4. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: Löse folgende inhomogene lineare Differentialgleichungen durch Variation der Konstanten, ausgehend von der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

a) f′(x) − f(x) = e^{x}, f(0) = 1,

b) f′(x) + f(x) = sinh(x), f(0) = 1.

Aufgabe 2: Erzwungene Schwingung. Sei ω > 0 und a · (b − ω^{2}) ≠ 0. Finde eine Lösung der Differentialgleichung

f′′(x) + 2af′(x) + bf(x) = cos(ωx)

durch den Ansatz f(x) = A cos(ωx − φ).

Aufgabe 3: Integrale rationaler Funktionen, Teil 2.

3. Schritt: Integration der Partialbrüche.

(a) Gib eine Stammfunktion von \frac{a}{(x−α)^{k}} an für k = 1 und k > 1.

(b) Partialbrüche der Form \frac{bx+c}{(x^{2}+βx+γ)^{l}} bringt man durch quadratische Ergänzung im Nenner auf die Form \frac{bx+c}{((x−x_{0})^{2}+a)^{l}} mit a > 0 (Warum a > 0?) Durch Substitution

x = \sqrt{a} · y + x_{0} gelangt man zu Integralen der Form ∫ \frac{ky}{(y^{2}+1)^{l}} dy und ∫ \frac{k dy}{(y^{2}+1)^{l}}.

Beispiel: Finde eine Stammfunktion zu \frac{x+1}{x^{2}+2x+5}.

(c) Gib eine Stammfunktion von \frac{y}{(y^{2}+1)^{l}} an.

Aufgabe 4: Integrale rationaler Funktionen, Teil 3.

(d) Bestimmung von ∫ \frac{dy}{(y^{2}+1)^{l}}:

i. Gib eine Stammfunktion von \frac{1}{(y^{2}+1)} an.

ii. Sei l > 1. Setze I_{l} = ∫ \frac{dy}{(y^{2}+1)^{l}}. Es ist I_{l} = ∫ \frac{y^{2}+1}{(y^{2}+1)^{l}} dy − ∫ y · \frac{y}{(y^{2}+1)^{l}} dy. Der erste Term ist I_{l−1}, der zweite wird durch partielle Integration ebenfalls auf I_{l−1} zurückgeführt. Führe die Rechnung aus! Nach endlich vielen Schritten ist man bei I_{1}.

Beispiel: Berechne ∫ \frac{4x^{2}}{(1+x)(1+x^{2})^{2}} dx. (Vgl. 3. Übung, Aufgabe 4.)

Aufgabe 5: Bestimme ∫ sinh(\sqrt{x}) dx.

Abgabe: Montag, 07. 05. 2001, vor der Vorlesung.