2. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

\underline{Notation:} Im folgenden bezeichne M_{n} = M_{n}(ℝ) den Raum aller n × n-Matrizen mit reellen Einträgen. Ferner sei ⟨·, ·⟩ ein (beliebiges) Skalarprodukt auf ℝ^{n}.

6. Aufgabe: (2 Punkte) Sei ∘ : X × X → X eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf einer (nichtleeren) Menge X. Erinnern Sie sich an die Notation der 1. Aufgabe und zeigen Sie, daß

x_{1} ∘ … ∘ x_{n} = x_{π(1)} ∘ … ∘ x_{π(n)}

für alle n ∈ ℕ und alle Permutationen π : {1, …, n} → {1, …, n}.

7. Aufgabe: Sei ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt und der daraus fließenden euklidischen Norm versehen. Eine Matrix A ∈ M_{n} heißt bekanntermaßen symmetrisch, wenn A = A^{T} . Zeigen Sie, daß für symmetrische Matrizen A ∈ M_{n} gilt

sup{∥Ax∥ | ∥x∥ = 1, x ∈ ℝ^{n}} = max{|λ| | λ ist Eigenwert von A}.

8. Aufgabe: (5 Punkte) Beweisen Sie, daß die Determinatenfunktion A ↦ Det A eine stetige Abbildung von M_{n} → ℝ ist. Sei

GL(M_{n}) = {A ∈ M_{n}| ∃A^{−1} ∈ M_{n} AA^{−1} = A^{−1}A = 𝟙}.

Beweisen Sie, daß GL(M_{n}) eine offene Teilmenge von M_{n} ist. Beweisen Sie ferner, daß die Abbildung

inv : GL(M_{n}) → GL(M_{n}), inv(A) = A^{−1}

stetig ist.

9. Aufgabe: (5 Punkte) Beweisen Sie, daß für die Norm ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩} auf ℝ^{n} die Parallelogramm-Identität

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

gilt. Beweisen Sie umgekehrt, gilt für eine Norm ∥·∥ auf ℝ^{n} die Parallelogramm-Identität, dann gibt es ein Skalarprodukt ⟨·, ·⟩ auf ℝ^{n}, so daß ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩} für alle x ∈ ℝ^{n}.

Hinweis: Sei f(x) = ∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2}. Zeigen Sie, daß f(a) + f(b) = 2f(\frac{1}{2}(a + b)) und folgern Sie, daß f additiv ist. Folgern Sie daraus, daß f linear ist.

10. Aufgabe: Beweisen Sie, daß die Ableitung der Funktion

f : ℝ^{n} → ℝ, f(x) = ∥x∥ = \sqrt{⟨x, x⟩},

an der Stelle a ∈ ℝ^{n} \ \{0\} gegeben ist durch f′(a)y = ⟨\frac{a}{∥a∥}, y⟩ (y ∈ ℝ^{n}), indem Sie die Definition der Ableitung anwenden und das Restglied mittels

1 + \frac{t}{2} − \frac{t^{2}}{2} ≤ \sqrt{1 + t} ≤ 1 + \frac{t}{2}, |t| < 1

nach unten und oben abschätzen.

Abgabetermin: Donnerstag, den 15. November 2001, Briefkasten im Gebäude 27.1 bis 12.45 Uhr.