Aufgabe 1: Geben Sie jeweils eine Funktion mit den angegebenen
Eigenschaften an, und weisen Sie diese nach:
-
a)
-
ist injektiv und streng monoton fallend.
-
b)
-
ist surjektiv und monoton wachsend.
-
c)
-
ist unbeschränkt und nach oben beschränkt.
-
d)
-
ist konkav auf
und konvex auf .
-
e)
-
ist stetig in
und unstetig sonst.
Aufgabe 2:
-
a)
-
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
i) |
|
ii) |
-
b)
-
i)
-
Geben Sie eine Nullfolge an.
-
ii)
-
Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition für Folgen, daß
es sich dabei um eine Nullfolge handelt.
Aufgabe 3:
-
a)
-
Bestimmen Sie Infimum und Supremum; entscheiden Sie ob ein Minimum oder
Maximum vorliegt:
-
i)
-
-
ii)
-
-
b)
-
Gegeben ist die Folge
und die Menge.
-
i)
-
Bestimmen Sie
und .
-
ii)
-
Bestimmen Sie Infimum und Supremum von ;
entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.
Aufgabe 4: Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr bzw. falsch?
Beweisen oder widerlegen Sie:
-
a)
-
Seien
und
Folgen reeller Zahlen, so daß
eine Nullfolge ist und
gegen
konvergiert. Dann ist
unbeschränkt.
-
b)
-
Zu zwei Mengen ,
definieren wir das punktweise Produkt
Seien ,
nach oben beschränkt. Dann gilt .
-
c)
-
Sei
ein offenes Intervall und seien
unstetig in ,
dann ist
unstetig in .
Aufgabe 5: Berechnen Sie jeweils eine Stammfunktion:
Aufgabe 6:
-
a)
-
Es sei
stetig auf dem offenen Intervall
und differenzierbar auf
()
und es existiere .
Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in
und es gilt .
Hinweis: Betrachten Sie Folgen
mit
und benutzen Sie den Mittelwertsatz.
-
b)
-
i)
-
Zeigen Sie:
-
ii)
-
Zeigen Sie:
ist überall differenzierbar.
Aufgabe 7: Gegeben sei die Funktionenfolge
mit
-
a)
-
Gegen welche Funktion konvergiert die Funktionenfolge ?
-
b)
-
Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge
auf allen kompakten Teilintervallen gleichmäßig konvergiert.
-
c)
-
Ist die Konvergenz auf dem angegebenen Intervall selbst gleichmäßig?
Hinweis: Schreiben sie
als Integral.