8. Übung zur Analysis III WS 2001-2002

31. Aufgabe (6 Punkte): Seien n ∈ ℕ und r_{i} > 0 für i ∈ {1, …, n}. Sei f : H_{+}^{n} → ℝ_{+} gegeben durch f(x) = ∏_{i=1}^{n} ξ_{i}^{r_{i}}, wobei H_{+}^{n} := {x ∈ ℝ^{n} | ξ_{i} > 0, 0 ≤ i ≤ n} und x = (ξ_{1}, …, ξ_{n}). Man beweise die Ungleichung

∏_{i=1}^{n} η_{i}^{r_{i}} ≤ (\frac{∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{i}}{∑_{i=1}^{n} r_{i}} )^{r_{1}+···+r_{n}}  (1)

für alle η_{i} ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, indem man die Extremwerte der Abbildung f unter der Nebenbedingung ∑_{i} ξ_{i} = 1 bestimmt, was eine Ungleichung liefert. (Wenn r_{i} = 1 für alle i ist (1) die Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischem Mittel.)

32. Aufgabe (8 ZPunkte) : Seien n ∈ ℕ, S_{n} der Raum der symmetrischen n × n-Matrizen und T_{n} der Raum der schiefsymmetrischen n × n-Matrizen.

a) Sei s ∈ S_{n}. Es ist e^{s} ∈ SO(n) genau dann, wenn s = 0.

b) Es ist M_{n} = S_{n} ⊕ T_{n}. Also wird durch s + t ↦ e^{s}e^{t} für s ∈ S_{n} und t ∈ T_{n} eine Abbildung ψ : M_{n} → M_{n} definiert. Ferner gibt es eine offene Menge U ∈ O(0), so daß ψ : U → ψ(U) ein Diffeomorphismus ist. Außerdem ist ψ(U ∩ T_{n}) = ψ(U) ∩ SO(n).

c) Sei ϕ : M_{n} → GL(M_{n}), ϕ(x) = e^{x}. Zeigen Sie, es gibt eine Umgebung W ∈ O(0), so daß ϕ : W → ϕ(W) ein Diffeomorphismus ist und ϕ(W ∩ T_{n}) = ϕ(W) ∩ SO(n). Hinweis: Auf T_{n} stimmen ψ und ϕ überein. Die Umgebung W kann ruhig ”klein“ sein, Sie müssen nur die Existenz zeigen.

33. Aufgabe (30 ZPunkte): Diese Aufgabe macht Sie mit dem Begriff des topologischen Raumes bekannt, der grundlegend für die Begriffe Stetigkeit und Konvergenz ist. Stellen Sie sich im folgenden einfach vor, der topologische Raum sei Ihr Blatt Papier, also eine euklidische Ebene (falls Sie es noch nicht zerknüllt haben). Tatsächlich dient Topologie dazu, in völlig unanschaulichen Situationen so argumentieren zu können, als wäre man in der vertrauten euklidischen Ebene (durch Konzentration aufs Wesentliche). Umgebungen eines Punktes können Sie sich als Kreise um den Punkt vorstellen. Zunächst einige Definitionen: Sei X ≠ ∅ eine Menge und τ eine Menge von Teilmengen von X, so daß 1.) ∅, X ∈ τ, 2.) für T, S ∈ τ ist T ∩ S ∈ τ und 3.) für σ ⊂ τ ist ∪T, T ∈ σ, in τ. Dann heißt (X, τ) ein topologischer Raum. τ heißt Topologie auf X und die Elemente von τ heißen offene Mengen. Eine Menge A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist. Sei x ∈ X. Wir definieren den Umgebungsfilter von x als

O(x) := {A ⊂ X | ∃T ∈ τ mit x ∈ T ⊂ A}.

a) Seien (X, τ) und (Y, σ) topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig an der Stelle x ∈ X, wenn f^{−1}(U) ∈ O(x) für alle U ∈ O(f(x)). Die Abbildung heißt stetig, wenn f^{−1}(T) ∈ τ für alle T ∈ σ. Zeigen Sie, daß f genau dann stetig ist, wenn f an jeder Stelle x ∈ X stetig ist.

b) Seien (X, τ) und (Y, σ) topologische Räume. Wir definieren die Produkttopologie

τ × σ := {Q ⊂ X × Y | ∀(x, y) ∈ Q ∃U ∈ O(x), V ∈ O(y) U × V ⊂ Q}.

Zeigen Sie, daß (X × Y, τ × σ) ein topologischer Raum ist.

c) Ein topologischer Raum (X, τ) heißt Hausdorffsch, wenn es zu verschiedenen Punkten disjunkte Umgebungen gibt, d.h. für alle x, y ∈ X mit x ≠ y existieren A ∈ O(x) und B ∈ O(y), so daß A ∩ B = ∅. Zeigen Sie, daß X genau dann Haussdorffsch ist, wenn die Diagonale Δ ⊂ X × X abgeschlossen ist bzgl. der Produkttopologie, wobei

Δ := {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X}.

d) Sei (X, d) ein metischer Raum. Wir definieren

τ_{d} = {T ⊂ X | ∀x ∈ T ∃ε > 0 U(x, ε) ⊂ T }.

Zeigen Sie, daß (X, τ_{d}) ein topologischer Raum ist.

e) Sei X ein reeller Vektorraum. Sei τ eine Topologie auf X, so daß X × X → X, (x, y) ↦ x + y und ℝ × X → X, (r, x) ↦ rx stetig sind (die Produkträume sind dabei mit der Produkttopologie ausgestattet), dann heißt X ein topologischer Vektorraum. Sei nun V ein normierter Vektorraum. Dann liefert die Norm eine Metrik d(v, w) = ∥v − w∥. Zeigen Sie, daß (V, τ_{d}) ein topologischer Vektorraum ist.

f) Sei (X, τ) ein topologischer Vektorraum. Eine Menge B ⊂ X heiß kreisförmig, wenn für b ∈ B folgt rb ∈ B für alle r mit |r| < 1. Zeigen Sie, zu W ∈ O(0) gibt es ein kreisförmiges B ∈ O(0) mit B ⊂ W.

g) Sei E ein endlichdimensionaler (reeller) Vektorraum. Zeigen Sie, es existiert genau eine Haussdorff-Topologie τ, so daß (E, τ) ein topologischer Vektorraum ist. Hinweis: Es ist generell gut, sich zuerst Spezialfälle anzuschauen. Zeigen Sie also zunächst für einen Vektorraum der Dimension 1, daß ℝ → E, r ↦ re, wobei 0 ≠ e ∈ E ein Homöomorphismus ist. Der erste Schritt hierzu ist, daß es eine Umgebung W von 0 gibt, so daß re ∉ W (warum?). Dann liefert f) eine kreisförmige Umgebung. Um eine Induktion machen zu können, schreibe man E = F + E_{1}, wobei dim F = n − 1 und dim E_{1} = 1.

Abgabetermin: Donnerstag, 10.01.02, Briefkasten im Geb. 27.2 bis 12.45 Uhr.