5. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

19. Aufgabe: Seien V und W normierte Vektorräume und f ∈ Hom(V, W). Wir definieren

i(f) := inf {∥f(v)∥ | ∥v∥ = 1, v ∈ V }.  (1)

Beweisen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

1. i(f) > 0.

2. f ist injektiv und die Umkehrabbildung f^{−1} : f(V) → V ist stetig.

Bestimmen Sie im Fall i(f) > 0 die Operatornorm von f^{−1}.

20. Aufgabe (6 Punkte): Seien V und W normierte Vektorräume, f : Ω → W auf einer offenen Teilmenge Ω ⊂ V stetig differenzierbar und K ⊂ Ω kompakt. Es gelte:

1. f eingeschränkt auf K ist injektiv und

2. i(f′(a)) > 0 für alle a ∈ K (siehe (1)).

Beweisen Sie, daß es eine Zahl λ > 0 gibt, so daß

∥f(u) − f(v)∥ ≥ λ∥u − v∥

für alle u, v ∈ K. Hinweis: Der Beweis ist i.w.S. ähnlich zur 14. Aufgabe – der Mittelwertsatz angewendet auf geeignetem \overline{U(a, δ)} auf die Abbildung F (x) = f(x) − f(a) − f′(a)(x − a) liefert eine Abschätzung, die man zum Widerspruch führen kann.

21. Aufgabe: Man entwickle die Funktion f(x, y) = (x − y)e^{x+y} um die Stelle (0, 0) in eine Taylorreihe bis zu Gliedern zweiter Ordnung. Man berechne den Näherungswert für f(\frac{1}{10}, \frac{2}{10}), den die Taylorreihe liefert und schätze dessen Fehler mit Hilfe des Restgliedes ab.

22. Aufgabe: a) Der ℝ^{n} sei mit der euklidischen Norm ∥·∥_{2} ausgestattet. Es sei

f : ℝ^{n} → ℝ; f(x) = ∑_{i=1}^{m}∥x − y_{i}∥_{2}^{2}

für y_{1}, …, y_{m} ∈ ℝ^{n}. Untersuchen Sie f auf kritische Punkte und Extremalstellen. b) Es sei die Abbildung

f : ℝ^{2} → ℝ; f(ξ_{1}, ξ_{2}) = 2ξ_{1}^{4} + ξ_{2}^{2} − 3ξ_{2}ξ_{1}^{2}

gegeben. Zeigen Sie zunächst, daß die Abbildung f eingeschränkt auf eine beliebige Gerade durch den Ursprung im Ursprung ein lokales Minimum besitzt. Untersuchen Sie anschließend f auf kritische Punkte und Extremalstellen.

23. Aufgabe: Es seien Ω ⊂ ℝ^{n} offen, ∥ · ∥ eine Norm auf ℝ^{n}, f = (f_{1}, …, f_{n}) ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}), a ∈ Ω und f′(a) invertierbar. Man zeige:

(i) Es gibt ein ε > 0, so daß \overline{U(a, ε)} ⊂ Ω und

det [\frac{∂f_{ν}}{∂ξ_{μ}} (x_{ν})] ≠ 0 für x_{1}, …, x_{n} ∈ U(a, ε).

(ii) Wenn (i) gilt, dann ist f | \overline{U(a, ε)} injektiv. Hinweis: Die Annahme y, z ∈ \overline{U(a, ε)} mit

y ≠ z und f(y) = f(z)

führt zu einem Widerspruch zu (i).

Abgabetermin: Donnerstag, 06.12.01, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.