Universität des Saarlandes

Fachrichtung 6.1 – Mathematik Prof. Dr. G. Wittstock

Nachklausur Analysis I Wintersemester 2000/2001

Für jede der folgenden 7 Aufgaben gibt es 10 Punkte; mit 27 Punkten haben Sie bestanden.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1:

a) Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k definiert man

( \begin{matrix}x \\ k \end{matrix} ) := ∏_{j=1}^{k} \frac{x − j + 1}{j}.

Rechnen Sie unter \underline{Verwendung des Produktzeichens} nach:

i) Für x ∈ ℕ stimmt diese Definition mit der bekannten Definition des Binomialkoeffizienten überein.

ii) Es gilt

( \begin{matrix}x + 1 \\ k + 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x \\ k + 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}x \\ k \end{matrix} ) .

b) Zeigen Sie:

2 ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}2n \\ 2k \end{matrix} ) = 4^{n}.

Hinweis: Verwenden Sie den binomischen Lehrsatz und 0 = 1 − 1.

Aufgabe 2:

a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit

a_{n} := \frac{(−1)^{5n}n^{123} − 2^{n^{2}}}{n!5^{n} − n^{n}} .

b) Berechnen Sie für alle k ∈ ℕ

2k ln ( lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{kn})\frac{n−1}{2} + 1) .

c) i) Geben Sie eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} an, die gegen 1 konvergiert und für die kein n_{0} ∈ ℕ existiert, so daß stets a_{n} ≥ 1 ist für alle n ≥ n_{0} und für die kein n_{0} ∈ ℕ existiert, so daß stets a_{n} ≤ 1 ist für alle n ≥ n_{0}.

ii) Zeigen Sie: Wenn eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} die Eigenschaften aus i) hat, dann hat auch (a_{n}^{2})_{n∈ℕ} diese Eigenschaften.

Aufgabe 3:

a) Bestimmen Sie Infimum und Supremum; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt:

i) M := { x ∈ ℝ | x^{2} − 2 < 0 ∨ (x − 2)^{2} ≤ 0 }

ii) f : [−1, \sqrt{2}] → ℝ, x ↦ \{ \begin{matrix}−\frac{1}{2}x & für x ∈ ℚ \\ x^{2} & sonst \end{matrix}

b) Gegeben ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit

a_{n} = (−1)^{n} \frac{n + (−1)^{n}}{n^{2}}

und die Menge N := {a_{n} | n ∈ ℕ}.

i) Bestimmen Sie lim inf a_{n} und lim sup a_{n}.

ii) Bestimmen Sie Infimum und Supremum von N; entscheiden Sie ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

Aufgabe 4:

a) Berechnen Sie (auf zwei Arten) eine Stammfunktion zu

∫ (ln(x))^{2} dx :

i) Erstens: indem Sie zuerst substituieren.

ii) Zweitens: indem sie gleich partiell integrieren.

b) Bestimmen Sie z ∈ ℝ, so daß gilt:

e^{\sqrt{2}} ; ∫ ; 1\frac{ln(x)}{x} dx = \frac{1}{4} e^{z} ; ∫ ; 1 \frac{ln(y)}{\sqrt{y}} dy

Wieviele solcher z ∈ ℝ gibt es?

Aufgabe 5: Welche der folgenden drei Aussagen sind wahr bzw. falsch? Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen reeller Zahlen, so daß (a_{n})_{n∈ℕ} unbeschränkt ist und(b_{n})_{n∈ℕ} gegen b ∈ ℝ konvergiert. Dann ist (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} unbeschränkt.

b) Zu zwei Mengen ∅ ≠ M ⊆ ℝ, ∅ ≠ N ⊆ ℝ definieren wir das punktweise

Produkt

M · N := {xy ∈ ℝ | x ∈ M, y ∈ N}.

Seien nun M, N ⊆ ℝ^{+} Mengen positiver Zahlen. Dann gilt

inf(M · N) = inf(M) · inf(N).

c) Sei I ein offenes Intervall und seien f, g : I → ℝ unstetig für alle x ∈ I. Dann existiert mindestens ein x_{0} ∈ I, so daß f + g : I → ℝ unstetig in x_{0} ist.

Aufgabe 6: Seien x_{0}, x_{1} ∈ ℝ mit x_{0} < x_{1} und a, b ∈ (0, +∞) und

f, g : [x_{0}, x_{1}] → (0, +∞)

stetige Abbildungen, so daß für x ∈ [x_{0}, x_{1}] gilt:

f(x) ≤ a + b ∫_{x_{0}}^{x} f(t)g(t)dt.

a) Betrachten Sie

h(x) := ∫_{x_{0}}^{x} f(t)g(t)dt

und zeigen Sie, daß für alle x ∈ [x_{0}, x_{1}] gilt:

h′(x) ≤ g(x) (a + bh(x)) .

b) Zeigen Sie (unter Verwendung von a)), daß für alle x ∈ [x_{0}, x_{1}] gilt:

f(x) ≤ a exp (b ∫_{x_{0}}^{x} g(t)dt) .

Aufgabe 7: Untersuchen Sie folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:

a) 2x\sqrt{x} auf [0, ∞)  b) x + ^{3} \sqrt{2x} auf [0, ∞)