal Q_{4} modulo 67 reduzibel ist. Der Funktionenkörper ℚ(j, j_{l}) der Modulkurve C_{M}(l) ist, wie wir bereits in Abschnitt 3.1.4 gesehen haben, in ℚ(x_{1}, …, x_{,}s) enthalten und die Kurve C′′_{P} (67) ist birational zu C_{M}(67). In Abschnitt 2.9 haben wir gesehen, dass C_{M}(67) modulo 67 reduzibel ist. In [Ig] wird gezeigt, dass die Reduktion modulo 67 von C_{P} (67) entweder reduzibel oder eine Kurve von kleinerem Geschlecht ist.

Eine Möglichkeit nachzuweisen, welche der Primideale die Kurve C′′_{p}(67) definiert, besteht darin, die in [Pf] bei der Konstruktion des obigen Modells angegebenen Fourierentwicklungen der Basen der Spitzenformen zu betrachten. Diese sind im Fall der Stufe 67:

X = q^{−3} + q^{−2} + 3q^{−1} + 9q + 13q^{2} + 23q^{3} + 33q^{4} + 52q^{5} + 75q^{6} + 111q^{7}
+156q^{8} + 225q^{9} + 308q^{10} + 430q^{11} + 583q^{12} + 796q^{13} + 1061q^{14}
+1424q^{15} + 1873q^{16} + O(q^{17}),
Y = q^{−4} + 3q^{−2} + 3q^{−1} + 14q + 30q^{2} + 45q^{3} + 84q^{4} + 129q^{5} + 214q^{6}
+326q^{7} + 512q^{8} + 758q^{9} + 1149q^{10} + 1669q^{11} + 2445q^{12}
+3488q^{13} + 4989q^{14} + 6993q^{15} + O(q^{16}),
Z = q^{−5} + 3q^{−1} + 13q + 28q^{2} + 64q^{3} + 120q^{4} + 237q^{5} + 414q^{6} + 739q^{7}
+1234q^{8} + 2052q^{9} + 3290q^{10} + 5239q^{11} + 8106q^{12} + 12456q^{13}
+18772q^{14} + O(q^{15}),
S = q^{−4} + q^{−3} − 4 − 11q − 21q^{2} − 42q^{3} − 77q^{4} − 127q^{5} − 213q^{6} − 341q^{7}
−536q^{8} − 817q^{9} − 1233q^{10} − 1817q^{11} − 2662q^{12} − 3828q^{13}
−5462q^{14} − 7693q^{15} + O(q^{16}).

Setzen wir diese in die Erzeuger der Ideale Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} ein, dann sehen wir sofort, dass diese Erzeuger keine Relationen zwischen Funktionen auf X_{0}(67) erfüllen. Deshalb kann nur Q_{4} ein Modell für Y_{0}(67)sein.

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Im Laufe der Ausführungen werden noch weitere Kurven angegeben die mit Hilfe dieses Verfahrens bestimmt wurden. Siehe hierzu auch das Verzeichnis ’˜ /data/verbmod’. Bei dieser Darstellung des Modells können wir nun aber weder davon ausgehen, dass es in einer Dreiecksgestalt vorliegt, noch, dass ein Modell der Klasse N durch N +1 Polynome gegeben ist. Die so gewonnenen Darstellungen der Modelle haben allerdings im Vergleich zu den Modulpoynomen in den berechneten Fällen aufgrund ihrer kleinen Koeffizienten ein ’kleines’ Modell, das oft in wenigen Zeilen hingeschrieben werden kann. Bei der Berechnung dieser Darstellung der Modelle wird aber eine Primärzerlegung berechnet, was sehr aufwendig ist. Man kann sich damit begnügen die assoziierten Primideale zu berechnen, was keine direkte Verbesserung darstellt. Mit Hilfe der beiden Singular-Funktionen ’minAssGTZ();’ und ’minAssChar();’, mit denen man die assoziierten Primideale eines Ideals berechnen kann, konnten keine weiteren Kurven bestimmt werden. Eine Verbesserung wäre es wohl Eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe man direkt aus den angegebenen Fourierentwicklungen Relationen berechnen kann die die gesuchte Modulkurve darstellen .

Allgemein haben wir also folgendes Problem zu lösen: Gegeben seien die Fourierentwicklungen der Koordinatenfunktionen x_{1}, …, x_{n} eines algebraischen Funktionenkörpers vom Transzendenzgrad eins. Gebe nun ein Verfahren an, die die zu diesem Funktionenkörper gehörende Kurve in möglichst günstiger Zeit bestimmt. Anders ausgedrückt: Bestimme eine Menge von Relationen R := {r_{1}, …, r_{m}} zwischen x_{1}, …, x_{n}, die aufgefasst als Polynome in k[x_{1}, …, x_{n}] ein Primideal definieren.

Bemerkung 3.8

Mit oben angegebenem Verfahren kann man das Problem zwar lösen, aus Zeitgründen wäre es aber wünschenswert die Berechnung einer Primärzerlegung zu vermeiden. Zum Testen ob R ein Ideal Primideal ist,könnte man versuchen einen Algorithmus(Ein Beispiel eines solchen Algorithmus findet sich in [AL]) so zu modifizieren, dass man zu einem Ideal R, das aus schon bestimmten Relationen besteht, aber noch kein Primideal ist, Bedingungen findet, die an die noch zu suchenden Relationen gestellt werden, um zu garantieren, dass diese zusammen mit den schon gefundenen Relationen ein Primideal erzeugen. Gut wäre es, eine obere Schranke für den (Total-)Grad der Polynome von R anzugeben, so dass alle Relationen mit kleinerem Grad das gesuchte Ideal erzeugen. Dies wird im Allgemeinen wohl nicht möglich sein. Hier kann man sich aber auf den Spezialfall der Modelle für Modulkurven zurückziehen. Weitere Möglichkeiten zur Beschleunigung der Berechnungen von Primärzerlegungen (beziehungsweise zur Berechnung der Menge der Assoziierten zu einem Ideal) sind in [DGP] beschrieben. Dort finden sich unter Anderem auch Laufzeitvergleiche der angegebenen Algorithmen.

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Wendet man obiges Verfahren (Einsetzen von Erzeugern in eine Primärzerlegung) auf die anderen Standardmodelle an, dann erhalten wir die unten nach ihrer Stufe aufgelisteten Modelle. Die Reduzibilität der einzelnen Komponenten modulo Stufe des Modells wurde in den meisten Fällen auch untersucht. Es fällt auf, dass in allen Fällen das Modell für C′_{P} (l) modulo l reduzibel ist. Die Ergebnisse sind vor jedem Modell kurz zusammengefasst. Rechnungen hierzu finden sich in dem Verzeichnis ’˜ /data/komtest’.

Stufe 67: Das Ideal zerfällt in vier Primärideale. wovon drei Primideale sind. Eines ist modulo 67 reduzibel. Die anderen und das Radikal des Primärideals sind nicht reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = Y^{5} + 12Y^{4} − 15Y^{3}Z − 482Y^{3} − 15Y^{2}Z^{2} − 767Y^{2}Z − 12264Y^{2}
−242Y Z^{2} − 10317Y Z − 101615Y − Z^{4} − 25Z^{3} − 1149Z^{2}
−42385Z − 293100,
f_{2} = XZ^{4} + 159XZ^{3} + 8754XZ^{2} + 157428XZ + 669960X + 3Y^{4}Z

+126Y^{4} − Y^{3}Z^{2} − 93Y^{3}Z − 318Y^{3} − Y^{2}Z^{3} − 141Y^{2}Z^{2} − 6261Y^{2}Z

−77382Y^{2} − 30Y Z^{3} − 2477Y Z^{2} − 69459Y Z − 772314Y + 15Z^{4}
+1766Z^{3} + 59229Z^{2} + 719286Z + 1784520,
f_{3} = 214113888XY + 156516XZ^{3} + 18312372XZ^{2} + 672392736XZ

+1159Y^{5}Z + 5606403120X + 75126Y^{5} + 13908Y^{4}Z + 1371060Y^{4}

−17385Y^{3}Z^{2} − 1842044Y^{3}Z − 44193048Y^{3} − 17385Y^{2}Z^{3}
−2172359Y^{2}Z^{2} − 87330702Y^{2}Z − 1321869708Y^{2} − 280478Y Z^{3}
−34833375Y Z^{2} − 1083326699Y Z − 9434645070Y − 1159Z^{5}
−104101Z^{4} − 862101Z^{3} + 42358187Z^{2} − 8412534Z
+4716632520,
f_{4} = 5472X^{2} + XZ^{3} + 117XZ^{2} + 5664XZ + 72756X + 3Y^{4} − Y^{3}Z
−51Y^{3} − Y^{2}Z^{2} − 99Y^{2}Z − 3927Y^{2} − 30Y Z^{2} − 1217Y Z
−45705Y + 15Z^{3} + 1136Z^{2} + 27933Z + 80532,
f_{5} = 5472S^{2} + XZ^{3} + 117XZ^{2} − 5280XZ + 193140X + 3Y^{4} − Y^{3}Z
−51Y^{3} − Y^{2}Z^{2} − 99Y^{2}Z + 1545Y^{2} − 30Y Z^{2} − 1217Y Z
+118455Y + 15Z^{3} + 1136Z^{2} + 6045Z + 1919124.

Stufe 73: Das Ideal zerfällt in drei Primärideale. Zwei davon sind Primideale und modulo 73 reduzibel, das Radikal des Dritten ist modulo 73 nicht reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = Y^{5} − 19Y^{3}Z − 667Y^{3} − 15Y^{2}Z^{2} − 679Y^{2}Z − 10194Y^{2} − 164Y Z^{2}

−7429Y Z − 55226Y − Z^{4} − 9Z^{3} − 282Z^{2} − 25732Z − 98520,

f_{2} = XZ^{4} + 173XZ^{3} + 9193XZ^{2} + 112143XZ − 553518X + 3Y^{4}Z

+171Y^{4} − Y^{3}Z^{2} − 115Y^{3}Z − 906Y^{3} − Y^{2}Z^{3} − 154Y^{2}Z^{2} −6966Y^{2}Z − 96309Y^{2} − 24Y Z^{3} − 2239Y Z^{2} − 74245Y Z −1126086Y + 16Z^{4} + 1949Z^{3} + 54262Z^{2} + 179319Z − 6416514,

f_{3} = 49001450198904915118009200XY + 27223027888280508398894XZ^{3}

+12448847172826100Y^{5}Z^{3} + 3157871235040538974271704XZ^{2} +2813180650428323350Y^{5}Z^{2} + 86596451712620297216881814XZ +285116829544474604975Y^{5}Z − 4736806852560808461407556X +9955360290885681341475Y^{5} + 81669083664841525196682Y^{4} −236528096283695900Y^{3}Z^{4} − 61753813422413152350Y^{3}Z^{3} −7293611255180709168975Y^{3}Z^{2} − 406547798721273015405244Y^{3}Z −8219160931541018941899677Y^{3} − 186732707592391500Y^{2}Z^{5} −50650476986773772150Y^{2}Z^{4} − 6313805652887739892675Y^{2}Z^{3} −398825323062730313528944Y^{2}Z^{2} −12306804303050961068669393Y^{2}Z −156938250613716031203543228Y^{2} − 2041610936343480400Y Z^{5} −553844112317170126300Y Z^{4} − 68345779131292343581650Y Z^{3} −4559525398310440367261731Y Z^{2} − 12448847172826100Z^{7} −113415490920105204035603799Y Z − 2925220274983758250Z^{6} −827415165829137262416219362Y − 313946030301066475325Z^{5} −13635062435657901176150Z^{4} + 191952032742686719891879Z^{3} +17809087502598506119698428Z^{2} − 7865638902079988587000918Z −2527124525968166763836093988,

f_{4} = 7200X^{2} + XZ^{3} + 116XZ^{2} + 4981XZ + 53826X + 3Y^{4} − Y^{3}Z

−58Y^{3} − Y^{2}Z^{2} − 97Y^{2}Z − 3837Y^{2} − 24Y Z^{2} − 871Y Z − 46198Y +16Z^{3} + 1037Z^{2} + 19153Z − 67602,

f_{5} = 7200S^{2} + XZ^{3} + 116XZ^{2} + 4981XZ + 140226X + 3Y^{4} − Y^{3}Z

−58Y^{3} − Y^{2}Z^{2} − 97Y^{2}Z − 3837Y^{2} − 24Y Z^{2} − 871Y Z + 11402Y +16Z^{3} + 1037Z^{2} + 19153Z + 969198.

Stufe 103: Das Ideal zerfällt in drei Primärideale. Zwei davon sind Primideale. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = 85X^{2} − 12XY + Y^{2} − XZ − 382X + 67Y − 5Z − 33,
f_{2} = 179XY Z − 22Y^{2}Z + 22XZ^{2} + 85S^{2} − 5176077XY + 22596Y^{2} +

1024083XZ − 9464Y Z − 2525Z^{2} + 142639853X − 22858798Y +1600496Z + 10463112,

f_{3} = 85Y^{3} − 1303XY Z + 144Y^{2}Z − 144XZ^{2} − 510S^{2} + 38393913XY

−774889Y^{2} − 7434509XZ + 204043Y Z + 10075Z^{2} − 998992477X +161564527Y − 11391802Z − 74261163,

f_{4} = 12XY^{2} − Y^{3} + XY Z − 30627XY − 4715Y^{2} + 7283XZ + 1025Y Z

−85Z^{2} + 1311691X − 198163Y + 13210Z + 87339,

f_{5} = 15215S^{2}X + 2258025Y^{2}Z − 10291545XZ^{2} + 517310Y Z^{2}

−15215Z^{3} − 25985605S^{2} + 1225129597792XY − 53748105631Y^{2} −230234654024XZ + 13041496875Y Z − 102584545Z^{2} −29066989623658X + 4777718694693Y − 341135335275Z −2220689177472,

f_{6} = 15215Y^{2}Z^{2} − 15215XZ^{3} − 2723485S^{2}Y − 182580S^{2}Z

−6376140445Y^{2}Z + 10809928380XZ^{2} + 197931935Y Z^{2} −21650945Z^{3} + 16364134550S^{2} − 1708316087450576XY +168750039783508Y^{2} + 295964541172387XZ −38839394336275Y Z + 1478229965365Z^{2} +31389277347371224X − 5423661800653649Y +401223855748555Z + 2576466232608771,

f_{7} = 3043S^{2}Y^{2} − 106505XZ^{3} + 66946Y Z^{3} − 3043Z^{4} − 175130736S^{2}Y

−12969266S^{2}Z − 388124942354Y^{2}Z + 838055552208XZ^{2} −5093279067Y Z^{2} − 601585885Z^{3} + 1459078424064S^{2} −122462915456684912XY + 10389996706780315Y^{2} +21671705727322449XZ − 2408169078865176Y Z +81654479578513Z^{2} + 2416440188815859960X −411309577297000511Y + 30114017281121251Z +194102912912355606,

f_{8} = 852040XZ^{4} − 15215Y Z^{4} + 15215S^{4} − 158099065S^{2}Y Z

−13678285S^{2}Z^{2} + 571728045075XZ^{3} − 9419530425Y Z^{3} −600201320Z^{4} − 82505268466080S^{2}Y −3561137467775S^{2}Z − 197732469203928635Y^{2}Z +370631835023804360XZ^{2} + 3033018332153025Y Z^{2} −554734850847265Z^{3} + 566629396424567850S^{2} −55735253550934250761456XY + 5087777186995411255533Y^{2} +9768024574015492061417XZ − 1175166042719465532095Y Z +42278449793278385860Z^{2} + 1064744671171606542574924X −182446182254336923753039Y + 13419625077468329621390Z +86332641434195449400286,

f_{9} = 852040Y Z^{5} − 47714240S^{4}Y − 852040S^{4}Z + 1505554680S^{2}Y Z^{2}

−1333442600S^{2}Z^{3} − 2982386072195Y Z^{4} + 92299789120Z^{5} −2005266082885S^{4} + 8307083375589235S^{2}Y Z +1493926577923415S^{2}Z^{2} − 46731932820739789545XZ^{3} +1264929032114366075Y Z^{3} + 15878928778580720Z^{4} +5990621001768932425560S^{2}Y + 236984840578788741925S^{2}Z +14325233361092667759210985Y^{2}Z −27134368364789262183840880XZ^{2} −196159329190711413747755Y Z^{2} + 39386557158894710546595Z^{3} −41772537551847016493578270S^{2} +4058690099110476624832585645392XY −367080872556922423019960882191Y^{2} −712232768033245707434029406059XZ +84824938428136334521019729605Y Z −3030149920606321959741401140Z^{2} −77868206426598823278598180990468X +13330899720524067753581342257533Y −979931261180969334113043648050Z −6305589150182651964665838245202,

f_{10} = 170408S^{2}Y Z^{4} − 9542848Z^{7} − 170408S^{6} + 14901668376S^{4}Y Z

+477653624S^{4}Z^{2} − 990258780840S^{2}Y Z^{3} + 293494380032S^{2}Z^{4} −33402647665800Z^{6} + 54794317074335104S^{4}Y +1564253165260856S^{4}Z − 4330197374334734112S^{2}Y Z^{2} +1076452007989552880S^{2}Z^{3} + 3317054476232293263899Y Z^{4} −112098076215459516840Z^{5} + 2051735968694283465029S^{4} −8774772945725394170364283S^{2}Y Z −1564087761090159438484175S^{2}Z^{2} +48169512160009668027902214961XZ^{3} −1236686361696205210919567035Y Z^{3} −20445131288808033061308592Z^{4} −6307071427173289550965115161568S^{2}Y −253431926078278352990138507789S^{2}Z −15075617560766525597086279678354881Y^{2}Z +28548991643418429724804235164418320XZ^{2} +206436000302373312940399610651051Y Z^{2} −41415531859352070765111375107683Z^{3} +43954449624182165993414714862407278S^{2} −4272236419820700273728331756757791236560XY +386638647595856156890905417315710255927Y^{2} +749640347353460111017437973449284849667XZ −89341565486070503434723896635052817053Y Z +3193047035547461832609436938004010628Z^{2} +81941484094319730116382141458743361997124X −14029092585713499805228742989760353236885Y +1031297718510230438694607765134844393242Z +6636030308732194372387483414363464736818,

f_{11} = 106505Z^{8} − 106505S^{6}Y − 162952650S^{4}Y Z^{2} − 8307390S^{4}Z^{3}

−3069580605S^{2}Z^{5} + 618910885985Z^{7} − 81156810S^{6} −977320502637115S^{4}Y Z − 26442383708685S^{4}Z^{2} +76690727792168420S^{2}Y Z^{3} − 19547854789872150S^{2}Z^{4} +2008248536618741235Z^{6} − 3329418458973250214410S^{4}Y −96186583518183406640S^{4}Z + 262610130898511183081490S^{2}Y Z^{2} −65020531862530212757145S^{2}Z^{3} −201328855919750617593640975Y Z^{4} +6805890408283280756192100Z^{5} −124497223078915375892482200S^{4} +532408720904386195950247733105S^{2}Y Z +94915796102504922670062621720S^{2}Z^{2} −2922682372725941490974004321890545XZ^{3} +75011253638572440450118707421535Y Z^{3} +1241943256906706807023463719485Z^{4} +382733853471268873730686559341015845S^{2}Y +15380695555818784748757003846670835S^{2}Z +914834589622012965377432296253517694785Y^{2}Z −1732444879589498196669934759810592470320XZ^{2} −12526484344066459859680766531220723475Y Z^{2} +2513180264882364403229913365383018605Z^{3} −2667309867817690809760557357060639069255S^{2} +259253478771050010797364778606548167371625424XY −23462543996874716836229759513452859025663287Y^{2} −45490655173265386954647268909184531656292163XZ +5421548739661187114828611175764261250618250Y Z −193765086047147380202858133019855918098415Z^{2} −4972478358930832488692357294233766444623454756X +851331511436169519765470887126851853229994191Y −62582544967389585589077010156151126486612955Z −402696188096432715457285537047932163635592024.

Stufe 107: Das Ideal zerfällt in drei Primärideale. wovon zwei Primideale sind. Beide und das Radikal des dritten Primärideals sind modulo 107 reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = Y^{5} + 8Y^{4} − Y^{3}Z + 9Y^{3} − 5Y^{2}Z^{2} − 53Y^{2}Z − 160Y^{2} − 29Y Z^{2}

−285Y Z − 739Y − Z^{4} − 17Z^{3} − 142Z^{2} − 646Z − 1144,

f_{2} = XZ^{4} + 24XZ^{3} + 205XZ^{2} + 722XZ + 860X + 2Y^{4} − Y^{3}Z^{2}

−11Y^{3}Z − 12Y^{3} − Y^{2}Z^{3} − 22Y^{2}Z^{2} − 143Y^{2}Z − 244Y^{2} − 4Y Z^{3} −77Y Z^{2} − 441Y Z − 774Y + 4Z^{4} + 86Z^{3} + 646Z^{2} + 2004Z + 2048,

f_{3} = 1178089575981462XY + 5478119302100Y^{5}Z^{3}

+589044787990731XZ^{2} + 174699255379280Y^{5}Z^{2} +6479492667898041XZ + 1494087090858139Y^{5}Z +16493254063740468X + 4162331631979121Y^{5} +43824954416800Y^{4}Z^{3} + 1397594043034240Y^{4}Z^{2} +11952696726865112Y^{4}Z + 33298653055832968Y^{4} −5478119302100Y^{3}Z^{4} − 125396181660380Y^{3}Z^{3} +78206207555381Y^{3}Z^{2} + 9284452185744130Y^{3}Z +36871939899821358Y^{3} − 27390596510500Y^{2}Z^{5} −1163836599907700Y^{2}Z^{4} − 17605995077728535Y^{2}Z^{3} −127950154836061772Y^{2}Z^{2} − 460246555820186384Y^{2}Z −671274464208575939Y^{2} − 158865459760900Y Z^{5} −6627542407097620Y Z^{4} − 97166143582232731Y Z^{3} −675625187947252044Y Z^{2} − 5478119302100Z^{7} −2292751054410177130Y Z − 267827283514980Z^{6} −3085976837428412846Y − 5241867373204099Z^{5} −57907971509581844Z^{4} − 402042692102118075Z^{3} −1753731121437326372Z^{2} − 4378074343408538328Z −4719296162248781792,

f_{4} = 2X^{2} + XZ^{2} + 13XZ + 36X − Y^{3} − Y^{2}Z − 11Y^{2} − 4Y Z − 35Y

+4Z^{2} + 38Z + 56,

f_{5} = 2S^{2} + XZ^{3} − 180XZ^{2} − 2139XZ − 4246X − Y^{3}Z + 185Y^{3}

−Y^{2}Z^{2} + 178Y^{2}Z + 1917Y^{2} − 6Y Z^{2} + 767Y Z + 5779Y + 4Z^{3} −710Z^{2} − 6226Z − 7738.

Stufe 167 Das Ideal zerfällt in vier Primärideale. Drei davon sind Primideale. Eines der Primideale ist modulo 167 reduzibel. Die anderen Beiden und das Radikal des vierten Primärideals sind modulo 167 nicht reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = 2X^{2} − XY − Y^{2} + XZ + 3X − 6Y − 5,
f_{2} = 2Y^{3} − XY Z + Y^{2}Z − XZ^{2} − 8XY + 8Y^{2} − 11XZ − 2Y Z

−6Z^{2} − 24X − 2Y − 29Z − 32,

f_{3} = XY^{2} + Y^{3} − XY Z − 4XY + 3Y^{2} − 5XZ − 4Y Z − 2Z^{2} − 17X

−13Y − 18Z − 39,

f_{4} = 9XY Z^{3} + 5Y^{2}Z^{3} − XZ^{4} + 2Y Z^{4} − 119XY Z^{2} − 71Y^{2}Z^{2}

+66XZ^{3} + 36Y Z^{3} + 4Z^{4} − 2328XY Z − 1332Y^{2}Z − 243XZ^{2} −970Y Z^{2} − 91Z^{3} − 2S^{2} − 6724XY − 3868Y^{2} − 6416XZ −11220Y Z − 3529Z^{2} − 16700X − 27184Y − 23940Z − 45258,

f_{5} = 12Y Z^{5} − 6Z^{6} − 62Y^{2}Z^{3} − 230XZ^{4} + 58Y Z^{4} − 108Z^{5}

+3S^{2}XY + 3S^{2}Y^{2} − 3S^{2}XZ + 3764XY Z^{2} + 1478Y^{2}Z^{2} −666XZ^{3} + 1092Y Z^{3} − 646Z^{4} − 9S^{2}X + 18S^{2}Y − 36S^{2}Z +4260XY Z + 1008Y^{2}Z + 11154XZ^{2} + 16378Y Z^{2} + 2764Z^{3} −199S^{2} − 44975XY − 26879Y^{2} + 8075XZ + 1848Y Z + 31018Z^{2} −110155X − 185234Y − 24240Z − 302949,

f_{6} = 54XZ^{5} + 36Y Z^{5} − 4Y^{2}Z^{3} − 334XZ^{4} + 200Y Z^{4} − 90Z^{5}

−12449XY Z^{2} − 8603Y^{2}Z^{2} + 4017XZ^{3} + 1566Y Z^{3} −1652Z^{4} + 54S^{2}X + 18S^{2}Y − 36S^{2}Z − 292974XY Z −170586Y^{2}Z − 20547XZ^{2} − 109366Y Z^{2} − 19072Z^{3} −686S^{2} − 966592XY − 558592Y^{2} − 814634XZ − 1449168Y Z −423595Z^{2} − 2396822X − 3915922Y − 3150378Z − 6505170.

Stufe 191 Das Ideal zerfällt in fünf Primärideale. Vier davon sind Primideale. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = X^{2} − Y^{2} + XZ + 4X − 3Y + Z + 1,
f_{2} = Y^{3} − XY Z − 3XY + 3Y^{2} − 3XZ − Y Z − Z^{2} − 6X − Y − 5Z − 6,
f_{3} = XY^{2} − Y^{2}Z + XZ^{2} + XY − 2Y^{2} + 5XZ − 4Y Z + Z^{2} + 6X

−8Y + 2Z,

f_{4} = 4XY Z^{4} + 11Y^{2}Z^{4} − 10XZ^{5} + 7XY Z^{3} − 61Y^{2}Z^{3} + 83XZ^{4}

+53Y Z^{4} + 6Z^{5} − 1913XY Z^{2} − 3017Y^{2}Z^{2} + 1940XZ^{3} −627Y Z^{3} − 81Z^{4} − 11068XY Z − 14034Y^{2}Z + 6584XZ^{2} −14385Y Z^{2} − 1705Z^{3} − S^{2} − 15310XY − 17246Y^{2} + 4185XZ −58482Y Z − 12789Z^{2} − 4358X − 67055Y − 38615Z − 38864,

f_{5} = 4Z^{7} + 1831Y^{2}Z^{4} − 2114XZ^{5} − 248Y Z^{5} + 24Z^{6} + 12619XY Z^{3}

+6515Y^{2}Z^{3} + 5011XZ^{4} + 11513Y Z^{4} + 2458Z^{5} − 4S^{2}XY +16S^{2}Y^{2} − 16S^{2}XZ − 377601XY Z^{2} − 628637Y^{2}Z^{2} +425388XZ^{3} − 48327Y Z^{3} − 9045Z^{4} + 44S^{2}X − 16S^{2}Y −24S^{2}Z − 2713476XY Z − 3474546Y^{2}Z + 1673120XZ^{2} −3093629Y Z^{2} − 329581Z^{3} − 413S^{2} − 4086862XY −4604534Y^{2} + 1180733XZ − 14556614Y Z − 2914021Z^{2} −1163734X − 17903467Y − 9703895Z − 10378808,

f_{6} = 2Y Z^{6} − 981Y^{2}Z^{4} + 1228XZ^{5} + 168Y Z^{5} + 48Z^{6} − 9097XY Z^{3}

−8255Y^{2}Z^{3} + 1763XZ^{4} − 6319Y Z^{4} − 928Z^{5} − 2S^{2}Y^{2} + 2S^{2}XZ +143123XY Z^{2} + 246693Y^{2}Z^{2} − 171636XZ^{3} − 4975Y Z^{3} + 1527Z^{4} −2S^{2}X − 12S^{2}Y + 10S^{2}Z + 1139810XY Z + 1463246Y^{2}Z −712382XZ^{2} + 1231295Y Z^{2} + 119689Z^{3} + 165S^{2} + 1750438XY +1971944Y^{2} − 513457XZ + 6137652Y Z + 1185973Z^{2} + 498234X +7667509Y + 4098627Z + 4444600,

f_{7} = 4XZ^{6} + 153Y^{2}Z^{4} − 214XZ^{5} − 36Y Z^{5} − 28Z^{6} + 1209XY Z^{3}

+1013Y^{2}Z^{3} − 491XZ^{4} + 859Y Z^{4} − 86Z^{5} − 13355XY Z^{2} −23287Y^{2}Z^{2} + 15912XZ^{3} + 1415Y Z^{3} − 435Z^{4} − 20S^{2}X +16S^{2}Y − 4S^{2}Z − 100796XY Z − 128586Y^{2}Z + 62564XZ^{2} −114367Y Z^{2} − 10575Z^{3} − 7S^{2} − 144574XY − 162730Y^{2} +41587XZ − 536750Y Z − 106491Z^{2} − 40970X − 632785Y −354597Z − 366472,

f_{8} = 20Y^{2}Z^{5} − 24XZ^{6} − 1363Y^{2}Z^{4} + 1734XZ^{5} + 316Y Z^{5} + 88Z^{6}

−13999XY Z^{3} − 13403Y^{2}Z^{3} + 3681XZ^{4} − 9069Y Z^{4} − 1194Z^{5} +187725XY Z^{2} + 326837Y^{2}Z^{2} − 229732XZ^{3} − 17005Y Z^{3} + 1065Z^{4} −16S^{2}Y + 4S^{2}Z + 1536116XY Z + 1972466Y^{2}Z − 963004XZ^{2} +1637117Y Z^{2} + 153585Z^{3} + 197S^{2} + 2363494XY + 2662470Y^{2} −694757XZ + 8274310Y Z + 1584741Z^{2} + 672670X + 10352395Y +5525587Z + 6000592.

Für folgende Modelle der Klasse drei haben die Kurven X_{0}^{+}(l) einen Weierstraß-Punkt in ∞^{+}. Deshalb ist das Standardmodell von einer ’einfachereren’ Gestalt, was die Berechnung dieser Modelle ermöglicht.

Stufe 109 Das Ideal zerfällt in vier Primärideale. Drei davon sind Primideale und modulo 109 reduzibel. Das Radikal des vierten Primärideals ist modulo 109 irreduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = 3S^{2} − 8W X + 29X^{2} − 3W Y + 5XY − Y^{2} − 42W + 227X

+16Y + 462,

f_{2} = W XY + 38X^{2}Y + 8XY^{2} − Y^{3} + 3W^{2} − 124W X − 620X^{2}

−27W Y − 282XY − 94Y^{2} − 597W − 6374X − 2347Y − 16302,

f_{3} = 288X^{3} − W XY − 38X^{2}Y − 8XY^{2} + Y^{3} − 3W^{2} + 220W X

+1388X^{2} + 27W Y − 390XY − 2Y^{2} + 885W − 2362X − 1013Y −13650,

f_{4} = 6W X^{2} − 96X^{3} + W XY + 32X^{2}Y + 2XY^{2} − Y^{3} + 3W^{2}

−70W X − 374X^{2} − 9W Y + 174XY − 22Y^{2} − 381W + 1204X +137Y + 4758,

f_{5} = 9X^{2}Y^{2} + 3W^{2}X + 1461X^{2}Y − 3W Y^{2} + 264XY^{2} − 48Y^{3}

+162W^{2} − 5309W X − 27826X^{2} − 1176W Y − 13852XY −4240Y^{2} − 25170W − 282874X − 103676Y − 715884,

f_{6} = 27XY^{4} + 9W^{3}X − 9W^{2}Y^{2} − 225W Y^{3} − 927XY^{3} + 441Y^{4}

+513W^{3} − 10362W^{2}X − 5688W^{2}Y + 4544754X^{2}Y − 19419W Y^{2} +765195XY^{2} − 123720Y^{3} + 390123W^{2} − 16008889W X −77298596X^{2} − 3561438W Y − 37552091XY − 11996141Y^{2} −75653112W − 794909216X − 295677412Y − 2028873288,

f_{7} = 3Y^{6} + W^{4}X − W^{3}Y^{2} − 34W^{2}Y^{3} − 134W Y^{4} + 239Y^{5}

+33W^{4} − 1048W^{3}X + 118W^{3}Y − 3830W^{2}Y^{2} − 25516W Y^{3} +145072XY^{3} + 12702Y^{4} + 29409W^{3} − 1295921W^{2}X −403083W^{2}Y + 313341012X^{2}Y − 2190551W Y^{2} + 51206194XY^{2} −10800474Y^{3} + 22353237W^{2} − 1117356014W X − 5212031608X^{2} −267819726W Y − 2623350952XY − 885079175Y^{2} − 5318890773W −53995399234X − 20716173641Y − 138716150118.

Stufe 151: Das Ideal zerfällt in vier Primärideale. Drei davon sind Primideale. Alle drei und das Radikal des vierten Primärideals sind modulo 151 reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = W XY + 6X^{2}Y + XY^{2} − Y^{3} + W^{2} + 7W X + 22X^{2} − W Y + 8XY

−18Y^{2} + 3W + 17X − 110Y − 210,

f_{2} = X^{3} + W X + 5X^{2} − 3XY − Y^{2} + 2W − 3X − 13Y − 30,
f_{3} = W X^{2} + 5X^{3} + W XY + 6X^{2}Y − Y^{3} + W^{2} + 11W X + 44X^{2}

−19Y^{2} + 11W + 33X − 118Y − 210,

f_{4} = 5Y^{4} + W^{3} − S^{2}X + 49W^{2}X − 7W^{2}Y + 483X^{2}Y − 53W Y^{2}

+76XY^{2} − 121Y^{3} + 3S^{2} + 254W^{2} + 1330W X + 2234X^{2} −1090W Y − 3864XY − 4140Y^{2} − 673W − 13760X − 34316Y −76149,

f_{5} = XY^{3} − W^{2}X − 93X^{2}Y + W Y^{2} − 31XY^{2} + 4Y^{3} − S^{2} − 14W^{2}

−12W X − 318X^{2} + 36W Y − 437XY + 36Y^{2} + 92W − 1085X +87Y + 63,

f_{6} = X^{2}Y^{2} + W^{2}X + 17X^{2}Y − W Y^{2} + 6XY^{2} − 4Y^{3} + 6W^{2} + 30W X

+60X^{2} − 23W Y − 58XY − 93Y^{2} − 12W − 259X − 743Y − 1650,

f_{7} = W^{3}Y − S^{2}XY − 2W^{2}Y^{2} − 4W Y^{3} + 5S^{2}W + 8W^{3} + 13S^{2}X

−11W^{2}X + 3S^{2}Y − 17W^{2}Y + 1668X^{2}Y − 58W Y^{2} + 602XY^{2} +13Y^{3} + 62S^{2} + 76W^{2} − 838W X + 5098X^{2} − 294W Y +11797XY + 1810Y^{2} − 2051W + 32562X + 21234Y + 52644,

f_{8} = S^{2}X^{2} − W^{2}Y^{2} + 2W Y^{3} − W^{3} + S^{2}X − 16W^{2}X − 4S^{2}Y − 7W^{2}Y

−864X^{2}Y + 50W Y^{2} − 292XY^{2} + 69Y^{3} − 31S^{2} − 172W^{2} −228W X − 2955X^{2} + 605W Y − 3172XY + 1071Y^{2} + 1169W −7235X + 5889Y + 10863,

f_{9} = 5W^{3}X − 5W^{2}Y^{2} − 25W Y^{3} + 27W^{3} − 2S^{2}X + 58W^{2}X + 5S^{2}Y

−84W^{2}Y + 12996X^{2}Y − 521W Y^{2} + 4867XY^{2} − 192Y^{3} + 151S^{2} +1088W^{2} − 2815W X + 42498X^{2} − 4720W Y + 78317XY +4970Y^{2} − 16631W + 208840X + 81808Y + 215817,

f_{10} = 5W^{4} − 30S^{2}W X − 35S^{2}XY + 25S^{2}Y^{2} − 190W^{2}Y^{2} + 130W Y^{3}

+90S^{2}W + 46W^{3} + 159S^{2}X − 2331W^{2}X − 190S^{2}Y − 1517W^{2}Y −33907X^{2}Y + 3967W Y^{2} − 10064XY^{2} + 8669Y^{3} − 1562S^{2} −17581W^{2} − 61480W X − 139456X^{2} + 60280W Y + 107856XY +200505Y^{2} + 53382W + 483010X + 1566069Y + 3444096.

Stufe 179: Das Ideal zerfällt in vier Primärideale. Drei davon sind Primideale. Zwei der Primideale sind modulo 179 reduzibel. Das Dritte und das Radikal des vierten Primärideals sind modulo 179 nicht reduzibel. Als Modell erhalten wir:

f_{1} = W XY + 4X^{2}Y + XY^{2} − Y^{3} + W^{2} + W X − 3X^{2} − W Y + 5XY

−9Y^{2} − 3W − 26X − 31Y − 55,

f_{2} = X^{3} + W X + 3X^{2} − 3XY − Y^{2} + 2W − 4X − 9Y − 14,
f_{3} = W X^{2} + 3X^{3} + W XY + 4X^{2}Y − Y^{3} + W^{2} + 5W X + 13X^{2}

+2XY − 10Y^{2} + 3W − X − 34Y − 43,

f_{4} = W Y^{3} − 4XY^{3} + 2Y^{4} − W^{3} + 19W^{2}X − 2W^{2}Y − 27X^{2}Y

−3W Y^{2} − 30XY^{2} − 30Y^{3} − S^{2} + 68W^{2} + 174W X − 888X^{2} −153W Y − 1289XY − 650Y^{2} + 105W − 4957X − 4014Y − 7340,

f_{5} = X^{2}Y^{2} + W^{2}X + 10X^{2}Y − W Y^{2} + 4XY^{2} − 4Y^{3} + 6W^{2} + 5W X

−42X^{2} − 15W Y − 37XY − 47Y^{2} − 12W − 260X − 235Y − 426,

f_{6} = W^{4} − 4W^{3}X − S^{2}X^{2} + 2W^{2}Y^{2} + 26XY^{3} + 9Y^{4} + 2W^{3}

+37W^{2}X + 4S^{2}Y − 4W^{2}Y − 1393X^{2}Y − 79W Y^{2} − 652XY^{2} −124Y^{3} + 6S^{2} + 65W^{2} + 1269W X − 5549X^{2} − 490W Y −11715XY − 3812Y^{2} + 1906W − 28883X − 23974Y − 39363,

f_{7} = Y^{5} − 2W^{3}X − 21XY^{3} − 23Y^{4} − 8W^{3} − S^{2}X − 74W^{2}X

+52W^{2}Y − 880X^{2}Y + 34W Y^{2} − 548XY^{2} − 127Y^{3} + 4S^{2} −293W^{2} − 106W X + 1569X^{2} + 827W Y − 745XY + 705Y^{2} +1023W + 10269X + 7365Y + 17735,

f_{8} = XY^{4} + Y^{5} − W^{3}X − W^{2}Y^{2} − 40XY^{3} − 12Y^{4} − 7W^{3} − S^{2}X

+45W^{2}X + 24W^{2}Y − 686X^{2}Y − 54W Y^{2} − 726XY^{2} − 420Y^{3} −S^{2} + 199W^{2} + 691W X − 3525X^{2} − 457W Y − 7683XY −4005Y^{2} + 744W − 19202X − 18087Y − 27541,

f_{9} = W^{3}Y^{2} + S^{2}W X + 16W^{3}X + 4S^{2}X^{2} + 12W^{3}Y − S^{2}Y^{2}

−3W^{2}Y^{2} − 196XY^{3} − 24Y^{4} + 6S^{2}W + 42W^{3} + 24S^{2}X +392W^{2}X − 13S^{2}Y + 9W^{2}Y + 2435X^{2}Y − 136W Y^{2} +101XY^{2} − 1045Y^{3} − 16S^{2} + 1524W^{2} + 636W X − 7132X^{2} −3029W Y − 4059XY − 9022Y^{2} − 3274W − 45264X

−40389Y − 75936.

3.3.3 Einige Modelle von X_{0}^{+}(N)

Wendet man das im letzten Paragraphen beschriebene Verfahren auf die Relationen der Standardmodelle an, bei denen man die Relation s^{2} = f(x) wegläßt, dann erhält man Modelle für Kurven, die im allgemeinen mit X_{0}^{+}(N) bezeichnet werden. Wir halten hier folgende Modelle fest: Für X_{0}^{+}(67):

f_{1} = 4X^{2} − XY − Y^{2} + XZ + 27X − 25Y + 4Z − 66
f_{2} = 4Y^{3} − 3XY Z + Y^{2}Z − XZ^{2} − 126XY + 66Y^{2} − 129XZ − 15Y Z − 24Z^{2}
−1830X − 634Y − 866Z − 11820
f_{3} = 6XY^{2} + 2Y^{3} − 3XY Z − Y^{2}Z + XZ^{2} − 90XY + 6Y^{2} − 33XZ − 57Y Z
−1560X − 1496Y − 526Z − 13920

Für X_{0}^{+}(103):

f_{1} = 85X^{2} − 12XY + Y^{2} − XZ − 382X + 67Y − 5Z − 33
f_{2} = 85Y^{3} − 229XY Z + 12Y^{2}Z − 12XZ^{2} + 7337451XY − 639313Y^{2}
−1290011XZ + 147259Y Z − 5075Z^{2} − 143153359X + 24411739Y
−1788826Z − 11482491
f_{3} = 85XY^{2} − 12XY Z + Y^{2}Z − XZ^{2} + 394513XY − 86674Y^{2} − 55913XZ
+19532Y Z − 1025Z^{2} − 2638302X + 630657Y − 55498Z − 338223

Für X_{0}^{+}(109):

f_{1} = 90XY^{2} + 3Y^{3} − 114X^{2}W − 3XY W − 7678X^{2} − 3562XY
−478Y^{2} − 1262XW − 261Y W − 9W^{2} − 69532X − 18875Y − 4137W
−161538
f_{2} = 56X^{2}Y + 26XY^{2} − Y^{3} − 18X^{2}W + XY W − 2126X^{2} − 978XY − 214Y^{2}
−382XW − 81Y W + 3W^{2} − 20372X − 6439Y − 1533W − 49530
f_{3} = 3X^{3} + 8X^{2} − 7XY − Y^{2} + XW − 91X − 35Y + 3W − 312
f_{4} = 90Y^{4} − 21Y^{3}W + 78X^{2}W^{2} + 21XY W^{2} + 1164Y^{3} − 24986X^{2}W

−13970XY W − 2084Y^{2}W − 586XW^{2} − 603Y W^{2} + 63W^{3} − 2514484X^{2}

−1499956XY − 228754Y^{2} − 454852XW − 102133Y W + 4407W^{2}
−23366716X − 7229900Y − 1604250W − 54842424

Für X_{0}^{+}(167):

f_{1} = 2X^{2} − XY − Y^{2} + XZ + 3X − 6Y − 5
f_{2} = 2Y^{3} − XY Z + Y^{2}Z − XZ^{2} − 8XY + 8Y^{2} − 11XZ − 2Y Z − 6Z^{2}
−24X − 2Y − 29Z − 32
f_{3} = 7XY^{2} + 3Y^{3} − 5XY Z − 2Y^{2}Z + 2XZ^{2} − 12XY + 5Y^{2} − 13XZ
−24Y Z − 2Z^{2} − 71X − 87Y − 68Z − 209

Für X_{0}^{+}(151):

f_{1} = = XY^{2} − X^{2}W + 3X^{2} − 7XY − 4Y^{2} + XW − Y W − 31X − 57Y
+2W − 150

f_{2} = 6X^{2}Y + 3XY^{2} − Y^{3} − 2X^{2}W + XY W + 28X^{2} − 6XY − 26Y^{2} + 9XW
−3Y W + W^{2} − 45X − 224Y + 7W − 510
f_{3} = X^{3} + 5X^{2} − 3XY − Y^{2} + XW − 3X − 13Y + 2W − 30
f_{4} = 6Y^{4} − Y^{3}W − 5X^{2}W^{2} + XY W^{2} + 23Y^{3} + 80X^{2}W − 146XY W − 74Y^{2}W
+48XW^{2} − 12Y W^{2} + W^{3} + 205X^{2} − 2739XY − 1364Y^{2} + 318XW
−1103Y W + 146W^{2} − 9402X − 14807Y − 1727W − 35520

Für X_{0}^{+}(179):

f_{1} = = XY^{2} − X^{2}W − 7X^{2} − 6XY − 2Y^{2} − XW − Y W − 37X − 24Y − 54
f_{2} = 4X^{2}Y + 3XY^{2} − Y^{3} − 2X^{2}W + XY W − 17X^{2} − 7XY − 13Y^{2} − XW
−3Y W + W 2 − 100X − 79Y − 3W − 163
f_{3} = X^{3} + 3X^{2} − 3XY − Y^{2} + XW − 4X − 9Y + 2W − 14
f_{4} = 4Y^{4} − Y^{3}W − 3X^{2}W^{2} + XY W^{2} − 40X^{2}W − 57XY W − 31Y^{2}W
+14XW^{2} − 8Y W^{2} + W^{3} − 676X^{2} − 912XY − 432Y^{2} − 109XW
−311Y W + 57W^{2} − 3816X − 3024Y − 301W − 5700

Für X_{0}^{+}(191):

f_{1} = X^{2} − Y^{2} + XZ + 4X − 3Y + Z + 1
f_{2} = Y^{3} − XY Z − 3XY + 3Y^{2} − 3XZ − Y Z − Z^{2} − 6X − Y − 5Z − 6
f_{3} = 7XY^{2} − 6Y^{3} + 6XY Z − 7Y^{2}Z + 7XZ^{2} + 25XY − 32Y^{2} + 53XZ
−22Y Z + 13Z^{2} + 78X − 50Y + 44Z + 36

3.4 Reduzibilität der neu gewonnen Modelle über Körpern mit Primzahlcharakteristik

Reduzieren wir die oben angegebenen Modelle für X_{0}(N) nun modulo einer Primzahl p, und berechnen wiederum eine Primärzerlegung, so erhalten wir die in Tabelle 3.4 zusammengefassten Aussagen über die Reduzibilität dieser Modelle. Dabei bedeutet:

I: Das Modell im angegebenen Fall ist irreduzibel,

R: Das Modell im angegebenen Fall ist reduzibel,

?: Eine Rechnung ist nicht durchgeführt worden,

(W): Bei so gekennzeichneten Kurven von Stufe N hat die Kurve X_{0}^{+}(l) im Unendlichen einen Weierstraß-Punkt.

Die Kurve der Stufe 67 ist hier zweimal aufgelistet. Die erste Zeile von Tabelle 3.4 enthält dabei die Information über das Modell, das man durch Reduktion des Ideals Q_{4} aus Beispiel 3.2 bestimmt. In der zweiten Zeile befinden sich Aussagen, bei denen die folgende Darstellung des Modells verwendet wurde:

f_{1} = 4X^{2} − XY − Y^{2} + XZ + 27X − 25Y + 4Z − 66,
f_{2} = 4S^{2} − XY + 3Y^{2} − 7XZ + 115X + 95Y − 12Z + 1278,
f_{3} = 4Y^{3} − 3XY Z + Y^{2}Z − XZ^{2} − 126XY + 66Y^{2} − 129XZ
−15Y Z − 24Z^{2} − 1830X − 634Y − 866Z − 11820,
f_{4} = XY^{2} + Y^{3} − XY Z − 36XY + 12Y^{2} − 27XZ − 12Y Z − 4Z^{2}
−565X − 355Y − 232Z − 4290.

Klasse Stufe Geschlecht Primzahl
3  5 7 31 1021
2  67  5  R  I I I  I
67(2)  5  I  I I I  I
73  5  R  R I I  I
103  8  R  ? ? ?  ?
107  9  ?  ? ? ?  ?
167  14  I  I I I  I
191  16  ?  ? ? ?  ?
3  109(W)  8  R  I I I  I
151(W)  12  I  I I I  I
179(W)  15  I  I I I  I

Tabelle 3.3: Reduzibilität der neu gewonnenen Modelle über den endlichen Körpern 𝔽_{3}, 𝔽_{5}, 𝔽_{7}, 𝔽_{31}, und 𝔽_{1021}

Es fällt auf, dass die Ideale, die man durch Reduktion gewinnt, je nach Darstellung des Ausgangsmodells reduzibel beziehungsweise irreduzibel über 𝔽_{3} sind. Die Erklärung hierfür findet sich in Abschnitt 3.2.1. Die abstrakten Modulkurven haben gute Reduktion. Hier haben wir aber nur affine, singuläre Modelle dieser Kurve. Von den Kurven, die man durch Reduktion der Modelle erhält, die hier vorliegen, wissen wir also nicht, ob sie isomorph zu Reduktionen der abstrakten Modulkurven sind. Um ein dazu isomorphes Modell zu erhalten, müsste man den projektiven Abschluss der Modelle konstruieren und diesen dann desingularisieren. Wie wir schon an der Reduktion der Modelle modulo zwei gesehen haben sind die in Abschnitt 3.1.5 beschriebenen Morphismen p_{l} für die Reduzibilität der Modelle modulo zwei verantwortlich. Wir können nicht davon ausgehen, dass diese nicht für weitere Primzahlen eine ’schlechte’ Reduktion der Modelle verursachen, so dass wir zusätzlich zu den projektiven, glatten Modellen auch noch die Morphismen p_{l} konstruieren und untersuchen müssen, um sicher zu stellen, dass die konstruierten Kurven Modelle von Reduktionen der Modulkurven sind.

3.5 Absolute Irreduzibilität

Bisher wurde nur die Irreduzibilität der Modelle über Körpern mit p Elementen untersucht (p Primzahl). Um die absolute Irreduzibilität der Modelle zu zeigen, müssen wir noch die Irreduzibilität der Modelle über dem algebraischen Abschluss der uns interessierenden Körper untersuchen. Von den Modulpolynomen wissen wir, dass sie modulo aller Primzahlen, bis auf diejenigen die die Stufe teilen, gute Reduktion haben, das heißt, sie liefern bei Reduktion der Koeffizienten modulo Primzahl eine absolut irreduzible Kurve über \overline{𝔽_{p}}. Von den Standardmodellen wissen wir dies nicht. Für die Kurven der Klasse null können wir noch einige Aussagen machen.

3.5.1 Hyperelliptischer Fall

Wir haben folgende Charakterisierung von absolut irreduziblen Kurven über endlichen Körpern der Form S^{d} − f(X) in k[S, X].

Proposition 3.2 Für ein Polynom der Form S^{d} −f(X) mit Koeffizienten im endlichen Körper k sind äquivalent:

(i) S^{d} − f(X) ist absolut irreduzibel

Primzahl

Stufe  3  5  7  31  1021
11  1,1  1,1  1,1,1  1,1  1,1,1,1
17  1  1,1  1  1  1,1
19  1,1,1  1,1  1,1  1,1,1  1,1,1
23  1,1  1,1,1,1  1,1,1,1  1,1  1,1
29  1  1,1  1,1,1,1  1  1,1
31  1,1,1,1  1,1  1,1  2,2,2  1,1,1,1
41  1  1,1  1  1,1,1,1,1  1,1
47  1,1 1,1,1,1,1,1  1,1  1,1,1,1,1,1  1,1
59  1,1  1,1  1,1  1,1,1,1,1,1,1 1,1,1,1,1,1,1
71  1,1  1,1  1,1,1,1,1,1,1,1 1,1,1,1,1,1,1,1  1,1

Tabelle 3.4: Folgen von Exponenten irreduzibler Faktoren der Polynome f(X) von hyperelliptischen Standardmodellen über einigen endlichen Körpern

(ii) Wenn f(X) = a(X − x_{1})^{d_{1}} … (X − x_{r})^{d_{r}} eine Zerlegung von f über \overline{k} mit x_{i} ≠ x_{j} falls i ≠ j, dann ist der größte gemeinsame Teiler von {d, d_{1} …, d_{r}} gleich eins.

Beweis: siehe [Sc, Paragraph 2, Lemma 2C].

□

Betrachten wir nun die Standardmodelle der Klasse null. Dies sind genau die Modelle für hyperelliptische Kurven im 𝔸^{2}, die durch ein Polynom der Form S^{2} − f(X) in k[S,X] gegeben sind. Wir interessieren uns hier für die Fälle k = 𝔽_{3}, 𝔽_{5}, 𝔽_{7}, 𝔽_{31} und 𝔽_{1021}. Wie die Polynome f(X) in 𝔽_{p}[X] zerfallen, ist in der Tabelle 3.4 beschrieben. Als Einträge hat man eine Folge von Exponenten der verschiedenen Faktoren von f(X) in 𝔽_{p}[X]. Falls also f(X) in das Produkt g_{1}(X)^{e_{1}} … g_{r}(x)^{e_{r}} unterschiedlicher Faktoren zerfällt, so erhält man an entsprechender Stelle einen Eintrag e_{1}, …, e_{r}. Man sieht sofort, dass alle Polynome in verschiedene irreduzible Faktoren zerfallen, mit Ausnahme des Polynoms des Standardmodells der Stufe 31 über dem Körper 𝔽_{31}. Da die betrachteten Körper separabel sind, zerfallen die Polynome f(X) mit obiger Ausnahme alle über \overline{𝔽_{p}} für p ∈ \{3, 5, 7, 31, 1021\} in unterschiedliche Linearfaktoren. Nach obiger Proposition sind die Modelle also in diesen Fällen absolut irreduzibel.

3.5.2 Projektiver Abschluss und Berechnung von rationalen Punkten

Haben wir eine affine, absolut irreduzible Varietät, dann ist auch deren projektiver Abschluss nach Proposition 1.1 absolut irreduzibel. Speziell im hyperelliptischen Fall der Standardmodelle erhalten wir also je ein irreduzibles, homogenes Polynom in k[A,S,X] für die im letzten Abschnitt angegebenen Fälle. Mit A wollen wir die Variable bezeichnen mit der wir homogenisieren. Um einen projektiven Abschluss der Modelle höherer Klassen zu erhalten, müssen wir eine Gröbner Basis der durch das Modell gegebenen Ideale berechnen. Falls wir ein affines Modell in Dreiecksform haben, können wir nicht mehr davon ausgehen, dass das projektive Modell auch in Dreiecksform vorliegt.

Ein Standardmodell der Stufe N hat, wie wir bereits in Abschnitt 4.1 gesehen haben, höchstens N + 1 Polynome. Ist das Modell durch weniger Polynome gegeben, so ersetze im Folgenden N + 1 durch die Anzahl der Polynome. Betrachten wir die im 𝔸^{N+2} gegebene Dreiecksform des Standardmodells. Das Finden der Punkte auf der algebraischen Menge durch Auswertung aller p^{e(N+2)} Punkte des umgebenden Raumes 𝔸^{N+2} = (𝔽_{p^{e}})^{N+2} in allen N + 1 Polynomen würde (N + 1)p^{e(N+2)} Auswertungen von Polynomen beanspruchen. Nutzt man nun die Dreiecksform zur Bestimmung der 𝔽_{p^{e}}-rationalen Punkte, so sind zunächst p^{2e} Auswertungen des Polynoms P_{2} in zwei Variablen nötig. Wertet man das Polynom P_{3} in drei Variablen nur noch in den Nullstellen von P_{2} aus, so sind hierzu höchstens

r_{2}(p^{e} + 1) + ∑_{i=1}^{r_{2}} g_{2,i}[2\sqrt{p^{e}}] Auswertungen von P_{3} nötig. Dabei ist r_{2} die Anzahl von

Faktoren, in die P_{2} über \overline{𝔽_{p}} zerfällt, und g_{2,i} ist das Geschlecht der ebenen Kurven, die von diesen Faktoren definiert werden. Siehe hierzu auch die Ausführungen nach Bemerkung 4.2 (Hasse-Weil-Serre-Schranke). Das Polynom P_{4} muss entsprechend

in höchstens r_{3}(p^{e} + 1) + ∑_{i=1}^{r_{3}} g_{3,i}[2\sqrt{p^{e}}] Punkten ausgewertet werden. Nun ist r_{3} die

Anzahl der Assoziierten der Primärideale in einer reduzierten Primärzerlegung des Ideals (P_{2}, P_{3}) und g_{3,i} das entsprechende Geschlecht der Kurven, die durch diese Ideale definiert werden. Fährt man so bis zum Polynom P_{N+1} fort, muss man insge-

samt maximal p^{2e} +c_{1}(p^{e} +1+c_{2}[2\sqrt{p^{2}}] Polynome auswerten, wobei c_{1} = ∑_{i=2}^{N} r_{i} und

c_{2} = ∑_{j=2}^{N} ∑_{i=1}^{r_{i}} g_{j,i}. Anschließend müssen die gefundenen Punkte noch einmal in die die

Modulkurve definierenden Polynome eingesetzt werden, um sicher zu stellen, dass es auch wirklich Punkte der Kurve sind, die durch das Standardmodell definiert wird. Dies erhöht die Abschätzung der Anzahl der Auswertungen von Polynomen nocheinmal um den Faktor c. Hier ist c die Anzahl der Polynome der Gröbner Basis (man setze hierbei A = 1).

Bemerkung 3.9

Weder das Auswerten eines Polynoms kann als exakte Laufzeitangabe aufgefasst werden, noch können die Konstanten c_{1} und c_{2} in einfacher Weise bestimmt werden, so dass man obige Argumentation nicht als quantitative Abschätzung auffassen kann. In der Praxis liefert der oben beschriebene Algorithmus aber dennoch eine deutliche Laufzeitersparnis.

□

Um die Punkte im Unendlichen zu bestimmen, setzen wir in allen Erzeugern der Gröbner Basis A gleich null. Aus dem resultierenden Ideal können wir eine Teilmenge auswählen, die einer Dreiecksform möglichst nahe kommt. Haben wir eine gemeinsame Nullstelle dieser Polynome gefunden, so müssen wir anschließend noch nachprüfen, ob sie auch Nullstelle aller Polynome der Gröbner Basis ist.

60 KAPITEL 3. DIE MODELLE VON M. PFEIFER

Beispiele für Codes

Um zwischen affinen und projektiven Punkten einer Kurve zu unterscheiden bezeichne im Folgenden (a_{1}, …, a_{n}) einen Punkt auf einer affinen und (a_{0} : …: a_{n}) einen Punkt auf einer projektiven Kurve.

Beispiel 4.1

Wir betrachten die elliptische Kurve X_{0}(11) über \overline{𝔽_{3}}. Das Standardmodell C_{P} (11) für den affinen Teil Y_{0}(11) in 𝔽_{3}[S, X] ist durch das Polynom f = −S^{2} + X^{4} + X^{3} − X^{2} + X gegeben. Wir wissen bereits, dass f eine absolut irreduzible, glatte, ebene Kurve in 𝔸(\overline{𝔽_{3}}) darstellt. Die durch f^{h} = −S^{2}A^{2} + X^{4} + X^{3}A − X^{2}A^{2} + XA^{3} in 𝔽_{3}[A, S, X] definierte, homogene Kurve hat im Unendlichen aber einen singulären Punkt P_{∞} = (0 : 1 : 0) mit der Ordnung zwei. Es gibt keine weiteren singulären Punkte, wie man sich leicht an Hand der Jacobischen von f^{h} klar machen kann. Die anderen (regulären) Punkte über 𝔽_{3} sind P_{1} = (1 : 0 : 0), P_{2} = (1 : 1 : −1) und P_{3} = (1 : −1 : −1). Wir wollen nun den singulären Punkt im Unendlichen genauer untersuchen. Deshalb beschaffen wir uns ein glattes Modell der Kurve im Unendlichen. Dazu betrachten wir den affinen Teil von ℙ(\overline{𝔽_{3}}) der durch S = 1 gegeben ist. Hier ist unser Modell nun durch das Polynom −A^{2} + X^{4} + X^{3}A − X^{2}A^{2} + XA^{3} in \overline{𝔽_{3}}[A, X] gegeben. Der Punkt P_{∞} liegt nun im Ursprung. Der Punkt P_{1} ist ins Unendliche gerückt. Wir machen nun ein Blowing-up (im Ursprung) und folgen hierbei [Ha, Chapter I, 4, p.28ff]. Dazu betrachten wir das Produkt 𝔸^{2} ×ℙ^{1}. Seien A, X die affinen Koordinaten und R, T die projektiven Koordinaten. Dieser Raum kann durch zwei affine Räume überdeckt werden, wovon wir einen für T = 1, den anderen für R = 1 erhalten. Wir machen die Transformation XR = T A und projizieren dabei X auf X und A auf RX. Als direkte Transformierte im affinen Teilraum für T = 1 erhalten wir R^{2} −X^{2} −X^{2}R+X^{2}R^{2} −X^{2}R^{3}. Diese hat nun über 𝔽_{3} in den Koordinaten (R, X) die Punkte P′_{∞} = (0, 0), P′_{2} = (−1, −1) und P′_{3} = (−1, 1). Nur der Punkt P′_{∞} liegt auf der Ausnahmegeraden (auch über \overline{𝔽_{3}}). Er ist der Schnittpunkt der direkten Transformierten mit der Ausnahmegeraden. Die Punkte P′_{i} werden auf die Punkte P_{i} projiziert, entsprechen also der Transformation der P_{i}. Führen wir dasselbe für R = 1 durch und betrachten den anderen affinen Teil von 𝔸^{2} × ℙ^{1}, so erhalten wir ebenfalls zwei Punkte, die der Transformation der Punkte P_{2} und P_{3} entsprechen. Hier erhält man aber keinen Schnittpunkt der Ausnahmegeraden mit der direkten Transformierten. Betrachten wir nun die Transformation des Punktes P_{∞}, so sehen wir, dass dieser nur in einen Punkt P′_{∞} transformiert wurde, der auch singulär ist. Dies liegt darin begründet, dass der Ausgangspunkt P_{∞} eine doppelte Tangente hat. Bei P′_{∞} sehen wir nun aber, dass zwei unterschiedliche Tangenten X + R und X − R vorliegen. Mit einer weiteren Transformation des gleichen Typs erhalten wir also ein glattes Modell. Betrachten wir nun wieder das Produkt 𝔸^{2} ×ℙ^{1} mit affinen Koordinaten R, X und projektiven Koordinaten V, W (XW = RV). Im affinen Teil W = 1 haben wir als Modell f′′ = −1 + V^{2} + RV^{2} − R^{2}V^{2} + R^{3}V^{2}. Nun erhalten wir in den Koordinaten (R, V) zwei Schnittpunkte P_{1,∞} = (0, 1) und P_{2,∞} = (0, −1) der Ausnahmegeraden R = 0 mit der direkten Transformierten. Die beiden Punkte P′_{2} und P′_{3} wurden dabei in die Punkte P′′_{2} = (−1, 1) und P′′_{3} = (−1, −1) transformiert. Im affinen Teil V = 1 würden wir ein ähnliches Bild erhalten. Um die beiden Punkte genauer zu untersuchen ist es günstiger, wenn diese jeweils im Ursprung liegen. Durch je eine Translation können wir dies erreichen oder aber wir wenden die Substitutionen R = R, X = R(X − 1) und R = R, X = R(X + 1) auf den Punkt P′_{∞} an, so dass sich in jedem der beiden Fälle die Ausnahmekurve mit der direkten Transformierten im Ursprung der (R, V)-Ebene schneidet. Beide Vorgehensweisen liefern offenbar dasselbe Ergebnis. Das Beispiel ist in Abbildung 4.1 als Desingularisierungsbaum zusammengefasst. Mit r wird hier jeweils die Vielfachheit des betrachteten Punktes bezeichnet.

□

Abbildung 4.1: Desingularisierungsbaum der Kurve C_{P} (11)/𝔽_{3} im Punkt P_{∞}.

4.1 Zeta-Funktionen und rationale Punkte auf Kurven über endlichen Körpern

In diesem Abschnitt folgen wir zunächst [LG, Part II, Chapter IV]. Für eine glatte, projektive Kurve X vom Geschlecht g über dem endlichen Körper 𝔽_{q} definieren wir ähnlich zur Riemannschen Zeta-Funktion für s ∈ ℂ die Funktion

ζ(X, s) := ∏_{P}(1 − q^{(−s)deg(P)}))^{−1} = ∑_{D≥0} q^{deg(D)(−s)},

wobei das Produkt über alle abgeschlossenen Punkte und die Summe über alle nicht negativen Divisoren der Kurve X gebildet wird. Diese Funktion konvergiert für Re(s) > 1, und wir nennen sie die Zeta-Funktion von X über 𝔽_{q}. Wir schreiben auch Z(X, q^{−s}) anstatt ζ(X, s). Wenn wir mit N_{r} die Anzahl der Punkte vom Grad eins über 𝔽_{q^{r}} bezeichnen, dann ist

logZ(X, t) = ∑_{r=1}^{∞} N_{r} \frac{t^{r}}{r} .

Desweiteren erfüllt Z(X, t) die Funktionalgleichung

Z(X, t) = q^{1−g}t^{2−2g}Z(X, t).

Z(X, t) ist eine rationale Funktion in t und hat als Faktorisierung

Z(X, t) = \frac{P (t)}{(1 − t)(1 − qt)},

wobei P (t) gleich ∏_{i=1}^{g}(1 − α_{i}t)(1 − \overline{α_{i}}t) ist. Die α_{i} sind ganze algebraische Zahlen

mit Absolutbetrag |α_{i}| gleich \sqrt{q}. Mit Hilfe dieser sehr starken Eigenschaften von Z(X, t) erhalten wir für die Anzahl der Punkte N_{r}(X) = N_{r}(X/𝔽_{q}) von X über 𝔽_{q} die Gleichung (Satz von Hasse und Weil):

N_{r}(X) = q^{r} + 1 − ∑_{i=1}^{g}(α_{i}^{r} + \overline{α_{i}}^{r}).  (4.1)

Stufe Geschlecht Punkteanzahlen in kleinen Körpern der Charakteristik:
3  5  7  31 1021
11  1  5  5  10  25 1000
17  1  4  5  6  42 1017
19  1  6  3  9  36 1062
23  2  4,12  8,34  6,66
29  2  2,16  8,44  8,62
31  2  6,10  4,44  12,60
41  3  4,20,34  8,44,116 2,72,392
47  4  4,20,40,84
59  5  6,20,33,100,186
71  6  4,20,40,100,264,764

Tabelle 4.1: Anzahlen rationaler Punkte der hyperelliptischen Kurven C_{P} (N) über einigen endlichen Körpern 𝔽_{p^{r}}

Kennen wir also die Anzahl der Punkte in den Erweiterungen von 𝔽_{q} vom Grad kleiner oder gleich g, dann können wir die Anzahl der Punkte über allen Erweiterungen explizit angeben. Die Anzahl der Punkte über den Körpern 𝔽_{p^{i}}, i klein, wurde für einige Kurven C_{P} (N) berechnet. Die Ergebnisse für die hyperelliptischen Kurven sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. Sie sind der Reihe nach für i = 1, …, g aufgelistet und durch Kommata getrennt. Die dazu gehörenden Rechnungen finden sich in den Verzeichnissen ’˜ /data/pun/’ und ’˜ /data/punhyp/’.

Bemerkung 4.1

In der Tabelle 4.2 sind einige weitere Anzahlen von Punkten für Kurven der Klasse eins aufgelistet. Hier wurden nur Anzahlen über den Körpern mit p Elementen berechnet; p ∈ {3, 5, 7, 31}. Dabei stehen die Einträge ’Se’ und ’Su’, um anzugeben, ob die jeweilige Kurve im Affinen bzw im Unendlichen eine Singularität hat.

Stufe Geschlecht  Punkteanzahlen in Körpern mit p Elementen
p=3  p=5  p=7  p=31
37  2  5 Su  8 Su Se 8 Su Se 38 Su Se
43  3  7  Se 5  Se 11  Se 40  Se
53  4  4 Su Se 8 Su Se 7 Su Se 30 Su Se
61  4  4 Su Se 8 Su Se 8 Su Se 34 Su Se
79  6  4 Su Se 2 Su Se 14 Su  38 Su Se
83  7  3 Su  5 Su  7 Su  23 Su
89  7  4 Su Se 10 Su Se 2 Su Se 16 Su Se
101  8  2 Su Se 7 Su  8 Su  43 Su
131  11  3 Su  3 Su  7 Su  27 Su

Tabelle 4.2: Anzahlen rationaler Punkte der Kurven C_{P} (N) der Klasse eins über einigen endlichen Körper 𝔽_{p}

□

Beispiel 4.2

Die Kurve C_{P} (11)über dem Körper 𝔽_{3} hat Geschlecht eins. In Beispiel 4.1 haben wir gesehen, dass C_{P} (11) über 𝔽_{3} fünf Punkte hat. Es ist also N_{1}(C_{P} (11)) = 5 = 3+1−(α_{1} +\overline{α_{1}}). Mit α_{1}\overline{α_{1}} = 3 erhalten wir α_{1} = −\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{−11}}{2} und \overline{α_{1}} = −\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{−11}}{2}. Für die Zeta-Funktion und die Anzahl der Punkte N_{r}(C_{P} (11)) gilt folglich:

Z(C_{P} (11)/𝔽_{3}, t) = \frac{1+t+3t^{2}}{(1−t)(1−3t)}
N_{r}(C_{P} (11)) = 3^{r} − 1 − (−\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{−11}}{2})^{r} − (−\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{−11}}{2})^{r}.
□

Die Zeta-Funktionen und die dazugehörigen algebraischen Zahlen α_{i}, \overline{α_{i}} sind für einige hyperelliptische Kurven über den endlichen Körpern mit 3, 5, 7, 31 und 1021 in den Tabellen 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 und 4.7 zusammengefasst. Die Rechnungen zur Bestimmung dieser finden sich in ’˜ /dip/data/zeta/’ . In Tabelle 4.1 sind die zur Berechnung notwendigen Anzahlen von Punkten aufgeführt.

Bemerkung 4.2

Eine andere Möglichkeit die Zeta-Funktionen für Modulkurven X_{0}(N) über endlichen Körpern zu bestimmen besteht darin Fourierkoeffizienten von Spitzenformen vom Gewicht zwei zu berechnen die simultane Eigenformen bezüglich Hecke-Operatoren sind, das heißt man bestimmt die Eigenwerte von Hecke-Operatoren e_{1}(p), …, e_{g}(p) und nutzendann aus dass gilt:

P (t) = ∏_{i=1}^{g}(1 − e_{i}(p) + pt^{2}), falls p |̸N.

Vergleiche hierzu zum Beispiel [LG, Part II, V, Theorem 5.4, p.79] oder [Mo, 5.6.6, p.198ff].

□

Als Folgerung des Satzes von Hasse und Weil erhält man für die maximale Anzahl N_{q^{r}}(g) der Punkte einer projektiven glatten Kurve vom Geschlecht g über dem endlichen Körper 𝔽_{q^{r}} die Abschätzung:

Stufe Zeta-Funktionen von Kurven C_{P} über 𝔽_{3} und deren Nullstellen in ℂ
P (t)  α_{1}, \overline{α_{1}}, …, α_{2g}, \overline{α_{2g}}
11  1 + t + 3t^{2}  \frac{1}{2}(−1 + \sqrt{−11}), \frac{1}{2}(−1 − \sqrt{−11})
17  1 + 3t^{2}  \sqrt{−3}, −\sqrt{−3}
19  1 + 2t + 3t^{2}  −1 + \sqrt{−2}, −1 − \sqrt{−2}
23  1 + t^{2} + 9t^{4}  1/2\sqrt{−2 + 2\sqrt{−35}}, −1/2\sqrt{−2 + 2\sqrt{−35}},

1/2\sqrt{−2 − 2\sqrt{−35}}, −1/2\sqrt{−2 − 2\sqrt{−35}}

29 1 − 2t + 5t^{2} − 6t^{3} + 9t^{4} 1/2(1 + \sqrt{2} + \sqrt{−9 + 2\sqrt{2}}),
1/2(1 + \sqrt{2} − \sqrt{−9 + 2\sqrt{2}}),
1/2(1 − \sqrt{2} + \sqrt{−9 − 2\sqrt{2}}),
1/2(1 − \sqrt{2} − \sqrt{−9 − 2\sqrt{2}})
31 1 + 2t + 2t^{2} + 6t^{3} + 9t^{4} 1/2(−1 + \sqrt{−1} + \sqrt{5} + \sqrt{−5}),
1/2(−1 − \sqrt{−1} + \sqrt{5} − \sqrt{−5}),
1/2(−1 + \sqrt{−1} − \sqrt{5} − \sqrt{−5}),
1/2(−1 − \sqrt{−1} − \sqrt{5} + \sqrt{−5})
Stufe  P (t)
Annäherungen für α_{1}, …, α_{2g}
41  1 + 5t^{2} + 2t^{3} + 15t^{4} + 27t^{6}

−1.107159872 − 1.331989872\sqrt{−1},−1.107159872 + 1.331989872\sqrt{−1}, 0.2695944364 − 1.710940922\sqrt{−1},0.2695944364 + 1.710940922\sqrt{−1},

0.8375654353 − 1.516075243\sqrt{−1},0.8375654353 + 1.516075243\sqrt{−1}
47  1 + 5t^{2} + 4t^{3} + 13t^{4} + 12t^{5} + 45t^{6} + 81t^{8}

−1.437881791 − 0.9656583018\sqrt{−1},−1.437881791 + 0.9656583018\sqrt{−1}, −0.0941393303 − 1.729490615\sqrt{−1},−0.0941393303 + 1.729490615\sqrt{−1}, 0.4123939712 − 1.682239939\sqrt{−1},0.4123939712 + 1.682239939\sqrt{−1},

1.119627150 − 1.321527542\sqrt{−1},1.119627150 + 1.321527542\sqrt{−1}
59  1 + 2t + 7t^{2} + 13t^{3} + 31t^{4} + 41t^{5} + 93t^{6}
+117t^{7} + 189t^{8} + 162t^{9} + 243t^{10}

−1.453617273 − 0.9418050873\sqrt{−1},−1.453617273 + 0.9418050873\sqrt{−1}, −1.153609275 − 1.291969675\sqrt{−1},−1.153609275 + 1.291969675\sqrt{−1}, 0.04155695785 − 1.731552199\sqrt{−1},0.04155695785 + 1.731552199\sqrt{−1}, 0.3773752721 − 1.690440151\sqrt{−1},0.3773752721 + 1.690440151\sqrt{−1},

1.188294318 − 1.260141505\sqrt{−1},1.188294318 + 1.260141505\sqrt{−1}
71  (1 + t + t^{2} + 3t^{3} + 3t^{4} + 9t^{5} + 27^{6})
(1 − t + 5t^{2} − 3t^{3} + 15t^{4} − 9t^{5} + 27^{6})

−1.602200775 − 0.6579913951\sqrt{−1},−1.602200775 + 0.6579913951\sqrt{−1}, −0.1822240296 − 1.722438505\sqrt{−1},−0.1822240296 + 1.722438505\sqrt{−1},

1.284424805 − 1.162003839\sqrt{−1},1.284424805 + 1.162003839\sqrt{−1},

−0.9561145892 − 1.444245440\sqrt{−1},−0.9561145892 + 1.444245440\sqrt{−1}, 0.3567689675 − 1.694908819\sqrt{−1},0.3567689675 + 1.694908819\sqrt{−1},

1.099345622 − 1.338446564\sqrt{−1},1.099345622 + 1.338446564\sqrt{−1}

Stufe Zeta-Funktionen von Kurven C_{P} über 𝔽_{5} und deren Nullstellen in ℂ
P (t)  α_{1}, \overline{α_{1}}, …, α_{2g}, \overline{α_{2}g}
11  1 − t + 5t^{2}  1/2(1 + \sqrt{−19}), 1/2(1 − \sqrt{−19})
17  1 − t + 5t^{2}  1/2(1 + \sqrt{−19}), 1/2(1 − \sqrt{−19})
19  1 − 3t + 5t^{2}  1/2(3 + \sqrt{−11}), 1/2(3 − \sqrt{−11})
23  1 + 2t + 6t^{2} + 25t^{4} + 10t^{3}  1/2(−1 + \sqrt{5} + \sqrt{−14 − 2\sqrt{5}}),
1/2(−1 + \sqrt{5} − \sqrt{−14 − 2\sqrt{5}}),
1/2(−1 + \sqrt{5} + \sqrt{−14 + 2\sqrt{5}}),
1/2(−1 + \sqrt{5} − \sqrt{−14 + 2\sqrt{5}})
29 (1 + t + 5t^{2})^{2} 1/2(−1 + \sqrt{−19}),1/2(−1 − \sqrt{−19}),
1/2(−1 + \sqrt{−19}),1/2(−1 − \sqrt{−19})
31 (1 − t + 5t^{2})^{2} 1/2(1 + \sqrt{−19}),1/2(1 − \sqrt{−19}),
1/2(1 + \sqrt{−19}),1/2(1 − \sqrt{−19})
Stufe  P (t)
Annäherungen für α_{1}, …, α_{2g}
41  1 + 2t + 11t^{2} + 16t^{3} + 55t^{4} + 50t^{5} + 125t^{6}

−1.451605963 − 1.700835127\sqrt{−1}, −1.451605963 + 1.700835127\sqrt{−1}, −0.4030317168 − 2.199446620\sqrt{−1}, −0.4030317168 + 2.199446620\sqrt{−1},

0.8546376797 − 2.066299697\sqrt{−1}, 0.8546376797 + 2.066299697\sqrt{−1}
47  1 + 2t + 4t^{2} + 14t^{3} + 38t^{4} + 70t^{5} + 100t^{6} + 250t^{7} + 625t^{8},

−2.126757060 − 0.6905826593\sqrt{−1}, −2.126757060 + 0.6905826593\sqrt{−1}, −1.197126298 − 1.888620827\sqrt{−1}, −1.197126298 + 1.888620827\sqrt{−1}, 0.7474684539 − 2.107437048\sqrt{−1}, 0.7474684539 + 2.107437048\sqrt{−1},

1.576414903 − 1.585848685\sqrt{−1}, 1.576414903 + 1.585848685\sqrt{−1}

Stufe Zeta-Funktionen von Kurven C_{P} über 𝔽_{5} und deren Nullstellen in ℂ
P (t)  α_{1}, …, α_{2g}
11  1 + 2t + 7t^{2}  −1 + \sqrt{−6},−1 − \sqrt{−6}
17  1 − 2t + 7t^{2}  1 + \sqrt{−6},1 − \sqrt{−6}
19  1 + t + 7t^{2}  1/2(−1 + 3\sqrt{−3}), 1/2(−1 − 3\sqrt{−3})
23  1 − 2t + 10t^{2} − 14t^{3} + 49t^{4}  1/2(1 + \sqrt{5} + \sqrt{−22 + 2\sqrt{5}}),
1/2(1 + \sqrt{5} − \sqrt{−22 + 2\sqrt{5}}),
1/2(1 − \sqrt{5} + \sqrt{−22 − 2\sqrt{5}}),
1/2(1 − \sqrt{5} − \sqrt{−22 − 2\sqrt{5}})
29 1 + 6t^{2} + 49t^{4} \sqrt{−3 + 2\sqrt{−10}}, −\sqrt{−3 + 2\sqrt{−10}},
\sqrt{−3 − 2\sqrt{−10}}, −\sqrt{−3 − 2\sqrt{−10}}
31 1 + 4t + 13t^{2} + 28t^{3} + 49t^{4} −1 + 1/2\sqrt{5} + 1/2\sqrt{−19 − 4\sqrt{5}},
−1 + 1/2\sqrt{5} − 1/2\sqrt{−19 − 4\sqrt{5}},
−1 − 1/2\sqrt{5} + 1/2\sqrt{−19 + 4\sqrt{5}},
−1 − 1/2\sqrt{5} − 1/2\sqrt{−19 + 4\sqrt{5}}
Stufe  P (t)
Annäherungen für α_{1}, …, α_{2g}
41  1 − 6t + 29t^{2} − 86t^{3} + 203t^{4} − 294t^{5} + 343t^{6}

0.1624345647 − 2.640760309\sqrt{−1}, 0.1624345647 + 2.640760309\sqrt{−1}, 0.7304055636 − 2.542932896\sqrt{−1}, 0.7304055636 + 2.542932896\sqrt{−1},

2.107159872 − 1.599961648\sqrt{−1}, 2.107159872 + 1.599961648\sqrt{−1}

Tabelle 4.5: Nenner einiger Zeta-Funktionen von hyperelliptischen Kurven C_{P} über 𝔽_{7} und deren Nullstellen in ℂ.

Stufe Zeta-Funktionen von Kurven C_{P} über 𝔽_{31} und deren Nullstellen in ℂ
P (t)  α_{1}, …, α_{2g}
11  1 − 7t + 31t^{2}  1/2(7 + 5\sqrt{−3}), 1/2(7 − 5\sqrt{−3})
17  1 + 10t + 31t^{2}  −5 + \sqrt{−6}, −5 − \sqrt{−6}
19  1 + 4t + 31t^{2}  −2 + 3\sqrt{−3}, −2 − 3\sqrt{−3}
23  1 + 17t^{2} + 961t^{4}  1/2\sqrt{−34 + 6\sqrt{−395}},
−1/2\sqrt{−34 + 6\sqrt{−395}},
1/2\sqrt{−34 − 6\sqrt{−395}},
−1/2\sqrt{−34 − 6\sqrt{−395}}
29 1 − 6t + 21t^{2} − 186t^{3} + 961t^{4} 1/2(3 + 5\sqrt{2} + \sqrt{−65 + 30\sqrt{2}}),
1/2(3 + 5\sqrt{2} − \sqrt{−65 + 30\sqrt{2}}),
1/2(3 − 5\sqrt{2} + \sqrt{−65 − 30\sqrt{2}}),
1/2(3 − 5\sqrt{2} − \sqrt{−65 − 30\sqrt{2}})

Stufe Zeta-Funktionen von Kurven C_{P} über 𝔽_{1021} und deren Nullstellen in ℂ
P (t)  α_{1}, …, α_{2g}
11  1 − 22t + 1021t^{2}  11 + 30\sqrt{−1}, 11 − 30\sqrt{−1}
17  1 − 5t + 1021t^{2}  1/2(5 − 3\sqrt{−451}), 1/2(5 + 3\sqrt{−451})
19  1 + 40t + 1021t^{2}  −20 + 3\sqrt{−69}, −20 − 3\sqrt{−69}

Tabelle 4.7: Nenner einiger Zeta-Funktionen von hyperelliptischen Kurven C_{P} über 𝔽_{1021} und deren Nullstellen in ℂ.

N_{q^{r}}(g) ≤ q^{r} + 1 + [2g\sqrt{q^{r}}].

Serre hat dieses Ergebnis verbessert:

N_{q^{r}}(g) ≤ q^{r} + 1 + g[2\sqrt{q^{r}}] (Hasse-Weil-Serre-Schranke).

Siehe hierzu [LG, Part II, IV, p.70] und [St, Theorem V.2.3, Theorem V.3.1]. Für das Geschlecht g = 1 und g = 2 kann man Werte von N_{q^{r}}(g) explizit angeben.

Satz 4.1 Sei p eine Primzahl. Dann ist für g = 1:

N_{p^{r}}(1) = \{ \begin{matrix}q^{r} + [2\sqrt{q^{r}}] & falls p|[2\sqrt{q^{r}}], r ≥ 3, r ungerade \\ q^{r} + 1 + [2\sqrt{q^{r}}] & sonst, \end{matrix}

und für g = 2:

i) N_{4}(2) = 10, N_{9}(2) = 20

ii) falls für ungerades p gilt: p|[2\sqrt{p^{r}}] oder p^{r} = \{ \begin{matrix}m^{2} + 1 \\ m^{2} + m + 1 & , m ∈ ℤ \\ m^{2} + m + 2 \end{matrix} , dann

ist

N_{p^{r}}(2) = \{ \begin{matrix}p^{r} + 2[\sqrt{p^{r}}] & , für 2\sqrt{p^{r}} − [2\sqrt{p^{r}}] > \frac{\sqrt{5}−1}{2} \\ p^{r} + 2[\sqrt{p^{r}}] − 1 & , für 2\sqrt{p^{r}} − [2\sqrt{p^{r}}] < \frac{\sqrt{5}−1}{2} \end{matrix}

falls nicht, so ist N_{p^{r}}(2) = p^{r} + 1 + 2[2\sqrt{p^{r}}].

Beweis: Vergleiche [TV, Theorem 2.3.16 (und 2.3.17(Druckfehler)), p. 179] und [GF].

In Tabelle 4.8 sind einige für uns interessante Werte für maximal mögliche Anzahlen von Punkten aufgelistet. Diese wurden meist aus oben genannten Quellen übernommen. Die Eintragungen geben die maximale Anzahl von Punkten einer Kurve über 𝔽_{p^{r}} (p Primzahl) wieder, beziehungsweise Intervalle (Zahl-Zahl) oder obere Schranken (-Zahl) dieser Anzahlen. Sie sind im entsprechenden Kästchen der Reihe nach für r = 1, 2, … aufgelistet und durch Kommata getrennt.

Die folgende Definition und Proposition ist aus [La] übernommen.

Definition 4.1 Eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht g über 𝔽_{q} heißt maximal, wenn sie mit obigen Notationen eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

i) P (t) = (1 + [2\sqrt{q}]t + qt^{2})^{g}

ii) α_{i} + \overline{α_{i}} = −[2\sqrt{q}] für 1 ≤ i ≤ g

iii) N_{1}(X) = q + 1 + g[2\sqrt{q}]

\begin{matrix}g & 1 & 2 \\ N_{3^{r}}(g) & 7,16,38,100,275,783,2281 & 8,20,48,118,306,838,2372 \\ N_{5^{r}}(g) & 10,36,148,676,3237 & 12,46,168,726,3347 \\ N_{7^{r}}(g) & 13,64,381,2500 & 18,68,418,2598 \\ N_{31^{r}}(g) & 43,1024 & 52,1086 \\ N_{1021^{r}}(g) & 1085 & 1148 \\ g & 3 & 4 \\ N_{3^{r}}(g) & 10,28,56,136,-337,-892,-2467 & 12,30,64-68,154,-368,-946,-2560 \\ N_{5^{r}}(g) & 16,56,-192,-776,-3459 & -22,-66,-214,-826,-3570 \\ N_{7^{r}}(g) & 20,-92,-455,-2696 & -28,-106,-492,-2794 \\ N_{31^{r}}(g) & -65,-1148 & -76,-1210 \\ N_{1021^{r}}(g) & -1212 & -1274 \\ g & 5 & 6 \\ N_{3^{r}}(g) & 12-13,32-36,68-78,156-172,-399,-1000 & 14-15,35-40,76-86,190,-430,-1054 \\ N_{5^{r}}(g) & -26,-76,-236,-876,-3681 & -30,-86,-256,-926,-3792 \\ N_{7^{r}}(g) & -33,-120,-529,-2892 & -38,-134,-566,-2990 \\ N_{31^{r}}(g) & -87,-1272 & -98,-1334 \\ N_{1021^{r}}(g) & -1337 & -1400 \end{matrix}

Tabelle 4.8: Maximale Anzahlen von Punkten einer glatten projektiven Kurve über einem endlichen Körper 𝔽_{p^{r}}.

Bemerkung 4.3

Eine Kurve mit maximal möglicher Anzahl von Punkten ist nicht notwendig maximal, denn nicht für alle Geschlechter und Körper wird die Hasse-Weil-Serre Schranke angenommen, wie man mit Hilfe von Satz 4.1 erkennt.

□

Proposition 4.1 Für eine Kurve X über 𝔽_{q^{2}} sind äquivalent:

i) X ist maximal

ii) P (t) = (1 + qt)^{2g}

iii) N_{1}(X) = q^{2} + 1 + 2gq

iv) N_{s}(X) = q^{2s} + 1 + (−1)^{s−1}2gq^{s}

□

Bedingung iv)obiger Proposition besagt demnach, dass eine maximale Kurve X über einem endlichen Körper 𝔽_{q^{2}} auch maximale Kurve über dem Körper 𝔽_{q^{2+4i}}, i ∈ ℕ ist.

Beispiel 4.3

Betrachten wir wieder die Kurve C_{P} (11). In Beispiel 4.2 haben wir für r ∈ ℕ eine Formel zur Berechnung von N_{r}(C_{P} (11)/𝔽_{3^{r}}) angegeben. Berechnen wir nun einige Werte für kleines r so erhalten wir folgende Tabelle:

\begin{matrix}r & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ N_{r}(X_{0}(11)/𝔽_{3^{r}}) & 5 & 15 & 20 & 75 & 275 & 720 & 2105 & 6675 & 19820 & 58575 \end{matrix}

Wir sehen also, dass C_{P} (11) eine maximale Kurve über 𝔽_{3^{5}} ist. Nutzen wir die in den Tabellen 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 und 4.7 aufgeführten algebraischen Zahlen α_{i}, \overline{α_{i}} und die Gleichung 4.1, so sehen wir, dass C_{P} (11) /𝔽_{5^{7}}, C_{P} (17) /𝔽_{3^{2}}, C_{P} (17) /𝔽_{5^{7}} und C_{P} (31) /𝔽_{5^{7}} maximale Kurven sind. Die Rechnungen dazu finden sich im Verzeichnis ’˜ /data/zet/’ und deren Zusammenfassung in der Datei ’˜ /data/zet/maxkur’. Aus Proposition 4.1 erhalten wir, dass C_{P} (17) maximale Kurve über 𝔽_{3^{2+4i}} für i ∈ ℕ ist.

□

4.2 Codes, die über der asymptotischen Gilbert-Varshamov-Schranke liegen

Satz 4.2 (Tsfasman,Vladut,Zink) Sei q = p^{2} und l eine Primzahl, die größer als p ist. Dann gilt

lim_{l→∞} \frac{g(X_{0}(l))}{N_{l}(X_{0}(l))} = \frac{1}{\sqrt{q}−1}

Beweis: Siehe [TVZ], [Mo 5.6.9].

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Bemerkung 4.4

Dieser Satz gilt auch für q = p^{4}, was ebenfalls in [TVZ] bewiesen wird. Der allgemeine Fall q = p^{2n}, n ∈ ℕ wurde unabhängig von Manin, Vladut beziehungsweise Ihara bewiesen. Dabei wurden nicht die klassischen Modulkurven sondern Drinfeldmodulen benutzt.

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Vergleicht man für großes l die Parameter der daraus resultierenden Codes mit der asymptotischen Gilbert-Varshamov-Schranke, so erhält man folgende Proposition:

Proposition 4.2 Für p ≥ 7 gibt es Folgen von Goppa-Codes, deren Grenzwerte im δ − R Diagramm über der Gilbert-Varshamov-Schranke liegen. Sie liegen auf der Geraden R − δ = \frac{1}{\sqrt{q}−1}.

4.3 Konstruktion einiger Codes

Wir wollen nun zunächst am Beispiel C_{p}(11) über 𝔽_{3^{i}} (i ∈ ℕ) einige Codes konstruieren.

Beispiel 4.4

In Beispiel 4.1 haben wir uns ein nicht singuläres Modell dieser Kurve konstruiert. Sei nun 𝔓_{i} die Menge {P_{1}, …, P_{n_{i}}} der 𝔽_{3^{i}}-rationalen, endlichen Punkte von C_{P} (11) über dem Körper 𝔽_{3^{i}}. Seien dabei P_{1,∞} und P_{2,∞} die beiden unendlichen Punkte. Wir wollen nun Codes der Form C_{L}(X_{0}(11), 𝔓_{i}, G) untersuchen. Dabei sei G := (P_{1,∞} + P_{2,∞}). In [Wi, Kapitel 6] wird im Fall einer Kurve X mit einem Modell s^{m} + f(x) in K[s, x] (m ∈ ℕ, K ist endlicher Körper) und einem einfachen Punkt im Unendlichen P_{∞} eine Basis des Raumes L(nP_{∞}) und resultierende Erzeugermatritzen der Codes C_{L}(X, 𝔓_{i}, nP_{∞}) für natürliche Zahlen n ∈ ℕ angegeben.

Würden wir analog zur dort angegebenen Basis hier dieselbe wählen, dann würden wir folgende Basis erhalten:

B(L(lG)) = {s^{r}x^{t}|mt + deg(f)r ≤ deg(D), r ≤ m}  (4.2)

Für C_{P} (11) wäre dann also

B(L(lG)) = {s^{r}x^{t}|2t + 4r ≤ 2l, r ∈ {0, 1}}.

Als Erzeugermatrix hätte man:

( \begin{matrix}1 & … & 1 \\ x(P_{1}) & … & x(P_{n_{i}}) \\ x^{2}(P_{1}) & … & x^{2}(P_{n_{i}}) \\ … & … & … \\ x^{l}(P_{1}) & … & x^{l}(P_{n_{i}}) \\ sx(P_{1}) & … & sx(P_{n_{i}}) \\ sx^{2}(P_{1}) & … & sx^{2}(P_{n_{i}}) \\ … & … & … \\ sx^{l−2}(P_{1}) & … & sx^{l−2}(P_{n_{i}}) \end{matrix} )

Eine Möglichkeit diese Codes zu konstruieren, liefert der Brill-Noether Algorithmus (Siehe Abschnitt 1.4.1). Wir werden bei dessen Beschreibung dabei im Wesentlichen [HB] folgen (Siehe auch [BR] und [CF]). In Beispiel 4.1 haben wir bereits den Desingularisierungsbaum 𝔗_{P_{∞}} von C_{P} im Punkt P_{∞} berechnet. Wir sehen, dass der adjungierte Divisor 𝔄 von C_{P} gleich 2P_{1,∞} + 2P_{2,∞} ist. Bestimmen wir nun die Ordnungen der Transformierten von a := \frac{A}{S} und x := \frac{X}{S} im Punkt P_{1,∞} und P_{2,∞}. Wie man aus 𝔗_{P_{∞}} abliest, wird a in P_{1,∞} in R^{2}V − R^{2} und in P_{2,∞} in R^{2}V +R^{2} transformiert. Da sowohl R als auch V lokale Parameter der Punkte P_{1,∞} und P_{2,∞} sind, sehen wir, dass die Ordnung der Transformierten von a in P_{1,∞} und P_{2,∞} jeweils zwei ist. Analog erhalten wir, da sich x in P_{1,∞} in RV −R und in P_{2,∞} in RV + R transformiert, dass die Ordnung der Transformierten von x in P_{1,∞} und P_{2,∞} jeweils eins ist. Mit Hilfe dieser Ordnungen erhalten wir:

(A) = 2P_{1,∞} + 2P_{2,∞}
(S) = Q_{1} + R_{1} + R_{2} + R_{3}
(X) = P_{1,∞} + P_{2,∞} + 2Q_{1}

Dabei ist Q_{1} = (1, 0, 0) wie in Beispiel 4.1 und R_{1} := (1, 0, e^{7}), R_{2} := (1, 0, e^{11}) und R_{3} := (1, 0, e^{21}) die drei Schnittpunkte von C_{P} (11) mit der Geraden S = 0 über dem Körper 𝔽_{3}[e]/(e^{3} − e + 1). Wir wählen nun die Form G_{0} := A^{d} vom Grad d ≥ 1. Da (G_{0}) ≥ 𝔄 und Supp(G_{0}) ⊂ Supp(𝔄) ist können wir wie in Algorithmus 1.4.1 beschrieben wurde, fortfahren. Sei D_{d} := (G_{0}) − 𝔄 = 2(d − 1)(P_{1,∞} + P_{2,∞}). Nach dem Satz von Riemann-Roch ist l(D_{d}) gleich deg(D_{d}) − g + 1 + l(κ − D_{d}). Das Geschlecht von C_{P} (11) ist 1 und nach Lemma 1.2 ist folglich für alle effektiven Divisoren D_{d} die Dimension von L(κ−D_{d}) gleich null. Ist also d ≥ 2, dann ist l(D_{d}) = deg(D_{d}) = 4(d − 1). Im Fall d = 1 ist A die einzige Form vom Grad 1 für die (A) ≥ (G_{0})−D_{d} = 𝔄 und Supp(A) ⊂ Supp(𝔄) gilt. Also ist L(D_{d}) = L((0)) = {1} und somit l(D_{d}) = 1. Ist d größer oder gleich zwei, so hat jedes Monom G vom Grad d außer S^{d} und S^{d−1}X einen Divisor, der größer als (G_{0}) − D_{d} ist. Insgesamt gibt es also \frac{(d+2)(d+1)}{2} − 2 Monome vom Grad d, für die G ≥ (G_{0}) − D_{d} gilt. Unter diesen gibt es nun noch \frac{(d−2)(d−3)}{2}, die durch S^{2}A^{2} geteilt werden. Es verbleiben also \frac{(d+2)(d−1)}{2} − 2 − \frac{(d−2)(d−3)}{2} = 4(d − 1) Monome. Diese sind als Elemente des Raumes der Formen vom Grad d, die nicht von f^{h} (siehe Beispiel 4.1) geteilt werden und für die (G) ≥ (G_{0}) − 𝔄 gilt, linear unabhängig. Teilen wir die Formen des oben beschriebenen Raumes noch durch die Form A^{d}, so erhalten wir eine Basis von L(D_{d}). Für d = 2, 3, 4 ist dies zum Beispiel:

B(L(D_{2})) = \{1, \frac{S}{A}, \frac{X}{A} , \frac{X^{2}}{A^{2}} \}
B(L(D_{3})) = \{1, \frac{S}{A}, \frac{X}{A} , \frac{X^{2}}{A^{2}} , \frac{SX}{A^{2}} , \frac{X^{3}}{A^{3}} , \frac{SX^{2}}{A^{3}} , \frac{S^{2}}{A^{2}} \}
B(L(D_{4})) = \{1, \frac{S}{A}, \frac{X}{A} , \frac{X^{2}}{A^{2}} , \frac{SX}{A^{2}} , \frac{X^{3}}{A^{3}} , \frac{SX^{2}}{A^{3}} , \frac{X^{4}}{A^{4}}

\frac{S^{3}}{A^{3}} , \frac{S^{2}X}{A^{3}} , \frac{SX^{3}}{A^{4}} , \frac{S^{2}X^{2}}{A^{4}} \}

Falls d ≥ 5 gilt, dann erhalten wir folgende Basis:

B(L(D_{d})) = \{1, \frac{X}{A} , \frac{X^{2}}{A} , \frac{X^{3}}{A^{3}} , …, \frac{X^{d−1}}{A^{d−1}} , \frac{X^{d}}{A^{d}} ,

\frac{S}{A}, \frac{SX}{A^{2}} , \frac{SX^{2}}{A^{3}} , …, \frac{SX^{d−2}}{A^{d−1}} , \frac{SX^{d−1}}{A^{d}} ,

\frac{S^{2}X^{d−3}}{A^{d−1}} , \frac{S^{3}X^{d−4}}{A^{d−1}} , \frac{S^{4}X^{d−5}}{A^{d−1}} , …, \frac{S^{d−2}X}{A^{d−1}} , \frac{S^{d−1}}{A^{d−1}}

\frac{S^{2}X^{d−2}}{A^{d}} , \frac{S^{3}X^{d−3}}{A^{d}} , \frac{S^{4}X^{d−4}}{A^{d}} …, \frac{S^{d−3}X^{3}}{A^{d}} , \frac{S^{d−2}X^{2}}{A^{d}} \}

Betrachten wir nun den affinen Teil A = 1 dieser Basen. Wird in den Monomen der Erzeugenden obiger Basen S^{2} mit X^{4} ersetzt, dann verlieren diese Mengen nicht die Eigenschaft, Basen von L(D_{d}) zu sein, Daraus wird ersichtlich, dass gilt:

B(L(D_{d})) = {s^{r}x^{t}|t + 2r ≤ 2d, r ∈ {0, 1}}

Wir haben also die in (4.2) angegebenen Basen von [Wi] für gerade l konstruiert.

Beispiel 4.5

Gehen wir nun analog zu Beispiel 4.4 für die Kurven C_{P} (17) und C_{P} (19) in Charakteristik drei vor. Der einzige, singuläre Punkt jeder dieser Kurven ist der Punkt P_{∞} = (0 : 1 : 0). Wir können auch in beiden Fällen mit denselben Transformationen wie im Fall der Kurve C_{P} (11) desingularisieren. In Abbildung 4.2 ist dies in einem gemeinsamen Desingularisierungsbaum dargestellt. Die oberen Polynome an jedem Knoten des Baumes gehören zur Kurve C_{P} (11)/\overline{𝔽_{3}}, die mittleren zur Kurve C_{P} (17)/\overline{𝔽_{3}} und die unteren zu C_{P} (19)/\overline{𝔽_{3}}. Für die Kurven C_{P} (17) und C_{P} (19) erhalten wir dieselben Basen B(L((D_{d}))) wie im Falle von C_{P} (11).

Die Codes C_{L}(C_{P} /𝔽_{3^{i}}, 𝔓_{i}, D_{d}) (d ≥ 2), die wir dann erhalten, haben für 4 ≤ deg(D_{d}) = 4(d − 1) < deg(𝔓_{i}) nach Satz 1.13 die Parameter

len = n_{i},
dim = 4(d − 1) − g(C_{P}) + 1 = 4(d − 1),
dis ≥ n_{i} − 4(d − 1).

Dabei ist 𝔓_{i} die Summe der restlichen 𝔽_{3^{i}}-rationalen Punkte der jeweiligen Kurve. Für die Dimension der Codes gilt dabei Gleichheit, da wir bereits gesehen haben, dass die Divisoren D_{d} für d ≥ 2 nicht speziell sein können.

Abbildung 4.2: Desingularisierungsbaum der Kurve C_{P} (11)/\overline{𝔽_{3}}, C_{P} (17)/\overline{𝔽_{3}} und C_{P} (19)/\overline{𝔽_{3}} im Punkt P_{∞} (S=1).

Ist d=1, so erhalten wir die trivialen Codes [n_{i}, 1, n_{i} − 1], die nur aus den Codewörtern (0, …, 0), (1, …, 1)und(−1, …, −1) bestehen.

Über 𝔽_{9} = 𝔽_{3}[e]/(e^{2} + e − 1) hat C_{P} (11), außer den drei Punkten von 𝔽_{3}, zehn weitere Punkte, nämlich

(−e + 1, 1), (e − 1, 1), (−e + 1, −e + 1), (e − 1, −e + 1), (−e − 1, −e),
(e + 1, −e), (−e + 1, e − 1), (e − 1, e − 1), (e, e + 1) und (−e, e + 1).

Wir erhalten für d ∈ \{2, 3, 4\} die Codes C_{L}(X_{0}(11)/\overline{𝔽_{3}}, 𝔓_{2}, D_{d}), mit den Parameter [13, 4(d − 1), ≥ 13 − 4(d − 1)], falls d ∈ {2, 3, 4} und [13, 1, 12], falls d=1 ist. Der [13, 12, 1] Code hat Erzeugermatrix:

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 & −e + 1 & e − 1 & −e + 1 & e − 1 & −e − 1 & e + 1 & −e + 1 & e − 1 & e & −e \\ 0 & −1 & −1 & 1 & 1 & −e + 1 & −e + 1 & −e & −e & e − 1 & e − 1 & e + 1 & e + 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 & −e + 1 & −e + 1 & −1 & −1 & e − 1 & e − 1 \\ 0 & −1 & 1 & −e + 1 & e − 1 & −1 & 1 & 1 & −1 & 1 & −1 & 1 & −1 \\ 0 & −1 & −1 & 1 & 1 & e − 1 & e − 1 & e + 1 & e + 1 & −e + 1 & −e + 1 & −e & −e \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & −e & −e & 1 & 1 & −e & −e \\ 0 & 1 & −1 & −e + 1 & e − 1 & e − 1 & −e + 1 & −e & e & e − 1 & −e + 1 & e + 1 & −e + 1 \\ 0 & 1 & −1 & e − 1 & −e + 1 & e − 1 & −e + 1 & 1 & −e & e − 1 & −e + 1 & −e − 1 & e + 1 \\ 0 & −1 & −1 & 1 & 1 & 1 & 1 & −e − 1 & −1 & 1 & 1 & −1 & −1 \\ 0 & −1 & 1 & −e + 1 & e − 1 & 1 & −1 & −e + 1 & e − 1 & −1 & 1 & e − 1 & −e + 1 \\ 0 & 1 & 1 & −1 & −1 & 1 & 1 & e + 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

Die Erzeugermatrix für d = i, i ∈ {2, 3, 4} erhalten wir aus derjenigen für d = 4, indem wir die letzten 4(4 − i) Zeilen obiger Matrix streichen.

In Beispiel 4.3 haben wir eine Tabelle mit der Anzahl der Punkte von C_{P} (11) über einigen kleinen Erweiterungen von 𝔽_{3} angegeben. Mit deren Hilfe und der oben angegebenen Parameterabschätzungen erhalten wir für die Codes C_{L}(C_{P} (11)/\overline{𝔽_{p^{i}}}, 𝔓_{i}, D_{d}) mit 4 ≤ 4(d − 1) < deg(𝔓_{i}) folgende Parameter

[13, 4(d − 1), 13 − 4(d − 1) oder 14 − 4(d − 1)],
[18, 4(d − 1), 18 − 4(d − 1) oder 19 − 4(d − 1)],
[73, 4(d − 1), 73 − 4(d − 1) oder 74 − 4(d − 1)],
[273, 4(d − 1), 273 − 4(d − 1) oder 274 − 4(d − 1)],
[718, 4(d − 1), 718 − 4(d − 1) oder 719 − 4(d − 1)],
[2103, 4(d − 1), 2103 − 4(d − 1) oder 2104 − 4(d − 1)],
[6673, 4(d − 1), 6673 − 4(d − 1) oder 6674 − 4(d − 1)],
[19818, 4(d − 1), 19818 − 4(d − 1) oder 19819 − 4(d − 1)],
[58573, 4(d − 1), 58573 − 4(d − 1) oder 58574 − 4(d − 1)].

Im Allgemeinen (d > 1) haben die Codes C_{L}(C_{P} (11)/\overline{𝔽_{p^{i}}}, 𝔓_{i}, D_{d}) die Parameter

len = 3^{i} − 3 − (−\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{−11}}{2})^{i} − (−\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{−11}}{2})^{i},
dim = 4(d − 1),
dis oder dis − 1 = 3^{i} − 3 − (−\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{−11}}{2})^{i} − (−\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{−11}}{2})^{i} − 4(d − 1).

Genauso erhalten wir nun die Codes C_{L}(C_{P} (17)/\overline{𝔽_{p^{i}}}, 𝔓_{i}, D_{d}), (4 ≤ 4(d − 1) < deg(𝔓_{i})) mit den Parametern

[14, 4(d − 1), 14 − 4(d − 1) oder 15 − 4(d − 1)],
[26, 4(d − 1), 26 − 4(d − 1) oder 27 − 4(d − 1)],
[62, 4(d − 1), 62 − 4(d − 1) oder 63 − 4(d − 1)],
[242, 4(d − 1), 242 − 4(d − 1) oder 243 − 4(d − 1)],
[782, 4(d − 1), 782 − 4(d − 1) oder 783 − 4(d − 1)],
[2186, 4(d − 1), 2186 − 4(d − 1) oder 2187 − 4(d − 1)].

Im Allgemeinen (d > 1):

len = 3^{i} − 3 − (\sqrt{−3})^{i} − (−\sqrt{−3})^{i}
dim = 4(d − 1)
dis oder dis − 1 = 3^{i} − 3 − (\sqrt{−3})^{i} − (−\sqrt{−3})^{i}

und die Codes C_{L}(C_{P} (19)/\overline{𝔽_{p^{i}}}, 𝔓_{i}, D_{d}), (4 ≤ 4(d − 1) < deg(𝔓_{i})) mit den Parametern:

[10, 4(d − 1), 10 − 4(d − 1) oder 11 − 4(d − 1)],
[16, 4(d − 1), 16 − 4(d − 1) oder 17 − 4(d − 1)],
[94, 4(d − 1), 94 − 4(d − 1) oder 95 − 4(d − 1)],
[244, 4(d − 1), 244 − 4(d − 1) oder 245 − 4(d − 1)],
[682, 4(d − 1), 682 − 4(d − 1) oder 683 − 4(d − 1)],
[2274, 4(d − 1), 2274 − 4(d − 1) oder 2275 − 4(d − 1)].

Im Allgemeinen (d > 1):

len = 3^{i} − 3 − (−1 + \sqrt{−2})^{i} − (−1 − \sqrt{−2})^{i}
dim = 4(d − 1)
dis oder dis − 1 = 3^{i} − 3 − (−1 + \sqrt{−2})^{i} − (−1 − \sqrt{−2})^{i}

Steigen wir nun von der Erweiterung 𝔽_{3^{i}} in den Grundkörper 𝔽_{3} ab, betrachten wir also den Isomorphismus der Vektorräume

ab : 𝔽_{3^{i}} → 𝔽_{3}^{i}, ab ( ∑_{j=1}^{i−1} a_{j}e^{j}) ↦ (a_{0}, …, a_{i−1}),

so wird ein Code C mit den Parametern [n, k, ≥ d] über 𝔽_{3^{i}} in einen Code ab(C) über 𝔽_{3} mit den Parametern [in, ik, d] abgebildet. Nehmen wir an, dass wir durch den Abstieg den Minimalabstand d erhalten, dann sind obige Codes asymptotisch betrachtet, also für i → ∞ eine für jede Wahl von d ’schlechte’ Familie von Codes, das heißt die resultierenden Abschätzungen liegen im Grenzwert unterhalb der asymptotischen Gilbert-Varshamov-Schranke. Sie liegen im (δ, R)-Diagramm sogar auf der Gerade δ = 0.

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