12. und letzte Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 59: Die Zusatzvoraussetzung in Aufgabe 57 ist redundant.

Aufgabe 60: (Vgl. Staatsexamen Sommer 1995.) Gibt es eine holomorphe Funktion f : 𝔻 → ℂ

mit lim_{|z|→1} |f(z)| = ∞?

Aufgabe 61: Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet. Die biholomorphen Abbildungen f : G → G (das heißt, f bijektiv, f, f^{−1} holomorph) nennt man Automorphismen von G. Aut(G) bezeichne die Menge aller Automorphismen von G. Diese bilden eine Gruppe bezüglich der Komposition. (Warum?) In dieser Aufgabe zeigen wir, dass die Automorphismen von 𝔻 ganau die Funktionen aus Aufgabe 58 b sind.

a) Gebrochen lineare Funktionen der Form c\frac{z−a}{āz−1} mit |a| < 1, |c| = 1 sind Automorphismen von 𝔻.

b) Ist f : 𝔻 → ℂ holomorph und f(0) = 0, so ist |f(z)| ⩽ |z| für alle z ∈ 𝔻. (Maximumprinzip angewandt auf \frac{f(z)}{z} und Kreisscheiben mit Mittelpunkt 0 und Radius r.)

c) Ist f ein Automorphismus von 𝔻 und f(0) = 0, so ist |f(z)| = |z| für alle z ∈ 𝔻. Daraus folgt: f(z) = cz mit |c| = 1.

d) Jeder Automorphismus von 𝔻 ist von der Form wie in a) angegeben.

Aufgabe 62: Bestimme Aut(ℍ). (Hinweis: Eine frühere Übungsaufgabe (welche?) erlaubt es, diese Aufgabe auf die vorige zurückzuführen.)

Aufgabe 63: Wo wir gerade dabei sind: Aut(ℂ) = {az + b | a, b ∈ ℂ, a ≠ 0}. Hinweis: f(\frac{1}{z}) hat in 0 keine wesentliche Singularität (Casaroti-Weierstrass). Verallgemeinere dann Aufgabe 29 c, um zu zeigen, dass f ein Polynom ist.

Abgabe: Montag, 08. 07. 2002, vor der Vorlesung.

Klausur: Wer an der Klausur am Montag, dem 15. 07. 2002, 9:30 – 12:30 Uhr, Hörsaal I, teilnehmen möchte, melde sich in den Übungen an, sofern dies noch nicht geschehen ist. Ich werde dann nächste Woche die Liste derer aushängen, die zur Klausur zugelassen sind. Bei der Klausur ist als Hilfsmittel ein handbeschriebenes DIN-A3-Blatt erlaubt. Seien Sie schon um 9:15 Uhr da, damit wir pünktlich anfangen können. Benutzen Sie einen dokumentenechten Stift (kein Bleistift oder Rotstift!). Die Klausur wird sieben Aufgaben umfassen. Für jede Aufgabe gibt es maximal 10 Punkte. Mit 27 Punkten haben Sie bestanden. Lesen Sie sich auch die weiteren Hinweise unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag-wittstock/lehre/SS02/ft/

durch.