7. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: Welche der folgenden Reihen konvergieren? Bzw. für welche Werte der Parameter a ∈ ℝ und b > 0 konvergieren sie?

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n^{a}}  b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{\sqrt[n]{n}}  c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{a}}

Aufgabe 2: Wie Aufgabe 1.

d) ∑_{n=1}^{∞} b^{log n}  e) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} (e − (1 + \frac{1}{n})^{n})  f) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(log n)^{log n}}

Aufgabe 3: Sei φ : ℝ → ℝ Lipschitz-stetig. Der Raum C([a, b]) der stetigen Funktionen [a, b] → ℝ sei mit der sup-Norm und der dadurch gegebenen Metrik versehen. Zeige: Die Abbildung A : C([a, b]) → C([a, b]); f ↦ [x ↦ ∫_{a}^{x} φ(f(t)) dt] ist Lipschitz-stetig.

Aufgabe 4: Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X. Ein Punkt x ∈ X heißt Häufungspunkt von A, falls jede Umgebung von x einen Punkt y ∈ A \ {x} enthält.

a) Ist jeder Häufungspunkt ein Berührungspunkt? Gib ein Beispiel eines Berührungspunktes, der kein Häufungspunkt ist.

b) Zeige: A^{−} = A ∪ {x ∈ X | x ist ein Häufungspunkt von A}.

c) Gib je ein Beispiel einer nichtleeren Teilmenge von ℝ^{2}, die

• genau aus ihren Häufungspunkten besteht,

• abgeschlossen ist, aber keine Häufungspunkte hat,

• offen ist, aber durch Hinzufügen eines einzigen Punktes abgeschlossen wird.

Aufgabe 5: Zur Konstruktion von ℝ.

a) Wie kann man die Begriffe Nullfolge und Cauchyfolge definieren, ohne jemals auf die reellen Zahlen Bezug zu nehmen, sondern nur auf die rationalen?

b) Zwei Cauchyfolgen (a_{n}) und (b_{n}) ∈ CF (ℚ) heißen äquivalent, falls (a_{n} − b_{n}) eine Nullfolge ist. Zeige:

• Diese Äquivalenz ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation.

• Definiert man auf den Äquivalenzklassen eine Addition und Multiplikation durch [(a_{n})]+ [(b_{n})] = [(a_{n} + b_{n})], [(a_{n})] · [(b_{n})] = [(a_{n} · b_{n})], so sind diese wohldefiniert.

• Ist (a_{n}) eine Cauchyfolge, aber keine Nullfolge, so hat [(a_{n})] ein multiplikatives Inverses.

Auf diese Art kann man alle Körperaxiome nachrechnen. Definiert man noch eine Ordnung wie in der Vorlesung angegeben, so gelangt man zu einem Modell der Axiome der reellen Zahlen.

Abgabe: Montag, 28. 05. 2001, vor der Vorlesung.

Hinweis: Wegen des Feiertags fallen am Donnerstag, den 24. 05. 2001, die Übungen aus. Ersatzweise findet am Freitag um 14 Uhr eine Saalübung im Hörsal III statt.