9. Übung Analysis 2 SS 2001

Aufgabe 1: Berechne:

a) ∑_{k=2}^{∞} ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{k}},

b) ∑_{n=2}^{∞} log (1 + \frac{1}{n}) ; log (n^{log(n+1)}).

Aufgabe 2: Berechne:

a) lim_{k→∞} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1}{k} − 1)^{n},

b) lim_{k→∞} ∑_{n=0}^{∞} (1 − \frac{1}{k} )^{n} \frac{1}{n!}.

Aufgabe 3: Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihen:

a) ∑_{n=1}^{∞}(n^{4} − 4n^{3})x^{n},

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{e^{n} + e^{−n}}{2} x^{n},

c) ∑_{n=1}^{∞} a^{n^{2}}x^{n} für a ∈ ℝ,

d) ∑_{n=1}^{∞} n^{\frac{log(n)}{n}} x^{n}.

Aufgabe 4: Gegeben sei eine Reihe ∑_{n} a_{n} mit a_{n} ∈ ℝ. Die Reihe sei konvergent, aber nicht absolut konvergent. Zeige:

a) Die Teilreihe der positiven a_{n} und die Teilreihe der negativen a_{n} sind divergent.

b) Es gibt eine divergente Umordnung der Reihe.

Mit ähnlichen Methoden kann man sogar zeigen: Riemannscher Umordnungssatz: Zu jeder reellen Zahl r gibt es eine Umordnung der Reihe, die gegen r konvergiert.

c) Konvergiert jede Umordnung einer Reihe, so ist die Reihe absolut konvergent, und alle Umordnungen konvergieren gegen denselben Wert.

Abgabe: Montag, 11. 06. 2001, vor der Vorlesung.