7. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 32: a) Seien P, Q Polynome und der Grad von Q mindestens um zwei größer als der von P. Q habe keine Nullstellen auf der reellen Achse. Zeige:

Dann ist ∫_{−∞}^{∞} \frac{P (x)}{Q(x)} dx = 2πi ∑_{Im a>0} Res (\frac{P}{Q}, a).

Hinweis: Aufgabe 28.

b) Berechne ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(1 + x^{2})^{2}} .

Aufgabe 33: a) Seien P, Q Polynome und der Grad von Q größer als der von P. Q habe keine Nullstellen auf der reellen Achse. Zeige:

Dann ist ∫_{−∞}^{∞} \frac{P (x)}{Q(x)}e^{ix} dx = 2πi ∑_{Im a>0} Res (\frac{P (z)}{Q(z)}e^{iz}, a).

Hinweis: Hier ist als Hilfsweg das Rechteck mit den Ecken −R, R, R + iR, −R + iR geeignet.

b) Berechne ∫_{0}^{∞} \frac{x sin x}{1 + x^{2}}. (Obwohl es auf den ersten Blick vielleicht nicht so aussieht, hilft hier Teil a).)

Aufgabe 34: Sei P ein Polynom vom Grad n. Zeige: Liegen alle Nullstellen von P in {z | |z| < r}, so gilt:

2πin = ∫_{|z|=r} \frac{P′(z)}{P (z)} dz,

wobei die Kreislinie |z| = r einmal im positiven Sinne durchlaufen werden soll.

Aufgabe 35: Zeige:

a) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet und a ∈ G. Lässt sich eine holomorphe Funktion f : G → ℂ darstellen als f(z) = (z − a)^{n}h(z) mit einer holomorphen Funktion h, so dass h(a) ≠ 0 ist, so gibt es eine Umgebung U von a, so dass f auf U keine Nullstellen außer a hat. (^{≫}Nullstellen endlicher Ordnung liegen isoliert.^{≪})

b) (Identitätssatz) Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, M ⊆ G eine Menge, die einen Häufungspunkt a ∈ G hat, und seien f_{1}, f_{2} : G → ℂ holomorph. Ist dann f_{1}(z) = f_{2}(z) für alle z ∈ M, so stimmen f_{1} und f_{2} auf ganz G überein. Hinweis: Wende a) an auf f = f_{1} − f_{2} und führe die Annahme, dass mindestens ein Taylor-Koeffizient von f ungleich Null ist, zum Widerspruch.

Aufgabe 36: Sei G ⊆ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Zeige: Gibt es für alle a ∈ G ein k ∈ ℕ, so dass in der Entwicklung f(z) = ∑ c_{n}(z − a)^{n} der Koeffizient c_{k} = 0 ist, so ist f ein Polynom.

Abgabe: Montag, 03. 06. 2002, vor der Vorlesung.