6. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

Die folgenden Aufgaben sind mit Arbeitsanleitungen versehen, deren Behauptungen auch zu beweisen sind. Pro Aufgabe gibt’s 6 Punkte (wegen Nikolaus).

24. Aufgabe (6 Punkte): Es sei (V, ⟨·, ·⟩) ein euklidischer Raum mit der euklidischen Norm ∥ · ∥_{2}. Es sei Ω ⊂ V offen, \overline{Ω} kompakt und f ∈ C^{1}(Ω, V) ∩ C(\overline{Ω}, V). Für alle x ∈ Ω sei f(x) ≠ 0 und f′(x) invertierbar. Man zeige: Es gibt Punkte y und z auf dem Rand ∂Ω von Ω, so daß

∥f(y)∥_{2} < ∥f(x)∥_{2} < ∥f(z)∥_{2} für x ∈ Ω.

Hinweis: Man untersuche die kritischen Punkte von

φ : x ↦ ⟨f(x), f(x)⟩ für x ∈ Ω.

25. Aufgabe (6 Punkte): Es seien Ω ⊂ ℝ^{n} offen, ∥·∥ eine Norm auf ℝ^{n}, g ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}), a ∈ Ω und g′(a) invertierbar. Man zeige: g(a) ist ein innerer Punkt von g(Ω).

Hinweis: Es gibt eine Umgebung \overline{U(a, ε)} ⊂ Ω, so daß

g | \overline{U(a, ε)} injektiv und g′(x) invertierbar für x ∈ U(a, ε).

Man nehme an, daß g(a) kein innerer Punkt von g(Ω) ist. Dann gibt es eine Folge (y_{k})_{k} im Komplement von g(Ω) mit y_{k} → g(a). Man wende nun Aufgabe 24 auf die Funktionen

f_{k} : x ↦ g(x) − y_{k} für x ∈ \overline{U(a, ε)}

an und erzeuge einen Widerspruch zur Injektivität von g.

26. Aufgabe (6 Punkte): (Man zeige die folgenden Teilaussagen des Satzes über implizite Funktionen mit einem Widerspruchsbeweis. Bezeichnungen: (x, y) ∈ ℝ^{d} × ℝ^{n}, y = (η_{1}, …, η_{n}), ∥ · ∥ eine Norm auf ℝ^{d} bzw. ℝ^{n}.)

Es seien Ω ⊂ ℝ^{d} × ℝ^{n} offen, f = (f_{1} …, f_{n}) ∈ C^{1}(Ω, ℝ^{n}) und (a, b) ∈ Ω mit

f(a, b) = 0 und D_{y}f(a, b) := [\frac{∂f_{ν}}{∂η_{μ}} (a, b)] invertierbar.

Man zeige: Es gibt δ und ε mit 0 < δ < ε, so daß folgendes gilt:

1. Es ist U(a, ε) × \overline{U(b, ε)} ⊂ Ω und zu jedem x ∈ U(a, ε) gibt es höchstens ein y ∈ \overline{U(b, ε)} mit f(x, y) = 0.

2. Zu jedem x ∈ U(a, δ) gibt es mindestens ein y ∈ U(b, ε) mit f(x, y) = 0.

Hinweise: Wie in Aufgabe 23 zeige man zunächst: Es gibt ein ε > 0, so daß U(a, ε) × \overline{U(b, ε)} ⊂ Ω und

det [\frac{∂f_{ν}}{∂η_{μ}} (x, y_{ν})] ≠ 0 für x ∈ U(a, ε) und y_{1}, …, y_{n} ∈ U(b, ε).

Hieraus folgt nun die Behauptung 1. Die Aussage 2 zeige man wie in Aufgabe 25 mit einem Widerspruchsbeweis. Es sei ε > 0 so gewählt, daß Aussage 1 gilt. Man nehme an, es gebe kein 0 < δ < ε, so daß Aussage 2 gilt. Dann gibt es eine Folge (x_{k})_{k} in U(a, ε), so daß x_{k} → a und f(x_{k}, y) ≠ 0 für y ∈ U(b, ε). Man wende nun Aufgabe 24 auf die Funktionen

f_{k} : y ↦ f(x_{k}, y) für y ∈ \overline{U(b, ε)}

an und erzeuge einen Widerspruch.

Abgabetermin: Donnerstag, 13.12.01, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.