10. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 48: Berechne ∫_{0}^{∞} \frac{\sqrt{x}}{1 + x^{2}} dx.

Hinweis: Betrachte folgende geschlossene Kurve: Geradenstück von \frac{i}{R} nach R + \frac{i}{R}, auf dem Kreis um Null mit Radius R nach R − \frac{i}{R}, Geradenstück nach \frac{−i}{R}, Halbkreis mit Radius \frac{1}{R}.

Aufgabe 49: Zeige: Für ein Gebiet G sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) Für jeden geschlossenen, stückweise stetig differenzierbaren Weg γ in G und jede holomorphe Funktion f : G → ℂ ist ∫_{γ} f(z) dz = 0.

(2) Jede holomorphe Funktion f : G → ℂ hat eine Stammfunktion.

(3) Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion f : G → ℂ hat einen holomorphen Logarithmus.

(4) Für jeden geschlossenen, stückweise stetig differenzierbaren Weg γ in G und jeden Punkt a ∈ ℂ \ G ist die Windungszahl von γ bezüglich a gleich Null.

((1)⇒(2): Vgl. Staatsexamen Sommer 1999 Teil a. Teile b und c sollten dann auch kein Problem mehr sein.)

Aufgabe 50: a) Zeige: Ist G ein Gebiet und die holomorphe Funktion f : G → ℂ nicht konstant, so ist f(G) wieder ein Gebiet. (Gebietstreue.) Hinweis: Es gibt eine Kreisscheibe in G, auf der f genau einmal den Wert w_{0} annimmt; Minimumprinzip angewandt auf f − w, wobei w nahe bei w_{0} ist.

b) Umgekehrt lässt sich aus der Gebietstreue nicht konstanter, holomorpher Funktionen leicht das Maximumprinzip gewinnen. Wie?

c) (Staatsexamen Sommer 2000, Teil c.) Sind g : G_{1} → G_{2} und f : G_{2} → ℂ holomorph und ist f ∘ g = 0, so ist g konstant oder f = 0.

Aufgabe 51: (Staatsexamen Winter 1998/99, Teil a, Winter 1999/00 Teile a, b.) Sei f : 𝔻̄ → ℂ stetig,

f|_{𝔻} holomorph und |f(z)| = 1 für alle z mit |z| = 1. Zeige: f ist entweder konstant oder hat eine Nullstelle in 𝔻. Kann es unendlich viele Nullstellen geben?

Aufgabe 52: Ist f eine nicht konstante, ganze Funktion, so ist f(ℂ) dicht in ℂ.

Aufgabe 53: (Staatsexamen Sommer 1998) Sind f, g ganze Funktionen und ist |f(z)| ⩽ |g(z)| für alle z, so gibt es ein λ ∈ ℂ, so dass f = λg. (Hinweis: Klassifiziere die Singularitäten von \frac{f}{g}.

Abgabe: Montag, 24. 06. 2002, vor der Vorlesung.