3. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 11: Berechne folgende Wegintegrale. Dabei kommen folgende Wege vor:

γ_{1} : [−1, 1] → ℂ ; t ↦ t + it,
γ_{2} : [\frac{−3}{4}π, \frac{1}{4}π] → ℂ ; t ↦ \sqrt{2} · e^{it}.

∫_{γ_{1}} z dz,  ∫_{γ_{1}} z̄dz,  ∫_{γ_{2}} z dz,  ∫_{γ_{2}} z̄dz,  ∫_{γ_{2}} \frac{dz}{z},  ∫_{γ_{2}} \frac{dz}{z̄}.

Aufgabe 12: Hat die Funktion ℂ → ℂ; z ↦ z̄ eine Stammfunktion?

Aufgabe 13: Ergänzung zu Aufgabe 9: Sei ℂ̄ := ℂ ∪ {∞}.

a) Eine Funktion f : ℂ̄ → ℂ heißt komplex differenzierbar im Punkt ∞, falls

f̃: ℂ → ℂ; z ↦ \{ \begin{matrix}f(z^{−1}), & falls z ≠ 0 \\ f(∞), & falls z = 0 \end{matrix} in 0 komplex differenzierbar ist.

Zeige: Gebrochen lineare Funktionen sind komplex differenzierbar in allen Punkten, in denen sie nicht den Wert ∞ annehmen.

b) Eine Funktion f : ℂ → ℂ̄ oder ℂ̄ → ℂ̄ mit f(z_{0}) = ∞ heißt komplex differenzierbar in z_{0}, falls es eine Umgebung U von z_{0} gibt, auf der f nicht den Wert 0 annimmt, und falls

f̃: U → ℂ; z ↦ \{ \begin{matrix}0, & falls f(z) = ∞ \\ f(z)^{−1}, & falls f(z) ≠ ∞ \end{matrix} in z_{0} komplex differenzierbar ist.

Zeige: Gebrochen lineare Funktion ℂ̄ → ℂ̄ sind überall komplex differenzierbar.

Aufgabe 14: Betrachte folgende Abbildung von S^{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{2}^{3} = 1} nach ℂ̄, die stereographische Projektion:

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ↦ \{ \begin{matrix}\frac{x_{1}+ix_{2}}{1−x_{3}} , & falls x_{3} ≠ 1 \\ ∞, & falls x_{3} = 1 \end{matrix} .

Geometrische Deutung? Zeige: Die stereographische Projektion ist bijektiv. Hinweis zum Finden der Umkehrabbildung: 1 − x_{3} = \frac{2}{|z|^{2}+1}.

Aufgabe 15: Sei f : ℂ → ℂ; z = x + iy ↦ \sqrt{|xy|}. Zeige: f ist in 0 partiell differenzierbar, und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind dort erfüllt. Ist f in 0 komplex differenzierbar?

Aufgabe 16: Es sei G ⊆ ℂ offen und u : G → ℝ zweimal stetig differenzierbar. Außerdem sei u harmonisch, das heißt, u_{xx} + u_{yy} = 0. Zeige, dass die Funktion f : G → ℂ; z ↦ u_{x}(z) − iu_{y}(z) komplex differenzierbar ist.

Abgabe: Montag, 06. 05. 2002, vor der Vorlesung.