8. Übung Analysis 1 WS 2000-2001 Aufgabe 8.3 Bekanntlich ist auf ℝ die Dirichlet-Funktion D durch

D(x) := \{ \begin{matrix}0 & für x ∉ ℚ \\ 1 & für x ∈ ℚ \end{matrix}

definiert. In welchen Punkten x ∈ ℝ ist die Funktion x ↦ D(x) · (x^{2} − 1) stetig? Aufgabe 8.9 Man konstruiere eine monotone Funktion f : [0, 1] → ℝ mit unendlich vielen Unstetigkeitsstellen. (D.h. eine, mit einer Folge paarweise disjunkter Unstetigkeitsstellen.) Gibt es auch eine streng monotone Funktion mit dieser Eigenschaft? Aufgabe 21.2 Sind Summen bzw. Produkte konvexer Funktionen wieder konvexe Funktionen? Aufgabe 21.3 a) Es seien f : I → J konvex und g : J → ℝ konvex und monoton wachsend. Man zeige, daß g∘f konvex ist. Gilt dies auch, wenn g nicht monoton wachsend ist? Aufgabe B Man zeige: f : x ↦ \sqrt{x} ist nicht Lipschitz-stetig auf [0, ∞). Aufgabe C Man zeige: Für x, y ∈ [0, ∞) gilt |\sqrt{x} − \sqrt{y}| ≤ \sqrt{|x − y|}. Wichtig: Alle Lösungen sind zu begründen! Abgabe: Mo 8.1.2001 in der Vorlesungspause