4. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 4.1 Man zeige die folgende Variante der Bernoullischen Ungleichung: Für 0 ≤ x ≤ 1 und n ∈ ℕ gilt

(1 − x)^{n} ≤ \frac{1}{1 + nx}.

Aufgabe 4.2 Man zeige die folgende Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung: Sind x_{1}, …, x_{n} ∈ ℝ mit −1 ≤ x_{k} ≤ 0 für alle k oder x_{k} ≥ 0 für alle k, so gilt

∏_{k=1}^{n}(1 + x_{k}) ≥ 1 + ∑_{k=1}^{n} x_{k}.

Aufgabe 4.4 Die Folge

(\frac{1}{n} + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} )_{n∈ℕ}

ist streng monoton fallend und es gilt

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} ≤ \frac{1}{m} + ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k^{2}}

für alle n, m in ℕ. Aufgabe 4.5 Man zeige, daß die Folgen

(\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} )_{n∈ℕ} und (\frac{1}{n} (∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} )^{2})_{n∈ℕ}

beschränkt sind. Aufgabe 4.6 Man zeige für n ∈ ℕ die Ungleichungen:

1 − \frac{1}{n} ≤ (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n} ≤ 1 ≤ (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n} ≤ 1 + \frac{2}{n}.

Wichtig: Alle Lösungen sind zu begründen! Abgabe: Mo 27.11.2000 in der Vorlesungspause