5. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 5.1 Man untersuche die angegebenen Folgen (a_{n}) auf Konvergenz und bestimme ggf. die Grenzwerte:

a) a_{n} = \frac{4n^{3} − (−1)^{n}n^{2}}{5n + 2n^{3}}  d) a_{n} = \frac{(n^{3} − 5n)^{4} − n^{12}}{n^{11}}
b) a_{n} = \frac{3n^{4} + n^{n}}{5^{n} + 4^{n}n!}  e) a_{n} = \frac{1}{h_{n}} mit h_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
c) a_{n} = \frac{2^{n^{3}}}{n!5^{n^{2}} + n^{n}}

Aufgabe 5.2 Für festes k ∈ ℕ zeige man lim_{n→∞} 2^{−n} \binom{n}{k} = 0. Aufgabe 5.7 Man berechne die Grenzwerte lim_{n→∞} n^{−2} ∑_{k=1}^{n} k und lim_{n→∞} n^{−3} ∑_{k=1}^{n} k^{2}. Aufgabe 5.3 Es seien (a_{n}) eine Nullfolge und (b_{n}) eine beschränkte Folge. Man zeige, daß auch (a_{n}b_{n}) eine Nullfolge ist. Aufgabe 5.9 Es sei (b_{n}) eine streng monoton wachsende Folge mit (b_{n}) → ∞. Es sei (a_{n}) eine weitere Folge mit

lim_{n→∞} \frac{a_{n} − a_{n−1}}{b_{n} − b_{n−1}} = ℓ.

Man beweise, daß dann auch

lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = ℓ

gilt. (Beachten Sie dazu auch den Hinweis in Kaballo auf S. 47.) Wichtig: Alle Lösungen sind zu begründen! Abgabe: Mo 4.12.2000 in der Vorlesungspause