6. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 27: Bestimme mit Hilfe des Residuenkalküls:

a) ∫_{0}^{2π} \frac{dx}{1 + sin^{2} x},  b) ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{dx}{1 + sin^{2} x},  c) ∫_{0}^{2π} exp(−it) exp(e^{it}) dt.

Aufgabe 28: Sei R > 1. Der Weg γ sei aus zwei Teilen

γ_{1} : [−R, R] → ℂ; t ↦ t, γ_{2} : [0, π] → ℂ; t ↦ Re^{it}

zusammengesetzt.

a) Berechne ∫_{γ} \frac{dz}{1 + z^{2}} .

b) Zeige: lim_{R→∞} ∫_{γ_{2}} \frac{dz}{1 + z^{2}} = 0.

c) Folgere: lim_{R→∞} ∫_{−R}^{R} \frac{dx}{1 + x^{2}} existiert. Was ist der Grenzwert?

d) Warum existiert ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2}} und ist gleich dem Grenzwert aus c)?

Das Ergebnis ist natürlich aus der reellen Analysis bekannt. Dieses Verfahren ist aber auch auf Funktionen anwendbar, bei denen man nicht so leicht eine Stammfunktion angeben kann.

Aufgabe 29: a) (Cauchy-Abschätzungen) Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} auf einer Kreisscheibe {z | |z − z_{0}| < R} konvergent und 0 < r < R. Zeige: Dann ist

|a_{n}| ⩽ \frac{1}{r^{n}} sup\{|f(z)| | |z − z_{0}| = r\}.

b) (Satz von Liouville) Folgere: Ist f durch eine auf ganz ℂ konvergente Potenzreihe darstellbar, (eine ganze Funktion, wie man sagt,) so ist f konstant.

c) Ist f eine ganze Funktion und für alle z ∈ ℂ

|f(z)| ⩽ A|z| + B mit A, B ∈ ℝ,

so ist f ein Polynom ersten Grades.

Aufgabe 30: Seien z_{1}, z_{2}, z_{3} ∈ ℂ̄ paarweise verschieden. Zeige:

a) Es gibt eine gebrochen lineare Transformation, die z_{1} auf 0, z_{2} auf 1 und z_{3} auf ∞ abbildet.

b) Diese ist eindeutig.

c) Sind auch w_{1}, w_{2}, w_{3} ∈ ℂ̄ paarweise verschieden, so gibt es genau eine gebrochen lineare Transformation, die z_{i} auf w_{i} (i = 1, 2, 3) abbildet.

Aufgabe 31: Was läßt sich ohne Rechnung über den Konvergenzradius der Taylorreihe von f(x) = e^{x+ \frac{1}{1+x^{2}}} um den Punkt x_{0} ∈ ℝ sagen?

Abgabe: Montag, 27. 05. 2002, vor der Vorlesung.