\documentclass[11pt,a4paper,twoside]{article}

\usepackage{german}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{theorem}

\theoremstyle{change}

\newtheorem{satz}{Satz.}[subsection]
\newtheorem{lem}[satz]{Lemma.}
\newtheorem{defin}[satz]{Definition.}
\newtheorem{kor}[satz]{Korollar.}

\newenvironment{beweis}
               {\textbf{Beweis.}}
	       {\hfill \(\Box\) \medskip
	       
	       }

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\begin{document}

{ 
  \parindent0cm
  Diese Datei soll lediglich verdeutlichen, wie mit der im Vortrag vom 18.12. 
  vorgestellten Formatvorlage gearbeitet werden sollte. Beachtet bitte, dass ich
  -- anders als im Vortrag besprochen -- zum Setzen von Beweisen eine neue Umgebung 
  namens \texttt{beweis} definiert habe.
  Hierdurch werden die Anweisungen \verb|\begin{beweis}| und \verb|\end{beweis}|
  zur Verf"ugung gestellt; deren Anwendung sollte an dem im Text gegebenen
  Beispiel deutlich werden. Wenn's Fragen gibt, schreibt mir doch einfach eine
  Mail.
  \vspace{0.5cm}

  Frohe Weihnachten und guten Rutsch!

  Michael
}

\section{Indextheorie f"ur Toeplitz-Operatoren}

\subsection{Grundlagen}
Es gelten die Inklusionen \( \N \subset \Z \subset \R \subset \C. \)

\begin{defin}
Sei \( H \) ein Hilbertraum. Zwei Vektoren \( x,y \in H \) hei"sen orthogonal,
falls \( \langle x, y \rangle = 0 \).
\end{defin}

\begin{lem} \label{orthogonal}
Sind \( x,y \in H \) orthogonal, so gilt 
\( \| x + y \|^2 = \| x \|^2 + \|y\|^2 \).
\end{lem}
\begin{beweis}
Definitionsgem"a"s gilt
\[
\| z \|^2 = \langle z, z \rangle \quad \mbox{f"ur } z \in H.
\]
Mit der Sesquilinearit"at des Skalarproduktes ergibt sich also
\begin{eqnarray*}
\| x+ y \|^2   & = &   \langle x +y , x+ y \rangle \\
               & = &   \| x \| ^2 + \| y \|^2 + 2 \text{Re} \langle x, y \rangle \\
	       & = &   \| x \| ^2 + \| y \|^2.
\end{eqnarray*}
\end{beweis}

Die in Lemma \ref{orthogonal} hergeleitete Beziehung ist als \emph{Satz des 
Pythagoras} bekannt.

\subsection{Spektraltheorie normaler Operatoren}
\begin{defin}
Sei \( H \) ein Hilbertraum. Ein stetig linearer Operator 
\( T \in L(H) \) hei"st \emph{normal}, falls er die Identit"at
\[
T^*T = T T^*
\]
erf"ullt.
\end{defin}

\end{document}
