12. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 13.4 Man untersuche folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:

a) x\sqrt{x} auf [0, ∞)  b) x + ^{3} \sqrt{x} auf [0, ∞)

Aufgabe 13.4 Man untersuche folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:

e) log x auf (0, 1)  f) log x auf [1, ∞)

Aufgabe 13.7 Es seien I ⊆ ℝ ein Intervall, f : I → ℝ gleichmäßig stetig und (x_{n}) eine Cauchyfolge in ℝ. Man zeige, daß auch (f(x_{n})) eine Cauchyfolge in ℝ ist. Gilt dies auch für stetige, nicht gleichmäßig stetige Funktionen? Aufgabe 18.3 a) Es sei f ∈ C(J) mit ∫_{J} |f(x)|dx = 0. Man zeige f = 0. Aufgabe 18.4 Für f, g ∈ R[a, b] definiert man ein Halbskalarprodukt durch

⟨f, g⟩ := ∫_{J} f(x)g(x)dx.

a) Man zeige ⟨f, f⟩ ≥ 0, ⟨f, g⟩ = ⟨g, f⟩ und ⟨αf_{1} + βf_{2}, g⟩ = α⟨f_{1}, g⟩ + β⟨f_{2}, g⟩. (α, β ∈ ℝ)

b) Man beweise die Schwarzsche Ungleichung |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩⟨g, g⟩. Hinweis: Für b) benutze man a) und ⟨f + λg, f + λg⟩ ≥ 0 für alle λ ∈ ℝ. Abgabe: Mo 5.2.2001 in der Vorlesungspause Wie immer: Alle Lösungen sind zu begründen! Wichtiger Hinweis: Anmeldung zur Klausur beim Übungsgruppenleiter (bis 21.2.2001)

• Für die Teilnehmenden der Übungsgruppen: In der Übung.

• Für die Teilnehmenden der Saalübung: In der Sprech- und Fragestunde.

• Nicht per E-mail !