2. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 6: Zeige, dass folgende Funktionen f : ℂ → ℂ reell differenzierbar sind. Für welche z ∈ ℂ ist das Differential ℂ-linear?

f(z) = z^{2},  f(z) = z̄,  f(z) = z|z|^{2},  f(z) = \{ \begin{matrix}\frac{z^{3}}{z̄} & für z ≠ 0 \\ 0 & für z = 0 \end{matrix} .

Aufgabe 7: Für welche a, b, c, d ∈ ℝ ist

f(z = x + iy) = x^{2} + 2axy + by^{2} + i(cx^{2} + 2dxy + y^{2})

auf ganz ℂ komplex differenzierbar? Schreibe in diesem Fall f als Polynom in z.

Aufgabe 8: Berechne das Integral

∫_{0}^{2π} \frac{dx}{2 + sin(x)}

durch Umformen in ein Integral der Form

∫_{K(0,1)} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz.

Berechne dann ∫− \frac{π}{2}^{\frac{π}{2}} \frac{dx}{2+sin(x)}

Aufgabe 9 (gebrochen lineare Funktionen): Zu einer invertierbaren Matrix

A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL(2, ℂ) setzen wir für z ∈ ℂ

f_{A}(z) = \{ \begin{matrix}\frac{az+b}{cz+d}, & falls cz + d ≠ 0 \\ ∞, & falls cz + d = 0 \end{matrix}
sowie f_{A}(∞) = \{ \begin{matrix}\frac{a}{c}, & falls c ≠ 0 \\ ∞, & falls c = 0 \end{matrix}

(Also ”\frac{1}{0} = ∞“.). f_{A} ist damit eine Funktion ℂ ∪ \{∞\} → ℂ ∪ \{∞\}. Zeige: Für A, B ∈ GL(2, ℂ) ist f_{AB} = f_{A} ∘ f_{B}. Für welche A ∈ GL(2, ℂ) ist f_{A} = id_{ℂ∪{∞}}? f_{A}|_{ℂ} ist komplex differenzierbar. Berechne die Ableitung.

Aufgabe 10: Seien ℍ = {z ∈ ℂ | Im(z) > 0} und 𝔻 = {z ∈ ℂ | |z| < 1}. Zeige: Die gebrochen lineare Funktion z ↦ \frac{z−i}{z+i} bildet ℍ bijektiv auf 𝔻 ab.

Abgabe: Montag, 29. 04. 2002, vor der Vorlesung.