1. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: Beweise Lemma 3.4.1: Für x, y ∈ ℝ ist genau dann (cos x, sin x) = (cos y, sin y), wenn x − y ∈ 2πℤ. Hinweis: Betrachte cos(x − y).

Aufgabe 2: a) Die Umkehrfunktion der Einschränkung sin |_{[ \frac{−π}{2} , \frac{π}{2} ]} heißt Arkussinus und wird mit arcsin bezeichnet. Die Umkehrfunktion der Einschränkung cos |_{[0,π]} heißt Arkuskosinus und wird mit arccos bezeichnet. Führe die Argumentfunktion arg : 𝕋 →]−π, π] einmal auf arcsin und einmal auf arccos zurück. (𝕋 bezeichnet die Torusgruppe.)

b) Seien A, B, C ∈ ℝ. Bestimme alle Lösungen x der Gleichung

A cos x + B sin x + C = 0

mit Hilfe von arcsin und arccos. Für welche A, B, C ist diese Gleichung lösbar? Hinweis: Additionstheoreme.

Aufgabe 3: a) Bestimme Real- und Imaginärteil von \frac{3+i}{(1+2i)^{2}} .

b) Die komplexen Zahlen 1 ± i\sqrt{3} sind nach Definition Drehstreckungen r · D mit r > 0 und D ∈ SO(2). Bestimme jeweils r und D. Welches Element der Torusgruppe entspricht D jeweils unter dem in der Vorlesung angegebenen Isomorphismus? Bestimme sein Argument in ℝ/2πℤ.

c) Zeige allgemein: Wird einer komplexen Zahl z ≠ 0 auf diese Art das Argument [φ] zugeordnet, so hat die konjugiert komplexe Zahl z̄ das Argument [−φ].

Aufgabe 4: a) Die Hyperbelfunktionen. Wir definieren folgende Funktionen: Hyperbelkosinus, cosinus hyperbolicus: cosh : ℝ → ℝ; x ↦ \frac{e^{x}+e^{−x}}{2} , Hyperbelsinus, sinus hyperbolicus: sinh : ℝ → ℝ; x ↦ \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} , Hyperbeltangens, tangens hyperbolicus: tanh : ℝ → ℝ; x ↦ \frac{sinh x}{cosh x} = \frac{e^{x}−e^{−x}}{e^{x}+e^{−x}}. Zeige: cosh^{2} x − sinh^{2} x = 1. Berechne lim_{x→∞} cosh x − sinh x und lim_{x→±∞} tanh x. Berechne die Ableitungen der drei Funktionen und finde Stammfunktionen.

b) Die Areafunktionen. Die Funktionen cosh |_{[0,∞[}, cosh |_{]−∞,0]}, sinh und tanh sind injektiv. Berechne ihre Umkehrfunktionen und deren Ableitungen. Die Umkehrfunktionen zu cosh |_{[0,∞[}, sinh, tanh heißen area cosinus hyperbolici, area sinus hyperbolici, area tangentis hyperbolici und werden mit arcosh, arsinh, artanh bezeichnet.

Aufgabe 5: Wiederhole den Begriff des Differentials (Kap. 3.2.8ff):

a) Sei f : I → ℝ stetig differenzierbar, a ∈ I und h ∈ ℝ. Bei welchem der folgenden Terme handelt es sich um eine lineare Abbildung? Bei welchem um eine reelle Zahl? Und bei dem dritten?

df  df(a)  df(a)(h)

b) Sei g : J → I ebenfalls stetig differenzierbar und b ∈ J. Zeige:

d(f ∘ g)(b) = df(g(b)) ∘ dg(b).

Abgabe: Wegen des Feiertags ist die Abgabe ausnahmsweise am Dienstag, den 17. 04. 2001, vormittags von 9.00 bis 11.15 Uhr (allerspätestens bis 13.00 Uhr) bei mir (Zimmer 304). (Regulär wird die Abgabe montags vor der Vorlesung sein.) Mein Name ist Benedikt Betz. Ich betreue dieses Semester die Übungen zur Analysis 2. Ich bin erreichbar in Zimmer 304, Gebäude 27.1, oder per e-mail: benedikt@math.uni-sb.de. Feedback ist erwünscht.