1. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

1. Aufgabe: Sei ∘ : X × X → X eine assoziative Verknüpfung auf einer (nichtleeren) Menge X. Zeigen Sie für alle n ∈ ℕ, x_{1}, …, x_{n} ∈ X und für alle 1 ≤ r ≤ s ≤ n gilt

x_{1} ∘ … ∘ x_{n} = x_{1} ∘ … ∘ x_{r−1} ∘ (x_{r} ∘ … ∘ x_{s}) ∘ x_{s+1} ∘ … ∘ x_{n},

wobei induktiv definiert wurde y_{1} ∘ … ∘ y_{m} := (y_{1} ∘ … ∘ y_{m−1}) ∘ y_{m}.

2. Aufgabe: Die stetige Funktion f : ℂ → ℂ besitze genau eine Nullstelle z ∈ ℂ. Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge in ℂ, so daß f(x_{n}) → 0. Zeigen Sie, daß x_{n} → z.

3. Aufgabe: Sei f : [a, b] → ℝ stetig, wobei a, b ∈ ℝ und a < b. Wenn

∫_{a}^{b} f(x)x^{n} dx = 0 für alle n ≥ 0,

dann ist f = 0.

4. Aufgabe: Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Zeigen Sie: Eine Folge (x_{n}) in X ist genau dann konvergent, wenn die Folgen (d(x_{n}, y)) konvergent sind für alle y ∈ X.

5. Aufgabe: Sei f ∈ R([a, ∞[), a ∈ ℝ, eine monotone Regelfunktion und das uneigentliche Integral ∫_{a}^{∞} f(x) dx existiere. Zeigen Sie: Für alle h > 0 konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} f(a + nh) und es gilt

lim_{h→0} h ∑_{n=0}^{∞} f(a + nh) = ∫_{a}^{∞} f(x) dx.

Abgabetermin: Donnerstag, den 8. November 2001, vor Beginn der Vorlesung (9.00-9.15).