Universität des Saarlandes

Fachrichtung 6.1 – Mathematik Prof. Dr. G. Wittstock

Klausur Analysis I Lösungshinweise

Aufgabe 1: Geben Sie jeweils eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften an, und weisen Sie diese nach: (Vgl. Zwischenklausur Aufgabe 3)

a) f : [\frac{1}{2}, ∞) → [−1, 2] ist injektiv und streng monoton fallend. Z. B.:

f(x) = \frac{1}{x}

b) f : [0, 1) → [−1, 1] ist surjektiv und monoton wachsend. Z. B.:

f(x) = \{ \begin{matrix}4x − 1 & für & x ∈ [0, \frac{1}{2}) \\ 1 & für & x ∈ [\frac{1}{2}, 1) \end{matrix}

c) f : ℕ → ℝ ist unbeschränkt und nach oben beschränkt. Z. B.:

f(n) = −n

d) f : [−1, 1] → [−1, 1] ist konkav auf [−1, 0) und konvex auf [0, 1]. Z. B.:

f(x) = 0

e) f : [0, 1] → [0, 1] ist stetig in \frac{1}{2} und unstetig sonst. Z. B.:

f(x) = (x − \frac{1}{2})D(x) (vgl. Übungsaufgabe 8.3)

Warum haben die angegebenen Funktionen die gewünschten Eigenschaften?

Aufgabe 2:

a) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: (Vgl. Übungsaufgaben 5.1 und 6.8, speziell 6.8 c) bzw. 6.8 f) )

i) lim_{n→∞} \frac{n^{2} + \sqrt{5^{n}}}{3^{n} + 1}  ii) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{5n})\frac{n}{2} + 1

zu i) Es ist

\frac{n^{2} + \sqrt{5^{n}}}{3^{n} + 1} = \frac{\frac{1}{3^{n}} (n^{2} + \sqrt{5^{n}})}{\frac{1}{3^{n}} (3^{n} + 1)} = \frac{\frac{n^{2}}{3^{n}} + \frac{\sqrt{5^{n}}}{3^{n}}}{1 + \frac{1}{3^{n}}} = \frac{\frac{n^{2}}{3^{n}} + \sqrt{(\frac{5}{9})n}}{1 + \frac{1}{3^{n}}} .

Mit

lim_{n→∞} \frac{n^{2}}{3^{n}} = 0, lim_{n→∞} (\frac{5}{9})^{n} = 0 und lim_{n→∞} \frac{1}{3^{n}} = 0

ist

lim_{n→∞} \frac{n^{2} + \sqrt{5^{n}}}{3^{n} + 1} = 0.

zu ii) Es ist

(1 + \frac{1}{5n})^{\frac{n}{2} +1} = (1 + \frac{1}{5n})^{\frac{n}{2}} (1 + \frac{1}{5n}) = (1 + \frac{1}{5n})^{\frac{5n}{10}} (1 + \frac{1}{5n}) = ((1 + \frac{1}{5n})^{5n})^{\frac{1}{10}} (1 + \frac{1}{5n}) .

Mit

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{5n}) = 1 + lim_{n→∞} \frac{1}{5n} = 1

und

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{5n})^{5n} = e (Stichwort: Teilfolge)

ist

lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{5n})\frac{n}{2} + 1 = ^{10} \sqrt{e}.

b) i) Geben Sie eine Nullfolge an.

ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition für Folgen, daß es sich dabei um eine Nullfolge handelt.

zu i) und ii) Ein Nullfolge ist z. B.: (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = 0 für n ∈ ℕ. Zu ε > 0 wähle n_{0} = 1. Für alle n > n_{0} ist dann |a_{n} − 0| = 0 < ε.

Aufgabe 3:

a) Bestimmen Sie Infimum und Supremum; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt: (Vgl. Übungsaufgabe 9.1)

i) M := {x ∈ ℝ | x^{4} + 8x ≤ 0} ∩ [0, 1]

ii) f : [−1, 1] → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}|x| & für x ∈ ℚ \\ x & sonst \end{matrix}

zu i) Es ist M = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x^{4} + 8x ≤ 0}. Da mit x > 0 auch x^{4} + 8x > 0 ist und für x = 0 auch x^{4} + 8x = 0 ist, sind die Bedingungen nur für x = 0 erfüllt. Also ist M = {0}. Offensichtlich ist dann

max M = sup M = 0 = inf M = min M.

zu ii) Es ist f([−1, 0]) = ([0, 1] ∩ ℚ) ∪ ([−1, 0] ∩ (ℝ \ ℚ)) und f([0, 1]) = [0, 1]. Damit ist

f([−1, 1]) = ([−1, 0] ∩ (ℝ \ ℚ)) ∪ [0, 1],

also

sup(f([−1, 1])) = 1 = max(f([−1, 1]))

und

inf(f([−1, 1])) = −1

kein Minimum.

b) Gegeben ist die Folge a_{n} = (−1)^{n} \frac{n + (−1)^{n}}{n} und die Menge N := \{a_{n} | n ∈ ℕ\}. Es ist a_{n} =

(−1)^{n} \frac{n}{n} + (−1)^{n} \frac{(−1)^{n}}{n} = (−1)^{n} + \frac{(−1)^{2n}}{n} = (−1)^{n} + \frac{1}{n}

i) Bestimmen Sie lim inf a_{n} und lim sup a_{n}. (Vgl. Übungsaufgabe 12.4)

ii) Bestimmen Sie Infimum und Supremum von N; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt. (Vgl. Übungsaufgabe 9.1)

Aufgabe 4: Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr bzw. falsch? Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen reeller Zahlen, so daß (\frac{1}{a_{n}})_{n∈ℕ} eine Nullfolge ist und(b_{n})_{n∈ℕ} gegen b > 0 konvergiert. Dann ist (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} unbeschränkt. (Das ist wahr! Beweisen Sie es!) b) Zu zwei Mengen ∅ ≠ M ⊆ ℝ, ∅ ≠ N ⊆ ℝ definieren wir das punktweise Produkt

M · N := {xy ∈ ℝ | x ∈ M, y ∈ N}.

Seien M, N nach oben beschränkt. Dann gilt sup(M · N) = sup(M) · sup(N). (Das ist falsch! Finden Sie ein Gegenbeispiel!)

c) Sei I ein offenes Intervall und seien f, g : I → ℝ unstetig in a ∈ I, dann ist f + g : I → ℝ unstetig in a. (Das ist falsch! Finden Sie ein Gegenbeispiel!)

Aufgabe 5: Berechnen Sie jeweils eine Stammfunktion:

a) ∫ \frac{2^{x−1}}{\sqrt{1 + 2^{x}}} dx  b) ∫ \frac{1 − 2 sin^{2} x}{sin x + cos x} dx

c) ∫ log(x^{2} − 1) dx  d) ∫ (1 + x^{2})e^{\frac{1}{2} x^{2}} dx

zu a)

∫ \frac{2^{x−1}}{\sqrt{1 + 2^{x}}} dx = ∫ \frac{2^{x}}{2\sqrt{1 + 2^{x}}} dx
= \frac{1}{log 2} ∫ (−\frac{1}{2} + 1) (1 + 2^{x})^{− \frac{1}{2}} \underbrace{2^{x} log 2}_{(2^{x})′} dx

= \frac{(1 + 2^{x})^{− \frac{1}{2} +1}}{log 2}
= \frac{\sqrt{1 + 2^{x}}}{log 2}

zu b)

∫ \frac{1 − 2 sin^{2} x}{sin x + cos x} dx = ∫ \frac{(sin^{2} x + cos^{2} x) − 2 sin^{2} x}{sin x + cos x} dx
= ∫ \frac{cos^{2} x − sin^{2} x}{sin x + cos x} dx
= ∫ \frac{(cos x − sin x)(cos x + sin x)}{sin x + cos x} dx
= ∫ cos x − sin x dx
= sin x + cos x

zu c)

∫ log(x^{2} − 1) dx = ∫ log(x − 1) + log(x + 1) dx
= ((x − 1) log(x − 1) − (x − 1)) + ((x + 1) log(x + 1) − (x + 1))
= x log(x^{2} − 1) + log(\frac{x + 1}{x − 1}) − 2x

zu d)

∫ (1 + x^{2})e^{\frac{1}{2} x^{2}} dx = ∫ e^{\frac{1}{2} x^{2}} dx + ∫ x · xe^{\frac{1}{2} x^{2}} dx (Integrieren Sie das hintere Integral partiell)
= xe^{\frac{1}{2} x^{2}}

Aufgabe 6:

a) Es sei f : I → ℝ stetig auf dem offenen Intervall I und differenzierbar auf I \ {a} (a ∈ I) und es existiere c := lim_{x→a} f′(x). Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f′(a) = c.

Hinweis: Betrachten Sie Folgen (x_{n})_{n∈ℕ} mit x_{n} → a und benutzen Sie den Mittelwertsatz.

b) i) Zeigen Sie:

lim ; \begin{matrix}x → 0 \\ x ≠ 0 \end{matrix} \frac{log(1 + x)}{x} = 1

ii) Zeigen Sie:

f : (−1, ∞) → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}\frac{log(1 + x)}{x} & für & x ≠ 0 \\ 1 & für & x = 0 \end{matrix}

ist überall differenzierbar.

zu a) Sei (x_{n}) eine beliebige Folge, die gegen a konvergiert. Dann existiert – nach dem Mittelwertsatz – zu jedem x_{n} ein ξ_{n} zwischen x_{n} und a mit

\frac{f(x_{n}) − f(a)}{x_{n} − a} = f′(ξ_{n}).

Da ξ_{n} zwischen x_{n} und a liegt, konvergiert die Folge (ξ_{n}) auch gegen a. Wir erhalten

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = lim_{n→∞} \frac{f(x_{n}) − f(a)}{x_{n} − a} = lim_{n→∞} f′(ξ_{n}) = lim_{x→a} f′(x) = c.

zu b) zu i) Es ist log(1 + x) = 0 = x für x = 0 und log(1 + x)′ = \frac{1}{1+x} und x′ = 1. Nun gilt mit dem Satz von de l‘ Hospital:

lim ; \begin{matrix}x → 0 \\ x ≠ 0 \end{matrix} \frac{log(1 + x)}{x} = lim ; \begin{matrix}x → 0 \\ x ≠ 0 \end{matrix} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = lim ; \begin{matrix}x → 0 \\ x ≠ 0 \end{matrix} \frac{1}{1 + x} = 1.

zu ii) Als Komposition und Quotient differenzierbarer Funktionen ist f für x ≠ 0 differenzierbar. Nach i) kann \frac{log x}{x} in 0 durch den Wert 1 stetig fortgesetzt werden. f ist also stetig auf ganz (−1, ∞). Nach a) genügt es nun zu zeigen, daß lim_{x→0} f′(x) existiert: Mit Hilfe des Satzes von de l‘

Hospital erhält man lim_{x→0} f′(x) = −\frac{1}{2}. (Alternativ können Sie hier auch direkt den Grenzwert des

Differenzenquotienten an der Stelle 0 mit dem Satz von de l‘ Hospital berechnen.)

Aufgabe 7: Gegeben sei die Funktionenfolge (f_{n})_{n∈ℕ} mit

f_{n} : (0, ∞) → ℝ, x ↦ 2n ( ^{n} \sqrt{2x} − 1) .

(Vgl. Übungsaufgabe 14.2)

a) Gegen welche Funktion konvergiert die Funktionenfolge (f_{n})?

b) Zeigen Sie, daß die Funktionenfolge (f_{n}) auf allen kompakten Teilintervallen gleichmäßig konvergiert.

c) Ist die Konvergenz auf dem angegebenen Intervall selbst gleichmäßig?

Hinweis: Schreiben sie f_{n} als Integral.

• Die Funktionenfolge konvergiert gegen 2 log(2x). Zur Lösung vgl. die Musterlösung zu Übungsaufgabe 14.2