5. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 22 (Residuenbestimmung): Es sei G ⊆ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Bestimme

Res(\frac{f(z)}{z − z_{0}} , z_{0})  (Pol höchstens erster Ordnung),
Res(\frac{f(z)}{(z − z_{0})^{2}} , z_{0}) (Pol höchstens zweiter Ordnung).

≫Auf meine Frage, ob die Pole in den Anwendungen vielleicht immer von erster Ordnung seien, antwortete mir ein Physiker: Oh nein, es kommen auch Pole zweiter Ordnung manchmal vor, und dann werden bei der Residuenbestimmung leicht Fehler gemacht … ^{≪} (Jänich, Analysis für Physiker und Ingenieure, S. 109.)

Aufgabe 23: Berechne Res(f, z_{0}) für alle z_{0} ∈ ℂ und alle Funktionen f aus Aufgabe 21 sowie für f(z) = \frac{1}{1+z^{2}} .

Aufgabe 24 (harmonische Funktionen): Es sei G ⊆ ℂ offen und f : G → ℂ holomorph und zweimal reell differenzierbar (Dies folgt schon aus der Holomorphie, wie wir noch sehen werden.). Zeige: Re f und Im f sind harmonisch (vgl. Aufg. 16).

Aufgabe 25: Es sei G ⊆ ℂ ein sternförmiges Gebiet und u : G → ℝ harmonisch. Zeige:

a) Es gibt eine holomorphe Funktion f : G → ℂ mit u = Re f.

b) Es gibt eine harmonische Funktion v : G → ℝ, so dass u + iv holomorph ist.

c) f bzw. v sind eindeutig bis auf eine rein imaginäre bzw. reelle additive Konstante.

Aufgabe 26: a) Es sei G ⊆ ℂ offen, f : G → ℂ reell differenzierbar und G̃ = {z̄ | z ∈ G}. Weiter sei f̃: G×G̃ → ℂ eine partiell holomorphe Funktion (es sollte klar sein, was das heißt), so dass f(z) = f̃(z, z̄). Dann setzt man für z_{0} ∈ G

(\frac{∂f}{∂z} (z_{o}) = ∂f(z_{0}) =) \frac{∂f(z)}{∂z}|_{z=z_{o}} := \frac{∂f̃(w_{1}, w_{2})}{∂w_{1}} |_{(w_{1},w_{2})=(z,z̄)} und

(\frac{∂f}{∂z̄}(z_{o}) = ¯∂f(z_{0}) =) \frac{∂f(z)}{∂z̄}|_{z=z_{o}} := \frac{∂f̃(w_{1}, w_{2})}{∂w_{2}} |_{(w_{1},w_{2})=(z,z̄)} .

Zeige: \frac{∂f}{∂z} = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y}) und \frac{∂f}{∂z̄} = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y}).

b) Falls man keine solche Funktion f̃ zur Hand hat, definiert man \frac{∂}{∂z} und \frac{∂}{∂z̄} durch diese Formeln (und motiviert dies dann durch die Zerlegung df = \frac{∂f}{∂z} dz + \frac{∂f}{∂z̄}dz̄, wobei df = \frac{∂f}{∂x}dx + \frac{∂f}{∂y} dy, dz = dx + idy, dz̄ = dx − idy, nachrechnen!)

Zeige: f ist genau dann in z_{0} komplex differenzierbar, wenn \frac{∂f(z_{0})}{∂z̄} = 0 ist.

c) Rechne mit Hilfe von a) erneut nach: f(z) = \frac{z^{3}}{z̄} (z ≠ 0) ist nicht komplex differanzierbar.

Abgabe: Wegen Pfingsten ausnahmsweise am Dienstag, dem 20. 05. 2002, vor der Vorlesung.