11. Übung Analysis 1 WS 2000-2001

Aufgabe 12.4 Für die Folge (a_{n}) := (\frac{n+(−1)^{n}(2n+1)}{n}) berechne man lim sup a_{n} und lim inf a_{n}.

Aufgabe 13.2 Es seien a ∈ ℝ und f : [a, ∞) → ℝ stetig; weiter existiere lim_{x→∞} f(x). Man zeige:

a) f besitzt ein Maximum oder Minimum auf [a, ∞).

b) f ist gleichmäßig stetig auf [a, ∞).

Aufgabe 14.2 Gegeben seien Funktionenfolgen (g_{n}):

2) (n( ^{n} \sqrt{x} − 1)) auf (0, ∞)  4) ( ∑_{k=0}^{n} x^{k}(1 − x)^{k}) auf (0, 1).

a) Man zeige, daß diese auf allen kompakten Teilintervallen der angegebenen Intervalle gleichmäßig konvergieren.

b) Ist die Konvergenz auf den angegebenen Intervallen selbst gleichmäßig?

Aufgabe 14.5 Es sei (f_{n}) in C(I) eine Folge gleichmäßig stetiger Funktionen mit f_{n} → f gleichmäßig. Man zeige, daß auch f gleichmäßig stetig ist. (C(I) bezeichnet die Menge der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Intervall I.)

Aufgabe 17.4 Man zeige, daß monotone Funktionen f : J → ℝ in R(J) liegen, d.h. Regelfunktionen auf J sind.

Abgabe: Mo 29.1.2001 in der Vorlesungspause Wie immer: Alle Lösungen sind zu begründen!

Wichtiger Hinweis: Anmeldung zur Klausur beim Übungsgruppenleiter (bis 21.2.2001)

• Für die Teilnehmenden der Übungsgruppen: In der Übung.

• Für die Teilnehmenden der Saalübung: In der Sprech- und Fragestunde.

• Nicht per E-mail !