Universität des Saarlandes

Fachrichtung 6.1 – Mathematik Prof. Dr. G. Wittstock

Klausur Analysis II Sommersemester 2001

Für jede der folgenden 7 Aufgaben gibt es 10 Punkte; mit 27 Punkten haben Sie bestanden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1:

a) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, für die gilt:

z̄^{2} − 2z − z̄ = 0.

Wie viele Lösungen gibt es?

b) Seien a, b ∈ ℂ und |a| > |b|. Für welche komplexen Zahlen z gilt

|az − b| ⩽ |b̄z − ā|?

Aufgabe 2: Berechnen Sie

a) ∫ \frac{2e^{x} cosh(x)}{e^{x} + 1} dx,

b) ∫ \frac{2e^{x} sinh(x)}{e^{x} + 1} dx.

Aufgabe 3:

a) Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung

f′(x) + f(x) = sin(x)

mit f(\frac{π}{4} ) = 0.

b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

2f′′(x) − f(x) = e^{x}.

Hinweis: Eine spezielle Lösung kann man durch genaues Hinsehen raten.

Aufgabe 4:

a) Sei X =]0, ∞[, d(x, y) = |x − y| die übliche Metrik auf X und

d_{1} : X × X → ℝ; (x, y) ↦ |\frac{1}{x} − \frac{1}{y}|.

Zeigen Sie: d_{1} ist eine Metrik, und die Abbildung

f : (X, d) → (X, d_{1}); x ↦ \frac{1}{x}

ist gleichmäßig stetig.

b) Geben Sie je ein Beispiel einer Teilmenge A von ℝ (mit der üblichen Metrik), die I) abgeschlossen ist und leeres Inneres hat, II) gleich dem Inneren ihres Abschlusses ist, III) abgeschlossen ist, und für die A \ {x} offen ist für alle x ∈ A.

Aufgabe 5:

a) Berechnen Sie:

I) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{4n^{2} − 1}, II) ∑_{n=2}^{∞} log(1 − \frac{1}{n^{2}} ).

b) Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

I) ∑_{n=2}^{∞} (\frac{1}{log(n)})^{p} für p ∈ ℕ,

II) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{2^{n}},

III) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{log(n)}{n}.

Aufgabe 6:

a) Berechnen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen:

I) ∑_{n=1}^{∞} n^{\frac{1}{n} log(n)}x^{n}, II) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}} (n^{3} − 3n^{2})x^{n}.

b) Bestimmen Sie die Summenfunktion der Potenzreihe

∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n(n − 1)}x^{n}

im Inneren ihres Konvergenzbereiches.

Aufgabe 7: Sei f : [0, ∞[→ ℝ monoton fallend, und sei lim_{x→∞} f(x) = 0. Zeigen Sie, dass

∫_{0}^{∞} f(x) cos(x) dx

konvergiert.