Universität des Saarlandes

Fachrichtung 6.1 – Mathematik Prof. Dr. G. Wittstock

Klausur Analysis I Wintersemester 2000/2001

Für jede der folgenden 7 Aufgaben gibt es 10 Punkte; mit 27 Punkten haben Sie bestanden. Viel Erfolg!

Aufgabe 1: Geben Sie jeweils eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften an, und weisen Sie diese nach:

a) f : [\frac{1}{2}, ∞) → [−1, 2] ist injektiv und streng monoton fallend.

b) f : [0, 1) → [−1, 1] ist surjektiv und monoton wachsend.

c) f : ℕ → ℝ ist unbeschränkt und nach oben beschränkt.

d) f : [−1, 1] → [−1, 1] ist konkav auf [−1, 0) und konvex auf [0, 1].

e) f : [0, 1] → [0, 1] ist stetig in \frac{1}{2} und unstetig sonst.

Aufgabe 2:

a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

i) lim_{n→∞} \frac{n^{2} + \sqrt{5^{n}}}{3^{n} + 1}  ii) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{5n})\frac{n}{2} + 1

b) i) Geben Sie eine Nullfolge an.

ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition für Folgen, daß es sich dabei um eine Nullfolge handelt.

Aufgabe 3:

a) Bestimmen Sie Infimum und Supremum; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:

i) M := {x ∈ ℝ | x^{4} + 8x ≤ 0} ∩ [0, 1]

ii) f : [−1, 1] → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}|x| & für x ∈ ℚ \\ x & sonst \end{matrix}

b) Gegeben ist die Folge a_{n} = (−1)^{n} \frac{n + (−1)^{n}}{n} und die Menge N := \{a_{n} | n ∈ ℕ\}.

i) Bestimmen Sie lim inf a_{n} und lim sup a_{n}.

ii) Bestimmen Sie Infimum und Supremum von N; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

Aufgabe 4: Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr bzw. falsch? Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen reeller Zahlen, so daß (\frac{1}{a_{n}})_{n∈ℕ} eine Nullfolge ist und(b_{n})_{n∈ℕ} gegen b > 0 konvergiert. Dann ist (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} unbeschränkt.

b) Zu zwei Mengen ∅ ≠ M ⊆ ℝ, ∅ ≠ N ⊆ ℝ definieren wir das punktweise Produkt

M · N := {xy ∈ ℝ | x ∈ M, y ∈ N}.

Seien M, N nach oben beschränkt. Dann gilt sup(M · N) = sup(M) · sup(N).

c) Sei I ein offenes Intervall und seien f, g : I → ℝ unstetig in a ∈ I, dann ist f + g : I → ℝ unstetig in a.

Aufgabe 5: Berechnen Sie jeweils eine Stammfunktion:

a) ∫ \frac{2^{x−1}}{\sqrt{1 + 2^{x}}} dx  b) ∫ \frac{1 − 2 sin^{2} x}{sin x + cos x} dx

c) ∫ log(x^{2} − 1) dx  d) ∫ (1 + x^{2})e^{\frac{1}{2} x^{2}} dx

Aufgabe 6:

a) Es sei f : I → ℝ stetig auf dem offenen Intervall I und differenzierbar auf I \ {a} (a ∈ I) und es existiere c := lim_{x→a} f′(x). Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f′(a) = c. Hinweis: Betrachten Sie Folgen (x_{n})_{n∈ℕ} mit x_{n} → a und benutzen Sie den Mittelwertsatz.

b) i) Zeigen Sie:

lim ; \begin{matrix}x → 0 \\ x ≠ 0 \end{matrix} \frac{log(1 + x)}{x} = 1

ii) Zeigen Sie:

f : (−1, ∞) → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}\frac{log(1 + x)}{x} & für & x ≠ 0 \\ 1 & für & x = 0 \end{matrix}

ist überall differenzierbar.

Aufgabe 7: Gegeben sei die Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ} mit

f_{n} : (0, ∞) → ℝ, x ↦ 2n ( ^{n} \sqrt{2x} − 1) .

a) Gegen welche Funktion konvergiert die Funktionenfolge (f_{n})?

b) Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge (f_{n}) auf allen kompakten Teilintervallen gleichmäßig konvergiert.

c) Ist die Konvergenz auf dem angegebenen Intervall selbst gleichmäßig?

Hinweis: Schreiben sie f_{n} als Integral.