2. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 2.2 Rechnen Sie nach:

∑_{k=m}^{n} a_{k} + ∑_{k=m}^{n} a_{k+1} = a_{m} + 2 ∑_{k=m+1}^{n} a_{k} + a_{n+1}

∏_{k=2m}^{2n} a_{k} · ∏_{k=m}^{n} a_{2k} = ∏_{k=m}^{n} a_{2k}^{2} · ∏_{k=m}^{n−1} a_{2k+1}

Aufgabe 2.3 Beweisen Sie durch Induktion: Für n ∈ ℕ gilt:

∑_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}
∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
∑_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

Aufgabe 2.4 Berechnen Sie

∑_{k=1}^{n}(2k − 1) und ∑_{k=1}^{n}(2k − 1)^{2}.

Aufgabe 2.5 Für welche n ∈ ℕ gilt:

a) 2^{n} > n^{2} b) 3^{2^{n}} < 2^{3^{n}} c) ∏_{k=1}^{n} k^{k} < n^{\frac{n(n+1)}{2}} ?

Aufgabe 2.6 Zeigen Sie für n ∈ ℕ

∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) = 2^{n} und ∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) = 0

Aufgabe 2.7 Endliche Mengen M ⊂ ℝ besitzen ein Minimum und ein Maximum. Abgabe: Mo 13.11.2000 in der Vorlesungspause