3. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

11. Aufgabe: Seien V und W normierte reelle Vektorräume. Beweisen Sie, daß für eine lineare Abbildung T : V → W folgende Aussagen äquivalent sind:

1. T ist stetig im Nullpunkt.

2. T ist gleichmäßig stetig.

3. Es gibt r > 0, so daß ∥T v∥ ≤ r∥v∥ für alle v ∈ V.

Beweisen Sie ferner

sup\{∥T v∥| ∥v∥ < 1\} = sup\{\frac{∥T v∥}{∥v∥}| v ≠ 0\} = inf\{r > 0| ∥T v∥ ≤ r∥v∥ ∀v ∈ V \},

und daß ∥T ∥ = sup{∥T v∥| ∥v∥ = 1} eine Norm auf dem Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach W definiert.

12. Aufgabe: (8 Punkte) a) Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Menge C ⊂ V heißt bekanntermaßen konvex, wenn mit zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke in C liegt, also wenn für a, b ∈ C gilt, daß ta + (1 − t)b ∈ C für alle t ∈ [0, 1]. Beweisen Sie, eine Menge C ⊂ X ist genau dann konvex, wenn für alle n ∈ ℕ, x_{1}, …, x_{n} ∈ C, t_{1}, …, t_{n} ≥ 0 mit ∑_{i} t_{i} = 1 gilt, daß ∑_{i} t_{i}x_{i} ∈ C.

b) Beweisen Sie, daß

f : ℝ →]-1, 1[; f(x) = \frac{x}{1 + |x|}

ein Homöomorphismus ist, d.h. f ist bijektiv stetig und die Umkehrabbildung ist auch stetig.

c) Sei n ∈ ℕ und C ⊂ ℝ^{n} eine beschränkte, offene und konvexe Menge, die den Nullpunkt enthält. Ferner sei C symmetrisch zum Nullpunkt, d.h. mit a ∈ C ist auch -a ∈ C. Beweisen Sie, daß durch

N(x) := inf{r > 0| x ∈ rC}

eine Norm auf ℝ^{n} definiert wird und daß C = {x ∈ ℝ^{n}| N(x) < 1} gilt.

d) Folgern Sie aus b) und c), daß alle offenen und konvexen Teilmengen des ℝ^{n} zueinander homöomorph sind.

Hinweis: Die Mengen müssen weder beschränkt noch symmetrisch sein – was gilt dann noch für N? Was brauchen Sie nur zu wissen? Statten Sie ℝ^{n} mit der Maximumsnorm aus.

13. Aufgabe: a) Es sei A : ℝ^{n} → ℝ^{n} eine lineare Abbildung, f : ℝ^{n} → ℝ sei differenzierbar und F = f ∘ A. Welche Beziehung besteht zwischen grad F und grad f?

b) Seien n, m ∈ ℕ beliebig und X ⊂ ℝ^{n} offen. Eine Abbildung f : X → ℝ^{m} heißt homogen vom Grade α ∈ ℝ, wenn f(tx) = t^{α}f(x) für alle x ∈ X und t > 0 mit tx ∈ X gilt. Beweisen Sie, ist f an der Stelle y ∈ X differenzierbar, so gilt f′(y)y = αf(y). Hinweis: Kettenregel auf f ∘ g, wobei g(t) = y + ty.

14. Aufgabe: (6 Punkte) Seien n, m ∈ ℕ beliebig, X ⊂ ℝ^{n} offen und f : X → ℝ^{m} stetig differenzierbar. Beweisen Sie durch Anwendung der Mittelwertungleichung, daß zu kompaktem K ⊂ X ein r > 0 existiert, so daß

∥f(x) − f(y)∥ ≤ r∥x − y∥ ∀x, y ∈ K.

Hinweis: Für x ∈ K und δ > 0, so daß \overline{U}(x, δ) ⊂ X liefert die Mittelwertungleichung ein s > 0, so daß

∥f(u) − f(v)∥ ≤ s∥u − v∥ ∀u, v ∈ \overline{U}(x, δ).

(Das müssen Sie natürlich auch erst beweisen.) Führen Sie das dann zum Widerspruch.

Abgabetermin: Donnerstag, den 22. November 2001, Briefkasten im Gebäude 27.2 bis 12.45 Uhr.