3. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: a) Leite mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion die Additionstheoreme für cos(x ± y) und sin(x ± y) her.

b) Berechne i^{i} := e^{i log i}. Bestimme Real- und Imaginärteil von log(3 − 4i).

Aufgabe 2: a) Wo steckt der Fehler? (Für x ∈ ℝ_{−} sei \sqrt{x} definiert als i\sqrt{|x|}.)

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1} · \sqrt{−1} = i · i = −1.

b) Für welche Paare von komplexen Zahlen z, w ∈ ℂ gilt \sqrt{z · w} = \sqrt{z} · \sqrt{w}? Wie lautet die Rechenregel für alle anderen z, w?

Aufgabe 3: Finde die Lösung der Differentialgleichung

f′′(x) + 2af′(x) + bf(x) = 0, f(0) = 0, f′(0) = 1

mit a, b ∈ ℝ in den Fällen a^{2} − b < 0, a^{2} − b = 0 und a^{2} − b > 0.

Aufgabe 4: Integrale rationaler Funktionen, Teil 1. Es seien p und q ≠ 0 Polynome und der höchste Koeffizient von q auf 1 normiert. Falls die Faktorisierung von q in irreduzible Faktoren bekannt ist, kann man eine Stammfunktion von \frac{p}{q} finden. Man geht dazu auf folgende Weise vor:

1. Schritt: Polynomdivision: \frac{p}{q} = r + \frac{s}{q} mit Polynomen r und s, wobei grad s < grad q ist. ∫ r kann man direkt angeben, es bleibt ∫ \frac{s}{q} zu bestimmen. Beispiel: Berechne ∫ \frac{x^{2}+2x+3}{x+1} dx.

2. Schritt: Partialbruchzerlegung. Sei

q(x) = ∏_{i=1}^{n}(x − α_{i})^{ν_{i}} ∏_{j=1}^{m}(x^{2} + β_{j}x + γ_{j})^{μ_{j}}

die Zerlegung von q in irreduzible Faktoren mit Vielfachheiten ν_{i} und μ_{j}. Das heißt, die Faktoren x^{2} + β_{j}x + γ_{j} haben keine reelle Nullstelle. Dann gibt es (eindeutig bestimmte) Zahlen a_{ik}, b_{jl}, c_{jl}, so dass

(∗) \frac{s(x)}{q(x)} = ∑_{i=1}^{n} ∑_{k=1}^{ν_{i}} \frac{a_{ik}}{(x − α_{i})^{k}} + ∑_{j=1}^{m} ∑_{l=1}^{μ_{j}} \frac{b_{jl}x + c_{jl}}{(x^{2} + β_{j}x + γ_{j})^{l}}.

Diese bestimmt man auf folgende Art:

(a) (∗) mit q multiplizieren und kürzen.

(b) Ausmultiplizieren, Ordnen nach Potenzen von x und Koeffizientenvergleich liefert ein lineares Gleichungssystem für a_{ik}, b_{jl}, c_{jl}.

(c) Zusätzliche, oft einfachere Gleichungen erhält man, indem man für x spezielle Werte einsetzt, zum Beispiel die Nullstellen von q.

Beispiel: Bestimme die Partialbruchzerlegung von \frac{4x^{2}}{(1+x)(1+x^{2})^{2}} .

Abgabe: Montag, 30. 04. 2001, vor der Vorlesung.