1. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 1: Bestimme Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen. Dabei sei z = x + iy ∈ ℂ mit x, y ∈ ℝ.

\frac{1}{z^{3}} ,  \frac{1}{3z + 5},  \frac{z + 2}{3z − 7},  (1 + i)^{4}.

Aufgabe 2: Es sei z ∈ ℂ und |z| = 1. Vereinfache:

|1 + z|^{2} + |1 − z|^{2}.

Aufgabe 3: ℂ ist als Körper ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst, aber auch ein zweidimensionaler reeller Vektorraum mit ℝ-Basis ℬ = {1, i}. Sei T : ℂ → ℂ eine Abbildung. Zeige: Folgende Aussagen sind äquivalent:

a) T ist ℂ-linear,

b) T ist ℝ-linear, und die Darstellungsmatrix von T bezüglich der Basis ℬ ist von der Form

M_{ℬ}^{ℬ} (T) = ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℝ,

c) es gibt ein λ ∈ ℂ, so dass T z = λ · z für alle z ∈ ℂ.

Wie hängt λ mit ( \begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix} ) zusammen?

Aufgabe 4: Es seien z_{1}, … z_{n} ∈ ℂ. Zeige:

∑_{k,l=1}^{n} z_{k}z̄_{l} ⩾ 0.

Aufgabe 5: Es seien z_{1}, … z_{n}, w_{1}, … w_{n} ∈ ℂ. Zeige:

|∑_{k=1}^{n} z_{k}w_{k}| ⩽ \sqrt{∑_{k=1}^{n} |z_{k}|^{2}}\sqrt{∑_{k=1}^{n} |w_{k}|^{2}}.

Abgabe: Montag, 22. 04. 2002, vor der Vorlesung.

Und was sonst noch zu sagen ist: Für jede Übungsaufgabe gibt es 4 Punkte. Zur Klausur wird zugelassen, wer mindestens die Hälfte aller Übungspunkte erhalten und aktiv an den Übungen teilgenommen hat. Die Übungen können von festen Arbeitsgruppen, bestehend aus maximal zwei natürlichen Personen, gemeinsam abgegeben werden. Die Übungsblätter und aktuelle Informationen sind auch immer auf der Internetseite zur Vorlesung zu finden: www.math.uni-sb.de/˜ ag-wittstock/lehre/SS02/ft/. Die Vorlesung wird betreut von Benedikt Betz (Zimmer 304, benedikt@math.uni-sb.de). Feedback ist — wie immer — erwünscht.