4. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 17: Wir definieren eine Funktion E(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} .

a) Welchen Konvergenzradius hat diese Potenzreihe?

b) Zeige mit Hilfe des Cauchyprodukts von Reihen:

E(z + w) = E(z) · E(w),
ReE(z) = e^{x} cos y für z = x + iy,
ImE(z) = e^{x} sin y für z = x + iy.

Mit welcher in der Vorlesung eingeführten Funktion stimmt E also überein?

Aufgabe 18 Additionstheoreme): Finde mit Hilfe von Aufgabe 17 Formeln, die folgende reelle Terme als Polynome in sin x, sin y, cos x und cos y darstellen: sin(x ± y), cos(x ± y), sin(3x), cos(3y). (Die Lösung steht in jeder Formelsammlung. Hier geht es um eine möglichst einfach zu merkende Herleitung.)

Aufgabe 19: a) Wie sieht das Bild des Quaders {z = x + iy | a < x < b und φ < y < ψ} unter exp aus? Wie das Bild von {z | α − π < Imz < α + π}? Und {z | α − π < Imz ⩽ α + π}? (Dabei seien a, b, φ, ψ, α ∈ ℝ.)

b) Zeige: exp ist auf {z = x + iy | − π < y ⩽ π} injektiv. Die Umkehrabbildung ℂ\{0} → ℂ nennt man log, den Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Weiter definiert man für a ∈ ℂ den Hauptzweig der Potenzfunktion z^{a} als z^{a} = exp(a log z).

c) Berechne i^{i}, log(\frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{3}{2}i) und e^{a}.

d) Die Funktionen z ↦ log(z) + 2πik mit k ∈ ℤ \ {0} heißen Nebenzweige des Logarithmus. Mit diesen sind Nebenzweige der Potenzfunktionen erklärt. Wieviele verschiedene Zweige hat die nte Wurzel z^{\frac{1}{n}}?

e) Berechne \sqrt{−1} und \sqrt{i} (Hauptzweig) sowie alle dritten Wurzeln von 1 (Hauptzweig und Nebenzweige).

Aufgabe 20: Was ist hier falsch?

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1} · \sqrt{−1} = i · i = −1.

Aufgabe 21: Finde die Laurentreihenentwicklungen folgender Funktionen auf dem Kreisring {z | r ⩽ |z| ⩽ R} mit den angegebenen Radien r, R.

a) exp(z) + exp(z^{−1}) − 1 für r = 0, R = ∞,

b) \frac{1}{z(z−1)} für r = 0, R = 1 und für r = 1, R = ∞,

c) \frac{1}{z(z−1)(z−2)} für r = 0, R = 1, für r = 1, R = 2 und für r = 2, R = ∞,

d) \frac{exp z}{z^{2}} für r = 0, R = ∞.

Abgabe: Montag, 13. 05. 2002, vor der Vorlesung.