4. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

15. Aufgabe: Lösen Sie die Aufgabe 6.14 auf Seite 52 in Heinz König, Analysis 1. Das Buch steht in ausreichender Zahl in der Lehrbuchsammlung der Mathematik-Biblio-thek. Machen Sie sich, im gleichen Buch, mit der Variante des Mittelwertsatzes in den Sätzen 1.16 und 1.17 in Kapitel III auf Seite 141 vertraut – Sie werden diese Variante für die nächste Aufgabe brauchen!

16. Aufgabe: a) Seien a, b ∈ ℝ, so daß a < b. Sei W ein normierter Vektorraum und f : [a, b] → W eine stetige Abbildung, die auf ]a, b[ differenzierbar ist. Beweisen Sie, daß es ein x ∈]a, b[ gibt, so daß

∥f(b) − f(a)∥ ≤ ∥f′(x)∥(b − a)

gilt, indem Sie Satz 1.17 (siehe vorige Aufgabe) auf die Hilfsfunktion φ(t) = ∥f(t)−f(a)∥ anwenden.

b) Seien V und W normierte Vektorräume, Ω ⊂ V offen und f : Ω → W differenzierbar. Seien a, b ∈ Ω, so daß \overline{ab} in Ω liegt. Folgern Sie aus a), daß es einen echten Zwischenpunkt x ∈ \overline{ab} gibt, so daß

∥f(a) − f(b)∥ ≤ ∥f′(x)∥ ∥a − b∥.

17. Aufgabe: a) Sei d ∈ ℕ. Bestimmen Sie induktiv die Ableitung f′ : M_{d} → Hom(M_{d}, M_{d}) der Abbildung f : M_{d} → M_{d}, f(x) = x^{n} für alle n ∈ ℕ.

b) Gegeben sei eine Polynomfunktion P : ℝ^{d} → ℝ, P (x) = ∑_{α} c_{α}x^{α}, wobei d ∈ ℕ und c_{α} = 0 für fast alle α ∈ ℕ_{0}^{d}. Beweisen Sie, daß c_{α} = \frac{∂^{α}P (0)}{α!} für alle α ∈ ℕ_{0}^{d}.

18. Aufgabe: a) Sei n ∈ ℕ beliebig. Beweisen Sie die Produktformel

∂^{α}(fg) = ∑_{β∈ℕ_{0}^{n}, β≤α}∂^{β}f ∂^{α−β}g,

für alle α ∈ ℕ_{0}^{n}, wobei f, g : ℝ^{n} → ℝ als genügend oft partiell differenzierbar vorausgesetzt sind.

b) Beweisen Sie die binomische Formel

(x_{1} + ⋯ + x_{d})^{n} = ∑_{|α|=n} \frac{n!}{α!} x^{α}

für alle x ∈ ℝ^{d} und d, n ∈ ℕ, wobei die Summe über alle α ∈ ℕ_{0}^{d} der Länge n läuft.

Abgabetermin: Donnerstag, den 29. November 2001, Briefkasten im Gebäude 27.2 bis 12.45 Uhr.