8. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: Welche der folgenden Reihen konvergieren? Liegt absolute Konvergenz vor?

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{4}}{e^{n^{2}}}  b) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}}  c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}}  d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}

Aufgabe 2: Wie Aufgabe 1.

a) ∑_{n=1}^{∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}}{n^{3/4}}

Aufgabe 3: Zeige: Ist die Folge der positiven Zahlen a_{n} wachsend und beschränkt, so konvergiert

∑_{n=1}^{∞} (\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − 1).

Aufgabe 4: Gegeben sei eine Folge positiver Zahlen a_{n}. Das Wurzelkriterium besagt, dass ∑_{n=1}^{∞} a_{n} divergiert, falls lim sup_{n→∞} ^{n} \sqrt{a_{n}} > 1 ist.

a) Zeige folgende Verschärfung: Ist ^{n} \sqrt{a_{n}} > 1 für unendlich viele n, so ist ∑_{n=1}^{∞} a_{n} schon divergent.

b) Warum ist das eine Verschärfung? Gib ein Beispiel einer Folge positiver Zahlen b_{n} an, so dass zwar b_{n} > 1 für unendlich viele n, aber nicht lim sup_{n→∞} b_{n} > 1 ist.

Aufgabe 5: Seien X, Y metrische Räume und x_{0} ∈ X. Eine Folge von Funktionen f_{n} : X → Y heißt gleichgradig stetig in x_{0}, falls

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀n ∈ ℕ ∀x ∈ X d(x, x_{0}) < δ → d(f_{n}(x), f_{n}(x_{0})) < ε.

Zeige: Ist die Funktionenfolge (f_{n}) gleichgradig stetig in x_{0} und punktweise konvergent gegen f, so ist f stetig in x_{0}.

Die Stetigkeit der Grenzfunktion bedeutet

lim_{n→∞} lim_{x→x_{0}} f_{n}(x) = lim_{x→x_{0}} lim_{n→∞} f_{n}(x).

Man kann also zwei Grenzprozesse vertauschen. Dies ist möglich, wenn entweder der Grenzprozess n → ∞ gleichmäßig ist bezüglich x (d. h. für alle x gleich schnell verläuft; gleichmäßige Konvergenz der Folge), oder der Grenzprozess x → x_{0} gleichmäßig ist bezüglich n (d. h. für alle n gleich schnell verläuft; gleichgradige Stetigkeit der Folge in x_{0}).

Abgabe: Wegen des Feiertags ist nächsten Montag keine Abgabe möglich. Abgabe ist statt dessen am Dienstag, den 5. 6. 2001, von 9.00 bis 11.15 Uhr vor Zimmer 304.