Aufgabe 1: Geben Sie jeweils eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften an, und weisen Sie diese nach:

a)

$f:[\frac{1}{2},\infty) \to [-1,2]$ ist injektiv und streng monoton fallend.

b)

$f:[0,1)\to [-1,1]$ ist surjektiv und monoton wachsend.

c)

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ ist unbeschränkt und nach oben beschränkt.

d)

$f:[-1,1]\to[-1,1]$ ist konkav auf $[-1,0)$ und konvex auf $[0,1]$.

e)

$f:[0,1]\to[0,1]$ ist stetig in $\frac{1}{2}$ und unstetig sonst.

Aufgabe 2:

a)

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

 

i) $$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2+\sqrt{5^n}}{3^n+1}$$

ii) $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{5n}\right)^{\textstyle \frac{n}{2}+1}$$

b)

i)

Geben Sie eine Nullfolge an.

ii)

Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition für Folgen, daß es sich dabei um eine Nullfolge handelt.

Aufgabe 3:

a)

Bestimmen Sie Infimum und Supremum; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:

i)

$M:= \left\{x \in \mathbb{R}\mid x^4 + 8x \leq 0 \right\} \cap [0,1]$

ii)

$f:[-1,1] \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\vert x\vert & \mbox{f\uml ur } x \in \mathbb{Q}\\x & \mbox{sonst}\end{array}\right.$

b)

Gegeben ist die Folge $a_n = (-1)^n \displaystyle \frac{n + (-1)^n}{n}$ und die Menge$N:=\{a_n \mid n \in \mathbb{N}\}$.

i)

Bestimmen Sie $\liminf a_n$ und $\limsup a_n$.

ii)

Bestimmen Sie Infimum und Supremum von $N$; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

Aufgabe 4: Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr bzw. falsch? Beweisen oder widerlegen Sie:

a)

Seien $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ und $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ Folgen reeller Zahlen, so daß $(\frac{1}{a_n})_{n\in\mathbb{N}}$ eine Nullfolge ist und$(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ gegen $b > 0$ konvergiert. Dann ist $(a_n b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ unbeschränkt.

b)

Zu zwei Mengen $\emptyset \neq M \subseteq \mathbb{R}$, $\emptyset \neq N \subseteq \mathbb{R}$ definieren wir das punktweise Produkt

$$M\cdot N:=\{xy \in \mathbb{R}\mid x \in M,~ y \in N\}.$$

Seien $M$, $N$ nach oben beschränkt. Dann gilt $\sup(M\cdot N)=\sup(M)\cdot \sup(N)$.

c)

Sei $I$ ein offenes Intervall und seien $f,g:I\to \mathbb{R}$ unstetig in $a \in I$, dann ist $f+g:I\to \mathbb{R}$ unstetig in $a$.

Aufgabe 5: Berechnen Sie jeweils eine Stammfunktion: 

a)	$$\int \frac{2^{x-1}}{\sqrt{1+2^x}}~dx$$		b)	$$\int \frac{1-2\sin^2x}{\sin x + \cos x}~dx$$
c)	$$\int \log (x^2 -1) ~dx$$		d)	$$\int (1+x^2)e^{\frac{1}{2}x^2}~dx$$

Aufgabe 6:

a)

Es sei $f:I\to \mathbb{R}$ stetig auf dem offenen Intervall $I$ und differenzierbar auf $I\setminus \{a\}$ ($a \in I$) und es existiere $c:=\lim\limits_{x\to a} f^\prime(x)$. Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in $a$ und es gilt $f^\prime (a) = c$.

Hinweis: Betrachten Sie Folgen $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ mit $x_n \to a$ und benutzen Sie den Mittelwertsatz.

b)

i)

Zeigen Sie:

$$\lim_{\begin{array}{c}x \to 0 \\ [-1mm]x \neq 0\end{array}}\frac{\log (1+x)}{x} = 1$$

ii)

Zeigen Sie:

$$f:(-1,\infty) \to \mathbb{R}, \qquad x\mapsto \left\{\begin{......eq 0 \\ [5mm]1 &\mbox{ f\uml ur } & x = 0\end{array} \right.$$

ist überall differenzierbar.

Aufgabe 7: Gegeben sei die Funktionenfolge $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $$f_n:(0,\infty)\to\mathbb{R},\quad x \mapsto 2n\left(\sqrt[n]{2x}-1\right).$$

a)

Gegen welche Funktion konvergiert die Funktionenfolge $(f_n)$?

b)

Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge $(f_n)$ auf allen kompakten Teilintervallen gleichmäßig konvergiert.

c)

Ist die Konvergenz auf dem angegebenen Intervall selbst gleichmäßig?

Hinweis: Schreiben sie $f_n$ als Integral.