9. Übung Funktionentheorie SS 2002

Aufgabe 42 (Residuenberechnung): a) Seien f, g : G → ℂ holomorph, z_{0} ∈ G, g(z_{0}) = 0 und g′(z_{0}) ≠ 0. Zeige: Dann ist

Res(\frac{f}{g} , z_{0}) = \frac{f(z_{0})}{g′(z_{0})}.

b) Bestimme Res(\frac{1}{1+z^{5}} , z_{0}) für alle z_{0} ∈ ℂ. (Damit ist die Staatsexamensaufgabe Winter 1997/98 lösbar, vgl. Aufg. 40.)

Aufgabe 43: Zeige: ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx = \frac{π}{2}.

Hinweis: Schon bekannte Hilfswege sind hier durch einen kleinen Halbkreisbogen γ_{r} mit Radius r um die Null zu ergänzen. lim_{r→0} ∫_{γ_{r}} \frac{e^{iz}}{z} dz lässt sich auf folgende Art berechnen:

lim_{r→0} ∫_{γ_{r}} \frac{e^{iz}−1}{z} dz = 0, ∫_{γ_{r}} \frac{dz}{z} =?

Aufgabe 44: Man sagt, eine Funktion f : G → ℂ habe einen holomorphen Logarithmus, wenn es eine holomorphe Funktion g : G → ℂ gibt, so dass für alle z ∈ G gilt:

e^{g(z)} = f(z).

a) Berechne g′(z).

b) Zeige: Eine nullstellenfreie holomorphe Funktion f hat genau dann einen holomorphen Logarithmus, wenn \frac{f′}{f} eine Stammfunktion hat.

c) Gib damit einen neuen Beweis der Aussage in Aufg. 37a.

d) Hat

f : ℂ \ [0, 1] → ℂ; z ↦ \frac{z}{z − 1}

einen holomorphen Logarithmus? Gib gegebenfalls einen an.

Aufgabe 45: (Staatsexamen Winter 1998/99 Teil b.) a) Zeige: Die Nullstellen von sin : ℂ → ℂ sind genau die ganzzahligen Vielfachen von π.

b) Berechne ∫_{|z|=1} \frac{cos z}{sin z} dz.

c) Hat sin : ℂ \ ℤπ → ℂ einen holomorphen Logarithmus?

Aufgabe 46: Hat eine holomorphe Funktion f : G → ℂ einen holomorphen Logarithmus, so hat sie auch eine holomorphe Wurzel, das heißt, es gibt eine holomorphe Funktion g : G → ℂ mit g^{2} = f.

Aufgabe 47: (Staatsexamen Winter 2001/02, Teil c.) Sei f eine ganze Funktion. Zeige: Ist Re f beschränkt, so ist f konstant. Gilt das auch, wenn Im f beschränkt ist?

Abgabe: Montag, 17. 06. 2002, vor der Vorlesung, die an diesem Termin ausnahmsweise im Hörsaal IV stattfindet.