14. Übung Analysis 1 WS 2000-2001

Aufgabe 19.1 Man untersuche die folgenden Funktionen f auf ihren Definitionsbereichen auf Differenzierbarkeit und berechne gegebenenfalls ihre Ableitung:

a) f(x) = (1 + x^{3})e^{x}  b) f(x) = \{ \begin{matrix}1 − e^{−αx} & , x ≥ 0 \\ 0 & , x < 0 \end{matrix} (α > 0)  c) f(x) = x^{x}, x > 0.

Aufgabe 19.12 Es seien I, J ⊆ ℝ Intervalle, f ∈ C^{∞}(I) mit f(I) ⊆ J und h ∈ C^{∞}(J). Man zeige (h ∘ f)′′ = (h′ ∘ f)f′′ + (h′′ ∘ f)f′^{2}, berechne (h ∘ f)′′′ sowie (h ∘ f)^{(4)} und versuche, eine allgemeine Formel für (h ∘ f)^{(m)}, m ∈ ℕ zu finden.

Aufgabe 20.9 Man berechne die folgenden Grenzwerte:

a) lim_{x→0} \frac{e^{x} + e^{−x} − 2}{x − log(1 + x)}  b) lim_{x→1} (\frac{a}{1 − x^{a}} − \frac{b}{1 − x^{b}} ) (a, b ≠ 0)

Aufgabe 22.1 Für die Funktionen f : x ↦ ∫_{1}^{x} \frac{x}{1+e^{2t}} dt und g : x ↦ ∫_{1}^{x^{3}} \frac{x}{1+e^{2t}} dt berechne man die Ableitungen f′(x) und g′(x).

Aufgabe 22.3 Für folgende Funktionen bestimme man Stammfunktionen über geeigneten Intervallen:

a) x log x  b) (log x)^{3}  c) e^{\sqrt{x}}  d) \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}  e) x^{x}(1 + log x)

Aufgabe 14.2 Gegeben sei die Funktionenfolge (n( ^{n} \sqrt{x} − 1))_{n∈ℕ} auf (0, ∞)

a) Man zeige, daß diese auf allen kompakten Teilintervallen gleichmäßig gegen log x konvergiert.

b) Ist die Konvergenz auf dem angegebenen Intervall selbst gleichmäßig?

Hinweis: Schreiben Sie n( ^{n} \sqrt{x} − 1) als Integral.

Abgabe: Mo 19.2.2001 in der Vorlesungspause Wie immer: Alle Lösungen sind zu begründen!

Wichtiger Hinweis: Anmeldung zur Klausur am 3.3.2001 beim Übungsgruppenleiter (bis Mittwoch den 21.2.2001)

• Für die Teilnehmenden der Übungsgruppen: In der Übung.

• Für die Teilnehmenden der Saalübung: In der Sprech- und Fragestunde.

• Nicht per E-mail !

Beachten Sie bitte auch die Hinweise auf der Rückseite des Blattes !

Klausurspielregeln

• Die Klausur dauert drei Stunden. Sie umfaßt 7 Aufgaben. Für jede Aufgabe gibt es 10 Punkte. Mit 27 Punkten haben Sie bestanden.

• Erlaubtes Hilfsmittel ist ein handbeschriebenes DIN A3 Blatt. (Sie dürfen auch zwei DIN A4 Blätter zusammenkleben.) Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer deutlich auf dieses Blatt.

• Bringen Sie Papier und Schreibzeug mit. Auf jedem Blatt muß Name und Matrikelnummer stehen. Verwenden Sie für jede Aufgabe ein eigenes Blatt.

• Nicht erlaubt sind Taschenrechner und Handy. Ein Handy führt zum sofortigen Ausschluß von der Klausur.

• Während der Klausur werden die Taschen an den Hörsaalseiten und nicht in den Bänken aufbewahrt: bringen sie also nur das Nötigste mit.

• Halten Sie während der Klausur Studierendenausweis und Personalausweis bereit.

• An der Nachklausur kann nur teilnehmen, wer an der Klausur teilgenommen hat oder mit Attest entschuldigt ist. Sie können an der Nachklausur auch teilnehmen, wenn Sie die Hauptklausur bestanden haben; dann zählt die bessere Note.

An alle Studierenden der Fachrichtung 6.1 – Mathematik der Universität des Saarlandes

Liebe Studentin, lieber Student:

Wie viele von Ihnen bereits wissen, fordert der Fachbereich Mathematik alle Studierenden mit dem Hauptfach Mathematik auf, sich im Laufe ihres Studiums von einem Professor der Mathematik beraten zu lassen. Studierende des ersten Studienabschnittes sollten nach dem Vordiplom bzw. der Zwischenprüfung (spätestens jedoch bis zum Ende des fünften Fachsemesters) ein solches Beratungsgespräch führen. Weiterhin wird erwartet, daß sich alle Studentinnen und Studenten bis spätestens zum Ende des achten Fachsemesters um ein Thema für eine Diplom- bzw. Staatsexamensarbeit bemüht haben; letzteres natürlich nur, falls Mathematik als das erste Fach gewählt wurde. Über die Durchführung des Beratungsgespräches bzw. die Aufnahme in eine Arbeitsgruppe wird vom jeweiligen Professor eine Bescheinigung ausgestellt. Bitte geben Sie diese im Geschäftszimmer (Geb. 27.1, Zi. 310) ab.

Viel Erfolg für Ihr Studium!

Sprechstunden der Professoren im Wintersemester 2000/2001:

Albrecht  Di 14–15, Mi 11-12 + n.V.  302-3256 Grüter  n.V.  302-2287
Arnold  Di 11-12  302-3647 Hischer  Do 14–15  302-2231
Berger  Mi 9–11  302-3431 Louis  n.V.  302-3018
Brosamler n.V.  302-3427 Rjasanow  Mo 10–11  302-4861
Decker  Di 14-16  302-2906 Schulze-Pillot Mo 14–15  302-4835
Eschmeier Di 13–14  302-2732 Wittstock  n.V.  302-2756
Fuchs  Mo 11–12  302-3406 Zimmer  Di, Do 16–17  302-2206
Gekeler  Mi 11–13  302-2494