11. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: (Cauchyprodukt)

a) Wie lauten die Potenzreihenentwicklungen um den Punkt 0 von sinh und cosh?

b) Beweise mit Hilfe des Cauchyprodukts der Potenzreihen:

sinh(x ± y) = sinh(x) cosh(y) ± cosh(x) sinh(y).

Aufgabe 2: (Uneigentliche Integrale) Für welche a, b ∈ ℝ konvergiert das uneigentliche Integral

∫_{0}^{1} x^{a}e^{−x^{b}} dx?

Aufgabe 3: Sei f : [0, ∞[→ ℝ monoton fallend und sei lim_{x→∞} f(x) = 0. Zeige, dass

∫_{0}^{∞} f(x) sin(x) dx

konvergiert.

Aufgabe 4: (Polynomische Formel) Seien n, k ∈ ℕ und a_{1}, …, a_{k} ∈ ℂ. Zeige folgende Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes:

(∑_{i=1}^{k} a_{k})^{n} = ∑_{{α∈ℕ^{k}_{0} \atop |α|=n}} P_{α}a^{α},

wobei man für α = (α_{1}, …, α_{k}) ∈ ℕ_{0}^{k} setzt: |α| = ∑_{i=1}^{k} α_{i}, a^{α} = ∏_{i=1}^{k} a_{i}^{α_{i}} und P_{α} = \frac{|α|!}{∏_{i=1}^{k} α_{i}!}.

Aufgabe 5: Sind f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} und g(x) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}x^{n} zwei konvergente Potenzreihen, so kann man sie formal ineinander einsetzen und erhält die Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} (∑_{k=1}^{∞} b_{k}x^{k})^{n}.

a) Bestimme die ersten drei Koeffizienten dieser Potenzreihe. Wer findet eine allgemeine Formel? (Hinweis: Aufgabe 4) In [Henri Cartan, Elementare Theorien der Analytischen Funktionen einer oder mehrerer Komplexen Funktionen, Satz 5.1] wird die Konvergenz dieser Potenzreihe gegen die Funk-

tion f ∘ g bewiesen. Mit welcher Aufgabe aus dem letzten Semester hat das zu tun?

b) Bestimme die ersten drei Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung im Punkt 0 von

f(x) = log (\frac{1 + x^{2}}{sin x + cos^{2} x}).

Anleitung: Schreibe f als Verknüpfung einfacher Funktionen, deren Potenzreihenentwicklungen bekannt sind, setze die Terme bis zum Grad 2 ineinander ein, ordne nach Potenzen von x und ignoriere alle Terme von höherem Grad als 2. Rechtfertige dieses Vorgehen im Hinblick auf a) und die zitierte Konvergenzaussage.

Abgabe: Montag, 25. 06. 2001, vor der Vorlesung.