7. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

27. Aufgabe: Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum und f : M → M eine Abbildung. Sei induktiv f^{n+1} = f ∘ f^{n} und f^{0} die Identität auf M. Es existiere r > 0, so daß

∑_{n=0}^{∞} d(f^{n}(x), f^{n}(y)) ≤ rd(x, y) ∀x, y ∈ M.

Dann hat f genau einen Fixpunkt z ∈ M und lim_{n→∞} f^{n}(x) = z für alle x ∈ M. Zeigen Sie zusätzlich die ”Fehlerabschätzung“

d(f^{n}(x), z) ≤ rd(f^{n}(x), f^{n+1}(x)) ∀x ∈ M und n ∈ ℕ_{0}.

Zeigen Sie ferner, daß der Banachsche Fixpunktsatz aus diesem Satz folgt.

28. Aufgabe: Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und f ∈ C^{1}(Ω, ℝ). Es gelte grad f(x) ≠ 0 für alle x ∈ Ω. Dann ist die Wertemenge f(Ω) ⊂ ℝ offen.

29. Aufgabe: a) Sei folgendes Gleichungssystem gegeben:

f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}x_{3} + x_{2}x_{4}^{2} = 0
f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}x_{4}^{3} + x_{2}^{2}x_{3}^{6} = 0

Ist das Gleichungssystem in einer Umgebung von (0, 1, 0, 0) nach x_{3} und x_{4} auflösbar? Wenn ja, so berechne man die Ableitung von φ(x_{1}, x_{2}) mit x_{3} = φ_{1} und x_{4} = φ_{2} an der Stelle (0, 1).

b) Gegeben sei die Gleichung g(x, y, z) = y^{2} + xz + z^{2} − e^{z} − 4 = 0. Ist die Gleichung in einer Umgebung von (0, e, 2) nach z auflösbar? Wenn ja, so berechne man \frac{∂z}{∂x}(0, e) und \frac{∂z}{∂y}(0, e).

30. Aufgabe (6 Punkte): Gegeben sei eine Kugel mit Radius 1, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liege. Beweisen Sie, daß es Punkte (x, y, z) auf der Kugeloberfläche gibt, die die Bedingung x + y + z = 0 erfüllen und minimalen bzw. maximalen Abstand von der z-Achse haben. Geben Sie diese Punkte und die jeweiligen Abstände an.

Abgabetermin: Donnerstag, 20.12.01, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.