10. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 9.3 Für eine Menge M ⊆ (0, ∞) definiert man M^{−1} := \{x ∈ ℝ | \frac{1}{x} ∈ M\}. Man zeige: M^{−1} ist genau dann nach oben beschränkt, wenn inf M > 0 ist, und in diesem Fall gilt sup M^{−1} = (inf M)^{−1}. Aufgabe 9.7 Man zeige, daß folgende Aussage zum Zwischenwertsatz äquivalent ist: Ist I ⊆ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ stetig, so ist f(I) ⊆ ℝ ebenfalls ein Intervall. Aufgabe 9.8 Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes beweise man: Jede stetige Abbildung f : [a, b] → [a, b] hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein x_{0} ∈ [a, b] mit f(x_{0}) = x_{0}. Aufgabe 9.12 Für a, b ≥ 0 zeige man lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a^{n} + b^{n}} = max\{a, b\}. Aufgabe F Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für den Logarithmus:

i) log(ab) = log(a) + log(b)  ii) log(a^{b}) = b log(a)
iii) log(\frac{a}{b}) = log(a) − log(b)  iv) log(\frac{1}{a}) = − log(a)

und v) log_{b} a = \frac{log a}{log b}. Geben Sie die jeweiligen Voraussetzungen an. Wichtig: Alle Lösungen sind zu begründen! Abgabe: Mo 22.1.2001 in der Vorlesungspause